韦恩(Venn)图

韦恩(Venn)图
韦恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。

韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法，在高中课本中虽然没有给出过多的说明，但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。

类型
交集并集补集
定
义
由所有属于A且属
于B的元盍所组成
的集合，叫做的交
集.记作AHB
(读作仏交跻)，
即 A fl B-(z)xeA»且
xeB}.
由所有属于集合A或
属于集合B的元盍所
组成的集合，叫做
A.B的并集.记作’
AUB (读作7并B
")，即A U B
={x|xeAi 或xeB))・
设U是一个集合，A是U的一
个子集.由U中所有不属于典
的元素组成的集合，凹做U中
子集壷的补集(或余集)
记作M即
Venn
图<30
C®)
性
质
A n A—A
盘n B-BHA
A Q B^A
AflBcS
AU A=A
AU 0=A
AUB=BIJA
AUBn A
nEss
AU(0M>=U
AD
容斥原理：有■限集A的兀素个数记作card(A.).对于两个有r限集乩有card(A
UB)= card(A)+canXB> card(直CiB'
一、在数学中的应用：
1、并集U定义：取一个集合，设全集为I , A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A U B o
2、交集G定义：(交就是取两个集合共同的元素) A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。

A和B的交集写作“ A H B”形式上：x属于A H B当且仅当x属于A且x属于
Bo
(1)取一个集合，设全集为I， A B是I中的两个子集，X为A和B的相交部分，则集合间有如下关系：A H B= X, A+ B= A U B-X;
(2)取一个集合，设全集为I , A、B、C是I中的两个子集，A A H C, E= B H C, F=A H B，x为A、B C的公共部分，即x= A H B H C,则集合间有如下关系：A U B U C= A+ B+ C- A H B- A H C- B H C+ A H B
n C ; A U B U C= A+ B+ C—只重合两次的-2 X只重合三次的。

二、运用韦恩（Venn）图解题“三层次
由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图一一用图一一构图。

1、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示。

例1:如图，I是全集，M P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）。

A（Mn P）n S B、（Mn P）U S C、（M n P）n ei S D、（Mn P）U ei S
解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是Mn P），且在S的外部（转化为集合语言就是ei S ），故选（C）。

例2:用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（
A (A U B) — ( A n B)
B 、e U (A n B)
A内且B外（转化成集合语言就是A n e u B），右边部分在B内且
A外（转化成集合语言就是e u A n B），故选（C）。

0
2、用图
例3:设u是全集，非空集合P、Q满足厚Q U,若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集° ,则这个运算表达式可以是________________________ （只要写出一个表达式）。

解：将集合语言用韦恩图表示，极易得到其多种答案：⑴
e
r uQ n P；（2）p n（e uF n Q）；⑶ e「uc n（P U Q）；
等等。

A I = A U
B B 、I = e i A U B
C 、I = A U
D 、I = eA U e£
解：根据题意，易得B A,画出韦恩图，显然I= A U e I B，故选（C）
C (A n e u B)U( e u A n B)
D 、e u (A U B)n e u (A n B
)
解：阴影有两部分，左边部分在
例4:已知全集i = N n€ 2｝，贝U
(
例5:设全集U= {x|0 v x< 10, x € N+}，若A H B= {3} , A G euB= {1 , 5, 7} , e u A A euB= {9},求A,
Bo
分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷。

解：由U=｛1，2，3,…，9｝，据题意，画韦恩图，如右图，易得A= ｛1，3, 5, 7｝，B= ｛2，4, 6，8｝o
3、构图
对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了。

例6:某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14 人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U= ｛某班50名学生｝, A=｛会讲英语的学生｝, B=｛会讲日语的学生｝, A H B=｛既会讲英语又会讲日语的学生｝，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50- 22—14—6= 8（人）。

例7：50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确有40人，化学实验做得正确有31人,
两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？
解：设全集U=｛做理化实验的50名学生｝, A= ｛做对物理实验的学生｝, B= ｛做对化学实验的学生｝, A H B= ｛两种实验都做对的学生｝，并设Card （A H B）= x，则由韦恩图（图略），知40—x+ x+ 31 —x + 40= 50,解得x= 25。

即两种实验都做对有25人。

三、巧用韦恩图解决集合问题
解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上，又是适当的变通也会让我们更好的解决问题。

在集合的教学中就出现了多类问题单凭数去做不容易，对集合的表示方法中韦恩图法也就成了一个很好的工具。

1、给元素找一个“家”
集合离不开元素，集合中元素的分配寻找是集合这一章中经常出现的问题。

例8:设集合U={a, b, c, d, e}，若A H B={b}, (
C U A)H B={d}, ( C U A)H( C U B ) ={a , e}，则
元素c在哪?
分析：倘若解此题按照一般方法步骤求解将会涉及到五个集合（A, B, C U A
,
C U B
, U）中元素
的关系很难理清。

观察此五个集合，我们不妨借助韦恩图来解决。

解析：将全集U画成是矩形如图，因为A H B=｛b｝,所以说A, B两集合有且只有一个共同的元素b, 又（
C U A）H B=｛d｝，所以说d C U A即『A且d B.我们又能将元素d安排好位置；同理（C U A）H
(C U B ) ={a, e}所以说a, e C U A且a, e C U B，即a, e A, a, e"B,即a, e 在集合中除了A,
B之外的部分。

已知中所给出的三个条件都用完了我们可以看出除了阴影部分外不能在放元素c,故而c位于阴影部分，即A且eV。

利用此方法我们很快就可以给元素c找到一个合适的位置了，在解决此题时即快又准
2、找找有几个元素
例9:集合A中含有12个元素，集合B中含有8个元素，集合A H B中含有3个元素，则集合A U B中含有多少个元素？
关于元素个数问题在课本中的阅读材料中给出了说明也给出了解此类问题的方法。

可用公式card (A
U B) =card (A) +card (B) -card (A H B)求解，也可以用韦恩图来求解。

解析：因为A H B中有3个元素，所以说A、B所共同占有的部分有3个元素，又A中含有12个元素，所以说仅在A且不在B中的元素有9个，同理仅在B且不在A中的元素有5个，因此，集合A U B中含有9+3+5=17个元素。

由此可见借助韦恩图去寻找元素的个数比较容易。

3、应用韦恩图巧解实际应用问题
例10:某班有54名同学，其中会打篮球的有36人，其余的不会；会打排球的人数比会打篮球的多4人，其余的不会；另外，这两种球都不会打的人数是都会打的人数的1/4还少1,问既会打篮球又会
打排球的有多少人？
分析：用韦恩图画出示意图，借助图形去分析解决此问题，使复杂的问题简单化，借助方程去求解。

解析：不妨设54名同学组成的集合为S,会打篮球的同学组成的集合为A,会打排球的同学组成的集合为B,两种球都会打的同学组成的集合为C,设C中有元素x个即既会打篮球又会打排球的同学有x 人，则(36-x ) + (40-x ) + (1/4-1 ) =54,则x=28,所以说既会打篮球又会打排球的同学有28人。

通过图示先将无形的东西转化成有形，再将有形的东西转化成方程去求解是复杂的问题简单化
由此可见，借助韦恩图去解决一些集合问题是非常容易的，因此在解集合题时也要注意数与行的结合。