2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 18含答案解析
【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 10含解析
随堂巩固训练(10)1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112－1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.求： (1) 向量2α＋3β在T M 作用下的象；(2) 向量4Mα－3Mβ.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 的作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．4. 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ(0<θ<2π)所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (0<k <1)所对应的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－1120，求k ，θ的值．答案与解析随堂巩固训练(10)1. 解析：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 所以x ＋y ＝72. 2. 解析：(1) 因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122， 所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. 故向量2α＋3β在T M 作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2) 4Mα－3Mβ＝M (4α－3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7090. 3. 解析：由题意得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1. 对于直线2x －y ＋1＝0上的任意一点(x ，y )，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y ， 所以在矩阵MN 对应的变换作用下，平面上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来纵坐标的相反数，故曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.4. 解析：依题意，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－1120， 从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，－sin θ＝－1，k sin θ＝12，k cos θ＝0.因为0<θ<2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2，k ＝12.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 11 Word版含解析
随堂巩固训练(11)1. 已知A ＝，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求矩阵AB 的逆矩阵．(用两种方法求解)2. 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2153，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤411，试解方程AX ＝B .3. 已知线性变换T 1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换T 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 对应的矩阵为N . (1) 写出矩阵M 、N ；(2) 若直线l 在矩阵NM 对应的变换作用下得到方程为y ＝x 的直线，求直线l 的方程．4. 若圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换下变成椭圆E ：x 24＋y 23＝1，求矩阵A 的逆矩阵A －1.答案与解析随堂巩固训练(11) 1. 解析：方法一：先求出AB ，再求出(AB )－1，由题意得A ＝，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001＝，故(AB )－1＝.方法二：先求出A －1，B －1，再求出B －1A －1即为AB 的逆矩阵．由题意得A ＝，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001， 所以A －1＝，B －1＝，故(AB )－1＝B －1A －1 ＝＝. 2. 解析：由已知可求得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－52， X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－52⎣⎢⎡⎦⎥⎤411＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 3. 解析：(1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003. (2) NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－230， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－230⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝x ′，3x ＝y ′，由题意得y ′＝x ′，则3x ＝－2y ，所以直线l 的方程为3x ＋2y ＝0.4. 解析：设点P(x ，y)为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by . 因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上， 所以a 2x 24＋b 2y 23＝1. 又圆的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 24＝1，b 23＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 又a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝3，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120033.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 18
随堂巩固训练(18)1. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2. 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和的最小值为________．3. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是__________．4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1AF ＋1BF ＝________．5. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，QF →＝3FP →，则直线l 的斜率为________．6. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，准线l ：x ＝－32，点M 在抛物线C 上，点A在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF ＝－3，则△AFM 的面积为________．7. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，与它的准线交于点P ，则ABAP＝ ________．8. 过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB＝________．9. 已知P ，Q 是抛物线x 2＝1a y(a>0)上的两点，过P ，Q 两点的不同切线交于点M ，若△MPQ 是等边三角形，则△MPQ 的面积为________．10. 过抛物线y 2＝4x 的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝ ________．11. 已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)． (1) 求抛物线的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．12. 已知过点Q ⎝⎛⎭⎫92，0的直线与抛物线C ：y 2＝4x 交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (1) 求证：y 1·y 2为定值；(2) 若△AOB 的面积为814，O 为坐标原点，求直线AB 的方程．13. 已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．答案与解析随堂巩固训练(18)1. x 2－y 23＝1 解析：由题意得，抛物线的准线为x ＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e ＝c a ＝2，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.2. 5 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F ，故点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和最小时，P ，A ，F 三点共线，d min ＝AF ＝（－1－1）2＋12＝ 5.3. 3 解析：由题意得F ⎝⎛⎭⎫14，0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1.因为A ，B 位于x 轴两侧，所以y 1y 2＝－2.故S △ABO ＋S △AFO ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝|2y 1＋y 1|＋18×|y 1|＝|2y 1＋98y 1|≥3，当且仅当2y 1＝98y 1时，取等号，此时△ABO与△AFO 面积之和最小值3.4. 1 解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1.设过点F 的直线方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.令点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线性质可知AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1. 5. ±15 解析：过点P 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为P 1，设PF ＝k ，由抛物线性质可得PF ＝PP 1＝k ，QF ＝3k ，QP ＝4k ，在Rt △PQP 1中，QP 1＝（4k ）2－k 2＝15k ，则tan ∠QPP 1＝15，故直线l 的斜率为±15.6. 93 解析：由题意得抛物线C ：y 2＝6x ，焦点F ⎝⎛⎭⎫32，0.又因为k AF ＝－3，MA ⊥l ，所以∠MAF ＝60°，又由抛物线性质得AM ＝FM ，故△AFM 为等边三角形．又AF ＝2FO 12＝4FO ＝6，故S △AFM ＝12×6×6×sin 60°＝9 3.7. 23 解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83p ，即有x 1＋x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立抛物线方程，消去y 并整理得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，AP ＝4p ，故AB AP ＝23.8. 163解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y －1＝33x ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得14x 2－33x －1＝0，则x 1＋x 2＝433，x 1x 2＝－4，AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43（x 1－x 2）2＝43×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4332＋16＝163. 9.334a 2解析：由对称性可知点M 在y 轴上，则此时PM ，QM 的斜率分别为±3，y ＝ax 2，y′＝2ax ＝±3，故PQ ＝3a ，所以S △MPQ ＝12×3a ×3a ×sin 60°＝334a2. 10. 16 解析：由抛物线过焦点弦公式得AB ＝4（sin 30°）2＝4⎝⎛⎭⎫122＝16. 11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，且p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y. (2) 设点A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， 所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是y ＝x 14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，所以x M ＝84－x 1，同理x N ＝84－x 2，所以MN ＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2. 设直线AB ：y ＝k x ＋1，因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1， 得MN ＝82|4k 2＋116－16k －4|＝82k 2＋1|4k －3|.设4k －3＝t ，t ≠0， 所以k ＝3＋t4，①当t>0时，MN ＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t>22； ②当t<0时， MN ＝221＋25t 2＋6t＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥ 22×45＝852，所以此时MN 的最小值为852，此时t ＝－253，k ＝－43.综上所述，MN 的最小值为852.12. 解析：(1) 当直线AB 垂直于x 轴时，y 2＝4×92＝18，得y 1＝32，y 2＝－32，所以y 1·y 2＝－18.当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －92(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －92，y 2＝4x ，得ky 2－4y －18k ＝0， 由根与系数的关系可得y 1·y 2＝－18. 综上，y 1·y 2为定值．(2) 由(1)得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－18，AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1k2×72＋16k2.点O 到直线AB 的距离d ＝|－9k|4k 2＋4，S △OAB ＝12×1＋1k2×72＋16k 2×|－9k|4k 2＋4＝814.解得k ＝±43.直线AB 的方程为y ＝±43⎝⎛⎭⎫x －92，即4x ＋3y －18＝0或4x －3y －18＝0. 【注】①分直线与x 轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x 轴垂直时直接求出y 1y 2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y 1y 2为定值；②利用弦长公式求出AB 的长度，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式求得k 值，则直线AB 的方程可求．13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C 的方程x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c>0，解得c ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2) 抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y′＝12x.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中y 1＝14x 21，y 2＝14x 22)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程xx 0－2y 0－2y ＝0的两组解， 所以直线AB 的方程为xx 0－2y 0－2y ＝0.。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练4含解析
随堂巩固训练(4)1. 下列说法错误的是__②__．(填序号)①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题是“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题为真命题； ③“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”．解析：①显然正确；②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题是“若方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m>0”．由Δ＝1－4×(－m)≥0得m ≥－14，所以是假命题，故②错误；③当x ＝4时，x 2－3x －4＝42－3×4－4＝0，所以“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件，故③正确；④显然正确，故选②.2. “a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的__充分不必要__条件．解析：“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”等价于a ＋1>2x在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即a ＋1≥2，解得a ≥1，因为“a>1”是“a ≥1”的充分不必要条件，故“a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．3. 已知命题p ：0<m<1；命题q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则命题p 是q 的__充要__条件．解析：若0<m<1，则椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上；若椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则0<m<1，故命题p 是q 的充要条件．4. 已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则“ac<0”是“该方程有实数根”的__充分不必要__条件．解析：若实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0，即ac ≤0.若“ac<0”则推得出“ac ≤0”，故充分性成立；若“ac ≤0”，则推不出“ac<0”，故必要性不成立，故“ac<0”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．5. 设向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，则“a ∥b ”是“tanθ＝12”的__必要不充分__条件．解析：若a ∥b ，则sin2θ－cos 2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0，解得cosθ＝0或tanθ＝12，故“a ∥b ”是“tanθ＝12”的必要不充分条件． 6. 设a ，b ∈R ，则“log 2a>log 2b”是“2a －b >1”的__充分不必要__条件．解析：因为log 2a>log 2b ，所以0<b<a ；因为2a －b >1，所以a>b ，所以“log 2a>log 2b ”是“2a－b >1”的充分不必要条件．7. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的__充分不必要__条件．解析：若k ＝2，则f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，故充分性成立；若f(x)＝2x －(k 2－3)2－x 是奇函数，则f(0)＝0，即20－(k 2－3)＝0，解得k ＝±2，故必要性不成立，所以“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的充分不必要条件．8. 若“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，则实数m 的取值范围是__[3，＋∞)__．解析：由3x ＋m<0，解得x<－m 3；由x 2－2x －3>0，解得x<－1或x>3.因为“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，所以－m 3≤－1，解得m ≥3，故实数m 的取值范围是[3，＋∞)．9. 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的__充分不必要__条件．解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1，所以数列{b n }是等差数列，故充分性成立；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，故必要性不成立，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件．10. 已知命题p ：|x －a|<4；命题q ：(x －1)(2－x)>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__[－2，5]____．解析：由|x －a|<4，解得a －4<x<a ＋4，即命题p ：a －4<x<a ＋4；由(x －1)(2－x)>0，解得1<x<2，即命题q ：1<x<2.因为p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥2，解得－2≤a ≤5，故实数a 的取值范围是[－2，5]．11. 已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a>0；命题q ：实数x 满足2<x ≤3.(1) 若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解析：(1) 由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0.因为a>0，所以a<x<3a.所以当a ＝1时，命题p ：1<x<3.若“p ∧q ”为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2) 设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以因为B ＝(2，3]，A ＝(a ，3a)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(1，2].12. 设命题p ：函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a 16的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立.(1) 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 如果p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得ax 2－x ＋a 16>0对任意x ∈R 恒成立， 当a ＝0时，x<0，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝1－a 24<0，解得a>2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．(2) 令t ＝3x ，因为x ∈R ，所以t>0.令g(t)＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 所以g(t)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝14.因为不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立，所以a －m>14，即a>m ＋14. 设A ＝{a|p(a)}＝(2，＋∞)，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫m ＋14，＋∞. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以，所以m ＋14<2，所以m<74， 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，74. 13. 已知命题p ：指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数；命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.(1) 若q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要条件，求实数t 的取值范围.解析：(1) 若q 是真命题，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，它是开口向上的抛物线． 因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）＝a 2－4≥0，－－3a 2＝3a 2>3，f （3）＝32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a>2，a<2或a>52，所以a>52. 故当命题q 是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫52，＋∞.(2) 因为指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数，所以2a －t>1，即a>t ＋12. 设A ＝{a|p(a)}＝⎝⎛⎭⎫t ＋12，＋∞，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞， 因为p 是q 的必要条件，所以，所以t ＋12≤52，所以t ≤4. 故实数t 的取值范围是(－∞，4]．。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练18 Word版含解析
随堂巩固训练(). 若曲线＝的一条切线的斜率是－，则切点的坐标为(－，)．解析：由题意得′＝，令′＝＝－，解得＝－，故切点坐标为(－，)．. 已知函数()＝－在区间[，]上的平均变化率为，则＝．解析：由题意，得＝，即＝，解得＝.. 已知()为偶函数，当<时，()＝(－)＋，则曲线＝()在点(，－)处的切线方程是＋＋＝．解析：因为()是偶函数，当<时，()＝(－)＋，所以当>时，－<，则()＝(－)＝－，所以′()＝－，所以′()＝－＝－.又因为点(，－)在()＝－的图象上，所以所求切线方程为＋＝－(－)，即＋＋＝..已知直线＝与函数()＝(其中为自然对数的底数)的图象相切，则实数的值为，切点坐标为(，)．解析：设切点坐标为(，)，则解得＝，＝＝，所以的值为，切点坐标为(，)．. 若曲线()＝－＋存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是[，＋∞)．解析：因为()＝－＋，定义域为(，＋∞)，所以′()＝－＋.因为函数()的图象存在垂直于轴的切线，所以′()存在零点，即关于的方程＋－＝有解，所以＝＋≥(当且仅当＝时取等号)．. 曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程为＝＋．解析：由题意得′＝＋＋，当＝时，′＝.因为点(，)在曲线上，所以切线方程为－＝(－)，即＝＋.. 已知曲线＝－在点＝处的切线与曲线＝－在点＝处的切线互相平行，则的值为或－．解析：对于函数＝－，′＝，对于＝－，′＝－.由题意可得＝－，解得＝或＝－.. 曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为．解析：由题意得′＝.因为点(，)在曲线＝上，所以曲线＝在点(，)处的切线的斜率为，相应的切线方程为－＝(－)．当＝时，＝－；当＝时，＝，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积为..已知曲线：()＝－＋，若过曲线外一点(，)引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为．解析：由()＝－＋，得′()＝－.设切点为(，－＋)，所以′()＝－，所以过切点的切线方程为－＋－＝(－)(－)．因为切线过点(，)，所以－＋－＝(－)(－)，解得＝或＝，所以′()＝－，′＝－.由两条切线的倾斜角互补，得－＝－，解得＝.. 已知()＝－，则过原点且与()的图象相切的直线方程为＝(－)．解析：设切点坐标为(，－)．由题意得＝′()＝－，所以切线方程为＝(－)，联立解得＝，所以切线方程为＝(－).. 已知曲线＝＋.() 求曲线在点(，)处的切线方程；() 求曲线过点(，)的切线方程．解析：() 因为点(，)在曲线＝＋上，且′＝，所以曲线在点(，)处的切线的斜率为＝，所以曲线在点(，)处的切线方程为－＝(－)，即－－＝.() 设曲线＝＋与过点(，)的切线相切于点，则切线的斜率为＝，所以切线方程为－＝(－)，即＝－＋.因为点(，)在切线上，所以＝－＋，即－＋＝，解得＝－或＝，故所求的切线方程为－＋＝或－－＝..设≠，(，)是函数()＝＋与()＝＋的图象的一个公共点，且两函数的图象在点处有相同的切线．() 用表示，，；() 若函数＝()－()在区间(－，)上单调递减，求实数的取值范围．解析：() 因为函数()，()的图象都过点(，)，所以()＝，即＋＝.因为≠，所以＝－.因为()＝，即＋＝，所以＝.又因为函数()，()的图象在点(，)处有相同的切线，所以′()＝′()．又′()＝＋，′()＝，所以＋＝.将＝－代入上式得＝，所以＝＝－，故＝－，＝，＝－.。
2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练80含参考解析
随堂巩固训练(80)1. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 12 . 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P ＝816＝12. 2. 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 310 . 解析：由题意得基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310. 3. 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为 112 . 解析：基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112. 4. 从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 15 . 解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)共5个，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝525＝15. 5. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 35 . 解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 6. 某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 35 . 解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7. A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是 89Ｗ. 解析：因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}.当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b ，所以A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 8. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为 512. 解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a|a 2＋b 2.当d ＜2时，直线与圆相交，则由d ＝|2a|a 2＋b2＜2，解得b ＞a.满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 9. 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 47 . 解析：当方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)共4种，所以所求概率P ＝47. 10. 设a ∈{1，2，3，4}，b ∈{2，4，8，12}，则函数f(x)＝x 3＋ax －b 在区间[1，2]上有零点的概率为 1116. 解析：因为f(x)＝x 3＋ax －b ，所以f′(x)＝3x 2＋a.因为a ∈{1，2，3，4}，因此f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，2]上为增函数. 若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a.因此可使函数在区间[1，2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，4，8；a ＝2，3≤b ≤12，故b ＝4，8，12；a ＝3，4≤b ≤14，故b ＝4，8，12；a ＝4，5≤b ≤16，故b ＝8，12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 11. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球.(1) 若用数组(x ，y ，z)中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z)的所有情形，一共有多少种？(2) 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由.解析：(1) 数组(x ，y ，z)的所有情形为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种.(2) 记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3，4，5，6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，所以P(A 3)＝18，P(A 4)＝38，P(A 5)＝38，P(A 6)＝18，摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大，故猜4或5获奖的可能性最大.12. 暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查. 如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点.(1) 求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2) 求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率.解析：(1) 由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13. (2) 由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况如下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B)，(B ，A)，(B ，C)，(C ，B)，因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49. 13. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.解析：(1) 由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数量为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数量为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数量为6×721＋14＋7＝1. 因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量分别为3，2，1.(2) ①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种.②“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”记为事件B ，所有可能的结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种，所以P(B)＝315＝15.。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练4 Word版含解析
随堂巩固训练(). 下列说法错误的是②．(填序号)①命题“若－－＝，则＝”的逆否命题是“若≠，则－－≠”；②命题“若>，则方程＋－＝有实数根”的逆命题为真命题；③“＝”是“－－＝”的充分条件；④命题“若＋＝，则＝且＝”的否命题是“若＋≠，则≠或≠”．解析：①显然正确；②命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆命题是“若方程＋－＝有实数根，则>”．由Δ＝－×(－)≥得≥－，所以是假命题，故②错误；③当＝时，－－＝－×－＝，所以“＝”是“－－＝”的充分条件，故③正确；④显然正确，故选②.. “>”是“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．解析：“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”等价于＋>在∈(，＋∞)上恒成立，即＋≥，解得≥，因为“>”是“≥”的充分不必要条件，故“>”是“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．. 已知命题：<<；命题：椭圆＋＝的焦点在轴上，则命题是的充要条件．解析：若<<，则椭圆＋＝的焦点在轴上；若椭圆＋＝的焦点在轴上，则<<，故命题是的充要条件．. 已知实系数一元二次方程＋＋＝，则“<”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．解析：若实系数一元二次方程＋＋＝有实数根，则Δ＝－≥，即≤.若“<”则推得出“≤”，故充分性成立；若“≤”，则推不出“<”，故必要性不成立，故“<”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．. 设向量＝(θ，θ)，＝(θ，)，则“∥”是“θ＝”的必要不充分条件．解析：若∥，则θ－θ＝，即θ(θ－θ)＝，解得θ＝或θ＝，故“∥”是“θ＝”的必要不充分条件．. 设，∈，则“>”是“－>”的充分不必要条件．解析：因为>，所以<<；因为－>，所以>，所以“>”是“－>”的充分不必要条件．. 若函数()＝－(－)·－，则“＝”是“函数()为奇函数”的充分不必要条件．解析：若＝，则()＝－－，(－)＝－－＝－()，函数()是奇函数，故充分性成立；若()＝－(－)－是奇函数，则()＝，即－(－)＝，解得＝±，故必要性不成立，所以“＝”是“函数()为奇函数”的充分不必要条件．. 若“＋<”是“－－>”的充分条件，则实数的取值范围是[，＋∞)．解析：由＋<，解得<－；由－－>，解得<－或>.因为“＋<”是“－－>”的充分条件，所以－≤－，解得≥，故实数的取值范围是[，＋∞)．.已知数列{}，{}满足＝＋＋，则“数列{}为等差数列”是“数列{}为等差数列”的充分不必要条件．解析：若数列{}为等差数列，设其公差为，则＋－＝(＋＋＋)－(＋＋)＝＋－＝，所以数列{}是等差数列，故充分性成立；若数列{}为等差数列，设其公差为，则＋－＝(＋＋＋)－(＋＋)＝＋－＝，不能推出数列{}为等差数列，故必要性不成立，所以“数列{}为等差数列”是“数列{}为等差数列”的充分不必要条件．.已知命题：－<；命题：(－)(－)>，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是[－，]．解析：由－<，解得－<<＋，即命题：－<<＋；由(－)(－)>，解得<<，即命题：<<.因为是的必要不充分条件，所以解得－≤≤，故实数的取值范围是[－，]．. 已知命题：实数满足－＋<，其中>；命题：实数满足<≤.() 若＝，且“∧”为真，求实数的取值范围；() 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解析：() 由－＋<得(－)(－)<.因为>，所以<<.所以当＝时，命题：<<.若“∧”为真，则为真且为真，所以实数的取值范围是(，)．() 设＝{()}，＝{()}．因为是的必要不充分条件，所以.因为＝(，]，＝(，)，所以解得<≤，所以实数的取值范围是(，].. 设命题：函数()＝的定义域为；命题：不等式－<－对任意∈恒成立.() 如果是真命题，求实数的取值范围；() 如果是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解析：() 由题意得－＋>对任意∈恒成立，。
2020高考数学一轮复习名师随堂巩固练16附答案解析
可知最前的点与最后的点之间的距离的最小值为
v2 16× 20 千米时，时间最快，所以 y＝
v 20
2× 16＋
v
400
v
＝ 25＋ v ≥2
v 400
v 400
25× v ＝ 8，当且仅当 25＝ v ，即 v＝100 时等号成立，所以
最快需要 8 小时．
6. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为
－ 所 x 2) ，
2x＋ 2 等腰梯形的高为 1－ x2，所以 S＝ 2 (1－x 2)＝ (x ＋1)(1－ x2)， 0＜ x＜1，求导可以得到当
1
32
x＝ 3时， S 取最大值 27.
7. 某工厂引入一条生产线，投入资金 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本 w(x) ，当
2
年产量不足 80 千件时， w(x) ＝13x2＋10x(万元 )，当年产量不小于
2020 高考数学一轮复习名师随堂巩固练 16
1. 某商品的进货单价为 40 元 /个，按单价每个 50 元售出，能卖出 50 个．若零售价在 50 元 /个的基础上每上涨 1 元，其销售量就减少 1 个，为了获得最大利润， 则此商品的最佳零售 价是 __70__元 /个．
解析： 设最佳零售价为 (50＋ x) 元/个，利润为 y 元，则 y＝(50＋ x－ 40)(50－x) ＝－ x2＋ 40x ＋ 500＝－ (x －20)2＋ 900(0<x<50) ，所以当 x＝20 时， y 取得最大值，所以最佳零售价为 70 元 / 个．
3. 某驾驶员喝了 1 000mL 某种酒后， 血液中的酒精含量 f(x)(mg/mL) 随时间 x(h) 变化的规
律近似满足表达式
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 12含解析
随堂巩固训练(12)1. 已知矩阵A ＝，若矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特[33c d ][11]征值1的一个特征向量为α2＝.求矩阵A 的逆矩阵．[3－2] 2. 已知矩阵A ＝，若点P (1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－8)．[1－1a 1](1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．[10][01]3. 若矩阵A有特征向量i＝和j＝，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1.(1) 求矩阵A及其逆矩阵A－1；(2) 求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；[x y](3) 对任意向量α＝，求A100α.4. 设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1) 求矩阵M的特征值及相应的特征向量；x2 4y2 9(2) 求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下得到的新曲线的方程．答案与解析随堂巩固训练(12)1. 解析：由矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6×，[11][33c d ][11][11]即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c －2d [3－2][33c d ][3－2][3－2]＝－2，解得即A ＝，{c ＝2，d ＝4，)[3324]所以矩阵A 的逆矩阵是.[23－12－1312]2. 解析：(1) 由＝，得a ＋1＝－8，[1－1a 1][11][0－8]所以a ＝－9.(2) 由(1)知A ＝，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝＝(λ－1)2－9＝λ2－[1－1－91]|λ－119λ－1|2λ－8，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.3. 解析：(1) 设矩阵A ＝，那么根据题意可得＝2×，即[a b c d ][a b c d ][10][10]{a ＝2，c ＝0，)＝－1×，即[a b c d ][01][01]{b ＝0，d ＝－1，)故矩阵A ＝，逆矩阵A －1＝.[200－1][1200－1](2) 逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝，属于特征值λ′1的一个特征向量可12以取m ＝，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n ＝.[01][10](3) 由于α＝＝x ＋y ＝x i ＋y j ，[x y ][10][01]则A 100α＝xλi ＋yλj ＝2100x ＋y ＝.10011002[10][01][2100x y ]4. 解析：(1) 由题意可得 M ＝，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝||＝(λ－2)(λ[2003]λ－200λ－3－3)，令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝2，λ2＝3.将λ1＝2代入二元一次方程组{（λ－2）x ＝0，（λ－3）y ＝0，)x 为任意非零实数，y ＝0，取x ＝1，故λ1＝2对应的一个特征向量为，[10]同理得λ2＝3对应的一个特征向量为.[01](2) M －1＝，设点(x ′，y ′)为椭圆上任意一点，(x ，y )为经过M －1作用后的点．[120013]则＝＝，即[120013][x ′y ′][12x ′13y ′][x y ]{x ＝12x ′，y ＝13y ′，)则代入椭圆方程得＋＝1，即为x 2＋y 2＝1，故在逆矩阵M －1作用下，椭{x ′＝2x ，y ′＝3y ，)4x 249y 29圆＋＝1变换的新的曲线方程为x 2＋y 2＝1.x 24y 29。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练第十六章选修4 18 Word版含解析
随堂巩固训练()
.
已知抛物线：＝的准线过双曲线－＝(>，>)的一个焦点，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为．
.
设是抛物线＝上的一个动点，则点到点(－，)的距离与点到点(，)的距离之和的最小值为．
. 已知是抛物线＝的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，·＝，则△与△面积之和的最小值是．
. 过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于，两点，则＋＝．
.
已知抛物线：＝(>)焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于，两点，＝，则直线的斜率为．
.
已知抛物线：＝(>)焦点为，准线：＝－，点在抛物线上，点在准线上，若⊥，且直线的斜率＝－，则△的面积为．
.
已知抛物线：＝(>)的焦点为，过点且倾斜角为°的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，与它的准线交于点，则＝．
. 过抛物线＝的焦点作一条倾斜角为°的直线交抛物线于，两点，则＝．
.
已知，是抛物线＝(>)上的两点，过，两点的不同切线交于点，若△是等边三角形，则△的
面积为．
. 过抛物线＝的焦点且倾斜角为°的直线交抛物线于，两点，则＝．
. 已知抛物线的顶点为(，)，焦点为(，)．
() 求抛物线的方程；
() 过点作直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线：＝－于，两点，求的最小值．
. 已知过点的直线与抛物线：＝交于两点(，)，(，)．
() 求证：·为定值；
() 若△的面积为，为坐标原点，求直线的方程．。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练第十六章选修4 14 Word版含解析
随堂巩固训练()
. 点的极坐标为，化为直角坐标是；点的直角坐标为(－，－)，化为极坐标是．
. 过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的极坐标方程是．
. 在极坐标系中，θ＝(ρ≥)，θ＝(ρ≥)和ρ＝所表示的曲线围成的图形面积是．
. 在极坐标系中，若△的三个顶点为，，，则三角形的形状为．
. 在极坐标系中，求圆ρ＝θ上的点到直线θ＝(ρ∈)距离的最大值．
.
在以为极点的极坐标系中，圆ρ＝θ和直线ρθ＝相交于，两点．当△是等边三角形时，求的值．
. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ＝θ.
() 过极点的一条直线与圆相交于，两点，且∠＝°，求的长．() 求过圆上一点作圆的切线，求切线的极坐标方程．
随堂巩固训练()。
2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 15含答案解析
随堂巩固训练(15)1. 点M 的直角坐标为(－3，3)，化为极坐标是________；点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－2π3，化为直角坐标是________．2. 极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为________________，极坐标方程ρsin 2 θ－2cos θ＝0表示的曲线是________．3. 以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π4为圆心且经过极点的圆的极坐标方程为______________．4. 在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ和ρsin θ＝2的位置关系是__________．5. 极点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3的距离是________．6. 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．7. 在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，过点M ⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为____________．8. 在极坐标系中，已知P 为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上的任意一点．求点P 到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．9. 在极坐标系中，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，求r 的值．10. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．随堂巩固训练(15)1. ⎝⎛⎭⎫23，2π3 (－2，－23) 解析：ρ＝（－3）2＋32＝23，tan θ＝3－3＝－3，θ在第二象限，故θ＝2π3，即点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，2π3；由x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－23，故点P 的直角坐标为(－2，－23)．2. 一条直线或一个圆 抛物线 解析：由题意可得ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，故cos θ＝0或ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x ＝0或x 2＋y 2＝4y ，即该极坐标方程表示的曲线为一条直线或一个圆；ρsin 2θ－2cos θ＝0化为直角坐标方程为y 2－2x ＝0，即该极坐标方程表示的曲线为方程是y 2＝2x 的抛物线．3. ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 解析：点C ⎝⎛⎭⎫2，－π4化为直角坐标为(2，－2)，则半径为r ＝（2）2＋（2）2＝2，所以该圆的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，化为极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 4. 相切 解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.ρsin θ＝2化为直角坐标方程y ＝2，则该圆的圆心到直线的距离d ＝1＝r ，故该直线和圆相切．5.62 解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3化为直角坐标方程为x ＋y －3＝0，则原点到直线的距离d ＝|0＋0－3|12＋12＝62. 6. 3 解析：点⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即圆心为(1，0)，则点(1，3)到圆心(1，0)的距离d ＝02＋（3）2＝ 3.7. 22 解析：曲线C 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点M 化为直角坐标为(23，2)，则切线长为l ＝（23）2＋02－4＝8＝22，故切线长为2 2.8. 解析：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －7＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝8，直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线距离d ＝|0－1－7|12＋12＝4 2.又因为P 为圆上的任意一点，故点P 到直线的距离的最小值为22，最大值为6 2.9. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0.曲线ρ＝r ，即圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝||0－3×0－21＋3＝1.因为直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1. 10. 解析：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心(2，0)，半径为2的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A(4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线与圆的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6，连结OB. 因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝23，因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章 8含解析
随堂巩固训练(8)1. 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的均值是________．2. 设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝c ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1，2，3，c 为常数，则c 的值为________．3. 设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，k ，如果P(X<3)＝0.4，那么k 的值为________．4. 一用户在打电话时忘记了最后三个号码，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X ，则随机变量X 的可能值共有________个．5. 已知随机变量ξ的可能取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________．6. 袋中有4只红球和3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤7)＝__________．(用分数表示结果)7. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院．其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1) 求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；(2) 设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的概率分布．8. 袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取2个球．(1) 若2个球颜色不同，求不同取法的种数；(2) 在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．9. 2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩排名金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下表：(1)概率；(2) 若从一班至二班的调查对象中随机各选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．答案与解析随堂巩固训练(8)1. 35 1 解析：从袋子中的6个球中等可能的摸出3个球，有C 36＝20(种)结果，ξ＝1表示摸出1个白球2个红球，有C 12·C 24＝12(种)结果，故P(ξ＝1)＝1220＝35；ξ＝0表示摸出0个白球3个红球，有C 02·C 34＝4(种)结果，故P(ξ＝0)＝420＝15；ξ＝2表示摸出2个白球1个红球，有C 22·C 14＝4(种)结果，则P(ξ＝2)＝420＝15，故ξ的均值为E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1. 2.2738 解析：当k ＝1时，P(X ＝1)＝23c ；当k ＝2时，P(X ＝2)＝49c ；当k ＝3时，P(X ＝3)＝827c.又因为P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1，即23c ＋49c ＋827c ＝1，解得c ＝2738.3. 5 解析：当X<3时，X 为1或2，又P(X<3)＝0.4，所以该随机变量的个数为20.4＝5，故k ＝5.4. 24 解析：由于最后三个数字两两不同，且都大于5，则可能的数字为6，7，8，9四个，则取法有A 34＝24(种)．5. 25 解析：由题意设P(ξ＝1)＝p ，则ξ的概率分布如下：由E(ξ)＝1，可得p ＝35，所以V(ξ)＝15×(0－1)2＋35×(1－1)2＋15×(2－1)2＝25.6. 1335 解析：由题意可得ξ的可能取值为4，6，8，10，其中P(ξ＝4)＝C 44C 47＝135，P(ξ＝6)＝C 34C 13C 47＝1235，所以P(ξ≤7)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝1335.7. 解析：(1) 设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则P(A)＝C 13C 27＋C 03C 37C 310＝4960. 故选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为4960.(2) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X ＝k)＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，所以P(X ＝0)＝16，P(X ＝1)＝12，P(X ＝2)＝310，P(X ＝3)＝130，所以随机变量X 的概率分布为8. 解析：(1) 2个球颜色不同的情况共有C 4·4＝96(种)． (2) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则 P(X ＝0)＝4·C 2496＝14，P(X ＝1)＝3·C 14·C 1396＝38，P(X ＝2)＝2·C 14·C 1396＝14，P(X ＝3)＝C 14·C 1396＝18，所以随机变量X 的概率分布为所以E(X)＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝54.9. 解析：(1) 在被抽取的50人中，持满意态度的学生共有36人，持满意态度的频率为3650＝1825，据此估计高三年级全体学生中随机抽取一名学生持满意态度的概率为1825. (2) ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝C 24C 25·C 27C 29＝610×2136＝720，P(ξ＝1)＝C 14C 25·C 27C 29＋C 24C 25·C 17C 12C 29＝410×2136＋610×1436＝715，P(ξ＝2)＝C 14C 25·C 17C 12C 29＋C 24C 25·C 22C 29＝410×1436＋610×136＝31180，P(ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 29＝410×136＝190，所以ξ的分布列为所以ξ的期望值为E(ξ)＝0×720＋1×715＋2×31180＋3×190＝3845.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章 9含解析
随堂巩固训练(9)1. 已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ，则P(X ＝2)＝________．(6，13)2. 事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝，P(BC)＝，P(ABC)＝，则P(B)＝________，161818P(AB)＝__________．3. 甲、乙、丙三人在同一个办公室工作，办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相161312互独立，则这三个电话是打给同一个人的概率为________，这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为________．4. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．5. 计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格，相互之间45231256没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率________． 6. 设某动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是________．7. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点收费标准是每车每次租车不超过两个小时免费，超过两个小时的部分每小时收费标准为2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率1412分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．1214(1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．8. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1) 求甲以4比1获胜的概率；(2) 求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3) 求比赛局数的概率分布．9. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互1223独立．(1) 分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2) 若比赛结果为3∶0 或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布和数学期望．答案与解析随堂巩固训练(9)1. 解析：P(X ＝2)＝C ×＝.8024326(13)2 (23)4 802432. 解析：由题意可得事件A ，B ，C 相互独立，则P(ABC)＝P(AB)P(C)，可得P(C)＝1213，则P(C)＝.又P(BC)＝P(B)P(C)，则P(B)＝，故P(B)＝.亦可求得P(A)＝，则P(AB)＝3414121213×＝.2312133. 解析：由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，16572则这三个电话是打给同一个人的概率为＋＋＝；三个电话中恰有两个是打给甲(16)3 (13)3 (12)3 16可以看作是n ＝3，P ＝的独立重复试验，则所求概率为P 3(2)＝C ×＝.1623(16)2 565724. 0.72 解析：设“一批种子发芽”为事件A ，P(A)＝0.9，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成长为幼苗)．已知种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.5. 解析：由题意可得，甲合格而乙不合格的概率为××＝，乙合23454512(1－23×56)845格而甲不合格的概率为××＝，故恰有一人获得“合格证书”的概率为＋2356(1－45×12)13845＝.1323456. 解析：设“由出生算起活到10岁”为事件A ，“由出生算起活到15岁”为事件AB ，23则P(B|A)＝＝＝.P （AB ）P （A ）0.60.9237. 解析：(1) 分别记“甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车”为事件A ，B ，则P(A)＝1－－＝，P(B)＝1－－＝.141214121414故甲、乙在三个小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为，.1414(2) 记“甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元”为事件C ，则P(C)＝＋＋(×＋×＋×)＝，(14×12)(14×14＋12×12)12141412141434故甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为.348. 解析：(1) 由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.12记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)＝C ××＝.34(12)3 (12)4－31218(2) 记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P 1＝C ××＝，35(12)3 (12)5－312532乙以4比3获胜的概率为P 2＝C ××＝，36(12)3 (12)6－312532所以P(B)＝P 1＋P 2＝.516(3) 设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7.P(X ＝4)＝2C ＝，4(12)4 18P(X ＝5)＝2C ××＝，34(12)3 (12)4－31214P(X ＝6)＝2C ××＝，35(12)3 (12)5－312516P(X ＝7)＝2C ××＝，36(12)3 (12)6－312516故比赛局数的概率分布为X 4567P18145165169. 解析：(1) 设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝××＝，232323827P(B)＝C ××＝， 23(23)2 (1－23)23827P(C)＝C ××＝.24(23)2 (1－23)2 12427(2) X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝，1627P(X ＝1)＝P(C)＝，427P(X ＝2)＝C ×××＝，24(1－23)2 (23)2 (1－12)427P(X ＝3)＝＋C ×××＝.(13)3 23(13)2 231319故X 的概率分布为X 0123P162742742719故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.16274274271979。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 17
随堂巩固训练(17)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，5π3，B ⎝⎛⎭⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ. (1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．随堂巩固训练(17)1. 垂直 解析：ρ cos (θ－α)＝a 化为x cos α＋y sin α＝a ，θ＝α可化为x sin α－y cos α＝0.因为cos α sin α－sin α cos α＝0，所以这两条直线垂直．2. (3，－3) 解析：将直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝16得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6.将t 1，t 2代入参数方程，得⎩⎨⎧x 1＝2，y 1＝－23，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝0，所以AB 的中点坐标为(3，－3)． 3. 14 解析：直线l 化为直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22，所以AB ＝24－12＝14.4. ρ cos θ＝2 解析： 点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为(0，2)，故过点(2，2)的圆的切线方程为x ＝2，化为极坐标方程是ρ cos θ＝2.5. 4 解析：点A ⎝⎛⎭⎫3，5π3化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，－332，点B 化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，故A ，B 两点间的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32＋122＋⎝⎛⎭⎫－332－322＝4. 6. 22－2 解析：圆C 化为直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，直线l 化为直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故圆上的动点P 到直线l 的最短距离为d ＝|0－2－2|12＋12－2＝22－2.7. 22 解析：射线化为直角坐标方程y ＝x(x ≥0)，圆化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，两式联立消y 得2x 2－4x ＝0，即x 2－2x ＝0，故射线与圆的交点为(0，0)，(2，2)，所以射线被圆截得的弦长为22＋22＝2 2.8. 1 解析：点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，故点到直线的距离d ＝|3－3＋2|1＋（－3）2＝1.9. 2 解析：直线化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，圆化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，两式联立消x 得4y 2＝1，所以直线与圆的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫32＋1，12，⎝⎛⎭⎫－32＋1，－12，故AB ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32＋1－⎝⎛⎭⎫－32＋12＋⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫－122＝2. 10. (2，－4) 解析：曲线C 1化为直角坐标方程为x ＋y ＋2＝0.将曲线C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(2，－4)．11. 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程． 圆ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94； 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t即2x －y ＝3，所以圆心在直线上．所以截得的弦长为3.12. 解析：(1) 消去参数t ，得直线的直角坐标方程为y ＝2x －3；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρ sin θ＋ρ cos θ)， 由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρ cos θ，y ＝ρ sin θ，得圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2) 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．13. 解析：(1) ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ两边同时除以ρ2，可得1＝364ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ，即1＝364x 2＋9y 2，故直角坐标方程x 29＋y 24＝1.(2) 设点P(3cos θ，2sin θ)，则3x ＋4y ＝9cos θ＋8sin θ＝145sin (θ＋φ)， 当sin (θ＋φ)＝1时，3x ＋4y 的最大值为145.。
2020江苏高考数学一轮复习学案：第十六章选修4 第16课 常见曲线的参数方程 含解析.docx
____第16课__常见曲线的参数方程____1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义．1. 阅读：选修44第42～47页．基础诊断1. 方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t为参数)表示的曲线是________________________________________________________________________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________．3. 参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 为参数)，且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)①线段；②双曲线；③圆弧；④射线． 4. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为________．范例导航考向参数方程与普通方程的互化例1 (1) 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程；(2) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)化为普通方程．在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上求一点，使它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t(t 为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．考向.例2已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝6(1) 写出直线l的参数方程；(2) 设直线l与圆2＋y2＝4相交于A、B两点，求点P到A、B两点的距离之积．点P(，y)是椭圆22＋3y2＝12上的一个动点，求＋2y的最大值．考向例3(1) 求2＋y 的取值范围；(2) 若＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．自测反馈1. P(，y)是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上任意一点，则(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆2＋y 2＝9截得的弦长等于________．3. 若P 为曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为________．4. 曲线C; ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程是________________________，如果曲线C 与直线＋y ＋a ＝0 有公共点，那么实数a 的取值范围是________．1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易被忽视．2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．3. 写出直线，圆，椭圆的参数方程：________________________________________________________________________.第16课 常见曲线的参数方程基础诊断1. 一条射线解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，得y ＝33，≥0，故该参数方程对应的曲线为一条射线．2. 2 解析：直线的普通方程为y ＝12，曲线的普通方程为(－2)2＋y 2＝1，则该曲线是以点(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d ＝|1|⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝255<1，所以直线与曲线的公共点的个数为2.3. ①解析：由题可得⎩⎨⎧t 2＝x －23，t 2＝y ＋1(t 为参数)，则x －23＝y ＋1，即－3y －5＝0，又0≤t ≤5，所以该曲线为线段，故选①.4. (3，－3) 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 22＝－－81×12＝4，所以AB 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，故AB 的中点坐标为(3，－3)．范例导航例1 解析：(1) 方法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝4，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.方法二：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8，相乘得()2x ＋y ()2x －y 64＝1，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.(2) 由⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)，①②因为θ∈R ，所以－1≤sin θ≤1，则－2≤≤ 2. 由①两边平方得2＝2sin 2θ，③ 由②得y －1＝2cos 2θ，④由③＋④得2＋y －1＝2，即y ＝－2＋3(－2≤≤2)， 故普通方程为y ＝－2＋3(－2≤≤2)．注：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出的取值范围．【教学处理】1. 参数方程的教学要求不要拔高．参数方程与普通方程互相转化时特别要注意等价性，本题是直线与圆的位置关系．2. 本题也可通过画图;解．解析：直线C 2化成普通方程是＋y ＋22－1＝0，设所求的点为P (1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|1＋cos θ＋sin θ＋22－1|2＝ |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2|.当θ＋π4＝3π2＋2π，∈，即θ＝5π4＋2π，∈时，d 取最小值1，此时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，－22. 例2 【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书． 解析：(1) 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)．(2) 将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，化简得t 2＋(3＋1)t－2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.解析：将椭圆22＋3y 2＝12化为x 26＋y 24＝1，设＝6cos θ，y ＝2sin θ， ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22(622cos θ＋422sin θ)＝22sin ()θ＋α≤22，其中tan α＝64， 故＋2y 的最大值为22.例3 解析：(1) 由题意得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，所以2＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝2， 所以－5＋1≤2＋y ≤5＋1. (2) ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，所以a ≥－cos θ－sin θ－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，所以a ≥2－1.自测反馈1. 36 解析：因为曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，所以(－5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sinθ＋4)2＝1＋9＋16－6cos θ＋8sin θ＝26－10sin (α－θ)，故(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.2. 1255 解析：把直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)代入圆2＋y 2＝9，得(2t －1)2＋(t ＋1)2＝9，化简得5t 2－2t －7＝0，故t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－75，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14425，所以直线被圆截得的弦长为5（t 1－t 2）2＝1255.3.2－1 解析：将题目中参数方程化为普通方程为(－1)2＋(y －1)2＝1，即该曲线表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆，所以点P 到原点最短距离为（0－1）2＋（0－1）2－1＝2－1.4. 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2] 解析：由题意得⎩⎨⎧cos θ＝x ，sin θ＝y ＋1(θ为参数)，所以2＋(y ＋1)2＝1.曲线C 是以(0，－1)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线＋y ＋a ＝0的距离为|－1＋a|2，又因为曲线与直线有公共点，则0≤|－1＋a|2≤1，即1－2≤a ≤1＋ 2.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修413含解析
黄冈市2019年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数学试题（考试时间120分钟满分120分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题共24分）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）1.的绝对值是A. B. C. D.2.为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为A. B. C. D.3.下列运算正确的是A. B. C. D.4.若1，2是一元一次方程的两根，则12的值为A.-5B.5C.-4D.45.已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A’的坐标是A.（6，1）B.（-2，1）C.（2，5）D.（2，-3）6.如图，是有棱长都相等的四个小正方体组成的几何体。
该几何体的左视图是7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为A.25mB.24mC.30mD.60m8.已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中表示时间，表示林茂离家的距离。
依据图中的信息，下列说法错误的是A.体育场离林茂家2.5kmB.体育场离文具店1kmC.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min第II卷（非选择题共96分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.计算的结果是_______________________.10.是________次单项式.11.分解因式_______________________.12.一组数据1，7，8，5，4的中位数是，则的值是 ___________________.13.如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD=80°，则∠DAC 的度数为 __________________.14.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为_____________.15.如图，一直线经过原点0，且与反比例函数（＞）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC。
新版高考数学精品一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 13 Word版含解析
随堂巩固训练(13)1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22－2，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，试计算M 9β.2. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22. (1) 求二阶矩阵A 的特征值和特征向量；(2) 计算A 2β.3. 在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P (x ，y )变换为点P ′(2x ＋y ，3x )．(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 求曲线4x ＋y －1＝0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．4. 已知甲、乙两个种群相互影响，其数列量分别为{a n }，{b n }，a 1＝20，b 1＝30，且有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝1.1a n －0.3b n ，b n ＋1＝0.2a n ＋0.4b n ，试求10个时段后甲、乙两个种群的数量．随堂巩固训练(13)1. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－32－2λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2. 令f (λ)＝0，得λ1＝2，λ2＝－1.当λ1＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ1＝－1时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. 又因为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＝α1＋2α2， 所以M 9β＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋(－1)9×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022508. 2. 解析：(1) 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4， 令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝3，λ2＝－1.当λ1＝3时，代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）x －2y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0，解得y ＝x ，令x ＝1， 所以属于特征值λ1＝3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11； 当λ2＝－1时，代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）x －2y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0，解得y ＝－x ，令x ＝1， 所以属于特征值λ2＝－1的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. (2) 由(1)知α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 令β＝m α1＋n α2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，解得m ＝2，n ＝0， 所以A 2β＝A 2(2α1＋0×α2)＝2×32⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1818. 3. 解析：(1) 设点P(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下所得的点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋y ，y ′＝3x ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130.又|2130|＝－3，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0131－23. (2) 设点A (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤0131－23⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ＝13y ′，y ＝x ′－23y ′，所以代入4x ＋y －1＝0，得4⎝⎛⎭⎫y ′3＋⎝⎛⎭⎫x ′－23y ′－1＝0，即变换后的曲线方程为3x ＋2y －3＝0. 4. 解析：由条件得转移矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.1－0.30.20.4， 由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1.10.3－0.2λ－0.4＝λ2－1.5λ＋0.5， 令f (λ)＝0得λ1＝0.5，λ2＝1，属于λ1＝0.5的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，属于λ2＝1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. 又由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2030＝m α1＋n α2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝2， 所以M 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝14×0.510×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2×110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤31≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，即10个时段后，甲种群的数量约为6，乙种群的数量约为2.。
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随堂巩固训练(18)1. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2. 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和的最小值为________．3. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是__________．4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1AF ＋1BF ＝________．5. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，QF →＝3FP →，则直线l 的斜率为________．6. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，准线l ：x ＝－32，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF ＝－3，则△AFM 的面积为________．7. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，与它的准线交于点P ，则ABAP＝ ________．8. 过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．9. 已知P ，Q 是抛物线x 2＝1a y(a>0)上的两点，过P ，Q 两点的不同切线交于点M ，若△MPQ是等边三角形，则△MPQ 的面积为________．10. 过抛物线y 2＝4x 的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝ ________．11. 已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)． (1) 求抛物线的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．12. 已知过点Q ⎝⎛⎭⎫92，0的直线与抛物线C ：y 2＝4x 交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (1) 求证：y 1·y 2为定值；(2) 若△AOB 的面积为814，O 为坐标原点，求直线AB 的方程．13. 已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．答案与解析随堂巩固训练(18)1. x 2－y 23＝1 解析：由题意得，抛物线的准线为x ＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e ＝c a ＝2，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 2. 5 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F ，故点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和最小时，P ，A ，F 三点共线，d min ＝AF ＝（－1－1）2＋12＝ 5.3. 3 解析：由题意得F ⎝⎛⎭⎫14，0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1.因为A ，B 位于x 轴两侧，所以y 1y 2＝－2.故S △ABO ＋S △AFO ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝|2y 1＋y 1|＋18×|y 1|＝|2y 1＋98y 1|≥3，当且仅当2y 1＝98y 1时，取等号，此时△ABO 与△AFO 面积之和最小值3.4. 1 解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1.设过点F 的直线方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.令点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线性质可知AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.5. ±15 解析：过点P 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为P 1，设PF ＝k ，由抛物线性质可得PF ＝PP 1＝k ，QF ＝3k ，QP ＝4k ，在Rt △PQP 1中，QP 1＝（4k ）2－k 2＝15k ，则tan ∠QPP 1＝15，故直线l 的斜率为±15.6. 93 解析：由题意得抛物线C ：y 2＝6x ，焦点F ⎝⎛⎭⎫32，0.又因为k AF ＝－3，MA ⊥l ，所以∠MAF ＝60°，又由抛物线性质得AM ＝FM ，故△AFM 为等边三角形．又AF ＝2FO 12＝4FO ＝6，故S △AFM ＝12×6×6×sin 60°＝9 3.7. 23 解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83p ，即有x 1＋x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立抛物线方程，消去y 并整理得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，AP ＝4p ，故AB AP ＝23.8.163 解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y －1＝33x ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得14x 2－33x －1＝0，则x 1＋x 2＝433，x 1x 2＝－4，AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43（x 1－x 2）2＝43×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4332＋16＝163. 9.334a2 解析：由对称性可知点M 在y 轴上，则此时PM ，QM 的斜率分别为±3，y ＝ax 2，y′＝2ax ＝±3，故PQ ＝3a ，所以S △MPQ ＝12×3a ×3a ×sin 60°＝334a2. 10. 16 解析：由抛物线过焦点弦公式得AB ＝4（sin 30°）2＝4⎝⎛⎭⎫122＝16. 11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，且p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y. (2) 设点A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， 所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是y ＝x 14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，所以x M ＝84－x 1，同理x N ＝84－x 2，所以MN ＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2. 设直线AB ：y ＝k x ＋1，因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1， 得MN ＝82|4k 2＋116－16k －4|＝82k 2＋1|4k －3|.设4k －3＝t ，t ≠0， 所以k ＝3＋t4，①当t>0时，MN ＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t>22；②当t<0时， MN ＝221＋25t 2＋6t＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥ 22×45＝852，所以此时MN 的最小值为852，此时t ＝－253，k ＝－43.综上所述，MN 的最小值为852. 12. 解析：(1) 当直线AB 垂直于x 轴时，y 2＝4×92＝18，得y 1＝32，y 2＝－32，所以y 1·y 2＝－18.当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －92(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －92，y 2＝4x ，得ky 2－4y －18k ＝0， 由根与系数的关系可得y 1·y 2＝－18. 综上，y 1·y 2为定值． (2) 由(1)得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－18，AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1k2×72＋16k2.点O 到直线AB 的距离d ＝|－9k|4k 2＋4， S △OAB ＝12×1＋1k2×72＋16k 2×|－9k|4k 2＋4＝814.解得k ＝±43.直线AB 的方程为y ＝±43⎝⎛⎭⎫x －92，即4x ＋3y －18＝0或4x －3y －18＝0. 【注】①分直线与x 轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x 轴垂直时直接求出y 1y 2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y 1y 2为定值；②利用弦长公式求出AB 的长度，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式求得k 值，则直线AB 的方程可求．13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C 的方程x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c>0，解得c＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2) 抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y′＝12x.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中y 1＝14x 21，y 2＝14x 22)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程xx 0－2y 0－2y ＝0的两组解， 所以直线AB 的方程为xx 0－2y 0－2y ＝0.。