第八节对数与对数函数
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
对数与对数函数
对数与对数函数一．基础知识1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log na M = ； （4）log n a m M = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
7.同真数的对数值大小关系如图在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<<8.对数式、对数函数的理解① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
对数与对数函数
对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。
对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。
对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。
在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。
具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。
用符号表示就是log_a(b) = x。
在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。
1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。
因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。
2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。
3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。
对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。
对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。
对数函数的图像呈现出一些特点。
当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。
对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。
对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。
1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。
例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。
通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。
2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。
计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数与对数函数
对数运算1、对数的定义：如果 a(a>0,a ≠1)的b 次幂等于N , 就是a b =N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作log a N=b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（N > 0）2、指数和对数的关系：Na b= bN a=log3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a，NaNa=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log Nlog M log N M log Nlog M log (MN)log a na a a a a a a M n M5、换底公式：log log log c a c a b b=6、两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ bmn banamloglog=（ a , b > 0且均不为1）7、对数函数定义：函数 x y a log = )10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数。
(一)选择题12=13x x．若，则的值等于（ ）A log 3B log 3C log 2D log 2212313．．．．2．下列各式中正确的是 （ ）A ．lg3＋lg7=lg(3＋7)B ．4ln3＝ln(3×4)C ．lg4－lg7=lg(4－7)D ．e lnN =N 3．下列结论正确的是 （ ）①lg(lg10)＝0② lg(lne)＝0③若10＝lgx 则x=10④若e=lnx ，则x=e 2 A ．①、③ B ．②、④C ．①、②D ．③、④4．有以下四个命题：（ ）①若log 3x ＝3，则x ＝9②若则③若＝，则④若－，则log x =12x =2logx 0x =3log x =3x =1254315其中是真命题的个数为（ ）A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 5lga lgb 2x 4x 1=02．已知、是方程－＋的两个根，则的值是(lg)a b2（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知|lga|=|lgb|，(a ＞0，b ＞0)那么（ ）A ．a ＝bB ．a ＝b 或a ·b=1C ．a ＝±bD ．a ·b=17log [log (log x)]=0x 643．若，则等于-12（ ）A 9BCD ．．．．193338．若lg2=a ，lg3=b ，则log 512等于（ ）A B C D ．．．．21212121a b a a b a a b ca b a+++++-+-9 2.5=1000(0.25)=1000xy．若，，则等于11xy-（ ）A B C D ．．．．12131415(二)填空题1=29=3(log 3log 3)=1248．化简．．计算．．计算＋·．lg lg lg lg log 23939123-+-4log(6+42642)=5log2=1a alog 3=32．．．已知，则．---6．若log π(log 3(lnx))=0，则x=________． 7．化简lg 25＋lg2·lg50=________．8log500lg85lg6450(lg2lg5)2．计算＋＋＋＝．-12参考答案(一)选择题一、1．B ，2．D ，3．C ，4．B ，5．C ，6．B ，7．B ，8．C ，9．B ． (二)填空题11lg323435a 6e 718529lg33．—，．，．，．，．，．，．，．，．32556对数函数的图像与性质指数函数与对数函数图像对照1>a 1a 0<<指数函数与对数函数性质对照表典型例题：例1、求下列各式中的x ．(1)21log54-=x ； (2)235log =x ； (3)0)22(log22=--+x x x ．解：(1)2545)54(21===-x ． (2)523=x ，得332255==x ．(3)由对数性质得⎩⎨⎧≠+>+=--12,021222x x x x 解得3=x ．变式：计算： (1)9)4(log 2=x ； (2)1)78(log 2)1(=+--x x x ；（3）()()32log 32-+（解析 (1)34log ±=x ，得34=x 或341=x ． (2)由对数性质得8=x ．（3）令=x ()()32log32-+=()()13232log -+-, ∴()()13232-+=+x , ∴1-=x ） 例2.求下列函数的定义域：()21log a y x =；（2）2log (4)a y x =-；（3）log 4ax y x=-.解（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞ . （2）因为240x ->，即240x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-. （3）因为04x x>-，即()40x x -<，所以函数log 4ax y x=-的定义域是()0,4.练习1.求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--x y (2) )52(log 22++=x x y (3) )54(log 231++-=x x y(4) )(log 2x x y a --=解(1)：要使函数有意义，必须：041212≥---x即：11212≤≤-⇒-≥--x x值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x ∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x∴210≤≤y(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y(3)函数有意义，必须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x 由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x ∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必须： 02>--x x ①)(log 2≥--x xa ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(m ax 2=--x x ∴4102≤--<x x∴41log )(log 2aa x x ≥-- 41logay ≥)10(<<a练习2：求下列函数的定义域(1) )27(log)15(-=-x y x (2))23(log5.0-=x y(3))1,0)(1(log ≠>-=a a a y x a解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-027115015x x x 得72>x 且52≠x ．所求定义域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,5252,72 ．(2)由0)23(log5.0≥-x 得1230≤-<x ，解得132≤<x ，所求定义域为⎥⎦⎤⎝⎛1,32．(3)由01>-x a 得1>x a ，当1>a 时，0>x ，当10<<a 时，0<x ． 所求定义域为当1>a 时，()+∞∈,0x ；当10<<a 时，()0,∞-∈x ．例3.利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）3log 5和3log 7; (2) 0.5log 3和0.5log π； （3）1log 2a 和1lo g 3a，其中0,1a a >≠变式：比较下列各数大小：(1)3.0log7.0log4.03.0与 (2) 214.36.0317.0log,8.0log-⎪⎭⎫ ⎝⎛和 (3) 1.0log1.0log2.03.0和解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=> ∴3.0log 7.0log 4.03.0< (2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log4.3< 13121>⎪⎭⎫⎝⎛-∴216.04.3318.0log7.0log-⎪⎭⎫⎝⎛<<(3) 解： 03.0log11.0log1.03.0>=02.0log11.0log1.02.0>=∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0>例4：求函数)183(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明。
对数与对数函数
常考题型
技 巧
对数运算的
点
一般思路
拨
1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 2.将同底对数的和、差、倍合并 3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式 4.利用常用对数中的lg2＋lg5＝1
常考题型
题 型 二
对 数 函 数 的 图 象 及 应 用
例3 (2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
常考题型
考法(一) 比较对数值的大小
题
型
A
三
对
数
函
数 的 性
a＝log3π＞log33＝1
a＞b
质
a＞b＞c
及
应
b＞c
用
常考题型
题 型 三
对 数 函 数 的 性 质 及 应 用
考法(二) 解简单的对数不等式 C
a＞1或－1＜a＜0
常考题型
技 巧 点 拨
常考题型
看个性
技 巧 点 拨
考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小. 常有以下题型及求法：
a＞1
0＜a＜1
(0，＋∞)
值域
R
性质 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
当x＝1时，y＝0
函数值
当x＞1时，y＞0
当x＞1时，y＜0
变化规律 当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
核心考点
常 用 结 论
1．换底公式的两个重要结论
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
常考题型
例3 (2019·合肥质检)函数y＝ln(2－ |x|)的大致图象为A( )
×
f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2} 令f(x)＝ln(2－|x|)
对数与对数函数
A. ①③
4.若 0<a<1, 则函数 y=loga(x+5)的图象不经过( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果 loga3>logb3>0, 则( B ) A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a
6.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则 a 的值为( B ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2· lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 · lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ; (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg 1 +lg0.06. 6 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1. (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1.
三、对数恒等式
alogaN=N(a>0 且 a1, N>0).
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广阔天地中，对数是一个十分重要的概念。
它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
接下来，让我们一起深入探索对数的世界。
一、什么是对数简单来说，对数就是一种表示数的方法。
假设我们有一个等式 a^b ＝ N（其中 a 是底数，b 是指数，N 是幂），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
例如，2³＝ 8，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3。
对数的出现，其实是为了简化计算。
在没有对数的概念之前，计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐，而对数的引入大大降低了计算的难度。
二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能为零或负数，所以对数中的真数（也就是幂的值）必须大于零。
2、logₐa ＝ 1因为 a^1 ＝ a，所以logₐa ＝ 1。
3、logₐ1 ＝ 0因为 a^0 ＝ 1，所以logₐ1 ＝ 0。
4、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。
假设logₐM ＝ p，logₐN ＝ q，那么 a^p ＝ M，a^q ＝ N，所以 M × N ＝ a^p × a^q ＝ a^（p ＋ q)，从而得出logₐ(M × N) ＝ p ＋ q ＝logₐM ＋logₐN。
5、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。
6、logₐM^n ＝n logₐM假设logₐM ＝ p，那么 M ＝ a^p，所以 M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^（pn)，从而得出logₐM^n ＝ pn ＝n logₐM。
三、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lg N。
例如，lg 100 ＝ 2。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 ln N。
对数与对数函数
4．对数换底公式
logaN＝
(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
5．对数函数的定义
函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，它是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的反数．
6．对数函数的性质
1．函数y＝
(x2－5x＋6)的单调增区间为( )
A．( ，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．(－∞， )
对数函数与指数函数互为反函数，在解决与对数函数相关的问题可类比指数 函数问题，不仅要注意二者之间的联系，同时更要明确二者之间的区别．
【例2】 设函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明：ab<1. 证明：证法一：由题设f(a)>f(b)，即|lg a|>|lg b|. 上式等价于lg2a>lg2b，即：(lg a＋lg b)(lg a－lg b)>0， lg(ab)lg >0，由已知b>a>0，得0< <1.∴lg<0，故lg (ab)<0，∴ab<1. 证法二：数形结合，函数y＝|lg x|的图象如图，由0<a<b且f(a)>f(b)可得两种 情况，①0<a<b<1，则ab<1或②0<a<1，b>1，则lg a<0，lg b>0. 故f(a)>f(b)等价于－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，可得lg(ab)<0，故ab<1.
二、
1. 指数函数y＝ax，a>0，a≠1与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数， 应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
对数与对数函数
对数与对数函数一、对数的性质与运算法则对数的性质：log N aaN ;log (01)N a aN a a 且换底公式：log loglogNN a bb a（a,b 均大于零且不等于1，N>0）对数的运算法则：如果a>0且a1，M>0，N>0，那么有log loglogMN M N a a alogloglogM M N N a aaloglognM M aan log lognmMM aa n m【注意】零和负数没有对数，且1log 0a，log 1aa 。
二、对数函数的图像与性质logx aya>1 0<a<1图像性质过定点（1,0）当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0。
在(0,)上是增函数当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0. 在(0,)上是减函数【注意】利用对数函数的性质，求与对数有关的复合函数值和单调性时，一定要把对数函数的定义域、单调性和其他性质结合起来，尤其是底数不确定时，要对底数进行讨论。
三、对数函数图像的应用在掌握函数图象变换的相关知识的基础上，识别对数函数的图象或选择利用图象求交点问题。
常以选择题、填空题形式出现，难度不大，属中档题。
【考法解读】1.掌握对数函数图象的特征，底数大小决定了图象的高低，指数数xy a 图象中“底大图高”，而对数函数log x ay图象中“底大图低”。
具体见下图（图（1）中a>b>1>c>d>0，图（2）中b>a>1>d>c>0）。
2.对数函数图象与其他函数图象结合考查图象的识别、求参问题，要注意化归思想在解题中的应用。
一般先由图象的增减情况确定log xa y，xya 中a 的取值范围，再讨论其他图象是否符合题意。
例1在同一直角坐标系中，函数()(0)xf x a x，()log xa g x 的图像可能是（）AB C D解析：根据对数函数性质知a>0,所以幂函数是增函数,排除A （利用点（1,1）也可以排除）；选项B 从对数函数图象看a<1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a>1，与幂函数图象矛盾。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数与对数函数
∴－a<，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.
7．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
7．2 008
解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.
解∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如图．
由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f()|≤1，
即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，
亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0<a<1时，得a－1≥≥a，得0<a≤.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
五、回家作业
1．设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.
1．(－∞，1]
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二利用对数的运算性质求解：
log(2＋)(2－)＝log(2＋)
＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.
(2)原式＝(lg 32－lg 49)－ ＋lg 245＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
对数与对数函数
对数与对数函数一.知识要点： 1.对数概念（1）对数的定义：如果()0,1n a b a a =>≠，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记做()log 0,1a N b a a =>≠，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
由定义知负数和0没有对数。
通常以10为底的对数叫做常用对数，记做10lg log N N =。
以无理数e ＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。
记做ln log e N N =。
（2）对数的运算性质：()log log log ,log log log .log log ,log log ,,,,,,0,1m a a a aa a n n a a a a MMN M N M N NnM n M b b M N a b n m a m=+=-=∙=>≠（3）对数的恒等式：()log log log log 10,log 1,,log log 1log ,log ,log log log ,,,,0,,1log log a b b N N aN a a a b a a a b a b b a a N a Na N NN b b c c a b c N a b aa=======∙=>≠2.对数函数：（1）.定义：形如y=log a x (a>0,a ≠1)的函数叫做对数函数。
对数函数y=log a x (a>0,a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x 对称。
（3）.对数有关的大小比较的基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。
4）化同底或化同指数。
5）放缩法。
二.基础练习：1. 已知 函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为2．已知函数),1[)53(log )(221+∞-+-=在ax x x f 上是减函数，则 a 的范围为 ( )3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12x-等于4. 若定义在（－1，0）内的函数0)1(log )(2>+=x x f a ，则a 的取值范围是5. 函数y=log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y|>1，则a 的取值范围是6. 方程x x 2)4(log 2=+的根的情况是7. 若f(10x )= x , 则f(5) = .8.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.9．设函数222122*********()log (01),()8,()()...()a f x x a a f x x x f x f x f x =>≠=+++= 且若则 三.例题精讲：题型1：对数式的化简与求值例1 。
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基础梳理
1. 对数及对数的运算 logaN (1)定义：ab=N⇔b=________(a>0，且a≠1)． (2)积、商、幂、方根的的对数(M、N都是正数， a>0，且a ≠ 1，n>0) logaM+logaN ①loga(MN)=_______________. ②
log a M N
2×5 5 lg 8 = 4 = 1. 50 5 lg lg 3 40 4
2
(3)原式=
lg 2(2 ⋅1g 2 +lg 5) + (lg 2 )2 − 2lg 2 + 1 =lg 2 (lg 2+lg 5)+|lg 2-1| =lg 2lg(2 × 5)+1-lg 2 =1.
变式1-1 2 (1)求lg 25+ lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2的值；
(2)log 3
(3)2(lg 2) 2 + lg 2 lg 5 + (lg 2 )2 − 21g 2 + 1
分析：考查对数运算法则的逆用、lg 2与lg 5的关系， 指数与对数的互化、对数运算法则的运用等．
lg
解：(1)原式= (2)原式 =
3 34 log 3 log 5 [2 log 2 10 − (3 2 ) 3 − 2] 3 1 = − log 3 3log 5 [2 log 2 10 − 3 − 2] 4 1 = − log 3 3log 5 5 4 1 =− 4
2
1
1 + ( a − 1) x + 的值域为R， 4
ax 2 + ( a − 1) x +
1 >0 4
恒成立，
1 − x + > 0 不能恒成立，∴a≠0； 4 a > 0 a > 0 即 2 ∆>0 ( a − 1) − a > 0
3− 5 3+ 5 <a< 2 2
错解分析 ∵函数y=log2 ax
0 < x < 4 得 a + 2 x > 0. 由0＜x＜4，得-x＞-4，
∴-2x＞-8，∴a＞-8. 由lg x+lg(4-x)=lg(a+2x)得-x2+2x=a， lg +lg(4- )=lg( +2 ) - +2 = 设y=-x2+2x=-(x-1)2+1(0＜x＜4)， y=a(a＞-8)．由图象可知： 当a＞1时，方程无实根； 当0＜a＜1时，方程有两个不等实根； 当-8＜a≤0或a=1时，方程有一个实根．
2
2
+
7 4
∴当log2x= (2)由题意
1 2
，即x=
7 2 时，f(log2x)有最小值 4
(log 2 x )2 − log 2 x + 2 > 2 x > 2或0 < x < 1 ⇒ ⇒ 0 < x <1 2 −1 < x < 2 log 2 ( x − x + 2) < 2
a
1+ a
>a
1+
1 a
，则②④正确．
变式2-1 ④ 已知0<x<y<a<1，则下列式子中正确的是________． ①loga(xy)<0; ②0<loga(xy)<1； ③1<loga(xy)<2; ④loga(xy)>2. 解析： ∵0<a<1，∴y=logax在(0，+∞)上是减函数． 又0<x<a，∴logax>logaa=1.又0<y<a，∴logay>logaa=1. ∴loga(xy)=logax+logay>2.
变式4-1 1− x 已知函数f(x)=loga 1 + x (a>0，a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性，并证明； (3)求使得f(x)>0成立的x的取值范围． 解析：(1)由题意知 >0，得函数f(x)的定义域 为(-1,1)． (2)f(x)为奇函数． 证明：因为函数的定义域关于原点对称 且
解析： 如图所示，在平面直角坐标系中描出集合Q中所包含 的12个点．集合P中共有12个函数，函数y=log2x是其 1 中之一，则其经过(1,0)， 2 , −1 两点，其他函数可以经过图 1 象的平移得到，可以验证，函数y=log2x+1，y=log2 x + 2 ， 1 y=log2 x + 2 +1，y=log2(x+1)-1，y=log2(x+1)+1都符合题意， 而其他的函数经过12个点中的0个、1个或者3个 (y=log2(x+1))，故答案为6.
题型四 对数函数性质的综合运用 【例4】若f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b，log2[f(a)]=2,(a≠1)． (1)求f(log2x)的最小值及对应的x值； (2)x取何值时，f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)． 解析： (1)∵f(x)=x2-x+b， ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b. 由已知(log2a)2-log2a+b=b， ∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1，∴log2a=1，∴a=2. 又log2[f(a)]=2，∴f(a)=4，∴a2-a+b=4， ∴b=4-a2+a=2. 1 ∴f(x)=x2-x+2.从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2= log x − 2
2. 对数函数的图象与性质 a>1 图象 定义域： 值域： 性质 定点 (0，+∞) R
(-∞，0) 当0<x<1时，y∈_______； (0，+∞) 当x>1时，y∈______
0<a<1
(0，+∞) R
(0，+∞) 当x>1时，y∈______ 当0<x<1时，y∈___； (-∞，0)
当x=1时，y=0即过定点 (1,0) 在(0，+∞)上为____函 在(0，+∞)上为 增 减 数 ____函数
基础达标
1 1. (必修1P64习题5改编)(lg5)2+lg2·lg50=________. 解析：原式=(lg 5)2+lg 2×[lg 5+1] =(lg 5)2+lg 2 · lg 5+lg 2=lg 5[lg 5+lg 2]+lg 2=lg 5+lg 2=1. 1 x-1=10，则x=________. 1+ 2. (必修1P70习题10改编)若2 lg 2 解析：两边取常用对数，则lg 2x-1=lg10=1， 1 1 ∴(x-1)lg 2=1，∴x-1= lg 2, x = 1 + lg 2 . 3. (必修1P70习题11改编)不等式log2(x+2)>2的解集 (2，+∞) 为________． 解析：x+2>22⇒x>2.
(3)a
1+ a
<a
1 1+ a
(4)a1+ a > a
1+
1 a
其中成立的是________． 分析：利用函数y=ax与y=logax的单调性比较大小． 解：由0<a<1⇒ 所以
a< 1 1 ⇒ 1+ a < 1+ ， a a
1 log a (1+a)>log a 1 + , a
变式3-1 1 x+ + 1 (2011启东中学期中考试)函数y=log0.5 x − 1 (-∞，-2] (x＞1)的值域是________． 解析：∵x＞1， ∴
x −1+ 1 +2≥4 x −1
， ≤-2.
1 x+ + 1 ∴log0.5 x − 1
∴(0，+∞)必须是u(x)= 函数
u = ax 2 + ( a − 1) x + 1 4
ax 2 + ( a − 1) x +
1 > 0值域的子集， 4
必须开口向上且与x轴有交点，
a > 0 a > 0 ∴ , 即 1 2 ∆ ≥ 0 ( a − 1) − 4 × a ≥ 0 4 3− 5 3+ 5 解得 0 < a ≤ 2 或a ≥ 2
而-1<x<1，解得0<x<1. 综上所述，当a>1时，x的取值范围为(-1,0)； 当0<a<1时，x的取值范围为(0,1)． 0<a<1 x (0,1)
易错警示
【例】 若函数y=log2 ax 2 + ( a − 1) x + 4 的值域为R， 求实数a的取值范围． 错解 ∵函数y=log2 ax ∴对任意x∈R， 若a=0，则 若a ≠ 0，则 解得
logaM-logaN =________________.
nlogaM ③logaMn =____________.
(3)对数的换底公式及对数的恒等式 (a>0且a ≠ 1，b>0且b ≠ 1，N>0，n>0，m>0，c>0) ①alogaN=________(对数恒等式)． N
log b N ②logaN=________(换底公式)． logb a
4. 已知log7[log3[log2x]]=0，则