河北省唐山一中2013届高三第二次月考数学文 Word版含答案

唐山一中2012-2013年第一学期第二次月考高三年级数学试卷（文科）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用黑色钢笔或黑色签字笔答在试卷上。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1、已知集合}1|1||{<-=x x M ，)}32(log |{22++==x x y y N 则=N M ( ) A.}21||{<≤x x B.}20||{<<x x C.}21||{<<x x D.φ2、已知i 是虚数单位，则复数ii -+1)1(2的虚部等于（ ）A.1-B. i -C. iD. 13、已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(=b ，则||b a -的最大值为（ ） A.1 B.3 C.3 D.94、在等差数列}{n a 中，前n 项的和为n S ，若11862a a +=，则=9S （ ）A.54B.45C.36D.27 5、下列四个命题中的真命题为（ ） A. ∈∃x R ,使得5.1cos sin =+x x ； B. ∈∀x R ,总有0322≥--x x ；C. ∈∀x R , ∈∃y R ,x y <2D. ∈∃x R , ∈∀y R ,y x y =⋅6、已知某几何体的三视图如左上所示，则这个 几何体的外接球的表面积等于（ ）A.π37B.π328 C.π8 D.π167、要得到函数)23cos(x y -=π的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）A.向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位8、按照如右图所示的程序框图执行，若输出的结果为15， 则M 处的条件可为（ ）A. 8≥kB. 8<k开始 是否 k=1 S=0M 31 12主视图 左视图俯视图C. 16<kD. 16≥k9、函数 ()sin xf x e x -=的单调递增区间（ ）()k Z ∈A.52,244k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ C.32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D.52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦10、过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作直线交抛物线于A 、 B 两点，O 为抛物线的顶点，则△ABO 是一个 ( )A.等边三角形B.直角三角形C.不等边锐角三角形D.钝角三角形11、已知函数x x f lg )(=,若b a <<0,且)()(b f a f =则b a 2+的取值范围是（ ） A.(22,)+∞ B.[22,)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞12、已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=0,1)1(0),1(log )(2x x f x x x f ，则=)2011(f （ ）A.2012B.2011C.2010D.2009第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1——160 编号。

按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组 应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是______________.14、已知实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤-42211y x x y x ，则y x 3-的最大值为________________.15、已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右焦点F ，若过F 且倾斜角为600的直线l 与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e 的范围是_________________.16、已知直线)(R m mx y ∈=与函数312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 __________ .三、解答题：(大题共6个小题满分70分，17题10分，其余各题均12分．) 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 18. （本小题满分12分）已知函数)(1sin 2cos sin 2)(2R x x x x x f ∈+-=． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3=a ，A 为锐角，且32)8(=+πA f ，求ABC ∆面积S 的最大值． 19. （本小题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 .第6小组的频数是7.（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a 、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.20. （本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值．BADE F21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q . （1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为B A ,，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，试求a 的取值或取值范围； （3）设函数118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+，(]1,x b ∈-，(1)b >-，如果存在(],1a ∈-∞-，对任意(]1,x b ∈-都有()0h x ≥成立，试求b 的最大值．唐山一中高三数学第二次月考参考答案（文）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分．共60分．） ADCADB ADBDCB二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 13．6 14．2 15．),2[+∞ 16. 3(,)2+∞ 三、解答题：(大题共6个小题，满分70分．)17. 解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，………………3分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ………………6分 （2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易知数列各项不为零(注：可不证不说)，∴113n n a a -=-对2n ≥恒成立， ∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列， ………………10分 ∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-，∴33log ||log 3nn a n -==-，即n b n =-． ………………12分18. 解：（Ⅰ） 1sin cos sin 2)(2+-=x x x x f =+=x x x 2cos cos sin 2)2cos 222sin 22(22cos 2sin x x x x +=+ =)42sin(2π+x ———2分 ∴)(x f 的最小正周期为π；————————————————————3分)(224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ，∴)(883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ ∴)(x f 的增区间为))(8,83(Z k k k ∈++-ππππ————————————5分（Ⅱ）∵32)8(=+πA f ∴32)22sin(2=+πA ， ∴312cos =A ， ∴311cos 22=-A ．∵A 为锐角，即20π<<A ，∴36cos =A∴33cos 1sin 2=-=A A ．————————————————————7分 又 3=a ，由余弦定理得：A bc cb a cos 2222-+=，即362)3(222⋅-+=bc c b ， bc c b 222≥+， ∴26329+≤bc ．—————————————————————————9分 ∴=⋅+≤=33)26329(21sin 21A bc S 4)23(3+．—————————10分19．解：（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．…………4分 （Ⅱ）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内. …………8分（Ⅲ）设成绩优秀的9人分别为,,,,,,,,,a b c d e f g h k 则选出的2人所有可能的情况为：,,,,,,,;ab ac ad ae af ag ah ak ,,,,,,;bc bd be bf bg bh bk ,,,,,;cd ce cf cg ch ck ,,,,;de df dg dh dk ,,,;ef eg eh ek ,,;fg fh fk ,;gh gk hk . 共36种，其中a 、b 到少有1人入选的情况有15种，∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为155.3612P ==…………12分20. 解答：如图，（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，B A DC G F EH连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， ……………3分 ∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ；……………6分 （2）取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ， 又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ，∴CEG ∠即为直线CE 与平面ABED 所成的角，……………9分 设为α，则在Rt CEG ∆中，有36sin 422CG CE α===． ……………12分21．(1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，——6分 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，知x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB →＝(－2，1)． 所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22，故不存在符合题意的常数k .————12分22. 解答：（1）当1a =时，32()f x x x x =+-，∴/2()321f x x x =+-， 令/()0f x =，则113x =，21x =-， ………………2分x 、/()f x 和()f x 的变化情况如下表 x(,1)-∞-1-1(1,)3-131(,)3+∞ /()f x+0 -0 +()f x极大值(1)1f -=极小值15()327f =-即函数的极大值为1，极小值为527-； ………………4分 （2）2()32f x ax x a '=+-，若()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 则()f x '在区间[0,)+∞内恒大于或等于零， 若0a <，这不可能，若0a =，则2()f x x =符合条件，若0a >，则由二次函数2()32f x ax x a '=+-的性质知23(0)0af a ⎧-<⎪⎨⎪=->⎩，即00a a >⎧⎨<⎩，这也不可能， 综上可知当且仅当0a =时()f x 在区间[0,)+∞上单调递增； ……………8分 （3）由2()32f x ax x a '=+-，118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+， ∴2()(21)(13)h x ax a x a =+++-，(]1,,(1)x b b ∈->-， 当1x b -<≤时，令2(21)(13)0ax a x a +++-≥，………………①，由(],1a ∈-∞-，∴()h x 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又(1)40h a -=->，∴不等式①恒成立的充要条件是()0h b ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥，…10分∵1b >-，∴10b +>，且0a <，∴22311b b b a+-≤-+，依题意这一关于a 的不等式在区间(],1-∞-上有解，∴2max 231()1b b b a +-≤-+，即22311b b b +-≤+，240b b +-≤，∴11711722b ---+≤≤，又1b >-，故11712b -+-<≤，从而max 1172b -+=． ………………12分。