玩转高数期末复习题(一)

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。

以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。

答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。

答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。

答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。

答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。

答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。

数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数下册期末试题及答案

高数下册期末试题及答案第一部分：选择题（共50题，每题2分，共100分）1. 某函数的导函数为f(x)=3x^2+2x-1，则该函数f(x)在x=1处的导数值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 92. 下列哪个极限是不存在的？A. lim(x→∞) 1/(1+x)B. lim(x→0) sin(1/x)C. lim(x→1) (x-1)/(x-1)D. lim(x→∞) e^(-x)3. 物体在空气中自由下落的速度v(t)与时间t之间的关系可以用下列哪个微分方程描述？A. v'(t) = g - kv(t)B. v'(t) = g - ktC. v'(t) = g - kv(t)^2D. v'(t) = g - k/v(t)...第二部分：填空题（共30题，每题3分，共90分）31. 若a=3，b=-2，则方程组3x+ay=1，bx-2y=5的解为x=___，y=___。

32. 设函数f(x)=sin(x)，则f''(x) = ___。

33. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必在该区间上有___。

...第三部分：解答题（共4题，每题15分，共60分）问题一：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，求f(x)的极值及对应的取值范围。

解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x，令其等于零，得到极值点x=0和x=2。

将这两个极值点代入原函数f(x)，可以求得f(0) = 1和f(2) = -1。

因此，函数f(x)的极值为1和-1，取值范围为[-1, 1]。

问题二：已知函数y = e^x / (1 + e^x)，求该函数的反函数及其定义域。

解答：为求反函数，首先将y = e^x / (1 + e^x)改写为x = ln(y / (1-y))。

然后交换x和y，得到y = ln(x / (1-x))。

因此，函数y = ln(x / (1-x))为原函数的反函数。

高数期末考试题及答案大全

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其在 $x=1$ 处的切线方程。

答案：首先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。

在 $x=1$ 处，导数值为 $f'(1) = -1$，函数值为 $f(1) = 0$。

切线方程为 $y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 $x = \tan(\theta)$，$dx = \sec^2(\theta) d\theta$。

则 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$。

利用二倍角公式，$\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}$。

积分变为 $\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C$。

高数一期末试题及答案

高数一期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. $ y = x^2 $B. $ y = x^3 $C. $ y = \sin(x) $D. $ y = \cos(x) $答案：C2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $ 的值是多少？A. 0B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. $ \infty $答案：B3. 微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的通解是：A. $ y = e^x $B. $ y = \sin(x) + \cos(x) $C. $ y = e^{2x} $D. $ y = x^2 $答案：B4. 曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线斜率是：B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $，则 $ f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案：$ 2x - 4 $2. 函数 $ y = \ln(x) $ 的不定积分是 $ \_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案：$ x\ln(x) - x + C $3. 曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 2x $ 的交点坐标是$ \_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案：$ (0,0) $ 和 $ (2,4) $4. 函数 $ y = e^{3x} $ 的二阶导数是 $ \_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案：$ 9e^{3x} $三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 $ \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx $。

\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 $ y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ 的极值。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

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高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、.11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A ) 2、[) ）答（和、　依赖于，不依赖于　依赖于　和　依赖于，不依赖于　依赖于　的值则，　上连续，且，在设函数t x s D s t C s t B t s A I t s dx sxt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C ) 3、cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I xdx I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec 3 则设答( A ) 4、答（）等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f k x'→-=≠'=⎰答( C ) 5、）答（是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B ) 6、)()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ ) 7、（）答是单调的　不为极植取极大值　取极小值处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰答( B ) 8、.)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=+-=⎰ 则设答(C ) 9、）答（不为常数　恒为零为负常数　为正常数则设)()()()()(,sin )(2sin D C B A x F tdt e x F x xtdt⎰+⎰=π答( C )10、设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于答　y f x x x x dy A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆答()C11、极限的值为．；．　．　．．答（）limtan sin x x xx A B b C D →-∞030112答( C ) 12、设　则点　是的极大值点是的极小值点　是的驻点但不是极值点不是的驻点答 lim()()(),()()()()()(),,()()()x af x f a x a x aA f xB f xC f xD f x →--=-=21答( A ) 13、[] 答（）无穷多内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a ⎰⎰+=> 答( B ) 14、[] ）答（要条件　既不是充分也不是必　充分必要条件充分条件　必要条件的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰-答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答必不取得极值能不取得极大值可能取得极大值也可　必有极小值必有极大值处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=答()C 16、cx D c x x x C c x x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(ln 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（）确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在，，设填: 12、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在，当，当填 : 1-3、已知是的一个原函数cos (),x xf x =⋅⎰x x xx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c x +2)cos (1　4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。

大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。

答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。

答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。

答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。

答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。

答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。

答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。

四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

高数期末试题及答案

高数期末试题及答案一、单选题1. 在坐标轴上，直线y = x - 2与y = 2x + 1相交于点（）。

A. (3, 1)B. (-1, -3)C. (1, -1)D. (2, -1)答案：C2. 设函数y = 2x^2 + 3x - 4的图像与x轴相交于两点，则这两点的横坐标之和为（）。

A. -3/2B. -3/4C. 3/2D. 3/4答案：D3. 设a为常数，若函数y = ax^2 + (2a - 2)x + a + 1与y轴相切，则a 的值为（）。

A. 1/2B. -1/2C. 2D. -2答案：A二、填空题1. 若f(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2，则f'(x) = （）。

答案：9x^2 + 8x - 52. 设f(x) = e^x + 2x，则f''(x) = （）。

答案：e^x + 23. 若a = |x + 2| - |x - 2|，则a的取值范围是（）。

答案：[-4, 4]三、计算题1. 计算极限lim(x→2) [(x - 2) / |x - 2|]。

解答：当x > 2时，(x - 2) / |x - 2| = 1。

当x < 2时，(x - 2) / |x - 2| = -1。

当x = 2时，(x - 2) / |x - 2|的极限不存在。

因此，极限lim(x→2) [(x - 2) / |x - 2|]不存在。

2. 求函数f(x) = 3x^3 - 2x的不定积分。

解答：对3x^3 - 2x进行积分，得到不定积分F(x) = ∫(3x^3 - 2x)dx。

根据不定积分的性质，∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。

应用该性质，可以得到F(x) = (3/4)x^4 - x^2 + C，其中C为常数。

4. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求f(x)的驻点和极值。

高数期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ . 答案：)1ln(x -解：x e u f u -==1)(2,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax xx x ,则=a . 答案：1解：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022.3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim.答案：4解：4)]1()1([)]1()31([lim0=-+--+→x f x f f x f x4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、=⎰xx 22cos sin .答案：C x x +-cot tan解：C x x xdxx dx dx x x x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x xx f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点；(C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='.答案：D5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(x f dx x f dxd⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.答案：B三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f xx-=--422)2(,求)2(+x f . 答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f tt t tt t , (3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f xxx xx . (6分)2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11coslim )1cos(lim (3分)11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n . (6分) 3、求极限)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， (3分)而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→nn n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→nn n n n n n n . (6分) 4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.答案：1解：xx x x x x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→xxx x x x . (6分)5、求函数xx y 1sin=的导数.答案：)11cos 1(21sin xx x xy x -=']1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1sin x x x x x ex x+-=)1sin 1ln 1cos 1(21sin xx x x x x x +-=. (6分)6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x解：方程两边对x 求导得：02ln =-'+'+y yy xy , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)1(1-='-=y k , (3分) 从而法线方程为：)1(11-⋅-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)7、求曲线12134+-=x x y 的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f , (3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34)1(=f ． (3分)(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3,1(．(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分) 8、计算⎰+xx dx)1(3．答案：C x x +-66arctan 66 俞诗秋解：⎰⎰⎰+===+=+==)1(6 ])(1[)()1(2352636366t t dtt x x dx x x dx x t t x (3分) ⎰⎰⎰+=-=+-+=2221 6 611)1( 6t dtdt dt t t ． C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)9、计算⎰xdx e x 2sin ．答案：C x x e x +-)2cos 2sin 21(104 解：⎰⎰⎰+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 212cos 212cos 212sin (3分)⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 412sin 412cos 212sin 412cos 21,∴C x x e xdx e x x +-=⎰)2cos 2sin 21(1042cos ． (6分)10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(1010=-=-===P P P PdP dQ Q P η, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=.证明: 令3)()(x x f x F =,623)(3)()(xx f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8)2()1()1(F f f F ===, 由罗尔定理知：)2,1(∈∃ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案【高数期末考试题及答案】一、选择题1. 高数的完整名称是什么？A. 高等数学B. 高级数学C. 高纯度数学D. 高度数学答案：A2. 常用的微积分法则中，“乘法法则”是指什么？A. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相加B. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相减C. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相乘D. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相除答案：C3. 下面哪个是高数中常用的极限符号？A. $lim$B. $lag$C. $limt$D. $sum$答案：A4. 函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$的定义域是什么？A. $[-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$B. $(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$C. $(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$D. $[-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$答案：D二、计算题1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+1$的导函数。

解答：将函数$f(x)$按导数的定义求导，得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$代入函数$f(x)$的表达式，化简得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x+\Delta x)^2-2(x+\Delta x)+1-(3x^2-2x+1)}{\Delta x}$展开并化简得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x^2+6x \Delta x+3(\Delta x)^2-2x-2 \Delta x+1-3x^2+2x-1}{\Delta x}$合并同类项并约去，得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}6x+3 \Delta x-2$由于$\Delta x$趋近于0时，$3 \Delta x$和2趋近于0，所以最后的结果为：$f'(x)=6x-2$答案：$f'(x)=6x-2$2. 求函数$F(x)=\int_0^x\frac{1}{1+t^3}dt$的原函数。

高等数学期末复习题与答案

高等数学2期末复习题一、填空题：1. 函数)3ln(12222y x y x z --+-+=的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 .2.设,)1(y x z +=则=∂∂yz(1)ln(1)y x x ++ . 3.函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)的全微分(1,2)dz= 1233dx dy +4．设,),(22y x xy y x f +=+则=),(y x f .设22(,),yf x y x y x+=-则=),(y x f .5.设v e z u sin = 而 xy u = y x v += 则=∂∂yz[sin()cos()]xy e x x y x y +++ 6．函数 22y x z += 在点1,2处沿从点1,2到点2,32+的方向导数是1+7.改换积分次序⎰⎰=2022),(y ydx y x f dy ；11(,)y dy f x y dx -=⎰ .8．若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧,则⎰Lxydx =9.微分方程22(1)0x x e dy ye dx ++=的通解为 . 二、选择题： 1．y xy y x )tan(lim)0,2(),(→ 等于上下求导A ．2, B.21D.不存在 2．函数 y x z -= 的定义域是 DA ．{}0,0),(≥≥y x y x B.{}y x y x ≥2),(C.{}y x y y x ≥≥2,0),( D ．{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(3.=∂∂),(00|),(y x xy x f B A.x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B.xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C.x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D. xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 0005.设)(22y x F z +=,且F 具有导数,则=∂∂+∂∂yzx z D A.y x 22+； B.)()22(22y x F y x ++； C. )()22(22y x F y x +'-； D. )()22(22y x F y x +'+. 6．曲线 t a x cos =,t a y sin =,amt z =,在 4π=t 处的切向量是 DA ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m - 7．对于函数xy x y x f +=2),( ,原点)0,0( AA ．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点8．设I=dxdy y x D⎰⎰-+5221, 其中D 是圆环4122≤+≤y x 所确定的闭区域,则必有A ．I 大于零小于零等于零不等于零,但符号不能确定; 9. 已知L 是平面上不包含原点的任意闭曲线,若曲线积分 220L xdx aydyx y-=+⎰ ,则a 等于 .A -1B 1C 2D -210．若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段,则曲线积分()Lx y ds +⎰=A ．0 C.211.设D 为,222y y x ≤+则=+⎰⎰dxdy y x f D)(22A.dx y x f dy y y )(222022+⎰⎰-； B. rdr r f d )(21020⎰⎰θπ；C. rdr r f d )(2sin 20⎰⎰θπθ； D. dy y x f dx )(222011+⎰⎰-.12. 微分方程()1x e y y '+=的通解为A.x ye c =；B.x ye x c -=+；C.()x y x c e -=+；D.x y cxe -= 13. 是微分方程x y y e -'''+=在初始条件01,1x x yy =='==-下的特解.A.12x y c c xe -=-；B.x y xe -=-；C.12x y xe -=-；D.1x y xe -=-. 三、计算题：1.设33(sin ,)x z f e y x y =+,求zx∂∂及z y ∂∂,其中f 具有一阶连续偏导数. 2．设sin sin x y u v x v y u+=+⎧⎨=⎩, 求 x u ∂∂, x v∂∂3．求旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程; 4．求函数322(,)339f x y x y x y x =-++-3的极值5．计算2Dxy dxdy ⎰⎰,其中D 是由圆周 422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域.6．计算2y De dxdy -⎰⎰,其中D 是以O0,0,A1,1,B0,1为顶点的三角形闭区域.7.计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中Ω是三个坐标面与平面 1=++z y x 所围成的区域.8.计算 ⎰-+++-Ldy y x dx y x )1353()42(,其中L 为圆2522=+y x 的正向边界;9.计算曲线积分 33()(),Ly x dy x y dx +++⎰ 其中L 是从O0, 0沿上半圆x y x 222=+到A2, 0.10.验证：在整个xoy 面内,xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分,并求出这样的一个函数.11.求微分方程22(1)24x y xy x '++= 的通解.12.求解微分方程的特解： 22(3)20,(0)1y x dy xydx y -+== 13.解微分方程 23()()0yy y y ''''-+=.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为V 的无盖长方形水池,应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.3.求抛物线242y x y x ==与曲线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体的体积.高等数学2期末复习题答案一、填空题：1、22{(,)13}x y x y ≤+<2、(1)ln(1)y x x ++3、1233dx dy +4、22(1)2;1x y x y y--+ 5、[sin()cos()]xy e x x y x y +++6、1+ 注：方向导数0,00000()(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂7、402(,)x dx f x y dy ⎰⎰；01110(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy +-+⎰⎰⎰8、45注：01104(5L xydx x dx =+=⎰⎰⎰ 9、22(1)x y e C +=二、选择题：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; ; 11. C; ; 三、计算题：1.解：令33sin ,x u e y v x y ==+,则2. 解：两方程分别两边对x 求偏导数,注意,u v 是关于,x y 的二元函数,得1sin cos cos u v x x v u v x v y u x x ∂∂⎧=+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩ 即 1cos cos sin u v x xu v y u x v vx x ∂∂⎧+=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩这是以,u vx x∂∂∂∂为未知量的二元线性方程组; 当 11(cos cos )0cos cos J x v y u y u x v==-+≠-时,有111cos sin sin cos cos cos u x v vv x v x J x v y u ∂+==-∂+,111sin cos cos sin cos cos v v y uy u v x J x v y u∂-==-∂+ 3. 解：旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切向量于是,所求切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=,即 4260x y z +--= 法线方程为214421x y z ---==-4. 解：解方程组223690360f x x xf y y y ∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩,得四个驻点1234(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)P P P P --.又66,0,66xxxy yy f x f f y ''''''=+==-+. 对21(1,0),0,P AC B ->且0A >,则1(1,0)P 是函数的极小值点；对22(1,2),0P AC B -<,则2(1,2)P 不是极值点；对23(3,0),0P AC B --<,则3(3,0)P -不是极值点；对24(3,2),0P AC B -->,且0A <,则4(3,2)P -是函数的极大值点. 于是,函数有极小值(1,0)1395f =+-=-,极大值 (3,2)27827122731f -=--+++=.5. 解：利用极坐标变换,令cos ,sin x r y r θθ==,则dxdy rdrd θ=,且D 可表示为：02,22r ππθ≤≤-≤≤.于是2253021164sin 5315r ππθ-=⋅=. 6. 解：三角形区域D 由直线,1y x y ==及y 轴围成,选择先对x 积分,22221111011(1)22yy y yy De dxdy dy e dx ye dy e e -----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰.注：此题也可以参看课本167页例2的解法7.解题过程见课本124页例1.8. 解：(,)24,(,)3513P x y x y Q x y x y =-+=+-在L 围成的圆域D:2225x y +≤上全在连续的偏导数,1,3P Q y x∂∂=-=∂∂,从而 4Q Px y ∂∂-=∂∂.于是由格林公式,得(24)(3513)44425100LDDx y dx x y dy dxdy dxdy ππ-+++-===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.9. 解：33(,),(,)P x y x y Q x y y x =+=+,有1P Qy x∂∂==∂∂ 在整个xoy 平面上恒成立,所以曲线积分与路径无关,故可取x 轴上线段OA 作为积分路径.OA 的方程为0y =,且x 从0变到2,0dy =,从而3333()()()()LOAy x dy x y dx y x dy x y dx +++=+++⎰⎰22340144x dx x ===⎰.10. 解：(,)4sin sin 3cos ,(,)3cos3cos 2P x y x y x Q x y y x ==-,有4sin cos 3cos36sin 2cos3P x x y x y y ∂=⋅=∂,3cos32(sin 2)6sin 2cos3Q y x x y x∂=-⋅-=∂, 即有P Qy x∂∂=∂∂在整个xoy 平面上恒成立,因此在整个xoy 面内,xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分.取ARB 为积分路径,其中各点坐标分别为(0,0),(,0),(,)A R x B x y ,得13cos 2sin 3sin 3cos 23yx y y x =-⋅=-.11. 解法一：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++,这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解.由2201xy y x '+=+,分离变量,得221dy x dx y x =-+,两边积分,解得 121C y x =+. 用常数变易法,将1C 换成()C x .即2()1C x y x =+,22212()()1(1)x y C x C x x x ''=-++. 代入原方程,化简得 2()4C x x '=.故 34()3C x x C =+. 于是方程的通解为 3214()13y x C x =++. 解法二：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++. 这是一阶非齐次线性微分方程,其中22224(),()11x x P x Q x x x ==++.利用通解公式2232221414[(1)]()1113x x dx C x C x x x =⋅++=++++⎰.12. 课本212页第8题第1小题;解：原方程可写成 221320x x dxy y dy-+=.令x u y =,即 x yu =,有dx du u y dy dy =+,则原方程成为 2132()0du u u u ydy -++=,分离变量,得 221u dydu u y=-.两边积分,得21u Cy -=.代入xu y=并整理,得通解 223x y Cy -=. 由初始条件0,1,x y ==得 1C =-.于是所求特解为 322y y x =-. 13.解题过程见课本212页例5. 四、应用题：1.解法一：设水池的长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz=V,从而高Vz xy=,水池表面的面积S 的定义域{(,)0,0}D x y x y =<<+∞<<+∞.这个问题就是求二元函数S 在区域D 内的最小值.解方程组2222122()0,122()0.SV y V y x x x S V x V x yy y ∂⎧=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=-=∂⎪⎩ 在区域D 内解得唯一得驻点.根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长,,水池所用材料最省. 解法二：设水池的长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz=V,水池表面的面积S 的定义域}0,0,0),,{(>>>=z y x z y x D .此题就是求函数)(2yz xz xy S ++=在约束条件xyz=V 下的最小值.构造拉格朗日函数 2()()L xy xz yz xyz V λ=+++-.解方程组20,20(1)20,20(2) 220,220(3)0.(4) Ly z yz xy xz xyzxLx z xz xy yz xyzyLx y xy xz yz xyz zLxyz Vλλλλλλλ∂⎧=++=++=⎪∂⎪∂⎪=++=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=++=++=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎩即即即比较1,2,3式,得 x=y=2z,代入4式中,有32x V=,即x=于是,x,y,z只有唯一一组解2⎭.由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数S在其唯一驻点⎭处必取得最小值.故当长方形水池的长,宽,.2.解题过程见课本98页例4.3.利用二重积分求闭区域的面积解：所求区域的面积为DA dxdy=⎰⎰,其中D为抛物线242y x y x==与曲线所围成的闭区域.两曲线交于两点0,0,1,2.选择先对x积分,于是,222220041141(2)4433yyDA dxdy dy dx y y dy===-=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰.4.利用三重积分计算立体的体积.解法一：所求立体的体积为V dxdydzΩ=⎰⎰⎰,其中Ω是抛物面226z x y=--与锥面z=所围成的立体.利用直角坐标计算.由226z x y=--与z=消去z,2=,即Ω在xoy面上的投影区域D为圆域224x y+≤.于是2222{(,,6(),4}x y z z x y x yΩ=≤≤-++≤.因此226()x yDV dxdydz dxdy dz-+Ω==⎰⎰⎰⎰⎰=22[6()Dx y dxdy-+⎰⎰用极坐标22222430001132(6)2(3)433d r r rdr r r r πθππ=--⋅=--=⎰⎰.解法二：所求立体的体积为 V dxdydz Ω=⎰⎰⎰,其中Ω是抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体.利用柱面坐标计算. 由226z x y =--与z =消去z ,解得2=,即Ω在xoy 面上的投影区域D 为圆域224x y +≤.于是,在柱面坐标变换下2{(,,)6,02,02}r z r z r r θθπΩ=≤≤-≤≤≤≤.因此 22260r rV dxdydz d dr rdz πθ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222430011322(6)2(3)433r r r dr r r r πππ=⋅--=--=⎰.。

(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)

课程名称高等数学试卷（I ）一、填空（14分）1．设f(x),0,00,sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x则=→)(lim 0x f x 。

2．曲线y=x 3上切线斜率等于3的点是。

3．x x y ln 22-=区间上单调减少。

4．)1(lim 0xctgx x -→= 。

5．⎰+dx x x )1(1= 。

6．过点A （2，-3，4）且与y 轴垂直相交的直线方程为。

二、完成下列各题（40分） 1．)11ln 1(lim 1--→x x x 2．已知：dxdy x x y e xy求,2cos ln =+ 3．计算：⎰++dx x x 294124．计算：⎰dx x 2)(arcsin5．计算：⎰eedx x x12ln三、求函数f(x)=123+--x x x 在[-1，2]上的最大值与最小值（8分）四、证明：当x>0时，xarctgxx +>+1)1ln( （8分）五、设f(x)在[a ，b]上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()( （8分）六、求曲线x y ln =当x 在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与x y ln =以及x=2，x=6所围成的图形的面积最小。

（8分）七、求过点（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程。

（8分）八、求抛物线x y 82=与其上点（2，4）处的法线所围成图形的面积。

并求该图形在x 轴上方部分绕y 轴旋转后所得旋转体的体积。

（6分）课程名称高等数学试卷（I ）九、填空（14分）1．0 2．（1，+1），（-1，-1） 3．（0，)2π4．0 5．2arctg x +C 6．⎩⎨⎧-==32y xz十、完成下列各题（40分） 1．))1(ln ln 1(lim )11ln 1(lim 11---=--→→x x xx x x x x （2'）=x x xxx ln )1(111lim1+--→ （2'）=211ln 11limln 11lim11=⋅++=+--→→xx x x x x x x x （4'） 2．等式两边对x 求导x x y x y y x y e xy 2sin 21ln )(-=⋅+'+'+ （3'） xy xyye xyx x xe y ---=+'2sin 2)ln ( （3'）xxe ye x yx y xyxy ln 2sin 2+++-=' =xx e x xye y x x xyxyln 2sin 22+++- （2'） 3．⎰⎰++=++=++''C x arctg dx x dx x x 525125)2(1294132)5(24．⎰⎰--=dx xxx x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin （3'）=⎰--+)1(11arcsin )(arcsin 22x d xxx x⎰-+=)12(arcsin )(arcsin 22x xd x x （2'）=⎰----+dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsin （2'）=C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22 （1'）5．⎰⎰=+==='''ee e ee e x x xd x x 11)2(13)3(2)3(2323131|3ln ln ln ln三、（8分）令)1)(13(123)(2-+=--='x x x x x f （2'）得：1,3121=-=x x （1'）01111)1(,273213191271)31(=+--==++--=-f f （2'）31248)2(,01111)1(=+--==++--=-f f （2'）最大值为3，最小值为0 四、（8分）证明：令xarctgxx x f +-+=1)1ln()( （1'） 22)1(1111)(x arctgx x xx x f +-++-+='=222)1(1)1(x arctgx x x x ++++ （3'） Θx>0时，,0)(>'x f ∴ x>0时，f(x)递增（2'）又f(0)=0, ∴当x>0时，f(x)>0 （1'）即xarctgxx +>+1)1ln( （1'）五、（8分）⎰⎰-+-+-=-+babax b a d x b a f dx x b a f )()()( （2'）令t=a+b-x ，则x=a+b-t ，代入上式（3'）⎰⎰⎰⎰==-=-+bab ab abadx x f dt t f dt t f dx x b a f )()()()( （3'）六、（8分）设该切线的切点对应处，则0x x =该切线为：)(1ln 000x x x x y -=- （2'）则x=2时，切线上)2(1ln 0001x x x y -+= x=6时，切线上)6(1ln 0002x x x y -+= （2'）围成图形面积为：)]2(1ln 2[421000x x x S -+⋅==,416ln 400-+x x 令0164200=-='x x S （2'） ,411,400===x k x 该切线为：)4(414ln -=-x y （2'）七、（8分）平面3x-4y+z-10=0的法矢量}1,4,3{-=→n （1'）设交点为),,(000z y x （即两直线交点）则所求直线的方向矢量为}4,,1{000-+z y x （1'）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+-+223210)4(4)1(3000000z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===321915000z y x （3'）所求直线的方向矢量为{16,19,28} （1'）所求直线为：28419161-==+z y x （2'）八、（6分）在x y 82=两边对x 求导，xy y y 84,82='='当x=2时，1|2='=x y ，则法线的斜率为-1法线方程为：y=-1(x-2)+4=-x+6 （2'）与抛物线的另一个交点为：(18,-12) （1'）所围成圆形如图，它的面积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+=+=12241228182168D D y x xdy dx dx dy d d S σσ=⎰⎰-++-+-4121822)86()82(dx x x dy y =18223182********|3222|6|2|24162x x x y ⋅++--⋅-=)316144(12108)1622()3872(32-+---+--+=14496160840++---=32 （2'）法线与x 轴交于⎰⎰-=-=624022218)0,6(dy y dx x V V V ππΛ =]|24|3[403623y x -π =)24643872(--π=)383872(--π=π3200（3'）一、填空（14分）1、若)1(x x f +=2x +21x+3，则=)(x f 2、设=)(x f 12-x e ，则)(x f ''= 3.xxx 3sin 5sin limπ→=4、设点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b5、=+⎰x t dxd sin 021 6、在xoz 面上的曲线13222=+z x 绕z 轴旋转所得曲面方程是二、完成下列各题（35分）1、2)1(lim 1xtgx x π-→2、⎰+dx x x 2473、xdx x ⎰2sin4、dx xx⎰+3122115、dx x x ex⎰-2)(ln 11三、求曲线)1ln(2x y +=的拐点。

《高等数学一》期末复习题及答案-26011462418282891

1 arctan x
C (D)
1 ln( x 2
1)
C
2
2
10、由曲线 y ex (0 x 1) 和直线 y 0 所围的面积是（ A
）
（ A） e 1 (B)
1 (C)
2 (D)
e
dy
11、微分方程
xy 的通解为
dx
（B
）
（ A） y Ce2 x （ B） y
1x2
Ce 2
（C） y
eCx
（ D） y
19、函数 y ln x x 2 1 是（ A
）
（ A）奇函数（B）偶函数
（C）非奇非偶函数（ D）既是奇函数又是偶函数
20、设函数 f x 在区间 0 ,1 上连续，在开区间 0,1 内可导，且 f x 0 ，则 ( B )
(A) f 0 0
(B) f 1 f 0 (C)
f 1 0 (D) f 1 f 0
y x2
所求阴影部分的面积为： S
1
(x
x 2 )dx = x 2
0
2
x3 1 1
=
3 06
5、（本题满分 10 分）讨论函数 f ( x )
x2 x1 在 x 1 处的连续性。
3x x 1
解： Q lim f ( x) lim x 2 3 f (1)
x1
x1
lim f ( x ) lim 3x 3 f (1)
所求的特解为 1 1 e2x或者 y y2
2e 2 x
18、微分方程 ln y x 的通解是
y ex C
2 3x 19、 lim (1 ) ＝
e6
x
x
20、设函数 y xx , 则 y

高数下期末考试复习题(附答案)

一。

微分方程 1. 一阶微分方程 (1)．微分方程12'x y e -=的通解是（ C ）A ．2x y eC -=+ B ．2x y e C =+C ．22x y e C -=-+ D ．2x y Ce -=(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

解: 22ln ln y x C -=(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解解：cos 3sin 1x x y e dy dx y e =-，cos 3sin 1xx y e dy dx y e =-⎰⎰ ()ln sin 3ln 1ln x y e c =-+，()3sin 1x y c e ⎡⎤=-⎣⎦(4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()()0cos 2sin 1xy x x y t tdt x +=+⎰解：原方程两端求导得cos sin 2sin cos sin 1y x y x y x y x y x ''-+=+= 即sin 1cos cos x y y x x'+=，这是标准的一阶线性微分方程 ()sin sin ln cos ln cos cos cos 11tan cos cos cos x xdx dx x x x x y e e c e e c x c x x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 原方程令0x =得1y =，代入通解得1c =，从而sin cos y x x =+()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 cos .C xy x-=解:通解为:(6) 求微分方程212y x y '=-的通解解:原方程化为22dxx y dy-=-,这是关于未知函数为x 的一阶线性微分方程,通解为:22111224y y Ce y y -=+++ (7)、求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1x y y xe x-'-= 由公式()111ln ln dx dx x x x x x x x x y e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e -------⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解。

大一第二学期高数期末考试题（含答案）

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )(　处有则在设x x x x x f .（A ）(0)2f （B ）(0)1f （C ）(0)f （D ）()f x 不可导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3x x x xxx .（A ）()()x x 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x 与是等价无穷小；（C ）()x 是比()x 高阶的无穷小；（D ）()x 是比()x 高阶的无穷小.3.若()()()02x F x tx f t dt，其中()f x 在区间上(1,1)二阶可导且()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x 处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x 处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x 的拐点；（D ）函数()F x 在0x处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()yF x 的拐点。

4.)()(,)(2)()(1x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x（C ）1x （D ）2x .二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.xxx sin2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x xxxx f d cos )(则.7.lim (coscoscos)22221nn nnnn.8.21212211arcsin －dxxxx .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数()y y x 由方程sin()1x yexy 确定，求()y x 以及(0)y .10..d )1(177x x x x求11.．　求，，设132)(120)(dx x f xx xx xex f x12.设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt，且0()lim x f x Ax，A 为常数. 求()g x并讨论()g x 在0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy yx x满足1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xx y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线xx 0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线xy ln 的切线，该切线与曲线xy ln 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(x f 在0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]01q ，1()()qf x d xqf x dx.17.设函数)(x f 在,0上连续，且)(0xd x f ，cos )(0dx x x f .证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21f f （提示：设xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x 2)cos (21　.7.2. 8.3.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)c o s ()()x yey xy xy ycos()()cos()x y x yey xy y x e x xy 0,0xy ，(0)1y 10.解：767ux x dxdu 1(1)112()7(1)71u duduu u uu 原式1(ln ||2ln |1|)7u u c 7712ln ||ln |1|77x x C0123()1(1)xxd e x dx 00232cos(1sin )xxxeed x　令3214e12.解：由(0)0f ，知(0)0g 。

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B、∫02 �� ∫0
√2
√1−��2
C、∫02 �� ∫��
√1−�� 2
D、∫02 �� ∫0
√1−�� 2
��
ห้องสมุดไป่ตู้3、二元函数f(��, ��) = A、不连续 C、偏导数不连续
欢迎加入玩转高数 QQ 群：252884310 玩转高数期末复习题（一）命题人：李知旂一、填空题 1、改变二次积分次序： ∫1 �� ∫0
��
主办单位：CSLA 班委会
��(��, ��)�� = _____________
�� = (
) B、�� 2
5
A、�� 2
3
C、 �� 2
2
3
5
D、 �� 2
2
5
3
5、设Ω 由 z = �� 2 + �� 2 与z = 1 所围区域在第一卦限的部分，则 ∭ ��(��, ��, ��)�� ≠ ( ) Ω A、∫0 �� ∫0 �� ∫0
2 1
{√�� 2+��2
, (��, ��) ≠ (0,0)
0, (��, ��) = (0,0)
在(0，0)处（） B、偏导数不存在 D、可微
4、∫1 (1 + �� − ��) ��
2
(��+ )
1 ��
�� = 3�� 2 2、把曲线{ 绕x 轴旋转一周所得的曲面方程为：_________________ �� = 0 3、曲面 u = ln(�� + √�� 2 + �� 2 ) 在点 A(1，0，1)处沿 A 指向 B(3， − 2，2) 方向的方向导数为：________________
�� 2 4、∫ 0
1 1+(��)2017
�� =_______________
1 1 1
5、求极限： lim (1 − 2 ) (1 − 2 ) ⋯ (1 − 2 ) = __________________ 2 3 ��
2、求二重积分∬ ��
1+�� 1+�� 2 +�� 2
dxdy, 其中 D={(��, ��)|�� 2 + �� 2 ≤ 1, �� ≥ 0}
3、计算∫1 �� ∫√��
√2
1
) ��(��, ��) �� (��, ��) ��
A、∫02 �� ∫��
√2
√1−�� 2
√2
��(��, ��) �� (��, ��) ��
��
1
√��
√��−�� 2
��(��, ��, ��) ��
B、∫0 �� ∫0
1
√1−�� 2
�� ∫0
��2 +�� 2
��(��, ��, ��) ��
C、∫02 �� ∫0 �� ∫�� 2 ��(��, ��, ��) ��
1
1
D、∫0 �� ∫0
��→∞
二、
选择题
��(��,��)−�� 2 +�� 2
1、已知函数f(��, ��)在(0，0)的某个邻域连续，且 lim
A、点（0，0）不是f(��, ��)的极值点 C、点（0，0）是f(��, ��)的极小值点
1
√1−�� 2
�� ∫�� 2 +��2 ��(��, ��, ��)��
1
三、计算题 1、计算三重积分∭ Ω 区域。
1 dv, (��+��+��+2)3
其中Ω是由三个坐标面及平面x + y + z = 1 所围成的闭
�� 2
�� 2
1 − �� 2 − �� 2 − �� 2 , �� 2 + �� 2 + �� 2 ≤ 1 5、求 F(��) = ∬ ��(��, ��, ��) ��, 其中 f(��, ��, ��) = { ��+��+��=�� 0, �� 2 + �� 2 + �� 2 > 1
2
��
�� 2��
�� + ∫2 �� ∫√��
4
2
�� 2��
��
4、计算球面�� 2 + �� 2 + �� 2 = ��2 包含在柱面��2 + ��2 = 1 (�� ≤ ��)内那部分的面积·
��
��→0 ��→0
= 1,则（
）
B、点（0，0）是f(��, ��)的极大值点 D、无法判断点（0，0）是不是f(��, ��)的极值点
2、设f(��, ��)为连续函数，则∫04 �� ∫0 ��(��, ��)�� = (

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