积分变换-第4版-讲义-2-2Laplace 变换的性质
第02章 Laplace变换_2012
m
-t
- t 0
e dt
- t 0
0
e mt
m -1
dt
mG( m ) 而且G(1)
0
e dt -e
-t
1
因此如m为正整数，则有G( m 1) m !
其它常用函数的Laplace变换
1、幂函数f(t)= tm（常数m>-1）的Laplace变换
补充----G-函数(gamma函数)简介
在工程中经常应用的G-函数定义为
Γ (m)
0
e - t t m -1 d t , 0 m
• 利用分部积分公式可证明:
G( m 1) -t e
m 0
e t d t -
-t m -t m 0
0
t de
上述积分的收敛条件为：Re(s)>0。
例
L cos kt
题
同理，余弦函数f(t)= coskt的Laplace变换如下
0
cos kt e
- st
dt
0
1 jkt (e e - jkt ) e - st d t 2
1 - ( s - jk ) t (e e - ( s jk ) t )d t 2 0 1 1 1 - ( s - jk ) t - ( s jk ) t - e e 2 s - jk s jk 0 1 1 1 s ( ) 2 2 s - jk s jk s k2
主要内容
Laplace变换的概念
Laplace变换的性质
Laplace逆变换 卷积
《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
积分变换第二章拉氏变换
A( s ) st A( sk )e sk t Res e , sk B( sk ) B( s)
即：f (t )
k 1
n
A( sk )e , (t 0) B( sk )
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
0
f (t )e st dt （s j是一复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为 F(s)=£ [f(t)] 其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
则有，£ [ f (t ) ] = s 2 F (s) sf (0) f (0)
ct
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
的Laplace变换。
结论
定理： 若s ,s , …,sn是函数F(s)的所有奇点 （适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β 内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
积分变换laplace
(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n1
f (0) s
n 2
f ( 0 ) f
( n1)
(0)
17
例1 求
f
t
t
m
的拉氏变换（m为正整数）。
m 1
解 由于 f
0
f 0 f
(m )
0
0, 而 f
m
t
存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e c t, 0 t <. 则 f (t)的拉氏变换
F ( s)
f ( t )e d t
st
0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面 内, F(s)为解析函数.
6
y
Mect
f (t)
O
e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
L [ u ( t )]
1 s
(R e ( s ) 0 ) .
4
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
解 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f ( t )]
e e
kt
st
dt
0
e
( sk ) t
L a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s ),
1
L
b1 F 1 ( s ) b 2 F 2 ( s ) b1 f 1 ( t ) b 2 f 2 ( t ) .
Laplace变换和逆变换
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问 题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求 原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示
积分变换_(Laplace)课件与习题
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
理解
拉普拉斯变换(Laplace transformation)是在积分变换中把连续时变信号转换成正负无穷大范围的指数型时定信号的单边变换，它是一种统计与信号分析的重要算法，建立在Fourier变换的基础上，被广泛应用于数学、电子、通讯及其他领域。
拉普拉斯变换的核心思想是用一个类似函数的谱线替换一个时变函数，解决复杂的求解问题，能够将难以求解的时变函数拆分成一组解析函数，利用标准函数轻松地求解出结果，从而提高求解算法的效率。
拉普拉斯变换具有以下性质：
（1）线性性质：在拉普拉斯变换中，加性和乘性定律成立，也即可以用拉普拉斯变换把复合函数分解成基本函数的叠加，且变换后的结果是它们变换的乘积的和。
（2）卷积性质：拉普拉斯变换能够有效地把连续时变信号的卷积操作转换成简单的乘法操作，拉普拉斯变换可以将连续时变函数的卷积操作转换为拉普拉斯变换之后函数的乘积操作。
（3）滞后性质：拉普拉斯变换的结果，只与函数的滞后的部分有关，因此可以使用拉普拉斯变换来实现信号的滞后处理。
（4）收敛性质：拉普拉斯变换的结果受被变换函数的收敛性的影响，而不受其具体形式的影响。
因此，对收敛的函数，可以通过拉普拉斯变换将其变换为正负无穷大范围的指数函数，使其受到解析处理，然后得到函数解析形式的结果。
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
e 2j
jkt
e st dt
例3： 解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]
st
0
u(t ) f (t )e st dt
s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s
0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏 卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律， 即：
1)、为什么要引入Laplace变换 经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
•
绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
第四节. Laplace变换的性质
t 0
t
F ( s) f ( )d ] ( s ) s
（2）令( s ) F ( s )ds， (t ) L
s
1
[( s )]
d ( s) F ( s)ds F ( s)， ds s
L [( t ) ( t )] '( s ) F ( s )
(t )
L
[ F ( s )] f ( t ) t t
1
f (t ) 即L [ ] ( s ) F ( s )ds s t
证毕
1 例6： 设f ( t ) (sht )sin t， t （1）求L [ f ( t )]，（2）计算积分
解:(1)
0
f ( t )dt
t st f ( t ) e 0 lim
故
L [ f (t )] sF ( s) f (0)
类似易证得其他各式。
例4 利用微分性质，求 f (t ) cos kt的Laplace变换
解：
f (t ) k sin kt，f (t ) k 2 cos kt
sx
dx e s F (s)
4、相似性质
设L [ f ( t )] F ( s )，a 0，则有 1 s L [ f (at )] F ( ) a a
例1 求下列函数的Laplace变换
(1) f (t ) e at cos kt
解：
s L [cos kt ] 2 s k2
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
Laplace变换
1 1 ST F(S) = e S S
f(t) T T
f ( t ) = t[ε ( t ) ε ( t T )]
1 e ST F(S) = 2 2 S S
2、频域平移性质 、
设：L[ f ( t )] = F ( S )
则：L[e
∞
αt
f ( t )] = F ( S + α )
证： e ∫0
Laplaceຫໍສະໝຸດ 变换1 Laplace变换的定义 变换的定义 2 3 4 Laplace变换的性质 变换的性质 Laplace反变换 反变换 Laplace变换的应用 变换的应用
1 Laplace变换的定义 变换的定义
拉氏变换定义：一个定义在 ， ） 拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为： ，它的拉氏变换定义为：
dF ( S ) 则：L[ tf ( t )] = dS d ∞ ∞ st st 证： ∫0 f ( t )e dt = ∫0 f ( t )( t )e dt ds
= L[ tf ( t )]
d F (S) 推广： 推广： L[t f ( t )] = ( 1) n dS
n n n
dF ( S ) L[ tf ( t )] = dS
则：L[ ∫0
d 证： f ( t ) = dt
t
1 f ( t )dt ] = F ( S ) S
∫0
t
f ( t )dt
d t L[ f ( t )] = L[ ∫0 f ( t )dt ] dt t t F (S ) = sL[ ∫0 f ( t )dt ] ∫0 f ( t )dt
t =0
∞
st
∞
第一讲 Laplace变换的概念与变换的性质
工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 3 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§2.1 Laplace 变换的概念；§2.2 拉氏变换的性质．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．理解Laplace 变换的概念，熟悉拉氏变换的存在定理．2．掌握Laplace 变换的性质及用Laplace 变换的性质求一些函数的Laplace 变换．教学重点及难点：重点：Laplace 变换的性质．难点：拉氏变换的存在定理．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§1 Laplace 变换的概念1. 引言Fourier 变换的两个限制：(1)[0),0t +∞<定义于，而不必考虑时取值的函数；(2)绝对可积的条件太强。
许多简单函数的傅氏变换或者 不存在，或者为非常义下的广义函数给应用带来很大的不方便。
0,0()(0).,tt t e t βϕβ-<⎧=>⎨≥⎩设指数衰减函数()()()()(),f t t f t u t f t t ∈-∞+∞≥考虑,有=0.()()()()0,lim .tttt ef t ef t dt f t u t eββββ∞---∞→∞><+∞⎰+-若存在使=0,则那麽的傅氏积分总是存在的。
()()0[()()]()()()()ttj tj ts tf t u t ef t u t eedt f t edt s j f t edt F s ββωβωβω+∞+∞+∞----+--∞===+∆⎰⎰⎰F2. 定义：()[0,)()f t +∞设是上的实或复值函数，若对参数,()()s ts j F s f t edt βω+∞-=+=⎰在s 平面的某一区域()Laplace f t 内收敛，则称其为的变换，记为 ()0[()]()s tf t F s f t edt +∞-==⎰L1()()Laplace ()[()].()()f t F s f t F s F s f t -=称为的逆变换，记为称为像函数，称为原L像函数.例1 求单位阶跃函数00()1t u t t <⎧=⎨>⎩的拉氏变换.解 根据拉氏变换的定义, 有[()]ed stu t t +∞-=⎰L这个积分在Re(s )>0时收敛, 而且有11ed eststt ss+∞--+∞=-=⎰例2 求指数函数 f (t )=e kt的拉氏变换(k 为实数). 解 根据拉氏变换的定义, 有()0[()]e ed ed kt sts k tf t t t +∞+∞---==⎰⎰L这个积分在Re(s )>k 时收敛, 而且有()()011ed es k ts k tt s ks k+∞+∞----=-=--⎰1[e ](R e()).kts k s k=>-所以L其实k 为复数时上式也成立, 只是收敛区间为Re(s )>Re(k )。
2.2 Laplace变换的性质
2. 微分性质 若
则有
L [ f ( t )] sF ( s ) f (0)
证
推论 若
，则有
一般地，
特别，当初值 有
时，
此性质使我们有可能将 f (t) 的微分方程转化为
F(s) 的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的 作用，现在利用它推算一些函数的 Laplace 变换。
例1 利用微分性质求函数 f (t) =cos kt的Laplace 变换。
证 设
由上述微分性质，有 即
这个性质表明了一个函数积分后再取Laplace变换
等于这个函数的 Laplace 变换除以复参数 s。
重复应用上式，就可得到：
此外，由 Laplace变换存在定理, 还可得象函数积
分性质: 若 ，则
或
一般地，有
例4 求函数 解 因为 由积分性质
的Laplace变换. (见习题一的1(5))，
f (t)
E
E
O
T 2 f2(t)
T
t
O
T 2
t
E
O
T 2
T
t
例9 求如图所示的单个半正弦波 f (t)的 Laplace变换。 解 由前图可知，f (t) =f1(t) + f2(t)，所以
例10 求如下图所示的半波正弦函数 fT (t)的Laplace 变换。
fT(t) E
O
解
T 2
T
3T 2
重述这些条件。
1. 线性性质
若a, b是常数
则有
这个性质表明函数线性组合的 Laplace 变换等于 各函数 Laplace 变换的线性组合。它的证明只须根据定 义，利用积分性质就可推出。
积分变换第七讲_Laplace变换的性质
1 i st f (t ) i F (s)e ds 2 i
(t 0)
上式右端亦称作 Laplace 反演积分.
13
定理 若 s1 , s2 , , sn 是函数 F ( s) 的所有奇点(适当 选取 使这些奇点全在 Re( s) 的范围内)，且 当 s 时，F ( s ) 0，则有
s 0 s 1
e ( s 1)2
st
e s s 0
st
'
(t 1)et +1，t 0
s 1
16
1 例 3 利用留数方法求 F ( s) 的 ( s 1)( s 2)( s 3) Laplace 逆变换.
1 解：函数 F ( s ) 在 z 平面上 ( s 1)( s 2)( s 3) 具有三个奇点 s 1，s 3 和 s 2，且它们都 是一阶极点. 从而
1 F [ f (t )] i
1 F (s) L [ f (t )dt ]= L [ f (t )] 0 s s t t t 1 F ( s) L [ dt dt f (t )dt ] n L [ f (t )] n 0 0 s s 0
n次
11
5’、象函数的积分性质
从而根据位移性质可得，
k L [e sin kt ] (Re( s a ) 0) 2 2 (s a) k
at
4
3、延迟性质
F [ f (t t0 )] e
it0
F [ f (t )]
F [ f (t t0 )] eit0 F [ f (t )]
若 t 0 时，f t 0，则对任一非负实数 t0，有 L f t t0 e 亦可写作 L f t t0 u t t0 e
2.1 Laplace变换的概念
例 求函数 f (t)=e-2t的Laplace变换。
解
根据Laplace变换的定义，有
这个积分在Re(s) >-2时收敛, 而且有
所以
其实当k为复数时，上式也是成立的，只是收敛区间为
Re(s) >Re(k)。
2. Laplace变换的存在定理
从上面的例题可以看出，Laplace变换存在的条 件要比 Fourier 变换存在的条件弱得多，但是对一个
O
t
对函数 j (t) u(t) e-b t (b >0)取Fourier变换, 可得
其中
若再设
则得
由此式所确定的函数 F (s)，实际上是由 f (t) 通过一
种的变换得来的，这种变换我们称为 Laplace 变换。
定义 设函数 f (t) 当t 0 时有定义, 而且积分 (s是一个复参量) 在 s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为
根据附录公式(20)，在a=2，b=3时，可得
下面再按定义验算，得
例8 求sin 2t sin 3t的 Laplace 变换 解
例9 求
的 Laplace 变换。
解
这个函数可以变换，可得
然后由附录中公式(17)，在
时，可以得到
例9 求
的 Laplace 变换。
解
总之，查表求函数的 Laplace 变换要比按定义去 做方便得多，特别是掌握了 Laplace 变换的性质，再
例1 求单位阶跃函数 解 根据 Laplace 变换的定义, 有
的Laplace 变换。
这个积分在 Re(s)>0时收敛, 而且有
所以
例2 求指数函数 f (t)=ekt的Laplace变换(k为实数)。 解 ;k时收敛, 而且有