几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
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(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
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多项式增长模型
1 定义和特征
多项式增长模型描述的是随着自变量的变化，因变量按照多项式的形式增长。
2 例子和应用
多项式增长模型常用于描述销售额、温度变化等波动性较大的现象。
3 多项式增长的局限性
多项式增长模型的高次项往往会导致过拟合，不适用于长期预测。
总结与展望
1
不同增长模型的比较和选择
选择合适的增长模型需要综合考虑实际情况、数据特征和模型的解释能力。
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# 几类不同增长的函数模型 ## 概述 - 函数模型的基本概念 函数模型是描述现实世界中各种现象和变化规律的数学工具。 - 增长函数模型的意义和应用 增长函数模型可以帮助我们理解不同变化规律，预测未来发展趋势，以及优化决策分析。
线性增长模型
定义和特征
线性增长模型描述的是随 着自变量的变化，因变量 按照恒定的比例增长。
例子和应用
线性增长模型可以用于描 述时间与距离的关系、人 口增长等方面。
线性增长的局限性
线性增长模型假设变量之 间的关系是直线的，但实 际情况往往更加复杂。
指数增长模型
1
定义和特征
指数增长模型描述的是随着自变量的
例子和应用
2
变化，因变量按照指数倍数增长。
指数增长模型常用于描述物种繁殖、
科技发展等快速增长的现象。
3
理解指数增长的关键因素
指数增长的关键因素包括增长率、初 始值和增长时间。
对数增长模型
定义和特征
对数增长模型描述的是随着自 变量的变化，因变量按照对数 倍数增长。
例子和应用
对数增长模型可以用于描述股 票市场、地震强度等非线性增 长的现象。
对数增长的特点和意义
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长
差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函
数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛
应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
第14讲 几类不同增长的函数模型(提高)
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较12log x ，12x ，12x⎛⎫⎪⎝⎭的大小．举一反三：【变式1】 比较13x⎛⎫⎪⎝⎭、13x 、13log (1)x x >的大小．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足9()nAf n a bt=+，其中232t -=，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？AB O x =t举一反三：【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则函数y = f(x) 的图象大致为（）．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．例4．某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式； （2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【巩固练习】1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．y=50 B ．y=1000x C ．y=0.4·2x －1 D ．11000xy e =2．y 1=2x ，y 2=x 2，y 3=log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 13．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是y=3000+20x －0.1x 2（0＜x ＜240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台4．如右图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 运动，设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，而函数S=f (x)的图象是下图中的（ ）5．用计算器检验下列命题，其中真命题是（ ） A ．lg xy x=在（1，+∞）上是单调函数 B ．lg x y x =，x ∈（1，+∞）时，值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．lg xy x =，x ∈（1，+∞）时，y 有最小值 D ．lg xy x=（x ＞1）随着x 的增大而越来越接近于06．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-7．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0＜x ≤40）（克）的函数，其表达式为________．8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是 ．9．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/100 kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t60 100 180种植成本Q116 84 116 t 的变化关系：Q at b =+，2Q at bt c =++，t Q a b =⋅，log b Q a t =⋅．利用你选取的函数，求：（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； （2）最低种植成本是____________元/100kg ． 10．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g （t ）=80－2t （件），价格近似满足于115,(010)2()125,(1020)2t t f t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．11．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧张现象．。
几类不同增长的函数模型教案
几类不同增长的函数模型教案不同的增长函数模型可以涵盖各种实际问题和数学概念。
以下是几个常见的函数模型以及它们的教学案例。
一、线性函数模型线性函数模型是最简单也是最容易理解的增长模型之一、在这个模型中，函数的增长率是恒定的，即每单位自变量增加都会导致固定的因变量增加。
这种模型可以用来解释一些日常生活中的现象，例如物体的匀速直线运动。
教学案例：以匀速直线运动为例，教师可以带领学生观察一个滚动的球，并记录下球滚动的时间和球滚动的距离。
通过分析数据，学生可以发现球滚动的距离与时间成正比，即球滚动的距离是时间的线性函数。
教师可以引导学生使用公式来表示这种线性关系，并使用此关系预测未来的球滚动距离。
二、指数函数模型指数函数模型中，增长率是以指数的形式增加或减少的。
这种模型适用于许多和复利相关的问题，如存款利息、细菌繁殖等。
教学案例：以细菌繁殖为例，教师可以给学生一个初始细菌数量，并告诉他们每小时细菌数量翻倍。
学生可以使用指数函数模型来表示细菌数量随时间的增长。
他们可以计算出不同时间点的细菌数量，并观察到数量的指数增长。
通过这个案例，学生可以理解指数函数模型的概念，并应用这个概念解决实际问题。
三、对数函数模型对数函数模型与指数函数模型相反，其增长率是逐渐减少的。
这种模型适用于许多与收益递减相关的问题，如广告效果的衰减、物种灭绝等。
教学案例：以广告效果的衰减为例，教师可以让学生观察一则广告的点击次数随时间的变化。
学生可以发现广告的点击次数一开始会快速增加，但随着时间的推移增长速度逐渐减慢。
通过绘制折线图并使用对数函数模型来拟合数据，学生可以更好地理解对数函数模型的特点，并预测广告点击数的未来情况。
四、多项式函数模型多项式函数模型是基于多项式函数的增长模型，适用于许多实际问题，如多项式曲线拟合、物体的轨迹等。
教学案例：以轨迹为例，教师可以引导学生观察一个投掷物体的轨迹，并记录下物体在不同时间点的位置信息。
学生可以通过数据拟合一条多项式曲线来表示物体的轨迹，并通过这个模型来预测物体下一步的位置。
几类不同增长的函数模型
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值， 列不等式求k的范围．
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m－ x 解：(1)由题意得 y＝ kx( ) m x ＝ kx(1－ )(0≤x<m)． m k k m km (2)y＝－ x2＋ kx＝－ (x－ )2＋ . 2 4 m m m km ∴当 x＝ 时， y 最大＝ ， 2 4 即鱼群年增长量的最大值为 km t. 4
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增 长．
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温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题， 如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y， 可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用 到这个函数式．
＝13(1＋1%)3(亿)． ∴经过年数与(1＋1%)的指数相同， ∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
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(2)理论上指数函数定义域为R. ∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数， ∵1＋1%>1,13>0，
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的
单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等
问题．
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2 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为 0.5 万元， 但 每生产 100 台，需要追加可变成本(即另增加投入)0.25 万元．市场对 x2 此产品的年需求量为 500 台，销售收入的函数为 R(x) ＝ 5x － ( 万 2 元)(0≤x≤ 5)，其中 x 是年产量(单位：百台) ． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
几类不同增长的函数模型1线性函数、指数函数和
线性函数的图像
线性函数的图像是一条直线，其斜率为 m，截距为 b。 当 m > 0 时，图像从左下到右上上升；当 m < 0 时，图像从左上到右下下降。
当 b = 0 时，图像经过原点。
线性函数的应用
在物理学中，线性函数常用于描述正比关系，如速度与 时间的关系。
在工程学中，线性函数用于控制系统和电路的分析。
在经济学中，线性函数用于描述收入与工作时间的关系。 在统计学中，线性函数用于回归分析和预测模型。
02 指数函数
定义与性质
定义
指数函数是一种数学函数，其形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是自变 量，y 是因变量。
性质
指数函数具有非负性、正值性和单调 性等性质，其值域为 (0, +∞)，当底 数 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数。
实例
在经济学中，复利计算就是一种典型的指数函数应用，本金加上利息一起计算 利息，随着时间的推移，累积的财富会以指数方式增长。
03 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作f(x) = logₐx (a>0且a≠1)，其定义域为正实数集。
性质
对数函数在其定义域内是单调递增或递减的，取决于底数a的取值。当a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函 数是递减的。
几类不同增长的函数模型1
目 录
• 线性函数 • 指数函数 • 对数函数 • 幂函数
01 线性函数
定义与性质
线性函数是数学中一类简单的 函数，其图像是一条直线。
线性函数的一般形式为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截 距。
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。
几类不同增长的函数模型 课件
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． 第四步：再转译成具体问题作出解答．
题型一 一次函数模型的应用 【例 1】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元， 其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水 进行处理，并准备实施．
2．解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解、认真审题． 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背 景中概括出来的数学实质．在此基础上，分析出已知什么，求 什么，涉及哪些知识．审题时要抓住题目中的关键量，善于联 想、化归，实现应用问题向数学问题的转化． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 一般地设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根 据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问 题的数学化，即所谓建立数学模型．
题型三 对数函数的模型 【例 3】 (12 分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究 燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝ 5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 审题指导 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式 分别给变量赋值，求出另外的量．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污 水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方 米污水需付 14 元的排污费．问： (1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境， 又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策 呢？
321《几类不同增长的函数模型》.docx
课题：§3.2.1儿类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对儿种常见增长类型的两 数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差界性；收集一些社会生活中普遍使用的函数 模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函 数、对数函数等函数与现实批界的密切联系及其在刻呦现实问题屮的作用. 教学重点：重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差界，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学程序与环节设计:选择变址、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论 模型，体会不同函数模型增长的含义及其差界.总结例题的探究方法，并进一步探索研究幕函数、指 数函数、对数函数的增反差异，形成结论性报告.师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基木方法，规范基木格式.收集一些社会住活■ I 噌遍使丿U 的函数模型, 模型的广泛应川.实际问题引入，激发学生兴趣.了解函数教学过程与操作设计:环节教学内容设计师生双边互动材料：澳大利亚兔了数“爆炸”师：指出：一般而言，在在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、理想条件（食物或养料充嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了足，空间条件充裕，气候创脑筋.1859年，冇人从欧洲带进澳洲儿只兔子，适宜，没有敌害等）下，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，利|群在一定时期内的增长设兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了大致符合“J”型曲线；在整个澳大利亚，数量达到75亿只.对爱的兔子变有限环境（空间有限，食情得可恶起来，75亿只兔了吃掉了相当于75亿只物有限，有捕食者存在等）羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊中,种群增长到一定程度境是澳人利亚的主要牲口.这使澳人利亚头痛不已，后不增长，曲线呈“S”他们采用各种方法消灭这些兔了，直至二十世纪型.可用指数函数描述一五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分Z个种群的前期增长，用对九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气. 数函数描述后期增长的例1.假设你有一•笔资金用于投资，现有三师：创设问题情境，以问种投资方案供你选择，这三种方案的冋报如下：题引入能激起学生的热方案一：每天冋报40元；情，使课堂里的有效思维方案二：笫一天回报10元，以后每天比前一天多回报1（）元；增强.方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回生：阅读题目，理解题意，组报比前•天翻•番. 思考探究问题.请问，你会选择哪种投资方案？师：引导学生分析本例中织探究：的数量关系，并思考应当1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函选择怎样的函数模型來描数描述这些数量关系？述.探究生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差界，特别是指数爆炸，说2）分析解答（略）出白己的发现，并进行交流.师：引导学生观察表格中3）根据例1表格中所提供的数据，你对三三种方案的数量变化情种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么况，对于“增加量”进行认识？比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等.环节教学内容设计师生双边互动组织探究4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势.生：对三种方案的不同变化趙势作出描述，并为方案选择捉供依据.师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每犬的收益，还要考虑一段时间内的总收益.生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出木全的完整解答，然后全班进行交流.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到1（）万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润兀（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x y = log7 x + ly = 1.002、・问：其屮哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪儿类函数模型？本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的彫响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况.生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异.师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模烈的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择.环节呈现教学材料师生互动设计组织探究3)通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答.生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合耍求.师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答.探究与发现幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幕函数y = x n (n > 0) >指数函数y = a ' (a>l)、对数函数y = log。
必修1-3.2.1-2几种不同增长的函数模型
教
堂
师
互 动
∴f(2 012)>g(2 012)>g(6)>f(6)．
பைடு நூலகம்备 课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教 学 方 案 设 计
1. 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增 长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间
当 堂 双 基 达 标
课 的．
前 自 主
课
自
时
主
导 学
【答案】 D
作 业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
当 堂 双 基 达 标
课 前
用(
)
课
自
主 导
A．一次函数
B．二次函数
时 作 业
学
C．指数型函数
D．对数型函数
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教 学 方 案 设 计
当 堂 双 基
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可 达 标
课 前
知，只有 D 选项对数型函数符合题设条件，故选 D.
标
课
前 自
和建立数学模型．
课 时
主 导 学
【VIP专享】几种不同增长的函数模型
700
800
900
1000
110
-50
-100
-150
-200
-250
当x [10,1000]时， f (x) f (10) 0.3167 0
满足条件二。 因此：模型y=log7x+1最符合 公司要求。
作业 课本120页第2题
总结 指数函数： y 2x 对数函数： y log2 x
幂函数： y x2 (x 0)
在足够大的范围内指数函数的增长速 度大于幂函数的增长速度大于对数函 数的增长速度。
考虑
当0<a<1,n<0时，函数均单调减了， 它们的减小趋势如何？
对数增长平缓
25
指数与二次增长迅速
20
图象有两个交点
15
10
5
-4
-2
-5
-10
2
4
6
8
10
12
14
5500
当自变量较大时，
5000
指数增长速度
4500
远远大于二次。
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
10
20
30
40
50
60
70
-500
考虑图象
结论
总存在一个x0，当x>x0时，ax>xn; 总存在一个x1，当x>x1时，xn>logax
由图象可知，方案一是常数函数，而 方案二和方案三的函数都是增函数， 但增长情况不同。 （1）看每天的回报：1—3天，方案一多； 在第4天，方案一和方案二一样多，方 案三最少；5—8天，方案二最多；第9 天开始，方案三最多。 （2）看每日回报数还是看累计回报数？
几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型在我们的日常生活和各种科学领域中，函数模型扮演着极其重要的角色。
它们能够帮助我们理解和预测事物的变化趋势，为决策提供有力的依据。
今天，咱们就来聊聊几类常见的不同增长的函数模型。
首先，咱们来谈谈线性函数模型。
这可以说是最简单直观的一种了。
线性函数的表达式通常是 y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是截距。
斜率 k 决定了函数的增长速度，如果 k 是正数，函数就会随着 x 的增大而增大；如果 k 是负数，函数就会随着 x 的增大而减小。
比如说，你每天固定工作 8 小时，每小时工资 50 元，那么你的日收入和工作天数之间的关系就是一个线性函数，y ＝ 50x，其中 x 是工作的天数，y 是你的总收入。
这种函数模型的增长速度是恒定的，不会出现突然加快或者减慢的情况。
接下来，再看看指数函数模型。
指数函数的一般形式是 y ＝ a^x ，其中 a 是底数且 a ＞ 0 且a ≠ 1 。
当 a ＞ 1 时，函数呈现出爆炸式的增长；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数则是急剧下降的。
想象一下，把一笔钱存入银行，年利率是 5%，如果按照复利计算，那么多年后你的存款金额和时间的关系就可以用指数函数来表示。
开始的时候增长可能不太明显，但随着时间的推移，增长速度会越来越快。
然后是对数函数模型。
对数函数通常的形式是 y ＝logₐ x ，其中 a是底数。
它的增长速度是相对缓慢的。
比如说，测量声音的强度，就是用对数函数来表示的。
声音强度每增加一定的倍数，人们感觉到的音量变化并不是等比例的，而是相对较小的，这就符合对数函数的特点。
咱们再对比一下这几种函数模型的增长特点。
线性函数是匀速增长，就像你在平坦的道路上以稳定的速度行走。
指数函数则像是跑步冲刺，一开始可能不明显，但很快就会加速飞奔。
而对数函数呢，更像是慢慢爬坡，虽然一直在前进，但速度相对较慢。
在实际应用中，我们要根据具体的问题选择合适的函数模型。
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(3)由04.≤75xx≤－50.5x2－0.5≥0 或x1>25－0.25x≥0 得 0．1≤x≤5 或 5<x≤48，即 0.1≤x≤48. ∴产品年产量在 10 台到 4800 台时工厂不亏本．
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类型三
指数函数、对数函数模型应用题
●想一想：当0<a<1，n<0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函 数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？
提示：如下图所示：
对于函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)尽管都是 减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，y＝ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n<0)的 衰减速度，而y＝logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在 一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.
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温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函 数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这 些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关 系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的 单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等 问题．
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热点提示 学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些 特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类 函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律 后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.
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(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？
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思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法 求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
解：(1)由图象可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点 B(30,35)，C(30,15) 分别代入 y1，y2 得 k1＝15，k2＝12.
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3．2.1 几类不同增长的函数模型
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目标要求 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快 慢． 2．理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义． 3．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题． 4．培养对数学模型的应用意识.
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类型一
线性函数模型应用题
【例1】 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话 采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市 范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别 如图(1)、图(2)所示．
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1．三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性
图象的变化
y＝ax (a>1)
单调递增
随x增大逐 渐上升
y＝logax (a>1)
单调递增
随x增大逐 渐上升
y＝xn (n>0)
单调递增
随x增大逐 渐上升
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2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)增长速度的对比： (1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋ ∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由 于 ax 的 增 长 快 于 xn 的 增 长 ， 因 此 总 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 会 有 ax>xn. (2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0， ＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的 增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.
＝412.7－5x0－.205.x5x2－x>05.5. 0≤x≤5，
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(2)当 0≤x≤5 时，工厂所得利润才可能最大． L(x)＝4.75x－0.5x2－0.5 ＝－12(x－4.75)2＋10.78125. ∴当 x＝4.75 时，得 L(x)max＝10.78125(万元)． ∴年生产 475 台时利润最大．
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2 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元，但
每生产 100 台，需要追加可源自成本(即另增加投入)0.25 万元．市场对
此产品的年需求量为
500
台，销售收入的函数为
R(x)＝5x－
x2 2
(万
元)(0≤x≤5)，其中 x 是年产量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值， 列不等式求k的范围．
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解：(1)由题意得 y＝kx(m－ m x) ＝kx(1－mx )(0≤x<m)． (2)y＝－mk x2＋kx＝－mk (x－m2 )2＋k4m. ∴当 x＝m2 时，y 最大＝k4m， 即鱼群年增长量的最大值为k4mt. (3)由题意可得 0≤x＋y<m，即 0≤m2 ＋k4m<m， ∴－2≤k<2， 又∵k>0，∴0<k<2.
∴y1＝15x＋29(x≥0)，y2＝12x(x≥0)．
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(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜； 当 x>9623时，y1<y2，即如意卡便宜．
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3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
x1 3 5 7
9
11
y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数，指数函数，幂函数变化的变量依次为
温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识 图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原 点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解 析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目 中的信息，读懂图象是关键．
本题关键是能根据实际情况，建立一次函数的数学模型，再利 用方程或不等式使问题得以解决．
【例3】 1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞 生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口 数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增 减有什么实际意义．
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x
0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.595 6.063
8
10.55 … 6
y＝x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56 …
y＝log2x
－ 2.322
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但 是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图 略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案：y1
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5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
()
A．y1，y2，y3 C．y3，y2，y1
B．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2
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解析：通过指数函数，对数函数，幂函数等不同函数模型的增 长规律比较可知：对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化 符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规 律；幂函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决 这类问题是中等数学的重要应用方向之一．这类问题解决的关键是理 解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它 在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的 值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具 体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解．
解：设学校计划购买 x 把餐椅，到甲、乙两商场购买后需费用分 别为 y1、y2，依题意有
y1＝200×12＋50(x－12)＝50x＋1800， y2＝(200×12＋50x)×85%＝825x＋2040， 令 y1<y2，即 50x＋1800<825x＋2040， 解得 x<32. 故当购买的餐椅少于 32 把时，到甲商场更优惠．
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