计算机辅助分析CAE
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fra Baidu bibliotek
a P a f K a a f 0
K a a Q
（1）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
如果方程（1）式的第n次近似解 a n 已经得到，一般情况下（1）式不能精确地 n 1 n 被满足，即 a 0 。为得到进一步的近似解 a ，可将 a n 1 表示成在 a 附近的仅保留线性项的Taylor展开式，即
在进行非线性问题的计算时，分析人员经常面对的一个问题是如何确定载荷
步的大小。对几何非线性分析或材料非线性塑性分析，选择自适应载荷控制作为 加载方式时，用户仅需要确定加载的第一步长，而后续的加载步长根据下述规则 来确定。 （1）软件通过式（7）调整第n个解算点的加载步长：
n n1 * N d / N n1
求解非线性问题的方法可分为三类 ，即增量法、迭代法和混合法。 增量法是将载荷划分为许多增量，每次施加一个载荷增量。在一个载荷增量 中，假定刚度矩阵是常数；在不同载荷增量中，刚度矩阵可以有不同的数值，并 与应力—应变关系相对应。迭代法在每次迭代过程中都施加全部载荷，但逐步修 改位移和应变，使之满足非线性的应力—应变关系。混合法同时采用了增量法和 迭代法，即载荷也划分为载荷增量，但增量个数较少；而对每一个载荷增量，进 行迭代计算。 Newton-Raphson方法
必须依据真实应力和真实（或对数）应变表示。
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
步骤2：加载且得到解 在这一步中，你定义分析类型和选项，指定载荷步选项，开始有限无求解。既 然非线性求解经常要求多个载荷增量，且总是需要平衡迭代，它不同于线性求解。 步骤3：考察结果 来自非线性静态分析的结果主要由位移，应力，应变，以及反作用力组成。可 以用通用后处理器及专用后处理模块来考察这些结果。 1、检查你的输出文件是否在所有的子步分析都收敛。 · 如果不收敛，你可能不想后处理结果，而是想确定为什么收敛失败。 · 如果你的解收敛，那么继续进行后处理。 2、读取需要的载荷步和子步结果，这可以依据载荷步和子步号或者时间来识别， 然而，不能依据时间识别出弧长结果。
方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变。这两类非线性 问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组。
材料非线性问题可以分成两类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特
点是当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是 依赖于时间的黏（弹、塑）性问题，其特点是当载荷作用以后，材料不仅立即 发生变形，而且变形随时间而继续变化，在载荷保持不变条件下，由于材料黏 性而继续增长的变形称为蠕变。另外在变形保持不变条件下，由于材料黏性而 使应力衰减称之为松弛。
n 1 为第n-1点载荷比例因子； n 为第n点载荷比例因子； Nd 迭代次数； N n 1 为在第n-1子载荷步所需的迭代次数。
式中
（7）
为收敛所需的
计算机辅助工程—非线性求解过程
（2）通过当前刚度参数的比值，软件还可以采用以下关系调整第n解算点的子 载荷步长：
1 n n 1 * k ratio
该方法特别适合于包含有结构刚度快速变化的问题。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
非线性静力分析的收敛准则
对于每一分析时间段，用户可以设定程序用于确定计算是否达到收敛准则。 1. 收敛范数类型。 设置收敛的公式。收敛值根据迭代步上的位移增量，作用力增量，应力增量 或应变增量与总位移，总作用力，总应力或总应变相比较得到。 收敛标准类型标出该比值如何计算。可以从以下三种不同标准类型中选择： （1）Absolute 绝对值。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
（1）利用初始子载荷步确定初始弧长。
（2）利用（7）和式（8）调整第n步求解步的弧长。 （3）如果求解过程在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的值减半，
并继续进行求解。
（4）如果计算结果在第 n步子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解 算点重新进行计算。新的第n个弧长通过式（9）确定。
（5）当计算并输出用户要求的解算点数时，程序自动停止运行。
图1 材料非线性特性
计算机辅助工程—非线性分析总结
1. 什么是有限元分析非线性问题？
2. 非线性问题的求解方法？
3. 塑性变形——塑性力学问题？（失稳、屈曲分析）
计算机辅助工程—非线性分析总结
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法求解是困难的。 材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格 式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性 分析。一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段， 材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。 几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡
计算机辅助工程—非线性分析总结
与线性分析相比，非线性分析需要大量的计算机时和空间。线性和非线性 分析采用了基本相同的单元库，以便能够在需要时方便地把现有的线性分析模 型转换为非线性模型。 非线性分析与线性分析在步骤上有许多相同的地方。如首先建立有限元分 析单元节点模型，并且按照实际结构中的情况定义载荷、温度和约束条件。不 同之处在于对建立的求解平衡方程，需要设定载荷作用过程的计算时间间隔， 同时分析结果（包括位移、应变、应力等）将在这些设定的离散时间间隔上得 到。
计算机辅助工程—非线性求解过程
4. 载荷控制
采用载荷控制可进行几何非线性、塑性材料非线性和/或材料非线性蠕变分析。
采用该方法，需要定义子载荷步。对于非线性分析，由于采用这种加载方式难以确 定合适的子载荷步，因此建议使用重启动法。 5. 线搜索载荷控制 应用线搜索载荷控制法可进行几何几何非线性和（或）材料非线性塑性分析。
式中 刚度参数与旧的当前刚度参数之比。
（8）
n 1 为第n-1点载荷比例因子； kratioo 为新的当前 n 为第n点载荷比例因子；
（3）如果在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的大小减半，继续
进行求解。
（4）如果计算结果在第 n 子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解算 点重新进行计算。新的第n 载荷因子通过下式计算：
n no * Ndiv / Nmax
（9）
计算机辅助工程—非线性求解过程
n 为第n点载荷比例因子； no 为旧的第n点载荷比例因子； N div 为检测到发 散之前的迭代次数； N max 为达到收敛所需的最大迭代次数。
式中 （5）当达到设定的载荷水平，或者应用当前刚度参数在平衡曲线探测到了临 界点，程序将停止计算。 2. 自适应载荷、弧长控制 采用自适应载荷、弧长控制可进行几何非线性与（或）材料非线性分析。 用户确定初始载荷步长，分析过程从自适应载荷控制开始，后续过程遵从上 述所述的载荷控制法步骤的（1）~（4）步。但当程序在平衡曲线上检查到临界点 时，采用下文所述的弧长控制法。同时，临界点的加载条件作为弧长控制法的参 考载荷。
计算机辅助工程—非线性求解过程
3. 弧长控制
采用弧长控制可进行几何非线性和（或）材料非线性塑性分析。
自适应载荷控制法和载荷控制法中采用的载荷子步长法不能处理具有非线性 屈曲和后屈曲特性（表现为平衡曲线上具有临界点）的结构问题。
三种非线性屈曲形式是Snap through， Snap back，Collapse（见图2）。在这
计算机辅助工程—非线性分析总结
根据形成原因不同，结构非线性可分为三种类型 1）材料非线性——由于材料本身非线性的应力应变关系导致的结构响应 的非线性行为； 2）结构非线性——变化的几何形状引起的结构非线性响应； 3）状态非线性——结构所处的状态的不同引起的结构响应的得线性，如 接触状态。
P
（a）应力—应变关系 （b）荷载—位移关系
定义用于判断收敛的数据类型。也就是在进行范数计算时，定义
作用力、应力还是应变。
非线性分析过程中时间的应用取决于所选的材料模型。对于线性材料或塑
性非线性材料分析，时间可以看成是考虑载荷作用历程的简便途径，但时间本 身在分析过程中不起作用。但如果选择的是蠕变材料模型，则必须对蠕变应变 率在时间域进行积分。使用非线性求解器进行材料非线性分析之前，必须定义 塑性和蠕变选项。
计算机辅助工程—非线性分析总结
a K
n
n 1 T
P
n
f
（5）
其中
n KT KT a n , P n P a n
（6）
由于Taylor展开式（2）式仅取线性项，所以 求解过程直至满足收敛要求。
a n 1 仍是近似解，应重复上述迭代
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。只是在非线形
1 2 n 允许值 1 2 n
式中 为位移、作用力或应变
（10）
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
（2）Euclidean 欧拉范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
1 n 允许值 1/ 2 n 1
1/ 2
（11）
式中 为位移、作用力或应变 （3）Maximum 最大值范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
max
i
i
允许值
（12）
式中 为位移、作用力或应变；
i 1,, n；n 为矢量长度。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
2. Vector Type（矢量类型）
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性静力分析的加载方法
在进行非线性分析时，可以选用下列加载方法 （1）自适应载荷控制。求解器自动实现载荷子步长分步加载以达到最终水平。 如果在加载中遇到临界点（例如屈曲），求解器将在临界点停止。然后可以采用 弧长法重启动，继续进入后屈曲求解。 （2）自适应载荷、弧长控制。求解器自动执行自适应载荷控制，并自动在临 界点改为弧长控制。 （3）弧长控制。求解器采用球面弧长法，该方法能够使求解继续通过临界点。 这种方法对于自适应载荷控制的重启动特别有用，但它只允许有一个工况设置。
（4）载荷控制。求解器试图获得每个载荷步最终值时的解（不使用子步长）。 对于向上加载，这种方法大部分被自适应载荷控制所代替。但是，对于塑性分析 的卸载，载荷控制方法仍是很有用的。
计算机辅助工程—非线性求解过程
（5）线搜索载荷控制。该方法很少使用，它主要应用于含有刚度发生很大或 快速变化的问题。 下面对各种加载方法进行介绍 1. 自适应控制
分析的适当过程中，添加了需要的非线形特性。 如何进行非线性静态分析 非线性静态分析是静态分析的一种特殊形式。如同任何静态分析，处理流程 主要由三个主要步骤组成： 1、建模。 2、加载且得到解。
3、考察结果。
步骤1：建模 这一步对线性和非线性分析都是必需的，尽管非线性分析在这一步中可能包 括特殊的单元或非线性材料性质，如果模型中包含大应变效应，应力 ─应变数据
a
且有
n 1
d n a a 0 da n
n
（2）
a n1 a n a n
d 式中 是切线矩阵，即 da
（3）
d dp KT a da da
（4）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
于是从（2）式可以得到
些情况中。载荷/侥度平衡曲线上具有临界点。弧长控制法可以在全局内跟踪具有 临界点的高度非线性平衡曲线。
图2 . Snap through；
Snap back；
Collapse
计算机辅助工程—非线性求解过程
当选择了弧长控制加载法，应用“ Crisfield”提出的“球面弧长”法沿平衡曲
线进行非线性解的搜索。球面弧长法采用比例加载，只允许采用一种载荷工况定 义参考载荷。求解中程序自动搜索弧长，调整方法采用如下规则：
a P a f K a a f 0
K a a Q
（1）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
如果方程（1）式的第n次近似解 a n 已经得到，一般情况下（1）式不能精确地 n 1 n 被满足，即 a 0 。为得到进一步的近似解 a ，可将 a n 1 表示成在 a 附近的仅保留线性项的Taylor展开式，即
在进行非线性问题的计算时，分析人员经常面对的一个问题是如何确定载荷
步的大小。对几何非线性分析或材料非线性塑性分析，选择自适应载荷控制作为 加载方式时，用户仅需要确定加载的第一步长，而后续的加载步长根据下述规则 来确定。 （1）软件通过式（7）调整第n个解算点的加载步长：
n n1 * N d / N n1
求解非线性问题的方法可分为三类 ，即增量法、迭代法和混合法。 增量法是将载荷划分为许多增量，每次施加一个载荷增量。在一个载荷增量 中，假定刚度矩阵是常数；在不同载荷增量中，刚度矩阵可以有不同的数值，并 与应力—应变关系相对应。迭代法在每次迭代过程中都施加全部载荷，但逐步修 改位移和应变，使之满足非线性的应力—应变关系。混合法同时采用了增量法和 迭代法，即载荷也划分为载荷增量，但增量个数较少；而对每一个载荷增量，进 行迭代计算。 Newton-Raphson方法
必须依据真实应力和真实（或对数）应变表示。
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
步骤2：加载且得到解 在这一步中，你定义分析类型和选项，指定载荷步选项，开始有限无求解。既 然非线性求解经常要求多个载荷增量，且总是需要平衡迭代，它不同于线性求解。 步骤3：考察结果 来自非线性静态分析的结果主要由位移，应力，应变，以及反作用力组成。可 以用通用后处理器及专用后处理模块来考察这些结果。 1、检查你的输出文件是否在所有的子步分析都收敛。 · 如果不收敛，你可能不想后处理结果，而是想确定为什么收敛失败。 · 如果你的解收敛，那么继续进行后处理。 2、读取需要的载荷步和子步结果，这可以依据载荷步和子步号或者时间来识别， 然而，不能依据时间识别出弧长结果。
方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变。这两类非线性 问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组。
材料非线性问题可以分成两类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特
点是当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是 依赖于时间的黏（弹、塑）性问题，其特点是当载荷作用以后，材料不仅立即 发生变形，而且变形随时间而继续变化，在载荷保持不变条件下，由于材料黏 性而继续增长的变形称为蠕变。另外在变形保持不变条件下，由于材料黏性而 使应力衰减称之为松弛。
n 1 为第n-1点载荷比例因子； n 为第n点载荷比例因子； Nd 迭代次数； N n 1 为在第n-1子载荷步所需的迭代次数。
式中
（7）
为收敛所需的
计算机辅助工程—非线性求解过程
（2）通过当前刚度参数的比值，软件还可以采用以下关系调整第n解算点的子 载荷步长：
1 n n 1 * k ratio
该方法特别适合于包含有结构刚度快速变化的问题。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
非线性静力分析的收敛准则
对于每一分析时间段，用户可以设定程序用于确定计算是否达到收敛准则。 1. 收敛范数类型。 设置收敛的公式。收敛值根据迭代步上的位移增量，作用力增量，应力增量 或应变增量与总位移，总作用力，总应力或总应变相比较得到。 收敛标准类型标出该比值如何计算。可以从以下三种不同标准类型中选择： （1）Absolute 绝对值。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
（1）利用初始子载荷步确定初始弧长。
（2）利用（7）和式（8）调整第n步求解步的弧长。 （3）如果求解过程在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的值减半，
并继续进行求解。
（4）如果计算结果在第 n步子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解 算点重新进行计算。新的第n个弧长通过式（9）确定。
（5）当计算并输出用户要求的解算点数时，程序自动停止运行。
图1 材料非线性特性
计算机辅助工程—非线性分析总结
1. 什么是有限元分析非线性问题？
2. 非线性问题的求解方法？
3. 塑性变形——塑性力学问题？（失稳、屈曲分析）
计算机辅助工程—非线性分析总结
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法求解是困难的。 材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格 式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性 分析。一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段， 材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。 几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡
计算机辅助工程—非线性分析总结
与线性分析相比，非线性分析需要大量的计算机时和空间。线性和非线性 分析采用了基本相同的单元库，以便能够在需要时方便地把现有的线性分析模 型转换为非线性模型。 非线性分析与线性分析在步骤上有许多相同的地方。如首先建立有限元分 析单元节点模型，并且按照实际结构中的情况定义载荷、温度和约束条件。不 同之处在于对建立的求解平衡方程，需要设定载荷作用过程的计算时间间隔， 同时分析结果（包括位移、应变、应力等）将在这些设定的离散时间间隔上得 到。
计算机辅助工程—非线性求解过程
4. 载荷控制
采用载荷控制可进行几何非线性、塑性材料非线性和/或材料非线性蠕变分析。
采用该方法，需要定义子载荷步。对于非线性分析，由于采用这种加载方式难以确 定合适的子载荷步，因此建议使用重启动法。 5. 线搜索载荷控制 应用线搜索载荷控制法可进行几何几何非线性和（或）材料非线性塑性分析。
式中 刚度参数与旧的当前刚度参数之比。
（8）
n 1 为第n-1点载荷比例因子； kratioo 为新的当前 n 为第n点载荷比例因子；
（3）如果在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的大小减半，继续
进行求解。
（4）如果计算结果在第 n 子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解算 点重新进行计算。新的第n 载荷因子通过下式计算：
n no * Ndiv / Nmax
（9）
计算机辅助工程—非线性求解过程
n 为第n点载荷比例因子； no 为旧的第n点载荷比例因子； N div 为检测到发 散之前的迭代次数； N max 为达到收敛所需的最大迭代次数。
式中 （5）当达到设定的载荷水平，或者应用当前刚度参数在平衡曲线探测到了临 界点，程序将停止计算。 2. 自适应载荷、弧长控制 采用自适应载荷、弧长控制可进行几何非线性与（或）材料非线性分析。 用户确定初始载荷步长，分析过程从自适应载荷控制开始，后续过程遵从上 述所述的载荷控制法步骤的（1）~（4）步。但当程序在平衡曲线上检查到临界点 时，采用下文所述的弧长控制法。同时，临界点的加载条件作为弧长控制法的参 考载荷。
计算机辅助工程—非线性求解过程
3. 弧长控制
采用弧长控制可进行几何非线性和（或）材料非线性塑性分析。
自适应载荷控制法和载荷控制法中采用的载荷子步长法不能处理具有非线性 屈曲和后屈曲特性（表现为平衡曲线上具有临界点）的结构问题。
三种非线性屈曲形式是Snap through， Snap back，Collapse（见图2）。在这
计算机辅助工程—非线性分析总结
根据形成原因不同，结构非线性可分为三种类型 1）材料非线性——由于材料本身非线性的应力应变关系导致的结构响应 的非线性行为； 2）结构非线性——变化的几何形状引起的结构非线性响应； 3）状态非线性——结构所处的状态的不同引起的结构响应的得线性，如 接触状态。
P
（a）应力—应变关系 （b）荷载—位移关系
定义用于判断收敛的数据类型。也就是在进行范数计算时，定义
作用力、应力还是应变。
非线性分析过程中时间的应用取决于所选的材料模型。对于线性材料或塑
性非线性材料分析，时间可以看成是考虑载荷作用历程的简便途径，但时间本 身在分析过程中不起作用。但如果选择的是蠕变材料模型，则必须对蠕变应变 率在时间域进行积分。使用非线性求解器进行材料非线性分析之前，必须定义 塑性和蠕变选项。
计算机辅助工程—非线性分析总结
a K
n
n 1 T
P
n
f
（5）
其中
n KT KT a n , P n P a n
（6）
由于Taylor展开式（2）式仅取线性项，所以 求解过程直至满足收敛要求。
a n 1 仍是近似解，应重复上述迭代
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。只是在非线形
1 2 n 允许值 1 2 n
式中 为位移、作用力或应变
（10）
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
（2）Euclidean 欧拉范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
1 n 允许值 1/ 2 n 1
1/ 2
（11）
式中 为位移、作用力或应变 （3）Maximum 最大值范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
max
i
i
允许值
（12）
式中 为位移、作用力或应变；
i 1,, n；n 为矢量长度。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
2. Vector Type（矢量类型）
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性静力分析的加载方法
在进行非线性分析时，可以选用下列加载方法 （1）自适应载荷控制。求解器自动实现载荷子步长分步加载以达到最终水平。 如果在加载中遇到临界点（例如屈曲），求解器将在临界点停止。然后可以采用 弧长法重启动，继续进入后屈曲求解。 （2）自适应载荷、弧长控制。求解器自动执行自适应载荷控制，并自动在临 界点改为弧长控制。 （3）弧长控制。求解器采用球面弧长法，该方法能够使求解继续通过临界点。 这种方法对于自适应载荷控制的重启动特别有用，但它只允许有一个工况设置。
（4）载荷控制。求解器试图获得每个载荷步最终值时的解（不使用子步长）。 对于向上加载，这种方法大部分被自适应载荷控制所代替。但是，对于塑性分析 的卸载，载荷控制方法仍是很有用的。
计算机辅助工程—非线性求解过程
（5）线搜索载荷控制。该方法很少使用，它主要应用于含有刚度发生很大或 快速变化的问题。 下面对各种加载方法进行介绍 1. 自适应控制
分析的适当过程中，添加了需要的非线形特性。 如何进行非线性静态分析 非线性静态分析是静态分析的一种特殊形式。如同任何静态分析，处理流程 主要由三个主要步骤组成： 1、建模。 2、加载且得到解。
3、考察结果。
步骤1：建模 这一步对线性和非线性分析都是必需的，尽管非线性分析在这一步中可能包 括特殊的单元或非线性材料性质，如果模型中包含大应变效应，应力 ─应变数据
a
且有
n 1
d n a a 0 da n
n
（2）
a n1 a n a n
d 式中 是切线矩阵，即 da
（3）
d dp KT a da da
（4）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
于是从（2）式可以得到
些情况中。载荷/侥度平衡曲线上具有临界点。弧长控制法可以在全局内跟踪具有 临界点的高度非线性平衡曲线。
图2 . Snap through；
Snap back；
Collapse
计算机辅助工程—非线性求解过程
当选择了弧长控制加载法，应用“ Crisfield”提出的“球面弧长”法沿平衡曲
线进行非线性解的搜索。球面弧长法采用比例加载，只允许采用一种载荷工况定 义参考载荷。求解中程序自动搜索弧长，调整方法采用如下规则：