九年级数学上册专题训练(一)矩形中的折叠问题(选做)(新版)北师大版
数学北师大版九年级上册矩形的性质与判定的综合应用——矩形中的折叠问题
矩形的性质与判定的综合应用矩形中的折叠问题【学习目标】1.明白折叠过程的实质是轴对称变换，能找出对应边和对应角的相等关系.2.尝试利用勾股定理、相似等知识解决矩形折叠中的常见问题.3.尝试在复杂的折叠过程中，理清基本的对应关系.【学习重点】1.能够在折叠变换中找出具有相等关系的对应边和对应角.2.运用勾股定理、相似性质等求出折叠问题中特定线段的长度.【学习难点】灵活运用方程、相似、对称等数学知识解决折叠有关的综合问题。
【候课朗读】本课学习准备的旧知回顾【学习过程】一、学习准备1．旧知回顾图形的折叠是指把某个图形或图形的一部分沿某条直线折叠，这条直线就成了对称轴。
几何图形的折叠问题，其实质是轴对称问题。
轴对称的基本性质：对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
工具准备：用矩形纸片按照例1所示折叠，指出折叠过程中的对应边和对应角。
2．本课思维导航二、典例分析3．利用对称性质求解例1．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，折痕交AD于E，交BC于F，连结EC。
求证：四边形AFCE为菱形。
思路启迪：由折叠，能得到哪些边和角相等？反思：你用了折叠的什么性质？得到了什么结论？即时练习1：如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，．cm2B cm2C cm2cm24．对称+勾股定理例2．按照下面的方式折叠矩形ABCD：（1）在图1中，若沿BD折叠，C落在C′处，AB=4，BC=8，求AF．（求△BFD的面积）（2）在图2中，若对折使C落在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．思路启迪：请把条件尽量在图形上标示出来，你能想到什么？反思：你用到了什么重要定理和思想方法？即时练习2：如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，求ED 的长。
5．对称+相似例3．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC为16，宽AB为8，则折叠后折痕EF的长是多少？思路启迪：连结AC，AC与EF有什么关系？反思：你还有其他解法吗？6．对称+动点例4．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．思路启迪：请用纸片按题意折叠，看一看A′和P、Q的移动位置。
北师大版九年级数学上名校课堂专题训练(一)(含答案)
专题训练(一) 矩形中的折叠问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为()A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB ＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，∴BF＝6 cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即EF的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2.∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5.故BF＝5 cm.(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，∴AF＝102＋52＝55(cm)．7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．∵AB＝BD＝3，∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠BAD＝45°.∴∠DAE＝∠BAD＝45°.∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.∴点E的坐标为(0，1)．（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m. 假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝DE2－CD2＝32－12＝2 2.则有OE＝OC－CE＝m－2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.即42＋(m－22)2＝m2.解得m＝3 2.8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.解得x ＝73. ∴PB ＝73. 综合得PB ＝6或4或73. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。
初三矩形折叠练习题
初三矩形折叠练习题矩形折叠是初中数学中的一个重要概念，通过矩形的折叠可以帮助我们理解面积、周长和体积等概念。
在初三的学习中，我们经常会遇到一些涉及矩形折叠的练习题。
本文将介绍一些常见的初三矩形折叠练习题，并给出详细的解答过程。
练习题一：将一张长方形纸片一次对折两次，然后将它剪掉四分之一。
请问，剩下的部分是什么形状？解答过程：1. 首先，我们将长方形纸片一次对折。
折叠后，我们可以得到一个正方形。
2. 接下来，我们再将正方形纸片一次对折。
折叠后，我们可以得到一个边长为原长方形宽度的等腰直角三角形。
3. 最后，我们将这个等腰直角三角形剪掉四分之一。
剩下的部分是一个等腰直角三角形。
练习题二：一张矩形铜板的长是宽的2倍。
如果将它折叠两次，得到的形状是一个正方形的零件，请问矩形铜板的长和宽各是多少？解答过程：1. 假设矩形铜板的宽为x，则其长为2x。
2. 将矩形铜板折叠一次，得到的形状是一个长和宽都是x的正方形。
3. 将上面得到的正方形再折叠一次，得到的形状仍然是一个正方形，边长为原来正方形的边长的一半，即x/2。
4. 根据题意，x/2 = x。
解这个方程可以得到x的值。
x/2 = x2 = 2x1 = x5. 因此，矩形铜板的宽为1，长为2。
练习题三：一次性的塑料碟子可以承受最大4KG的重力，张三想用这些塑料碟子制作一个长方体盒子，以便存放一些书籍。
已知每本书的重量为0.5KG，盒子的长宽高都是整数。
请问这个盒子最多能存放多少本书？解答过程：1. 假设盒子的长、宽、高分别为x、y、z，且都是整数。
2. 盒子的体积为x * y * z。
3. 根据题意，盒子的体积不能超过4，即x * y * z <= 4。
4. 书籍的重量为0.5KG，所以盒子最多能放的书的重量为4KG /0.5KG = 8本书。
5. 要使得盒子最多能放8本书，同时又满足x * y * z <= 4，我们可以列出以下可能的长、宽、高组合：- x = 1, y = 1, z = 4- x = 1, y = 2, z = 2- x = 1, y = 4, z = 1- x = 2, y = 1, z = 2- x = 2, y = 2, z = 16. 因此，这个盒子最多能存放8本书。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：与矩形相关的折叠问题
与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
下面从几个不同的层面展示一下。
例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。
因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。
下面的这个题目就是用这个思路解决的。
九年级数学 中考专题之一折叠问题
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
问题2：若BC=4,AB=3,求FD的长度。 问题2
问题3：如图2，连接AE,证明：AE ∥BD 问题3
E
A
D
F
B
C
图2
问题4：如图2，若BC=4,AB=3,求AE:BD 问题4
E
A
D
F
B
C
图2
变式1
变式1：折叠矩形ABCD，让点C落在 对角线BD上（如图3）若AD=4，AB=3， 请求出线段BE的长度。
A
D
F
B
C
E
图3
画板 演示
例题讲解
[例]如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，
O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，
OA=6，OC=2。
（1）分别写出A、B、C三点的坐标。
（2）已知直线l经过点P（0，-1/2）并把矩形OABC
的面积平均分为两部分，求直线l的函数表达式.
（3）设（2）的直线l与矩形的边OA、BC分别相
交于M和N，以线段MN为折痕把四边形MABN翻折，
使A、B两点分别落在坐标平面的A’、B’位置上。
求点A’的坐标及过A’、B、C三点的
画板
抛物线的函数表达式。
演示
课堂训练
1.如图，Rt△ABC中,∠ACB=90°，∠A 类型1 =50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′
引例
北师大版九年级（上）第108页第11题
题目：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什 么图形？试说明理由。
问题1
问题1：连结CE,CE与BD有什么位置关系？
北师版九上数学专题1矩形、正方形中的四个常考模型(课外培优课件)
（第5题图）
数学 九年级上册 BS版
6. 如图，已知点 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片
沿 AE 对折，点 D 的对应点 D '恰好在线段 BE 上，且 AD ＝3， DE
＝1，则 AB ＝
5 .
（第6题图）
数学 九年级上册 BS版
∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得
CF2＋ CE2＝ EF2.
∴42＋ x2＝（8－ x ）2.∴ x ＝3.
即 CE 的长为3 cm.
故 CF ＝4 cm， CE ＝3 cm.
数学 九年级上册 BS版
9. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点，
60°得到线段 BP '，连接 PP ' ， CP '.当点 P ' 落在边 BC 上时，则
∠ PP ' C 的度数为 120° ； 当线段 CP ' 的长度最小时，则∠
边 AB 在 x 轴上，边 AB 的中点是坐标原点 O . 将正方形绕点 C 按
逆时针方向旋转90°后，则点 B 的对应点 B '的坐标是 （3，2） .
（第4题图）
Байду номын сангаас
数学 九年级上册 BS版
5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝3.将矩形 ABCD 绕点 A
按逆时针方向旋转一定角度得到矩形 AB ' C ' D '.若点 B 的对应点
数学 九年级上册 BS版
北师大版九年级数学上册_矩形中考特色题
1 / 3矩形中考特色题近年来有关矩形的中考新题频频出现，问题情景在不断创新．现选取几例中考题，加以分析，供同学们赏析．一、折叠问题例1（大连西岗区）将一张纸片沿图中①、②的虚线对折得图2中的③，然后剪去一个角，展开铺平后的图形如图2中的④，则图2中的③沿虚线的剪法是( )析解：解这类问题的关键是要记住折痕线和最后的层数．此题与一般的折叠问题略有区别，是指定图形找剪法的．解这道题除了要记住折痕线和最后的层数外，还要关注剪的角度，最好动手操作．此题选B ．点评：折纸是一种学习探索与娱乐两者兼备的活动，由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而倍受中考命题者的青睐．二、剪拼问题例2（枣庄市）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（）析解：这道题主要考查动手、动脑能力．通过剪剪、拼拼制作几何图案的活动，激发了同学们的学习兴趣、增强了创造意识和审美观念．对于此题，通过实践操作，只有D 的两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形，故应选D ．DCB A 图 2④③2 / 3ABCDEF点评：动手实践、自主探索、合作交流是新课标倡导的学习方法．剪纸拼图能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而已成为中考的一个亮点．三、与整式乘法结合题例3（眉山市）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a + b ），宽为（a + b ）的矩形，则需要A 类卡片 张，B 类卡片 张，C 类卡片 张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．析解：这是一道典型的数形结合题，利用矩形的面积解释整式的乘法意义．可以把要拼的矩形长和宽相乘：（2a + b ）（a + b ）=2a 2+3ab+b 2，其中a 2、b 2视为A 、B 类卡片，ab 视为C 类卡片．可见要拼一个长为（2a + b ），宽为（a + b ）的矩形，则需要A 类卡片2张，B 类卡片1张，C 类卡片3张．拼法不唯一，如上右图所示．点评：本题充分表现出数形结合思想，将代数式恒等变形在几何图形上给予直观体现，不但考查了多项式相乘这一知识点，还能激发同学们不断探索研究的兴趣．这类题已成为近年中考中一道亮丽的风景线．四、开放说理题例4（泸州市）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=．(写出一条线段即可)aaaab abab abab ba3 / 3分析：这是一道结论开放性试题，添加的结论往往不唯一．可以添加DF=AB 或DF=CD 等．然后利用矩形的有关性质，通过证明ΔADF ≌ΔEAB ，达到证明线段相等的目的． 解：添加的结论是DF=AB ．证明：∵ABCD 是矩形，∴∠ABE=90º，AD ∥BC ．∴∠DAF=∠AEB （两直线平行，内错角相等）．又∵DF ⊥AE ，∴∠AFD=90º．在ΔADF 和ΔEAB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠AE AD AEB DAF EBA AFD 90，∴ΔADF ≌ΔEAB （AAS ），∴DF=AB （全等三角形对应边相等）．点评：常见开放性试题类型有条件开放性、结论开放性及策略开放性三种．由于这类题对于激发创新意识、启迪创新思维、培养创新和探究精神有着独特的功能，因而成为近年考试的热点题．。
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 专题训练 矩形与折叠
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形专题训练矩形与折叠选择题如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，∠EDF＝38°，则∠DBE的度数是()A. 25°B. 26°C. 27°D. 38°【答案】B【解析】由折叠的性质易得∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD，由AD∥BC可得∠FDB=∠CBD，由此可得∠EBD=∠FDB，由∠EDF=38°可得∠EFD=52°，这样结合∠EFD=∠EBD+∠FBD，即可得到∠DBE=26°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C=90°，∴∠FDB=∠CBD，∵△EBD是由△CBD沿着BD折叠形成的，∴∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD，∴∠EFD=180°-90°-∠EDF=90°-38°=52°，∠EBD=∠FDB，又∵∠EFD=∠EBD+∠FDB，∴∠EBD=∠EFD=26°.故选B.填空题将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．【答案】110．【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5==70°，∴∠2=110°，故答案为：110°．选择题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F 是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的最小值是()A. 5B. 6C.D. －1【答案】D【解析】如下图，连接CE，由已知易得BE=AE=1，BC=AD=3，由此在Rt △BCE中易得CE=，由折叠的性质可知A′E=AE=1，这样由三角形三边间的关系可知，当A′落在CE上时，A′C最短，此时A′C=.如下图，连接CE，∵点E是AB的中点，AB=2，∴BE=AE=1，∵在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=3，∴CE=，∵点A′是由点A沿EF折叠得到的，∴A′E=AE=1，∴由三角形三边间的关系可知：当点A′刚好落在CE上时，A′C最短，∴A′C最短=CE-A′E=.故选D.选择题如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A. 12厘米B. 16厘米C. 20厘米D. 28厘米【答案】C【解析】∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=20，∴AD=20，故选C填空题如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为.【答案】3或。
北师版初中数学九年级上册第一章 剖析矩形折叠计算问题
北师版数学九年级上册第一章 剖析矩形折叠计算问题折叠问题一直是中考的热点．下面就向同学们介绍在矩形中的纷呈折叠问题．供学习时参考1、沿着对角线折叠，求线段的比例１、如图1所示，四边形ABCD 是矩形，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则DE :AC =A ．1:3B ．3:8C ．8:27D ．7:25分析：1、求AC因为，AB :AD = 4:3，所以，设AB=4k ，AD=BC=3k ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AC=2222)4()3(k k AB BC +=+=5k ；2、求边AC 上的高DF如图2所示，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，因为，三角形ADC 的面积为：21×AD ×DC=21×AC ×DF ， 所以，3k ×4k=5k ×DF ，解得：DF=512k ． 3、求AF根据折叠的性质，知道BC=CE=AD ，我们易证四边形ACED 是一个等腰梯形，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，则AF=CG ，DE=FG=AC-2AF ，在直角三角形ADF 中，根据勾股定理，得： AF=2222)512()3(k k DF AD -=-=59k ； 4、求DE由DE=FG=AC-2AF ，所以，DE=5k-518k=57k ； 5、求线段的比所以，DE ：AC=57k ：5k=7：25． 解：选D ．2、折叠矩形，使矩形的一边与对角线重合，求线段的长度例2 如图3所示，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34C ．23 D ．2分析：1、求DB在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得：BD=222243+=+AB AD =5；2、求DA ′因为，折叠前后的两个图形是一对全等形．所以，△DAG ≌△DA ′G ， 所以，DA= DA ′=3， AG=A ′G ；3、设AG=A ′G =x ，则A ′B =DB- DA ′=5-3=2，BG=AB-AG=4-x ；4、求x在直角三角形G A ′B 中，根据勾股定理，得：A ′B 2+ A ′G 2=BG 2，x 2+ 22=（4-x ）2， 解得：x=23． 解：选C ．3、沿着某一条直线折叠，使矩形的宽边与长边重合 ，求线段的长例3、如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm分析：这是在矩形中，通过折叠方式获得最大正方形的一种方式．根据折叠的性质，知道△DEF ≌△DEC ，所以，EF=EC ，因为，EF=CD ，所以，EC=CD ，所以，四边形EFDC 是正方形， 所以，FD=EC ，所以，CD=FD=AD-AF=EC=BC-BE=10-6=4．解：选A ．4、沿着某一条直线折叠四边形，求角的度数例4、如图5所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）（A）70° （B）65° （C）50° （D）25°分析：折叠问题，有如下的几条性质，要记清：1、折痕所在的直线是一条起始边与这条边折叠后的终结边构成的角的平分线；2、折叠前后的两个图形是一对全等形．因此，折叠前后两个图形的对应边相等．因为，EF是折痕，边DE与边ED′是一对对应边，所以，EF是∠DE D′的角平分线，所以，∠DEF=∠D′EF，因为，AD∥BC，所以，∠DEF=∠EFB=65°，所以，∠DE D′=2∠DEF=130°，又因为，∠DE D′+∠AE D′=180°，所以，∠AE D′=50°．解：选C．5、沿着某一条直线折叠四边形，求线段之间的关系例5、如图6所示，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点'B处，点A 落在点'A处．若AE=a、AB=b、BF=C，请写出a、b、c之问的一个等量关系_________．分析：因为，折叠前后两个图形的对应边相等，所以，AE=A′E，BF=B′F，AB=A′B′，因为，EF是折痕，边BF与边B′F是一对对应边，所以，EF是∠B′FB的角平分线，所以，∠BFE=∠B′FE，因为，AD∥BC，所以，∠B′EF=∠BFE，所以，∠B′EF=∠B′FE，所以，BF=B′F= B′E，因为，AE=a 、AB=b 、BF=C ，所以，B ′E =c ，A ′B ′=b ，A ′E=a ，因为，折叠前后两个图形的对应角相等，所以，∠BAE=∠B ′A ′E=90°，因此，在直角三角形B ′A ′E 中，根据勾股定理，得：222b a c +=．解：a 、b 、c 之问的一个等量关系是222b a c +=．6、沿着某一条直线折叠三角形，求角的度数例6、如图7，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____．分析：在折叠的过程中，被折叠的图形在折叠前与折叠后是保持全等的，因此，对应的角、对应的线段应该是相等的，这都是隐含的条件，在解答时，你必须仔细认真进行挖掘．解：在这里，对称轴是EF 所在的直线，被折叠的图形是三角形ABE ，折叠后的图形变为三角形BE A ′，所以，△ABE ≌△A ′BE ，所以，∠ABE =∠A ′BE ，∠AEB =∠A ′EB ，因为，∠ABE +∠A ′BE +∠ CBA ′=90°，∠CBA ′=30°，所以，∠ABE =∠A ′BE =30°，所以，∠BEA =∠BE A ′=90°-30°=60°.。
北师大版九年级数学上专训1 利用矩形的性质巧解折叠问题
初中数学试卷专训1 利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中线段的长2．【2016·台湾】图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．(第2题)(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.(第3题)利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为31，求MN DN的值． (第4题)答案(第1题)1．解：设折叠后，点A 的对应点为点A ′，点B 的对应点为点B ′，如图，由折叠的性质得∠AEF ＝∠A ′EF ，∠BEA ＝∠AEB ′，∠B ＝∠AB ′E ，BE ＝B ′E ，AE ＝EA ′.∵∠BAB ′＝∠ABE ＝90°，∴∠BEB ′＝90°.∴∠BEA ＝∠AEB ′＝45°.又∠BEA ＋∠AEF ＋∠FEA ′＝180°，∴∠FEA ′＝67.5°.∵AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEA ′＝67.5°.2．解：(1)分别延长HI 与FE ，相交于点N ，如图．∵HN ＝12AD ＝13，NF ＝12AB ＝11，HI ＝EF ＝x ， ∴NI ＝HN －HI ＝13－x ，NE ＝NF －EF ＝11－x.∴剪下的直角三角形的勾长为11－x ，股长为13－x.(第2题)(2)在Rt △ENI 中，NI ＝13－x ，NE ＝11－x ，∴EI ＝NI 2＋NE 2＝2x 2－48x ＋290.∵八边形的每一边长恰好均相等，∴EI ＝2HI ＝2x ＝2x 2－48x ＋290，整理得：x 2＋24x －145＝0，(x －5)(x ＋29)＝0，解得：x ＝5，或x ＝－29(舍去)．∴EI ＝2×5＝10.故八边形的边长为10.3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD ＝∠CBD.因为在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD.所以∠FBD ＝∠FDB.所以BF ＝DF.(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC.由折叠的性质可知，DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD.又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD.所以∠AEB ＝∠EAD.所以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)． 由(1)知∠DBE ＝∠BDF ，所以∠DBE ＝12(180°－∠BFD)． 而∠AFE ＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE.所以AE ∥BD.4．(1)证明：由折叠的性质可得点A ，C 关于直线MN 对称，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN 的面积与△CDN的面积比为3∶1，∴S△CMNS△CDN＝12·MC·NH12·DN·NH＝MCDN＝3.∴MC＝3DN＝3HC.∴MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN.在Rt△CDN中，DC＝CN2－DN2＝22x，∴NH＝22x.在Rt△MNH中，MN＝MH2＋NH2＝23x.∴MNDN＝23xx＝2 3.。
北师大版九年级数学上册第一章：特殊平行四边形 常考题型
新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形精品重点常考题型 一、思想方法专题：矩形中的折叠问题（矩形折叠中的方程思想及数型结合思想） 类型一 矩形折叠问题中直接求长度或角度 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形。
已知50='∠B CE ,则∠AEB ’= .如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，点E ，F 分别是边BC ，AD 上一点.将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C ，D 分别落在点C ’，D ’处.若C ’E ⊥AD 则EF 的长为 cm.类型二 矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CF 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（ ）A.32B.323 C.3D.6如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处.已知折痕AE=55cm ，且EC:FC=BF:AB=3:4，那么矩形ABCD 的周长为 cm.类型三 矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5. 如图，在矩形ABCD 中，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB'C ，AB'交y 轴于点D 点，则D 点的坐标为 .6. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为 .7. 如图①，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上点A ’处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处，再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处，如图②（1）求证：EG=CH ；（2）已知2=AF ，求AD 和AB 的长.二、解题技巧专题：正方形中特殊的计算（证明）方法类型一 利用正方形旋转性质解题1. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=900，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是 .2. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，∠EFA=450. 求证：ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=.3. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，P 为正方形ABCD 外一点，且BP ⊥CP .求证：OP CP BP 2=+.类型二：利用正方形的对称性解题4. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为（ ） A.3 B.32 C.62 D.65. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F 为AB 上一点，AF=2，P 为AC 上一点，则PE+PF 的最小值为 .6. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，MF ∥AE 交AB 于M.求证：DF=MF.三、解题技巧：中点问题类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD=∠BCD=900，AC ，BD 相交于点E ，点G ，H 分别是AC ，BD 的中点，若∠BEC=800，那么∠GHE 等于（ ）2. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD=AB ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，AC=6，则EF的长是 .3. 如图，在△ABC 中，∠ACB=900，M 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 延长线上的点，且AB CF CE 21==，则∠EMF 的度数为 . 类型二 中点四边形与特殊平行四边形4. 若顺次连接四边形的各中点所得的四边形是矩形，则该四边形一定是（ ）A. 菱形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形5. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接AF ，BE ，CE ，DF ，分别交于点M ，N ，则四边形EMFN 是（ ）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定6. 阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行形吗?小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.（1）若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），则四边形EFGH 还是平行四边形？说明理由：（2）如图②，在（1）的条件下. ①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明；②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？写出结论并证明.四、难点探究专题：特殊平行四边形中的综合问题类型一 特殊平行四边形中的最值问题1. 设点P 是正方形ABCD 内任意一点，则PA+PB+PC+PD 的最小值是（ ）A. 边长的两倍B. 周长C. 两条对角线之和D. 以上都不对2. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为【方法5③】（ ） A. 3 B. 32 C. 62 D.63. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠B=1200，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 拓展资源：与矩形相关的折叠问题
与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
下面从几个不同的层面展示一下。
例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。
因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。
下面的这个题目就是用这个思路解决的。
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专题训练(一) 矩形中的折叠问题
(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．
4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：
(1)FC的长；
(2)EF的长．
6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求BF的长；
(3)求折痕AF长．
7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC 上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点 E.
(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.
(1)求矩形ABCD的周长；
(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．
参考答案
1.B
2.A
3.56°
4.
5.1
5.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，
在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，∴BF＝ 6 cm. ∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，
则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即EF的长为 5 cm.
6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.
又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2. ∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2.
解得x＝5.
故BF＝5 cm.
(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，∵AB＝10 cm，BF＝ 5 cm，∴AF＝102＋52＝55(cm)．
7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．
∵AB＝BD＝3，∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠BAD＝45°. ∴∠DAE＝∠BAD＝45°. ∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，∴四边形ABDE是正方形，OE＝ 1. ∴点E的坐标为(0，1)．
（2）点E能恰好落在x轴上．
理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.
由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝DE2－CD2＝32－12＝2 2.
则有OE＝OC－CE＝m－2 2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.
即42＋(m－22)2＝m2.
解得m＝3 2.
8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.
(2)①∵四边形ABCD是矩形，
由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，∴FC＝4.
在Rt△ECF中，42＋(8－DE)2＝EF2，
解得DE＝5.
②分三种情形讨论：若AP＝AF，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6；
若PF＝AF，则PB＋6＝10.解得PB＝4；
若AP＝PF，在Rt△APB中，AP2＝PB2＋AB2，设PB＝x，则(x＋6)2－x2＝82.
解得x＝7
3
.
∴PB＝7 3 .
综合得PB＝6或4或7 3 .
（3）当点N与C重合时，CT取最大值是8，当点M与A重合时，CT取最小值为4，
所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.。