2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 课时分层训练73 绝对值不等式 理 北师大版 (66)
2019届高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案
得解集为 ( － 2,1] ∪ [4,7) ．
3．不等式 | x＋ 3| － | x－1| ≤ a2－ 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 (
)
A． ( －∞，－ 1] ∪ [4 ，＋∞）
B． ( －∞，－ 2] ∪ [5 ，＋∞）
C． [1,2]
D． ( －∞， 1] ∪[2 ，＋∞）
答案 A 解析 ∵ | x＋ 3| － | x－1| ≤|( x＋ 3) － ( x－ 1)| ＝ 4，∴ a2－ 3a≥４恒成立，∴ a∈ ( －∞，
－1] ∪ [4 ，＋∞ ) ．
4． [ 课本改编 ] 不等式 | x－ 1|<4 －| x＋ 2| 的解集是 ________．
53 答案 － 2， 2
解得 1≤ x≤2； 当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1，解得 x＞2.
所以 f ( x) ≥１的解集为 { x| x≥1} ． (2) 由 f ( x) ≥ x2－ x＋ m，得 m≤｜x＋ 1| － | x－ 2| － x2＋x.
而 | x＋1| － | x－2| － x2＋ x≤｜x| ＋ 1＋| x| － 2－x2＋ | x| ＝－
(1) 求不等式 f ( x) ≥１的解集； (2) 若不等式 f ( x) ≥ x2－ x＋m的解集非空，求 m的取值范围．
－ 3， x＜－ 1， 解 (1) f ( x) ＝ 2x－ 1，－ 1≤ x≤2，
3， x＞ 2.
当 x＜－ 1 时， f ( x) ≥１无解；
当－ 1≤ x≤２时，由 f ( x) ≥1，得 2x－1≥1，
答案 [ － 2,4] 解析 ∵ | x－ a| ＋ | x－1| ≥|( x－ a) － ( x－ 1)| ＝ | a－ 1| ，要使 | x－ a| ＋ | x－1| ≤３ 有 解，可使 | a－1| ≤3，∴－ 3≤ a－1≤3， ∴－ 2≤ a≤4.
高考数学一轮复习学案+训练(理科)： 课时分层训练73 绝对值不等式 理
课时分层训练(七十三) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：∵|x －a |＜m ＝1，∴|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1，即|x |＜|a |＋1.2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.【导学号：79140396】[解] (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4，2x －6，x >4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2， 当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得4<x ≤112， 故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2018·武汉调研)(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1. [解] (1)当x ≤－32时，－x ＋5＋2x ＋3≥1， 解得x ≥－7，∴－7≤x ≤－32； 当－32<x <5时，－x ＋5－2x －3≥1， 解得x ≤13，∴－32<x ≤13；当x ≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x ≤－9，舍去．综上，－7≤x ≤13. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －7≤x ≤13. (2)证明：要证a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1，即证2ab ≤12，即证ab ≤14. 而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立． ∴原不等式成立．4．(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a 2＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥23；(2)当a ＝1时，求不等式f (x )≥5的解集．[解] (1)证明：由题知 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a 2＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2＋1a ＋a ＝3a ＋1a ≥2 3. (2)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，解不等式|x ＋3|＋|x －1|≥5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－2x －2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤1，4≥5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2x ＋2≥5，解得x ≤－72或x ≥32， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－72或x ≥32. 5．(2018·石家庄质检(二))设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .【导学号：79140397】(1)作出函数f (x )的图像；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，画出图像如图，(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ， ∴ab ＋2bc ≤34，∴ab ＋2bc 的最大值为34， 当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立． 6．(2018·合肥二检)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0,1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6，当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ≤x ≤6a ； 当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6a ≤x ≤－2a . (2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0,1]，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤3，g (1)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤3，|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.。
2019年高考数学复习精选课件 第一节 绝对值不等式
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当a<x< a 时, f(x)+f(2x)=x-a+a-2x=-x,则- a <f(x)+f(2x)<-a;
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当x≥ a 时, f(x)+f(2x)=x-a+2x-a=3x-2a,则f(x)+f(2x)≥- a ,则f(x)的值域为
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a 2
,
,
∵不等式f(x)+f(2x)< 1 的解集非空,∴ 1 >- a ,解得a>-1,由于a<0,
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则a的取值范围是(-1,0).
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高考状元是一个特殊的群体，在许多
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即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3. 故a的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞). 方法技巧 绝对值不等式的恒成立问题 (1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝 对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是 常用的思想方法. (2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
2019届高中数学一轮复习精品课件 1 绝对值不等式
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解．
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[ 基本能力]
1．判断题 (1)不等式|x|<a 的解集为{x|－a<x<a}． ( × )
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距 离之和． (3)不等式|2x－3|≤5 的解集为{x|－1≤x≤4}． ( √ ) ( √ )
此方程组无解．
5 1 时，不等式的解集为a，－a，
5 5 a＝－3， 从而有 －1＝1， a 3
解得 a＝－3.
答案：－3
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(4)不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是________． －3，x≤－1， 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1<x<2， 3，x≥2. 当－1<x<2 时，由 2x－1≥1，解得 1≤x<2. 又当 x≥2 时，f(x)＝3>1 恒成立． 所以不等式的解集为{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
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[全析考法]
绝对值不等式的解法
[典例]
解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0. x (2)|x＋3|－|2x－1|< ＋1. 2 [解]
2
(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方
2
1 得 4x ＋4x＋1>4(x －2x＋1)， 解得 x> ， 所以原不等式的解集为 4
[ 方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法
2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 第1课 绝对值不等式
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
即 3>0，此时 x>1.
综上所述，不等式 f(x)>0 的解集为xx>－12
.
(2)依题意，方程 f(x)＝x 等价于 a＝|x－1|－|x＋1|＋x， 令 g(x)＝|x－1|－|x＋1|＋x.
x＋2，x<－1， ∴g(x)＝－x，－1≤x≤1， .
x－2，x>1. 画出函数 g(x)的图象如图所示，
2．解不等式|x－1|－|x－5|<2. 解：当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1－(5－x)<2， 即 2x－6<2，解得 x<4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2， 即 4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
3 ． 若 不 等 式 |kx － 4|≤2
的
解
集
为
x|1≤x≤3
，
则
实
数
k＝
________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为x|1≤x≤3， ∴k＝2. 答案：2 4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________． 解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3， ∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即 k＜－3. 答案：(－∞，－3)
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业73绝对值不等式+Word版含解析.docx
课时作业73绝对值不等式［授课提示：对应学生用书第287页］1.(2018-合肥市第二次质量检测)已知函数./U) = |x—4| + |x—G|(G WR)的最小值为2.(1)求实数Q的值；(2)解不等式/U)W5?解析：(l)fix)=\x—4\+\x—a\^\a—4\=a9从而解得a=2.〔一2x+6(xW2)(2)由⑴知，Ax) = \x~4\ + \x~2\=< 2(2<rW4).2%—6(x>4)结合函数y=Ax)的图象和，不等式/U)W5的解集为卜*WxW琴；2.(2018-江苏三校联考)已知函数9其中G>1?(1)当a=2时，求不等式Xx)^4—|x—4|的解集；(2)已知关于兀的不等式|/(2X+Q)—幼>)|W2的解集为{力1￡兀￡2},求d的值.解析：⑴当a=2时，yU) + |x—4| ='—2尢+6, xW2,v 2, 2<x<4,、2兀+6, x^4.当xW2 时，由/(x)^4—|x—4|得一2x+6^4,解得兀W1;当2<x<4 时，沧)$4—|x—4|无解；当兀$4 时，由|x—4|得2x—624.解得x^5.所以夬兀)$4—|x—4|的解集为{x\x^ 1或*25}?(2)记/i(x) =/(2x+a)—2/(x),〔一2G,兀WO,则h{x)=< 4x_2a, 0<x<a,、2d, x^a., , —山a~1 , 1由|/i(x)|W2,解得二一W兀W丁.又已知|/心)|W2的解集为{x|lWxW2}?丁=1'所以v 6Z —3.G十1〔丁=2,3.(2018-云南省第一次检测)已知函数的定义域为实数集。
2019版高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第一节 绝对值不等式实用
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点 分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式(组)求解．
绝对值不等式的解法
[典例] 解下列不等式： (1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1. [解] (1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方 得 4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得 x>14，所以原不等式的解集为 x|x>14.
[全练题点]
1．求不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集．
解：不等式|x－1|－|x－5|<2 等价于
x<1， －x－1＋x－5<2
或x1－≤1x＋≤x5－，5<2
或xx>－51，－x－5<2，
即
x<1， －4<2
或
1≤x≤5，
2x<8
解析：由|2x－1|>3 得， 2x－1<－3 或 2x－1>3，即 x<－1 或 x>2. 答案：{x|x<－1 或 x>2}
(3)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为x－53<x<13
，则 a
＝________.
解析：依题意，知 a≠0.|ax－2|<3⇔－3<ax－2<3⇔－1<ax<5，当
2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式课件(1)
5．[2018·南宁模拟]若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成 立，则实数 a 的取值范围是_[_－__2_,_4_] _．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，
∴－2≤a≤4.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( √ ) (2)若|x|>c 的解集为 R，则 c≤0.( × ) (3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2 的解集为∅.( √ ) (4)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离之和．( √ ) (5) 不 等 式 |a － b|≤|a| ＋ |b| 等 号 成 立 的 条 件 是 ab≤0.( √ )
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝 对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对 应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
【变式训练 1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝－x2 ＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
2．[课本改编]不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
解析
由
题
得
|2x－5|<9， |2x－5|≥3
⇒
－9<2x－5<9， 2x－5≥3或2x－5≤－3
⇒－x≥24<或x<x7≤，1， 得解集为(－2,1]∪[4,7)．
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 不等式选讲 第1节 绝对值不等式学案 文 北师大版
第一节 绝对值不等式[考纲传真] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥C．(对应学生用书第164页)[基础知识填充]1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|>a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－C．(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图像求解．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( )(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为Error!，则实数a＝________.－3 [依题意，知a≠0.又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，∴－1＜ax ＜5.由于|ax －2|＜3的解集为Error!，∴a ＜0，＝－且－＝，则a ＝－3.]5a 531a 133．(教材改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.]4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.[解] 当x ≥－时，原不等式化为3x ＋3≥2，3分32解得x ≥－.6分13当x ＜－时，原不等式化为－x －3≥2，32解得x ≤－5.8分综上，原不等式的解集是Error!.10分5．(2016·江苏高考)设a >0，|x －1|<，|y －2|<，求证：|2x ＋y －4|<A ．a 3a3【导学号：00090376】[证明] 因为|x －1|<，|y －2|<，a 3a3所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<＋＝A ．2a 3a3故原不等式得证.(对应学生用书第165页)绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图像；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．【导学号：00090377】图1[解] (1)由题意得f (x )＝Error!3分故y ＝f (x )的图像如图所示．6分(2)由f (x )的函数表达式及图像可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝或x ＝5.8分13故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为Error!.所以|f (x )|＞1的解集为Error!.10分[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤.－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为Error!.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．含绝对值的不等式的应用 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m .[解] (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值.2分因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，|a |≥|b |时，≥2成立，|a ＋b |＋|a －b ||a |也就是的最小值是2，|a ＋b |＋|a －b ||a |即m ＝2.5分(2)|x －1|＋|x －2|≤2.法一：利用绝对值的意义得：≤x ≤.10分1252法二：①当x ＜1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2，解得x ≥，所以x 的取值范围是≤x ＜1.1212②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2，得x 的取值范围是1≤x ≤2.8分③当x ＞2时，原不等式为(x －1)＋(x －2)≤2,2＜x ≤.52综上可知，不等式的解集是Error!.10分[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用含绝对值不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2] 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．[解] 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，≤，4分|a －12|12所以|4a －3b ＋2|＝| 3a －3b ＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋＋≤3＋＋＝6，8分|a －12|521252则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞)．10分绝对值不等式的综合应用 (2018·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【导学号：00090378】[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2.所以f (x )>1的解集为Error!.4分(2)由题设可得f (x )＝Error!所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，(2a －13，0)C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝|AB |·(a ＋1)＝(a ＋1)2.8分1223由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞).10分[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f (x )为分段函数；(2)数形结合求△ABC 的三个顶点坐标，进而得出△ABC 的面积；(3)解不等式求a 的取值范围．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋A ．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.4分(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|(2x －a )＋(1－2x )|＋a ＝|1－a |＋a ，6分当x ＝时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①128分当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).10分。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：7.5 绝对值不等式
§7.5 绝对值不等式考纲解读分析解读 1.主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法,利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.绝对值不等式常与函数(例:2015浙江18题)、导数、数列(例:2016浙江20题)等知识联系在一起,难度较大,是近两年浙江高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对绝对值不等式进行考查.利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点 含绝对值不等式的解法1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.( )A.若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100B.若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100C.若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100D.若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100答案 D2.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案 A3.(2014湖南,13,5分)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集为x -<x<,则a= .答案 -34.(2016课标全国Ⅲ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.解析 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}.(5分)(2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.①(7分)当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2,+∞).(10分)5.(2016课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)= (2分)当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;(3分)当-<x<时,f(x)<2;(4分)当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)6.(2014课标Ⅱ,24,10分)设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.教师用书专用(7—13)7.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .答案-6或48.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.答案{x|x≤-3或x≥2}9.(2013重庆,16,5分)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是. 答案(-∞,8]10.(2013江西,15(2),5分)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.答案[0,4]11.(2016课标全国Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析(1)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)12.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.13.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.解析(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点含绝对值不等式的解法1.(2017浙江名校协作体,7)设函数f(x)=|2x-1|,若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,则x的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B2.(2017浙江嘉兴基础测试,3)已知a,b∈R,则“|a+b|≤3”是“|a|+|b|≤3”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B3.(2018浙江浙东北联盟期中,17)设a,b∈R,a<b,记函数f(t)=|x+t|,t∈[a,b]的最大值为函数g(x),则函数g(x)的最小值为.答案4.(2018浙江9+1高中联盟期中,17)当x∈时,不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立,则6a+b的最大值是.答案 65.(2017浙江温州模拟考(2月),17)已知a,b,c∈R,若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R恒成立,则|asinx+b|的最大值为.答案 2B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江柯桥质量检测(5月),8)已知x,y∈R,( )A.若|x-y2|+|x2+y|≤1,则+≤B.若|x-y2|+|x2-y|≤1,则+≤C.若|x+y2|+|x2-y|≤1,则+≤D.若|x+y2|+|x2+y|≤1,则+≤答案 B2.(2017浙江金华十校调研,9)设x,y∈R,下列不等式成立的是( )A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B.1+2|x+y|≥|x|+|y|C.1+2|xy|≥|x|+|y|D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|答案 A二、填空题3.(2018浙江萧山九中12月月考,17)记max{a,b}=设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对于任意实数x,y都有M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是.答案[1-,1+]4.(2017浙江温州三模(4月),15)若关于x的不等式|x|+|x+a|<b的解集为(-2,1),则实数a= ,b= .答案1;35.(2017浙江杭州二模(4月),17)设函数f(x)=若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(l>0)对任意实数x都成立,则l的最小值为.答案2三、解答题6.(2016福建漳州二模,24)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解析(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,所以-7<|x-1|<3,得不等式的解集为{x|-2<x<4}.(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含绝对值的不等式的解法1.(2016广东中山华侨中学模拟,24)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对任意x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)不等式f(x)>2等价于或或(2分)解得x<-6或<x≤2或x>2,∴x>或x<-6.∴不等式的解集为.(5分)(2)∵f(x)=∴f(x)min=f(-1)=-3,(8分)若对任意x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t,即2t2-7t+6≤0,解得≤t≤2,综上所述,≤t≤2.(10分)方法2 与绝对值不等式有关的综合问题的解题策略2.(2016安徽皖南八校联考,24)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥2的解集;(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为⌀,求a的取值范围. 解析(1)当x>时,f(x)=3x≥2,解得x≥,当-1≤x≤时,f(x)=2-x≥2,解得-1≤x≤0,当x<-1时,f(x)=-3x≥2,解得x<-1.综上,不等式的解集为(-∞,0]∪.(2)由题意知,f(x)≥a对一切实数x恒成立,当x>时,f(x)=3x>,当-1≤x≤时,f(x)=2-x≥,当x<-1时,f(x)=-3x>3,综上,f(x)min=,故a≤.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用课件
所以 m≤fxfx2＋4对于 x∈R 恒成立.
8分
而fxfx2＋4＝f(x)＋f4x≥2 fx·f4x＝4，且f0f02＋4＝4，所以 m≤4，故实数
m 的最大值为 4.
12 分
[规律方法] 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法： (1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所 给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件， 从而得到参数的值或范围．
重点 3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数 f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设 a ＝2，b＝12. (1)求方程 f(x)＝2 的根； (2)若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，求实数 m 的最大值.
【导学号：00090203】
[解] 因为 a＝2，b＝12，所以 f(x)＝2x＋2－x.
2分
(1)方程 f(x)＝2，即 2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即
2x＝1，解得 x＝0.
5分
(2)由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为 f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0，
(2)由已知得x＋22y＝1. 则x＋xy8y＝1y＋8x＝1y＋8xx＋22y ＝1210＋xy＋1x6y≥12(10＋2 16)＝9， 当且仅当 x＝43，y＝13时取等号．]
(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示， 令 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z.作直线 l0：y＝－ax，平移 l0，
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课时分层训练(七十一) 坐标系
1．若函数y ＝f (x )的图像在伸缩变换φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝
3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．
[解] 由题意，把变换公式代入曲线方程y ′＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.
2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN
的面积．
[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)法一：将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
法二：直线C 3的直角坐标方程为x －y ＝0，圆C 2的圆心C 2(1,2)到直线C 3的距离d ＝12
＝
2
2
，圆C 2的半径为1， 所以|MN |＝2×
12
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＝2，所以△C 2MN 的面积为12.
3．(2018·合肥一检)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，
y ＝3＋3t
(t 为参数)．以坐标原点
为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C 的方程为sin θ－3ρ cos 2
θ＝0.
(1)求曲线C 的直线坐标方程；
(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． [解] (1)∵sin θ－3ρcos 2
θ＝0， ∴ρsin θ－3ρ2
cos 2
θ＝0，即y －3x 2
＝0. (2)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，
y ＝3＋3t ，
代入y －3x 2
＝0，
得3＋3t －3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12t 2
＝0，即t ＝0.
从而交点坐标为(1，3)．
∴交点的一个极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
4．在直角坐标系xOy
中，曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
【导学号：79140387】
[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋
y 2－23x ＝0，
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，
x 2
＋y 2－23x ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π
6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.
5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参
数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，则C 1是以(0,1)为圆心，
a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.
6．(2018·湖北调考)在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且依次按逆时针方向排列，点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4.
(1)求点C 的直角坐标；
(2)若点P 在曲线C 2：x 2
＋y 2
＝4上运动，求|PB |2
＋|PC |2
的取值范围.
【导学号：79140388】
[解] (1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1,1)． 由A ，C 关于y 轴对称，则C (－1,1)． (2)易得B (0,2)，C (－1,1)．
曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2
＋(y －1)2
＝1. 设P (x ，y )，x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 则|PB |2
＋|PC |2
＝x 2
＋(y －2)2
＋(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2x 2
＋2y 2－6y ＋2x ＋6 ＝14＋2(x －3y )
＝14＋2(2cos θ－6sin θ)
＝14＋4(cos θ－3sin θ)
＝14＋410cos(θ＋φ)．
所以|PB|2＋|PC|2∈[14－410，14＋410]．。