能被7、11整除数的特点

能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11 的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11 整除。

例如：判断491678 能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23
偶位数位的和4+1+7=12
23-12=11
因此，491678 能被11 整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11 整除，那么，原来这个数就一定能被11 整除。

又如：判断583 能不能被11 整除。

用583减去11的50倍(583-11 >50=33)余数是33, 33能被11 整除，583 也一定能被11 整除。

能被7 整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。

如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13 - 3^2 =乙所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7 的倍数的过程如下：613-9^2= 595 , 59- 5^2 = 49,所以6139 是7 的倍数，余类推。

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。

【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

能被11整除的数的特征

能被11 整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11 的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11 整除.例如:判断491678 能不能被11 整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678 能被11 整除."奇偶位差法".这种方法叫除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10 倍,20 倍,30 倍⋯⋯到余下一个100 以内的数为止.如果余数能被11 整除,那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583 减去11 的50 倍(583- 11×50=33)余数是33, 33 能被11整除,583 也一定能被11 整除.（1）1 与0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0 是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或8，则这个数能被 2 整除。

（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

（5）若一个整数的末位是0 或5，则这个数能被 5 整除。

（6）若一个整数能被 2 和3 整除，则这个数能被 6 整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。

如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133 是否7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133 是7 的倍数；又例如判断6139 是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49 ，所以6139 是7 的倍数，余类推。

整除的特征

整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。

（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如：10、72、34、56、98都能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。

例如：180、315都能被5整除。

（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。

例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。

4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。

能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。

一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。

（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。

975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。

如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。

如700、2800都能同时被4 和25整除。

（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。

例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。

9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。

如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。

如1000、3000、78000等。

（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。

例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。

【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

数的整除特征

数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。

2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。

3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。

这个数能被3（或9）整除。

4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。

、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。

例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。

思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。

据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。

（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。

例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。

思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。

于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。

能被7和11整除数的特点

能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

又如：判断583能不能被11整除。

用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。

3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

能被7 11 13整除的数规律

能被七整除得数规律若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中，减去个位数得2倍,如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否7得倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断13３就是否7得倍数得过程如下:13－3×2＝7，所以1３3就是7得倍数;又例如判断6139就是否7得倍数得过程如下:613—9×2＝5９5 ，59－5×2＝49，所以6139就是７得倍数,余类推。

能被９整除得数得规律规律：能被9整除得数，这个数得所有位上得数字得与一定能被9整除。

能被11整除得数得规律若一个整数得奇位数字之与与偶位数字之与得差能被11整除，则这个数能被11整除.11得倍数检验法：去掉个位数，再从余下得数中，减去个位数,如果差就是１1得倍数，则原数能被１1整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否1１得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程，直到能清楚判断为止.例如,判断1３２就是否11得倍数得过程如下：13－2=１1，所以1３２就是1１得倍数；又例如判断10901就是否11得倍数得过程如下:１090—1＝1089，108－9＝９9，所以1０90１就是1１得倍数,余类推.被1３整除得数规律相当于1００0除以13余-1,那么1000^２除以13余1（即-１得平方），1０00^3除以13余-1,……所以对一个位数很多得数（比如：51５78 95３270)，从右向左每３位隔开从右向左依次加、减，270—9５3+5７8—５1=—156能被１3整除,则原数能被13整除什么样得数能被7与11与13整除?？？有什么规律就是分开来得三个问题还就是同时被这三个整除？若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中,减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否７得倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程,直到能清楚判断为止。

第七讲数的整除(二)

五年级秋季培优第七讲数的整除（二）这一讲我们重点掌握能被7，11，13整除的数的特征。

1.能被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。

2.能被7，11，13整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除，否则就不能。

由1001＝7×11×13，知1001被7，11或13整除。

并熟记77＝7×11；91＝7×13；143＝11×13。

3.被互质的两个数同时整除的数的特征：两个数互质指如果两个自然数只有公因数1，这两个数称为互质数。

如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，那么这个数一定能被这两个互质的数的乘积整除；反之，如果一个自然数能被两个互质数的乘积整除，则这个数一定能被这两个互质的数整除。

典例精讲例1一个六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数可能是多少？【思路点拨】因为22＝11×2，既然六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数就应该同时是2和11的倍数。

然后根据可以被2和11整除的数的特征进行判断，即可解题。

【详细解答】例2根据能被7，11，13整除的数的特征，判断2206525321能否被7，11，13整除。

【思路点拨】根据被7，11，13整除的数的特征，末三位数字所表示的数321，末三位之前的数所表示的数字所表示的数为2206525，两者之差为2206525－321＝2206204.这个差能否被7，11，13整除，还不容易看出，必须继续利用被7，11，13整除的数的特征，对上述的差2206204再进行判断。

方法与前面一样，2206－204＝2002，2－2＝0，由于0能被7，11，13整除，所以2206525321能被7，11，13整除。

能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征

能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被6整除的数的特征三、能被6整除的数的特征末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除能被6整除的数的特征既要符合能被2整除的数的特征，又要符合能被3整除的数的特征三、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。

能被7、11、13整除数的特点

能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

又如：判断583能不能被11整除。

用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

7 9 11 13整除判定法则

7 9 11 13整除判定法则整除是数学中一个重要的概念，指一个数能被另一个数整除，也就是没有余数。

在实际生活中，我们经常需要判断一个数是否能被另一个数整除，比如在计算中判断一个数是否为质数，或者在编写程序中判断某个数是否是另一个数的因子。

为了更方便地进行整除判定，人们总结出了一些整除判定法则，其中比较常用的是7 9 11 13整除判定法则。

7的整除判定法则判断一个数是否能被7整除的方法很简单，只需要将这个数的个位数去掉，再将去掉个位数后的数减去去掉个位数后的数的个位数的两倍，如果得到的结果能被7整除，那么原数也能被7整除。

举个例子，假设要判断数12345是否能被7整除。

首先将它的个位数5去掉，得到剩下的数1234。

然后将1234减去它的个位数4的两倍，也就是减去8，得到1226。

最后判断1226是否能被7整除，发现1226=7*175+1，所以它不能被7整除，因此原数12345也不能被7整除。

9的整除判定法则判断一个数是否能被9整除的方法也很简单，只需要将这个数的各个位上的数字相加，如果得到的结果能被9整除，那么原数也能被9整除。

如果得到的结果还是大于10的数字，那么就继续将这个数字的各位上的数字相加，一直重复这个过程，直到得到一个小于等于10的数字。

举个例子，假设要判断数123456是否能被9整除。

首先将它的各位上的数字相加，得到1+2+3+4+5+6=21。

由于21大于10，所以继续将21的各位上的数字相加，得到2+1=3。

因为3能被9整除，所以原数123456也能被9整除。

11的整除判定法则判断一个数是否能被11整除的方法也很简单，只需要将这个数的各个位上的数字交替相加和相减，如果得到的结果能被11整除，那么原数也能被11整除。

如果得到的结果是0，那么原数也能被11整除。

举个例子，假设要判断数123456是否能被11整除。

首先将它的各位上的数字交替相加和相减，得到1-2+3-4+5-6=-3。

能被11整除的数的特征

能被11整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. 又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

能被7,11,13整除的数的特征的原理

能被7,11,13整除的数的特征的原理能被7, 11, 13整除的数的特征的原理解析引言当我们进行数学运算时，我们可能会遇到一些特殊的数，它们能够被7，11和13整除。

这些特殊的数在数论中有着重要的地位，同时也有着一些有趣的特征。

本文将深入探讨这些数的特点及其原理。

1. 数的整除性质•整除定义：当一个数除以另一个数时，如果能够得到一个整数，那么我们称这个数能够被另一个数整除。

•整除特性：如果一个数能够同时被两个或更多个数整除，那么它也能够被这些数的乘积整除。

2. 7的整除特征•规则1：能被7整除的数，其个位数的十进制表示减去2倍的十位数的十进制表示，结果能够被7整除。

–例如，35是7的倍数，35 - (2 * 3) = 29，29被7整除。

•规则2：能被7整除的数，将其个位数的数字去掉，再用去掉的数字减去2倍的余数，结果能够被7整除。

–例如，56是7的倍数，5 - (2 * 6) = -7，-7被7整除。

3. 11的整除特征•规则1：能被11整除的数，将奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相减，结果能够被11整除。

–例如，121是11的倍数，(1+1) - 2 = 0，0被11整除。

•规则2：能被11整除的数，将数从右往左数每一位数字依次相加或减，结果能够被11整除。

–例如，363是11的倍数，3 - 6 + 3 = 0，0被11整除。

4. 13的整除特征•规则1：能被13整除的数，将个位数的数字乘以4，再将结果与剩余数字相减，结果能够被13整除。

–例如，13是13的倍数，1 * 4 - 3 = 1，1被13整除。

•规则2：能被13整除的数，将数从右往左数每一位数字依次乘以进制的幂次方，并将结果相加或相减，结果能够被13整除。

–例如，169是13的倍数，1 * 13^2 + 6 * 13^1 - 9 = 0，0被13整除。

5. 组合规则如何判断一个数能否被7、11和13整除呢？我们可以将上述规则进行组合使用。

7,11,13的整除特征原理

7,11,13的整除特征原理英文回答：The divisibility rules for 7, 11, and 13 are mathematical tests that can be used to determine if a given integer is divisible by one of these numbers. These rules are based on the properties of the remainders when an integer is divided by 7, 11, or 13.Divisibility Rule for 7:To determine if an integer is divisible by 7, you can use the following steps:1. Start from the rightmost digit and double it.2. Add the next digit to the result.3. Repeat steps 1 and 2 until you reach the leftmost digit.4. If the final result is divisible by 7, then the original integer is divisible by 7.Divisibility Rule for 11:To determine if an integer is divisible by 11, you can use the following steps:1. Add the digits in the odd positions (starting from the right).2. Add the digits in the even positions (starting from the right).3. Subtract the sum of the odd digits from the sum of the even digits.4. If the result is divisible by 11, then the original integer is divisible by 11.Divisibility Rule for 13:To determine if an integer is divisible by 13, you can use the following steps:1. Subtract the last digit from the number formed by the remaining digits.2. Double the result.3. Add the last digit to the result.4. Repeat steps 1-3 until you get a number between 0 and 12.5. If the final result is 0, then the original integer is divisible by 13.中文回答：7的整除特征原理。

用“分节法”研究能被11、7整除的数的特征

教材研究新课程NEW CURRICULUM2012年秋，当我上完西师版教材五年级数学上册第七章“倍数与因数”第二节内容“2，3，5的倍数特征”后，我掩卷沉思：这一章节的内容主要是在整数中研究的，虽有许多实际的功用，但主要的目的是为今后分数方面的计算做准备。

掌握了2，3，5的倍数的特征，对于学习约分、通分、分数的四则混合运算就有了一个强有力的工具。

但通过我多年的教学经验得知，学生在进行约分时最困难的却是难以快速判断分子、分母是否含有因子7或11，甚至于是13，因此影响约分的速度和效果。

要突破这方面的难点，须得弄清7或11的倍数的特征。

7或11的倍数是否有特征呢？如有，又是怎样的特征呢？教材上没有渗透，资料上也没有提及。

但我怎能放弃呢？必须弄明白这方面的真相。

首先，我以11为突破口，于是，在我案头上出现了一大堆的数字：88，99，121，132，187，209，319，627，770，880，858，这些都是11的倍数。

看着这些数字，我内心只有一个想法：规律在哪里？它们的内在存在什么联系？……一连串的问题在我心中萦绕。

个位上的数字有奇、有偶，从个位上寻求规律行不通。

把各位上的数字相加，结果与11也毫无关系。

……看着88，99，770，880这几个比较特殊的数与121，132，187，209，319，627的结构不同，难道是两位数与三位数的特征不同？难道要进行分别研究？有了这个想法，我立马把11的倍数进行了分类整理。

11的倍数是两位数的：11，22，33，44，55，66，77，88，99很有趣：个位上的数字与十位上的数字相同。

11的倍数是三位数的：121，132，143，154，165，176，187，198，209，220，231…308，319…我依次列举了一串，通过仔细观察，这些数似乎可以划分为两种情形。

一类是：121，132，143，154，165，176，187，198，220，231，242，253…一类是：209，308，319…前一类满足一个共同的特征：百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0后一类满足：百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=11我惊了：这0和11不就是11的倍数吗？在三位数中难道满足百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0或11的数就是11的倍数吗？我急不可待地验证了许多11的倍数，结果都是这样。

可被7、11、13整除的整数特征及推倒证明过程

一、能被7 整除的数的数字特性。

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

证明过程设一六位数ABCDEF.所以，ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F= (100100A - 100A) + (10010B - 10B) + (1001C - C) + 100D + 10E + F= (100100A + 10010B + 1001C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)= 7*(14300A + 1430B + 143C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)以上式子第一括号为7 的倍数，故判断该六位数ABCDEF 能否被7 除尽，须看(100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)，即前后两个三位数之差DEF - ABC 能否除尽7 。

但此方法又是否适用于单数位的数字？方法雷同。

另设一七位数ABCDEFG.ABCDEFG = 1000000A + 100000B + 10000C + 1000D + 100E + 10F + G= (1001000A - 1000A) + (100100B - 100B) + (10010C - 10C) + (1001D - D) + 100E + 10F + G= (1001000A + 100100B + 10010C + 1001D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)= 7*(143000A + 14300B + 1430C + 143D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)同理，判断该六位数ABCDEFG 能否被7 除尽的方法，须看前边四位数和后边三位数之差EFG - ABCD 能否除尽7 。

能被7-11-13整除的数规律

若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中,减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除•如果差太大或心算不易瞧出就是否7得倍数，就需要继续上述r截尾、倍大、相减、验差J得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133就是否7得倍数得过程如下:13—3x2=7，所以1 33就是7得倍数;又例如判断6 1 3 9就是否7得倍数得过程如下:61 3 —9x2=5 9 5,59- 5x2 = 49,所以6139就是7得倍数，余类推。

能被9整除得数得规律规律:能被9整除得数，这个数得所有位上得数字得与一定能被9 整除。

能被1 1整除得数得规律若一个整数得奇位数字之与与偶位数字之与得差能被11整除，则这个数能被11整除.11得倍数检验法：去掉个位数，再从余下得数中, 减去个位数，如果差就是1 1得倍数，则原数能被11整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否1 1得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断13 2就是否1 1得倍数得过程如下:13—2=11,所以I 32就是11得倍数;又例如判断1 09 0 1就是否1 1得倍数得过程如下：1 090- 1 =1 0 8 9 ,1 08 -9=9 9,所以10901就是11得倍数，余类推.相当于1000除以1 3余一1,那么1000 ^2除以13余1 （即—1得平方），1 000人3除以13余,所以对一个位数很多得数（比如：51 578 953 2 7 0）,从右向左每3位隔开从右向左依次加、减，27 0 -9 5 3+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除什么样得数能被7与1 1与1 3整除？？？有什么规律就是分开来得三个问题还就是同时被这三个整除?若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中，减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧岀就是否7得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大.相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。

能被7 11 13整除的数规律

能被七整除的数规律之吉白夕凡创作若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推.能被9整除的数的规律规律：能被9整除的数,这个数的所有位上的数字的和一定能被9整除.能被11整除的数的规律若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法:去掉个位数,再从余下的数中,减去个位数,如果差是11的倍数,则原数能被11整除.如果差太大或心算不容易看出是否11的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断132是否11的倍数的过程如下：13－2＝11,所以132是11的倍数；又例如判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ,108－9＝99,所以10901是11的倍数,余类推.被13整除的数规律相当于1000除以13余-1,那么1000^2除以13余1（即-1的平方）,1000^3除以13余-1,……所以对一个位数很多的数（比方：51 578 953 270）,从右向左每3位离隔从右向左依次加、减,270-953+578-51=-156能被13整除,则原数能被13整除什么样的数能被7和11和13整除？？？有什么规律是分隔来的三个问题还是同时被这三个整除？若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字辨别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种办法叫"奇偶位差法".除上述办法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不容易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.什么样的数能被7和11和13整除？？？有什么规律还有简单的能被7、13、11整除的特征（实际是一个办法）是这样的：将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截,形成两个数,左边的数原来的千位、万位成为个位、十位（依次类推）.将这两个新数相减（较大的数减较小的数）,所得的差不改动原来数能被7、11、13整除的特性.这个办法可以连续使用,直到所得的差小于1000为止.例如：判断71858332能否被7、11、13整除,这个数比较大,将它分红71858、332两个数（右边是三位数）71858-332=71526再将71526分红71、526两个数（右边是三位数）526-71=455由于455数比原数小得多,相对来说容易判断455能被7和13整除,不克不及被11整除,所以原来的71858332能被7和13整除,不克不及被11整除。

能被7、11整除数的特点