2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学(文)试题(解析版)

2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4,5【答案】C【解析】化简集合A ，进而求补集即可. 【详解】∵{}1,2A =，又{1,2,3,4,5}U =， ∴U A =ð{}3,4,5，故选：C 【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到2i 22i 1i 22a a a +-+=+-，再由题意，即可得出结果. 【详解】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数， 所以202a-=，因此2a =. 故选C 【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型. 3．已知两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，则a =（ ） A ．±1B ．1C ．12D ．12±【答案】D【解析】根据题意知，斜率都存在，因此利用斜率之积等于1-即可求得a 的值. 【详解】由题意知两条斜率分别为12,4k a k a =-=， 又两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，∴()1241k k a a ⋅=-⋅=-，214a ∴=， 即12a =±.故选：D . 【点睛】本题考查两直线垂直的性质，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于1-，是基础题.4．已知3()sin 1,0f x a x bx a =++>，且()3f m =，则实数()f m -=（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．2【答案】A【解析】利用()()2f x f x +-=即可得到结果. 【详解】∵3()sin 1,f x a x bx =++ ∴()()2f x f x +-=，∴()()2f m f m +-=，又()3f m =， ∴()1f m -=-， 故选：A 【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.5．“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】直线20mx y m --+=可化为：()21y m x -=-， 直线()21y m x -=-过定点()1,2，如图所示：∴“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的充要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.6．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点，则异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．35C ．12D ．45【答案】D【解析】首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点， 取AD 的中点为N ，连接1D N 、FN ， 易知：1D N ∥1C E ，∴1FD N ∠为异面直线1C E 与1D F 所成角， 设2BC =，则115,D N D F =2FN =，∴cos ∠FD 1N 45255==⋅⋅．∴异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为45， 故选D【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ） A ．150 B ．167C ．184D ．201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a 1斤锦，利用等差数列前n 项和公式得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996，从而得到a 1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数． 【详解】解：设第一个孩子分配到a 1斤锦， 则由题意得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996， 解得a 1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a 8＝65+7×17＝184． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设实数a ，b 满足01a b <<<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab a b >+ B ．1ab a b +<+C ．b a ab >D ．b a a b >【答案】C【解析】利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.【详解】根据题意可设11,,42a b == 对于A ，1,8ab =3,4a b +=不成立；对于B ，91,8ab +=3,4a b +=不成立；对于D ，12,b a -=142a b -=，不成立；而对于C ，1,b a a ab >>成立， 故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．若直线1y kx =+与1y x x=+相切，则实数k =（ ） A ．2 B ．34 C ．12D ．32【答案】B【解析】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭求出1y x x=+在此点处的切线方程002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，对比1y kx =+，即可得到结果.【详解】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 21y 1x '=-， ∴1y x x=+在此点处的切线方程为： ()00200111y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，即002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-∴2001121k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0342k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故选：B 【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．10．已知点(,)x y 是区域4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩内任意一点，且z ax y =+仅在()3,1处取得最大值，则a 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值． 【详解】解：画出4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩可行域如图所示，其中A （1，0），B （3，1），C （1，3），若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，1）取得最大值， 由图知，直线z ＝ax +y 的斜率小于直线x+y ＝4的斜率， 即﹣a ＜﹣1， 解得a ∈（1，+∞）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．11．抛物线24y x =与过点()0P t ，的直线交于A ，B ，若存在横坐标为2的点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．3C．D【答案】D【解析】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=，22121242,x x m t x x t +=+=，又有2AQ QB =u u u r u u u r可得1226x x +=，从而可得：()2493636881804t t m t m -++-+=，方程有解可得结果.【详解】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=， 设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），∴22121242,x x m t x x t +=+=由2AQ QB =u u u r u u u r可得：1226x x +=，联立方程：212124226x x m t x x ⎧+=+⎨+=⎩ ，可得2122846642x m t x m t⎧=+-⎨=--⎩， 又212x x t =，∴()2493636881804t t m t m -++-+=，此时0,∆≥ 即()22936368184804t t t -+∆=--⨯⨯≥，∴28360t -+≥，即t ≤， ∴t故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12．由{}n a 排成的数表如下：数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第n 行的末项恰为前n 行的首项的和（例如312a a a =+）.若有4080a =，则{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n n - B ．2n n + C ．2n D ．122n +-【答案】B【解析】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ，()1121221i i i a a d ----=-，从而得到()()1112121i i a d ---=-，即1a d =，由4080a =，得1a ，即可得到{}n a 的前n 项和.【详解】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ， 第i 行：，()1121221i i i a a d ----=- 即()2112221i i a a a d --++⋯+=-，()()1112121i i a d --∴-=-， 1a d ∴=，又4080a =，3240864a a d ∴=-=，又53212a a =⋅， 12a ∴=， ∴ 数表{}n a ：2 4，68，10，12，14L2n a n ∴=，所以数列{}n a 的前n 项和为：()2222n n n n +=+， 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是等差数列和等比数列的综合的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，是中档题.二、填空题13．数列满足{}n a 满足11(1)n n a a n n +=++，11a =，则10a =________.【答案】1910【解析】利用累加法及裂项相消法，即可得到结果. 【详解】 ∵1111,(1)1n n n a a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭∴10911,910a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭9811,,89a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭K 2111,2a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴101111111910892a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11921010=-= 故答案为：1910【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则xy 的最小值为________. 【答案】8【解析】利用2xy x y =+≥xy 的取值范围. 【详解】∵正实数x ，y 满足2x y xy +=，∴2xy x y =+≥2x y =时，等号成立，∴8xy ≥，∴xy 的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.15．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值，则(2)(4)f f θθ-=________.【解析】由题意可得2,32k k Z ππωπθ+=+∈，代入(2)(4)f f θθ-即可得到结果．【详解】∵函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值， ∴2,32k k Z ππωπθ+=+∈即2,6k k Z πωπθ=+∈，∴(2)(4)sin 2sin 433f f ππθθωθωθ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 4sin 803k k ππππ⎛⎫+-+=⎪== ⎝⎭，【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c⋅r r r的最大值为________. 【答案】1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， 可得224mx ny m n -=⎧⎨+=⎩，而a c c ⋅r rr =，利用均值不等式即可得到结果．【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， ∴2204mx ny m n -=⎧⎨+=⎩ ，∴a c c===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2,1)m a =u r，(cos cos ,sin cos )n b A a B C B =--r ，且m n u r r∥.（1）求A ；（2）若4b =，2a =，求ABC V 的面积 【答案】（1）6A π=或56π（2）【解析】（1）由题意可得cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-，结合正弦定理可得1sin 2A =，从而得到结果； （2）由于a b <，所以6A π=，结合余弦定理可得c（1）因为m n u r r∥，则cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-sin cos 2sin sin sin cos B A A C A B =-sin()2sin sin A B A C +=从而1sin 2A =，566A ππ=或（2）由于a b <，所以6A π=，又余弦定理：2244cos 242c A c +-==⋅⋅，解得c所以面积为14sin 26π⋅⋅=【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ，2a ，5a 成等比数列，且416S =.（1）求n a ； （2）若数列{}n b 满足3122482n n b b b b n +++⋯+=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式； （2）利用3122482n n b b b b n +++⋯+=可得2nn b =，结合错位相减法可得结果． 【详解】（1）()()22152111,4a a a a a d a d ⋅=⋅+=+解得12d a =，而411434162S a d a ⨯=+=， 所以11a =，2d =，21n a n =- （2）由于3122482n n b b b b n ++++=L ，则311211(2)2482n n b b b b n n --++++=-L …. 相减得1(2)2nn b n =…，又有12b =，从而2n n b =.则123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，相减得：()12311122222(21)26(23)2nn n n T n n ++-=⋅+⋅+++--⋅=---⋅L得1(23)26n nT n +=-⋅+本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n 项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．19．某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图． 分组频数 频率 [)45,47 8[)47,49[]49,51(]5153，16 0.16(]5355，4 0.04 合计 1001（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．【答案】（1）0.24,0.04a b ==；（2）当1815m ≥时，选方案一；当1814m ≤时，选方案二．【解析】（1）根据题中数据，得到0.080.042b ==，根据频率之和为1，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果. 【详解】（1）根据题中数据可得：0.080.042b ==， 又频率之和为1， 则10.120.080.040.020.242a =----=； （2）该工厂若选方案一：可收入()()12150510012201502540m m -⨯-⨯-⨯=-元； 若选方案二：一件产品的平均收入为200.121500.42000.485148.6-⨯+⨯+⨯-=元， 故总收入148.6m 元；21502540148.618147m m m ->⇒>，故当1815m ≥时，选方案一； 当1814m ≤时，选方案二． 【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20．已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数22113()ln 222f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的极值点；（2）若()f x 极大值大于1，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）)a ∈⋃+∞ 【解析】（1）求出导函数1()()ln 2f x x a x ⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数()f x 的极值点； （2）由（1），0a ≤和a =a >0a <<分别利用()f x 极大值大于1，建立不等关系即可. 【详解】131()()ln ()ln 222f x x a x x a x a x a x ⎛⎫=-+--+=-- ⎝'⎪⎭（1）0a ≤时，()f x 在单减，)+∞单增，极小值点为x =0a <<()f x 在(0,)a 单增，(a 单减，)+∞单增，极小值点为x =极大值点为x a =；a =()f x 在(0,)+∞单增，无极值点；a >()f x 在单增，)a 单减，(,)a +∞单增，极小值点为x a =，极大值点为x =（2）由（1），0a ≤和a =当a >14e f =>，解得4a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<21()(2ln )12f a a a =->，得222ln a a->，令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--22124()22tg t t t t'-=-+=，()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.而a t e <,而()g t 在(1,)e 单增，所以()0g t >解为(1,)e ，则a ∈.综上)a ∈⋃+∞. 【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，过圆C 的圆心C 作倾斜角,2πααπ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l .（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）直线l 分别与x ，y 轴交于A ，B ，求||||CA CB ⋅最大值和ABO V 面积的最小值.【答案】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1，2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）（2）||||CA CB ⋅无最大值，面积最小为4 【解析】（1）由题意圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，表示||||CA CB ⋅与ABO V 面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果. 【详解】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1直线l 的参数方程为()2cos 1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数 （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，124sin 2CA CB t t α⋅==，当|sin 2|α最小时取最大，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，|sin 2|(0,1]α∈.所以，无最大值.0x =时，11sin y t α=+，=0y 时22cos x t α=+，则ABO V 面积为12cos sin 122sin cos αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11224tan 2tan αα⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(44)42+=…， tan 2α=-时取等号.【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．()|||12|f x x a x a =-++-. （1）若(2)2f …，求a 的取值范围；（2）设（1）中a 的最小值为M ，若|2|m n M +…,||m n M -…，求证：|21|3m n ++…. 【答案】（1）713a 剟（2）证明见解析 【解析】（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．【详解】（1）(2)|2||32|2f a a =-+-… 32a …时，33a …，1a …，∴312a 剟 322a <<时，3a ≤，∴322a << 2a ≥时，，33a …，73a …，∴723a 剟 综上713a 剟 （2）|2|1m n +…，||1m n -…，则|2||2||2|||2m n m n m n m n m n +=++-++-剟，所以：|21||2|13m n m n ++++剟 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．。