高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程 含解析
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且c 2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k2－2≠0，Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为{}k|－2＜k＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．16x ±9y ＝0 C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14. 故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac ，∴ca ＝3，即e ＝3.【答案】 37．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________．【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，∴|AB |＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2. 【答案】 28．若直线x ＝2与双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】 由双曲线为x 2－y2b 2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．∵S △AOB ＝12×2×4b ＝8，∴b ＝2. 又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0， 所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255.又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1，解得a 2＝4，故双曲线方程为y24－x 2＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 【答案】 B3．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(13)双曲线及其标准方程 Word版含解析
2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（13）双曲线及其标准方程1.椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A.1±B.1C.-1D.不存在2.双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2B.7C.22D.23.已知双曲线2217x y m -=,直线l 过其左焦点1F ,交双曲线左支于,A B 两点,且24,AB F =为双曲线的右焦点,2ABF △的周长为20,则m 的值为( ) A.8B.9C.16D.204.如图,已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 与双曲线C 的焦点不重合,点M 关于12,F F 的对称点分别为点,A B ,线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上,若12AN BN -=,则a =( )A.3B.4C.5D.65.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,当12F PF △的面积为1时,12PF PF ⋅的值为( ) A.0B.1C.12D.26.已知O 为坐标原点,设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足为H ,则||OH =( )A.1B.2C.4D.127.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上一点，且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于( )A. B. C.24D.488.设3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,则关于,x y 的方程221sin cos x y θθ+=所表示的曲线是( ) A.焦点在y 轴上的双曲线 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在x 轴上的椭圆9.一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆10.已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当3a =和5a =时，点P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线11.设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ,若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_________.12.已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当14t <<时，曲线C 表示椭圆； ②当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. 其中判断正确的是________.(只填判断正确的序号)13.已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>且a b ≠)的左、右焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.给出下面四个命题: ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上;②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上; ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上; ④12PF F △的内切圆必经过点(,0)a . 其中真命题的序号是________.14.已知双曲线22121,,49x y F F -=是其左、右焦点,点P 在双曲线右支上.若1260F PF ∠=︒,则12F PF △的面积是_________.15.已知OFQ △的面积为26,且OF FQ m ⋅=,其中O 为坐标原点.(1)646m <<,求OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,26,(1)OF c m c ==-,当OQ 取得最小值时,求此双曲线的标准方程.答案以及解析1.答案：A解析：验证法：当1m =±时，21m =，对椭圆来说，2224,1,3a b c ===.对双曲线来说，2221,2,3a b c ===，故当1m =±时，它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线的焦点在x 轴上，故2242m m -=+，则21m =，即1m =±. 2.答案：A解析：∵225a =，∴5a =.设点为P ，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可得1210PF PF -=.由题意设112PF =，则1210PF PF -=±,解得222PF =或2. 3.答案：B解析：由已知,2220AB AF BF ++=.又4AB =,则2216AF BF +=.根据双曲线的定义,21212a AF AF BF BF =-=-,所以22114()16412a AF BF AF BF =+-+=-=,即3a =,所以29m a ==. 4.答案：A解析：连接12,QF QF .因为线段MN 的中点为Q ,点2F 为MB 的中点,所以212QF BN =,同理可得112QF AN =.因为点Q 在双曲线C 的右支上,所以122QF QF a -=,所以1()22AN BN a -=,所以11222a ⨯=,解得3a =,故选A.5.答案：A解析：易知12(F F .不妨设(,)(,0)P P P P P x y x y >,由1212P c y ⨯⨯=,得P y ,∴P ,∴1(PF =-,2(5PF =,∴120PF PF ⋅=. 6.答案：A解析：不妨设P 在双曲线的左支,如图,延长1F H 交2PF 于点M,由于PH 即是12F PF ∠的平分线又垂直于1F M ,故12MF F △为等腰三角形, 1||||PF PM =且H 为1F M 的中点,所以OH 为12MF F △的中位线,所以2211||||(||||)22OH MF PF PM ==-211=(||||1)2PF PF -=.故选A.7.答案：C解析：由1234PF PF =知12PF PF >，由双曲线的定义知122PF PF -=,∴128,6PF PF ==.又∵22212425c a b =+=+=,∴5c =，∴1210F F =.∴12PF F △为直角三角形，∴12121242PF F S PF PF ==△. 8.答案：B解析：由题意知221sin cos x y θθ-=-，因为3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0θθ>->，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线.故选B 9.答案：C解析：由题意两定圆的圆心坐标为12(0,0),(4,0)O O ，半径分别为1,2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则121,2CD r CO r =+=+，∴211214CO CO OO -=<=,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 10.答案：D解析：2212(82)(33)10F F =--+-=,当3a =时，12610PF PF -=<,∴点P 的轨迹为靠近点2F 的双曲线一支；当5a =时，121210PF PF F F -==，∴点P 的轨迹为靠近点2F 的一条射线. 11.答案：(27,8) 解析： 12.答案：②③④解析：①错误，当52t =时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4)(1)0t t --<，∴1t <或4t >；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，∴512t <<；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩∴4t >.13.答案：①④解析：设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ,与12F F 切于点M ,则1122,,PA PB F A F M F B F M ===.又点P 在双曲线的右支上,所以122PF PF a -=,故122F M F M a -=,而122F M F M c +=,设点M 的坐标为(,0)x ,则由122F M F M a -=,可得()()2x c c x a +--=,解得x a =,显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴,故①④是真命题.14.答案：解析：设112212,()PF r PF r r r ==>,在12F PF △中,由余弦定理,得222212121212122cos60()F F r r r r r r r r =+-︒=-+,而12124,r r F F -==∴1236r r =,∴121211sin 603622F PF S r r =︒=⨯=△.15.答案：(1)因为1||||sin(π)2||||cos OF FQ OF FQ m θθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩所以tan θ=.m <,所以1tan 4θ<<. 即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>,11(,)Q x y ,则11(,)FQ x c y =-所以11||||2OFQ S OF y =⋅=△,则1y =. 又OF FQ m ⋅=,即211(,0)(,)1c x c y c ⎫⋅-=⎪⎪⎝⎭,解得1x =,所21||OQ x ==当且仅当4c =时取等号,||OQ 最小, 这时点Q的坐标为或. 因为222266116a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,所以22412a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 于是双曲线的标准方程为221412x y -=.解析：。
人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程_word版含解析
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程_word版含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．7C．7或17 D．2或22【解析】由双曲线方程x225－y29＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.故选D.【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1 D.x22－y22＝1【解析】由双曲线定义知，2a＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.【答案】 A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0) D.x 29－y 216＝1(x ＞0) 【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝526. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C.【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t－1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|P A|＝|PF′|＋4＋|P A|＝|PF′|＋|P A|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.【答案】9三、解答题9．求以椭圆x216＋y29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】由x216＋y29＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a＝5，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝12sin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2)∵sin B－sin A＝12sin C，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5，0)，(5，0)D ．(0，－5)，(0，5)解析：由双曲线的标准方程，知a ＝4，b ＝3，所以c ＝5，又由于焦点在x 轴上．所以 焦点为(－5，0)，(5，0)．答案：C2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1＜m ＜3B ．m ＞－1C ．m ＞3D ．m ＜－1答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中c a ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 答案：C4．已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时， P 点的轨迹分别为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线解析：由题意知|F 1F 2|＝10，因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以 当a ＝3时，2a ＝6＜|F 1F 2|，为双曲线的一支，当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，为一条射线．答案：D5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12B ．1或－2C ．1或12D ．1解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：D二、填空题6．若双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)，则该双曲线的标准方程为___________________________________．解析：由椭圆方程，知c ＝3，且焦点在y 轴上．所以可设双曲线的方程为y 2a 2－x 29－a 2＝1(0＜a 2＜9)．将点的坐标(15，4)代入，得42a 2－（15）29－a2＝1，解得a 2＝4(a 2＝36舍去)．所以该双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 答案：y 24－x 25＝1 7．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝________． 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. 答案：88．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， 所以 |AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.答案：18三、解答题9．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m 的取值范围． 解：(1)当焦点在x 轴上，有m ＞5，则c 2＝m ＋m －5＝9，所以 m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m ＜0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，所以 m ＝－2.综上所述，m ＝7或m ＝－2.10．已知k 为实常数，命题p ：方程(k －1)x 2＋(2k －1)y 2＝(2k －1)(k －1)表示椭圆，命题q ：方程(k －3)x 2＋4y 2＝4(k －3)表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求实数k 的取值范围；(2)若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数k 的取值范围．解：(1)若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，k －1＞0，2k －1≠k －1，解得k ＞1，即实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，k ≥3，解得k ≥3， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ＜3，解得k ≤1， 故实数k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B 级 能力提升1．k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：k ＜2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)＜0⇒k ＜2或k ＞4，故k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：A2．过点P 1(2，1)和P 2(－3，2)的双曲线的方程是________．解析：设方程为ax 2＋by 2＝1(ab ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝1，9a ＋4b ＝1，解方程组得⎩⎨⎧a ＝37，b ＝－57，所以双曲线的方程是3x 27－5y 27＝1. 答案：3x 27－5y 27＝1 3．已知双曲线16x 2－9y 2＝144，F 1F 2是左右两焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2.解：由题意知||PF 1|－|PF 2||＝6，所以 (|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2×32＝100.又由题意知|F 1F 2|＝2c ＝10，所以 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝ 100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0. 所以 ∠F 1PF 2＝90°.。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.2.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析
2.2.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若双曲线E :x 29‒y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( ) B.9C.5D.3a=3,b=4,c=5.由双曲线定义,可知||PF 1|-|PF 2||=|3-|PF 2||=2a=6,故|PF 2|=9.2.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,则当a=3和a=5时,点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线|F 1F 2|=10,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴当a=3时,2a=6<|F 1F 2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F 1F 2|,此时轨迹为一条射线.3.若双曲线方程为x 2-2y 2=2,则它的左焦点坐标为( )A .(-22,0)B.(-52,0)C.(-62,0)D.(‒3,0)双曲线标准方程为x 22‒y 2=1,∴c 2=2+1=3.∴左焦点坐标为(‒3,0).4.若椭圆x 24+y 2m 2=1与双曲线x 2m2‒y 22=1有相同的焦点,则m 的值是( )A.±1B.1C.-1D.不存在5.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( )A .14B.35C.34D.45为x 22‒y 22=1,所以a=b =2,c =2.因为|PF 1|=2|PF 2|,所以点P 在双曲线的右支上.所以|PF 1|-|PF 2|=2a=22,解得|PF 2|=22,|PF 1|=42.所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2=(22)2+(42)2-162×22×42=34.6.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线C :x 216‒y 29=1的左、右焦点,顶点P 在双曲线C 上,则|sin A -sin B |sin P的值等于( )A .7B.74C.54D.45|PB|=m ,|PA|=n ,由正弦定理得|sin A -sin B |sin P =|m -n |2c=810=45.7.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两个端点为焦点,且经过点(3,10)的双曲线的标准方程为____________.,得双曲线的焦点在x 轴上,且c=22.设双曲线的标准方程为x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0), 则{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得{a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23‒y 25=1.‒y 25=18.设P 为双曲线x 2‒y 212=1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶△PF 1F 2的面积为 .2,则|PF 1|-|PF 2|=2a=2,且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,∴|PF 1|=6,|PF 2|=4.又|F 1F 2|=2c=213,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,·|PF 2|∴S △PF 1F 2=12|PF 1|=12×6×4=12.9.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)经过点P (3,154),Q (-163,5);(2)c =6,经过点(‒5,2),焦点在x 轴上.设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn<0),∵,点P (3,154),Q (-163,5)在双曲线上∴{9m +22516n =1,2569m +25n =1,解得{m =-116,n =19.∴双曲线方程为y 29‒x 216=1.(2)∵c x 轴上,=6,焦点在∴设双曲线方程为x 2a 2‒y 26-a 2=1.∵点(-5,2)在双曲线上,∴25a 2‒46-a 2=1,∴a 2=5.∴双曲线方程为x 25‒y 2=1.10.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=9,C 2:(x-3)2+y 2=1都外切,求动圆圆心C 的轨迹方程.,由题意,得定圆圆心分别为C 1(-3,0),C 2(3,0),半径r 1=3,r 2=1.设动圆圆心为C (x ,y ),半径为r ,则|CC 1|=r+3,|CC 2|=r+1.两式相减,得|CC 1|-|CC 2|=2,∴点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b 2=c 2-a 2=8.∴方程为x 2≥1).‒y 28=1(x 二、能力提升1.若方程x 2m -1+y 2m 2-4=3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+∞)2)D.(-2,2)2.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(⊥‒5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上的一点,且PF 1PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程是( )A .x 22‒y 23=1B.x 23‒y 22=1C.x 2‒y 24=1D.x 24‒y 2=1|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,其中m>0,n>0,在Rt △PF 1F 2中,m 2+n 2=(2c )2=20,m ·n=2,由双曲线定义,知|m-n|2=m 2+n 2-2mn=16=4a 2.∴a 2=4,∴b 2=c 2-a 2=1.∴双曲线的标准方程为x 24‒y 2=1.3.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则点P 到x 轴的距离为( )A .3B.62C.3D.6|PF 1|=m ,|PF 2|=n.由方程知c =2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得4c 2=m 2+n 2-mn.∵|m-n|=2,∴8=(m-n )2+mn=4+mn ,∴mn=4.设点P 到x 轴的距离为h ,·h 60°,∴h 则12×2c =12mn sin =62.4.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2‒y 29=1(a >0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|△PF 1F 2的周长是 .PF 1|=2|PF 2|=16,则|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a.∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25.∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.5.已知动圆M 过定点B (-4,0),且和定圆(x-4)2+y 2=16相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 .M 的半径为r ,依题意有|MB|=r ,另设A (4,0),则有|MA|=r ±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M 到两定点A ,B 的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M 的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a 2=4,b 2=c 2-a 2=12,故轨迹方程是x 24‒y 212‒y 212=1★6.已知F 是双曲线x 24‒y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |值为__________.,已知F (-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A (1,4)在双曲线的两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9,当且仅当A ,P ,F'三点共线时,取等号.7.已知双曲线x 216‒y 24=1的两个焦点分别为F 1,F 2.若点M 在双曲线上,且MF 1·MF 2=0,求点M 到x 轴的距离.M 在双曲线的右支上,点M 到x 轴的距离为h MF 1⊥MF 2.,MF 1·MF 2=0,则设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,由双曲线定义知,m-n=2a=8.①又m 2+n 2=(2c )2=80,②由①②得m ·n=8,·h ,得h 由12mn =4=12|F 1F 2|=255.★8. 已知双曲线的方程为x 2‒y 24=1,如图,点A 的坐标为(‒5,0),点B 是圆x 2+(y ‒5) 2=1上的点,点M 在双曲线的右支上,求|MA |+|MB |的最小值.D 的坐标A ,D 是双曲线的焦点.为(5,0),则点由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又点B 是圆x 2+(y ,圆的圆心为C (01,‒5)2=1上的点,5),半径为所以|BD|≥|CD|-1=10‒1.从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1.当点M ,B 在线段CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为10+1.。
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评11_抛物线及其标准方程 含解析
高中数学人教a 版高二选修1-1学业分层测评11_抛物线及其标准方程 含解析学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，则其标准方程为( )A ．x 2＝－yB ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为y 2＝－x .【答案】 D2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1.【答案】 A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x或x 2＝y ，故选C.【答案】 C4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(2,0)或(－2,0)D ．(4,0)【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】 C5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，即p ＝4.【答案】 D 二、填空题6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，∴p ＝2.【答案】 27．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 ) 【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④ 三、解答题9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，则准线为x ＝p 2.由题意，设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10.∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1.又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切． ∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p 2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .[能力提升]1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C．1 D. 3【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】 B2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是()A. 3B. 5C．2 D.5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.【答案】 D3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4m．水位下降1 m后，水面宽________m.图2－3－2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.【答案】2 64．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．【解】设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－12，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义，知|AA′|＝|F A|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，得|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|F A|＋|FB|)≥12|AB|＝12×3＝32，则x≥32－12＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min＝1，即M点到y轴的最短距离为1.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评11 抛物线及其标准方程 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝xD ．y 2＝－x【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为y 2＝－x .【答案】 D2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.【答案】 C4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(2,0)或(－2,0)D ．(4,0)【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】 C5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，∴p ＝2.【答案】 27．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 )【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④ 三、解答题9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，则准线为x ＝p2.由题意，设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10.∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)．10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1.又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切． ∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .[能力提升]1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1D. 3【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】 B2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是()A. 3B. 5C．2 D.5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l 的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.【答案】 D3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.图2－3－2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y 得x20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m. 【答案】 2 64．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离． 【导学号：26160057】【解】 设抛物线焦点为F ，连结AF ，BF ，如图，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|F A |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32， 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.。
【必备精品】2019高中数学 课时分层作业9 双曲线及其标准方程 新人教A版选修1-1
课时分层作业(九) 双曲线及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．]2．若方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )【导学号：97792083】A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1C [由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝52，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.]4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4mB [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＝2a ＋|AF 2||BF 1|＝2a ＋|BF 2|且|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝m所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .]5．已知双曲线过点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352和P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4，则双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.y 216－x 29＝1 B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝11129m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，于是所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.故选B.]二、填空题6．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________.【导学号：97792084】24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.由题意，知|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24.] 7．以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线方程的标准方程为________．x 23－y 25＝1 [由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.]8．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．x 24－y 212＝1(x ≤－2) [设动圆圆心为P ，由题意知|PB |＝|PA |＋4，即|PB |－|PA |＝4<|AB |，则动圆圆心P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的双曲线的左支，又a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≤－2)．]三、解答题9．如图223，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．图223[解] 法一：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝＋32＋12－－32＋12＝22<|AB |＝4.∴曲线C 是以A ，B 为焦点的双曲线． 则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |<|AB |＝4.∴曲线C 是以A ，B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧32a2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝b 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.【导学号：97792085】[解] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升练]1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆B [由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．故选B.]2．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( )A ．27B ．10C ．8D ．6B [设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由题意，知a ＝4，b ＝3，c ＝5.∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10，故选B.]3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝______________.【导学号：97792086】－1 [设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.]4．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．(－1,3) [由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.]5．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)．[解] 以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正方向，建立平面直角坐标系．设A ，B ，C 分别是正西、正东、正北观测点，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)． 设P (x ，y )为巨响产生点，由A ，C 同时听到巨响声，得|PA |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x . ∵点B 比点A 晚4 s 听到巨响声， ∴|PB |－|PA |＝340×4＝1 360.由双曲线的定义，知点P (x ，y )在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左支上，∴x <0.依题意，得a ＝680，c ＝1 020， ∴b 2＝c 2－a 2＝1 0202－6802＝5×3402， 故双曲线的方程为x 26802－y 25×3402＝1.将y ＝－x 代入上式，得x ＝－6805或x ＝6805(舍去)， ∴y ＝6805，即P (－6805，6805)，故|PO |＝68010.∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心68010m处.。
高中数学人教a版高二选修1-1_第二章圆锥曲线与方程_学业分层测评12 有答案
高中数学人教a版高二选修1-1_第二章圆锥曲线与方程_学业分层测评12有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解析】由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】 B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．219【解析】设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝5(x1＋x2)2－4x1x2＝516－4＝215.故选B.【答案】 B3．国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2 C．4D．8【解析】由y2＝x得2p＝1，即p＝12，因此焦点F⎝⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l：x＝－14，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋14＝54x0，解得x0＝1，故选A.【答案】 A4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在抛物线上，得y 21＝2px 1，① y 22＝2px 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)．又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1＋y 2＝4，直线AB 的斜率为1，故2p ＝4，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1.【答案】 B5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若O A →·A F →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①O A →＝(x ，y )，A F →＝(1－x ，－y )，O A →·A F →＝x －x 2－y 2＝－4，②由①②可解得x ＝1，y ＝±2.【答案】 B二、填空题6．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________．【解析】 可判断直线y ＝x ＋4与抛物线y 2＝4x 相离，设y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝4x 相切，则由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y ＋4m ＝0. ∴Δ＝16－16m ＝0，m ＝1.又y ＝x ＋4与y ＝x ＋1的距离d ＝|4－1|2＝322，则所求的最小距离为322. 【答案】 322 7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 21的最小值是________．【解析】 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22最小为32.【答案】 328．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.【解析】 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 联立得⎩⎨⎧ y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14. |AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24， 代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0 得12x 2－13x ＋3＝0， 解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |＜|BF |， 故|AF |＝x 1＋12＝56. 【答案】 56三、解答题9．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0， 即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则设直线为y ＝kx ＋1，代入y 2＝2x 得：k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y ＝1，与抛物线只有一个交点．当k ≠0时，Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0⇒k ＝12.此时，直线方程为y ＝12x ＋1. 可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程． 故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1. 10．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x .[能力提升]1．国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】 ∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧ y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212. 由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12. 【答案】 C2．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 为原点，若|OA→|＝|OB →|，且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝32pC ．x ＝52p D ．x ＝3p【解析】 ∵|OA →|＝|O B →|，∴A ，B 关于x 轴对称．设A (x 0，2px 0)，B (x 0，－2px 0)．∵AF ⊥OB ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴2px 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2px 0x 0＝－1， ∴x 0＝52p . 【答案】 C3．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1.∴k >1或k <－1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知直线l ：y ＝12x ＋54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若O A →·O B →＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程. 【解】 (1)直线l ：y ＝12x ＋54.① 过原点且垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②由①②，得x ＝－12. ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，∴p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )．由O A →·O B →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－16.③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y ＝4y 2x .④ 由③④及y ＝y 1，得点N 的轨迹方程为x ＝－4(y ≠0)．。
高中数学新人教A版选修1-1双曲线及其标准方程
2.2 双曲线课前自主学列，基稳才能楼高2. 2.1双曲线及其标准方程预习课本P45〜48,思考并完成以下问题1•平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么?2•什么是双曲线的标准方程?［新知初探］1. 双曲线的定义把平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F I F2|）的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.［点睛］平面内到两定点F i, F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF!|- IMF 2|| = 2a,关键词“平面内”.当2av|F i F21时，轨迹是双曲线；当2a= |F I F2|时，轨迹是分别以F i, F2为端点的两条射线；当2a>|F i F21时，轨迹不存在.2. 双曲线的标准方程［点睛］(1)标准方程的代数特征：方程右边是1,左边是关于X, y的平方差，并且分母大小关系不确定.(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2= c2—a2，与椭圆中b2= a2-c2相区别，且椭圆中a>b>0,而双曲线中，a, b大小不确疋.［小试身手］1. 判断下列命题是否正确. (正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )2 2(2) 在双曲线标准方程X2—y2= 1中，a>0, b>0且a丰b( )a b(3) 双曲线标准方程中，a, b的大小关系是a>b( )答案：(1)x (2)X (3) X2 22. 已知双曲线士—y= 1，则双曲线的焦点坐标为()16 9A. (—7, 0), ( 7, 0)B. (—5,0), (5,0)C . (0, —5), (0,5)D . (0，—. 7), (0, 7)答案：B3. 平面内有两个定点F1(—5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1| —|PF2|= 6,则动点P的轨迹方程是()2 2 2 2A・t6-9= 1(x < —4)畸—鬻1(x< —3)2 2 2 2C.f6—9= 1(x》4)D.；-汁g 3)答案：D4. 双曲线的两焦点坐标是F1(0,3), F2(0, —3), b= 2,则双曲线的标准方程是_________ .2 2 答案：:-4 =1即 2 yB . 5C . 7课堂讲侏设计t举一能通类題［活学活用］=2,则有 c 2= 2— a + 3— a = 4,解得 a = *.2•在方程 mnvO ，则方程所表示的曲线是 （） 2 2mx — my = n 中，右 •••(k — 5)(|k|— 2)>0. 解得 k>5 或—2<k<2.［答案］B2 2 1.已知双曲线七+土=1,焦点在y 轴上，若焦距为4,贝U a 等于( )22 — a 3土 = 1•由其焦距为4得CA .焦点在x 轴上的椭圆B .焦点在x 轴上的双曲线 2 2解析：选C 方程mx 2— my 2= n 可化为——y = 1.由mn<0知~<0，故方程所表示的曲 n nm m m［典例］A . k>5B . k>5 或—2<k<2C . k>2 或 kv — 2D . — 2<k<2［解析］ •••方程对应的图形是双曲线,k — 5>0，或 |k|— 2>0,解析: 选D 根据题意可知，双曲线的标准方程为 C .焦点在y 轴上的双曲线D .焦点在y 轴上的椭圆k — 5<0, ||k|— 2V0.双曲线方程的辨识方法2 2 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为—+ y= 1,则当mn<0时, m nm>0,m<0,方程表示双曲线•若*则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线；若*则方程表示n<0,n>0,焦点在y 轴上的双曲线.pg双曲线标准方程的认识已知方程七一匚匕 =1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）k 5 | k | 2线是焦点在y轴上的双曲线.题型二［典例］求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1) a= 3, c= 4，焦点在x轴上；(2) 焦点为(0, —6), (0,6)，经过点A(—5,6);2 2⑶以椭圆7 + y =1长轴的端点为焦点，且经过点(3, ■. 10).8 5［解］(1)由题设知，a= 3, c= 4,由c2= a2+ b2,得b2= c2—a2= 42—32= 7.因为双曲线的焦点在x轴上，2 2所以所求双曲线的标准方程为x—今=1.⑵由已知得c= 6,且焦点在y轴上.因为点A(—5,6)在双曲线上，所以2a = N(- 5- 0 丫+ (6 + 6 f-寸(-5- 0 '+ (6- 6 丫|=|13—5|= 8,则 a = 4,圧=c2—a2= 62—42= 20.2 2所以所求双曲线的标准方程是士—x = 1.16 20⑶由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c= 2 2.2 2设双曲线的标准方程为y?= 1(a>0, b>0),则有a2+ b2= c2= 8,爲—书=1,解得a2= 3, b2= 5.a b 」2 2故所求双曲线的标准方程为X—y= 1.3 51求双曲线标准方程的步骤(1) 定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2) 定量：是指确定a2, b2的数值，常由条件列方程组求解.2.双曲线标准方程的两种求法(1) 定义法：根据双曲线的定义得到相应的(2) 待定系数法：先设出双曲线的标准方程根据条件求出待定的系数代入方程即可.a, b, c,再写出双曲线的标准方程.2 2 2 2：2—：2= 1或；2 —：2= 1(a, b均为正数)，然后［注意］若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 的形式，注意标明条件 mn<0.［活学活用］根据下列条件，求双曲线的标准方程. 2 2(1)与双曲线16 — y = 1有公共焦点，且过点(3 .2, 2)；解：（1）设双曲线的标准方程为2 2X—-^ = 1（ — 4vkv16）. 16— k 4+ k将点（3.2, 2）代入，解得 k = 4或k =— 14（舍去）, 2 2x-—y -= 112 8 .双曲线定义的应用2 2［典例］已知F 1, F 2分别是双曲线x —y = 1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点,9 16 且|PF 1| |PF 2|= 32.试求△ F 1PF 2 的面积.［解］因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|— |PF 1|= 6,两边平方得|PF 1|2 + |PF 2|2 —222|PF 1| |PF 2|= 36,所以 |PF 1| + |PF 2| = 36 + 2眄 |PF 2= 36 + 2X 32= 100.在厶F 1PF 2中，由余弦定理，|PF『+ IPF 2I 2—『汙2|2得 cos/ F J PF 2 =mx 2 + ny 2= 116(2)双曲线过两点P 3,乎,Q —詈，5 . •••双曲线的标准方程(2)设所求双曲线方程为 Ax 2 + By 2= 1（AB<0）.•■点 3,学,165在双曲线上,9A + 225B = 1, 296A + 25B = 1,A =——,A = 16,解得I B =1•双曲线的标准方程为2 2y-—x -= 1.9162|PF i | |PF 2|100—1002|PF1| |PF2| = 0所以/ F1PF2= 90°，所以S A F i PF2= 1|PF i||PF2|= 2X32= 16.［一题多变］1.［变条件，变设问］若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F i的距离为10.求点P到F2的距离.2 2解：由双曲线的标准方程x9 —y=i,得 a = 3, b= 4, c= 5.由双曲线定义得||PF i|—|PF2||= 2a= 6,l10—|pF2||= 6,解得|PF 2|= 4 或|PF2|= 16.2.［变条件］若本例条件“ |PF1| |PF2|= 32”改成“ |PF1| : |PF2|= 2 : 5”其它条件不变，求△ F1PF2的面积.解：由|PF1| : |PF2|= 2 : 5,|PF2|—|PF1|= 6,可知|PF 2|= 10 , |PF1|= 4,• - S A F1PF 2= 2 X 4 X 4 _ 6= 8*6.课后层级训练.歩出提升隧力层级一学业水平达标1. 已知F1(—8,3), F2(2,3)，动点P 满足|PF1|—|PF2|= 10,则P 点的轨迹是( )A .双曲线B.双曲线的一支C .直线D .一条射线解析：选D F1, F2是定点，且|F1F2|= 10,所以满足条件|PF1|—|PF2|= 10的点P的轨迹应为一条射线.2 2 2 22. 椭圆x+ = 1与双曲线——y= 1有相同的焦点，贝V a的值是()4 a a 21A.?B. 1 或—21C . 1 或D . 1a>0,解析：2选D 依题意知J 0<a <4, 解得a = 1.4— a 2= a + 2,3.焦点分别为(一2,0), (2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()2 A. x 2- = = 12 a 2£_ dC . y — 3 = 1解析：选A 由双曲线定义知,又 c = 2,二 b 2= c 2 — a 2= 4— 1 = 3,线段PF i 的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为2B . x 2— y = 1 42 2x y …D_ — = 1 3 22 2解析：选B 设双曲线的标准方程为 x 2— y 2= 1(a>0, b>0)，则c = 5，即a 2+ b 2= 5.①a b 设P(x , y),由线段PF i 的中点坐标为(0,2),2 x 2 dB. — y = 1 3 2 2x y .D^T — = 1 2 22a = 2+ 2 2+ 32 •- a = 1. —2— 2 2+ 32= 5 — 3= 2,因此所求双曲线的标准方程为2x 2 — y -= 1.34.“ 0 < kv3”是“方程帚+点 1表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析: k + 1>0, 选 A •/ 0< k<3, •Ik — 5<0,2•方程命+ k^= 1表示双曲线；反之」方程命+ k — 5 =1 表示双曲线，••• (k + 1)(k — 5)<0, 解得—1<kv5.故“0 < k<3”是“方程+占=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.5•已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F i (— , 5, 0)，点P 在该双曲线上,2A .》—y2= i4可知得'x = 5,即点P的坐标为(，5, 4),5 16代入双曲线方程，得a~2— b 2= i.②联立①②，得a 2= 1, b 2= 4,2即双曲线的标准方程为x 2—y = i.故选B .42 26•设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y — x = 1的一个焦点，贝V m = ___________ . m 92 2解析：由点F(0,5)可知该双曲线y —令=1的焦点落在y 轴上，所以m>0，且m + 9 = 52, m 9解得m = 16.答案：162 27.设点P 在双曲线 号—y = 1上，F 1, F 2为双曲线的两个焦点， 且|PF 1| : |PF 2| = 1 : 3, 9 16 则厶F 1PF 2的周长等于 ____________________________ •解析：由题意知|F 1F 2|= 2 9+ 16= 10, ||PF 2| — |PF 1||= 6,又|PF 1| : |PF 2|= 1 : 3, A |PF 1|=3, |PF 2= 9,「仏答案：229.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a = 2 5，经过点 A(2, — 5),焦点在y 轴上；2 2⑵与椭圆+豈=1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为 27 36解：(1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，2 2 所以可设双曲线的标准方程为 * —含=1(a>0, b>0).由题设知，a = 2 5，且点 A(2,— 5)在双曲线上,广2a = 20,解得* 2b 2= 16.2 2故所求双曲线的标准方程为20 -16=1.2 2F 1PF 2 的周长为 3+ 9 + 10 = 22.8.已知定点A , 解析：如图所示, B 且|AB|= 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值为 点P是以A , B 为焦点的双曲线的右支上的点，37P 在M 处时，|PA|最小，最小值为 a + c = 2 + 2= {答案：7 4.⑵椭圆2x7+ 36= 1的两个焦点为F1(0, —3), F 2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(.15,4)(或(—15, 4)).2 2设双曲线的标准方程为ay 2-詁=1(a>0, b>0),2 2故所求双曲线的标准方程为 y — = 1. 4 52 210.已知双曲线过点(3, — 2)且与椭圆4x + 9y = 36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程；⑵若点M 在双曲线上，F i , F 2是双曲线的左、右焦点，且 |MF i |+ |MF 2|= 63，试判 断厶MF J F 2的形状.2 2解：⑴椭圆的方程可化为 ,+七=1,焦点在x 轴上，且c = 9— 4 = 5.故可设双曲线2 2故双曲线的标准方程为:—2=1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有 |MF 1| — |MF 2|= 2 3.又|MF 卄 |MF 2|= 6 3,解得 |MF 1| = 4.3, |MF 2|= 2 3.又|F 1F 2|= 2c = 2 5,因此在△ MF 1F 2中，IMF*边最长，由余弦定理可得 cos/ MF 2F 12 2 2 _ |MF 2| + |F 1F 2| —|MF 1|= 2|MF 2| |F 1F 2|=士迢匕血—丄VO2 X 2 帀 X 2 心 ^15 .所以/ MF 2F 1为钝角，故△ MF 1F 2是钝角三角形.层级二应试能力达标1.已知 F 1(— 5,0), F 2(5,0)，动点 P 满足 |PF 1|— |PF 2|= 2a , 当 a 分别为 3 和 5 时，点 P 的轨迹分别为( )A •双曲线和一条直线B .双曲线和一条射线C •双曲线的一支和一条射线D .双曲线的一支和一条直线解得a 2=龟b 2 = 5.2 2 方程为a 2-沪1(a >°， b>0).依题意得 94 孑-b 2 = 1, a 2 + b 2= 5. 解得 a 2= 3, b 2 = 2.解析：选 C 依题意，得 |F I F 2|= 10.当 a = 3 时，|PF i |— |PF 2| = 2a = 6V |F I F 2|，可知点 P 的轨迹为双曲线的右支；当 a = 5时，|PF I |—|PF 2|= 2a = 10= |F I F 2|，可知点P 的轨迹为以 F 2为端点的一条射线.故选 C.3.设椭圆C 1的离心率为13,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1 13的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线C 2的标准方程为（解析：选A 对于椭圆C 1,^长轴长2a 1= 26,「. a 1 = 13,又离心率e 1=詈=盘，二G =5.由题意知曲线 C 2为双曲线，且与椭圆 C 1共焦点，02= 5,又2a 2= 8,「. a 2= 4, b 2 = c 2— a 2= 3.又焦点在x 轴上，故双曲线 C 2的标准方程为 * —£ = 1.故选A.24.设F 1, F 2是双曲线号—/= 1的两个焦点，点P 在双曲线上，当厶F 1PF 2的面积为23 - > -- >时，PF 1 PF 2的值为（ ）A . 2 C . 4 D . 6解析：选B 设点P(X o , y o ),依题意得|F 1F 2|= 2 . 3 +1 = 4, S A PF 1F 2= 2IF 1F 2I |y o |= 2, 2 X 2 xy_ 9 B. x 169 工25C. y 16 x .169 2y1442.已知双曲线过点 P i — 2, 3-25 P2 ¥, 4，则双曲线的标准方程为 x A —— y = 1 16 B .9 - —=1 16 2 2 2 2 c. ■- y = 1 D.y x = 1 16 9 16 9 解析： 选B 因为双曲线的焦点位置不确疋， 所以设双曲线的方程为 1(mn<o ). mx 2 + ny 2 = 45 4m + —n= 1, 所以 112 「m + 16n = 1, m =— 解得 丄 16, 于是所求双曲线的标准方程为 1 n =9, 2 2卷-16=1B . 32 2 2 2 因为P i —2,竽，卩2乎,4两点在双曲线上,2 ___________________________________________二|y o|= 1.又3 —y2= 1，二x0 = 3(y0+ 1) = 6.「. PF1PF2 = (—2—X o,—y o) (2 —x o, —y o)= x o +y o _ 4= 3.2 25•已知双曲线2--詈=1的两个焦点分别为 F" F 2,双曲线上的点 P 至U F !的距离为 25 912, ____________________________ 则点P 到F 2的距离为 •解析：设F i 为左焦点，F 2为右焦点，当点 P 在双曲线的左支上时，|PF 2|- |PF i |= 10,所以|PF 2|= 22;当点P 在双曲线的右支上时，|PF i |-|PF 2|= 10,所以|PF 2|= 2.答案：22或22 2 6.过双曲线 & — y= 1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦 144 25点的距离分别为 __________ •2 2 解析：因为双曲线方程为1X44 — 2-= 1，所以c = 144 + 25= 13,设F 1, F 2分别是双曲 线的左、右焦点，贝U F 1(— 13,0), F 2(13,0).设过F 1且垂直于x 轴的直线I 交双曲线于 A(— 2 2“y 13 . 25 13, y)(y>0)，则 25=面-1 =面，25 25 所以 y = 12，即 |AF 1|= 12.又|AF 2| — |AF 1|= 2a = 24,7•已知△ ABC 的两个顶点 A , B 分别为椭圆x 1 2+ 5y 2= 5的左焦点和右焦点，且三个内 1角 A , B , C 满足关系式 sin B — sin A = ?sin C.(1) 求线段AB 的长度；(2) 求顶点C 的轨迹方程.2解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y + y 2= 1. 5••• a 2= 5, b 2= 1, c 2= a 2— b 2= 4,则 A(— 2,0), B(2,0), |AB|= 4.1|CA| — |CB| = 2AB| = 2<|AB|= 4,即动点C 到两定点A , B 的距离之差为定值.•动点C 的轨迹是双曲线的右支’并且c = 2 , a = 1 , 2•••所求的点C 的轨迹方程为x 2—=1(x>1). 所以 |AF 2|= 24 + 25 12 313 12 . 即所求距离分别为 25 313 12’ 12.答案: 25 313 12’ 121 ⑵■/ sin B—sin A = ^sin C,「.由正弦定理得8•设圆C与两圆(x+・5)2+ y2= 4, (x—5)2+ y2= 4中的一个内切，另一个外切.(1) 求C的圆心轨迹L的方程；(2) 已知点M 誓，琴，F( 5，0),且P为L上动点•求||MP|—|FP||的最大值.解：(1)两圆的圆心分别为A(—5, 0), B( 5, 0),半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|= r—2, |CB|= r + 2 或|CA|= r+ 2, |CB|= r —2 ,两式相减得|CA| —|CB|=—4 或|CA| —|CB|= 4,即||CA|—|CB||= 4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a = 4, c= 5 , b2= 1 ,2•••圆C的圆心轨迹L的方程为x— y2= 1.4(2)由⑴知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|—|PF|= |MF|为||PM|—|FP||的最大值.又|MF |+=2, • ||MP|—|FP|| 的最大值为 2.。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．16x ±9y ＝0 C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14. 故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac ，∴ca ＝3，即e ＝3.【答案】 37．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________．【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，∴|AB |＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2. 【答案】 28．若直线x ＝2与双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】 由双曲线为x 2－y2b 2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．∵S △AOB ＝12×2×4b ＝8，∴b ＝2. 又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0， 所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255.又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1，解得a 2＝4，故双曲线方程为y24－x 2＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 【答案】 B3．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.。
高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 学业分层测评10 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．16x ±9y ＝0 C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14. 故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac，∴ca＝3，即e＝3.【答案】 37．直线3x－y＋3＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．【解析】联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，∴|AB|＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2.【答案】 28．若直线x＝2与双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】由双曲线为x2－y2b2＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．∵S△AOB＝12×2×4b＝8，∴b＝2.又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距2c＝2 5.【答案】2 5三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0， 所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255.又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1，解得a 2＝4，故双曲线方程为y24－x 2＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 【答案】 B3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．7C．7或17 D．2或22【解析】由双曲线方程x225－y29＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.故选D.【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1 D.x22－y22＝1【解析】由双曲线定义知，2a＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.【答案】 A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0) D.x 29－y 216＝1(x ＞0) 【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝526. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C.【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t－1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|P A|＝|PF′|＋4＋|P A|＝|PF′|＋|P A|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.【答案】9三、解答题9．求以椭圆x216＋y29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】由x216＋y29＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a＝5，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝12sin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。