北师大版八年级数学上册动点问题专练
2019-2020学年度北师大版八年级上册 第四章一次函数 一次函数动点最值问题 (解析版)
2019-2020北师大版八年级上册 一次函数动点最值问题（含答案）一、单选题1．如图，正比例函数32y x =的图象与一次函数33y x 42=+的图象交于点A ，若点P 是直线AB 上的一个动点，则线段OP 长的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．65D ．22．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,2，点B 的坐标为()2,1-，点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，P 的坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（0，12） C ．（0，0）D ．（0，12-） 3．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），点D 的坐标为（2，0），E 为AB 上的点，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（3，1）C ．（4，1）D ．（3，2）4．平面直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-1）三点，D （1，m ）是一个动点，当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积为（ ） A.23B.43C.83D.1635．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），直线y=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图所示，已知点C (1，0)，直线7y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是线段AB ，OA 上的动点，则△CDE 的周长的最小值是( )A ．42B ．10C ．424+D ．127．在平面直角坐标系中，有A ()21，，B ()33，两点，现另取一点C ()1a ， ，当a = ( )时，AC+BC 的值最小（ ）A ．2B ．53C ．114D ．38．已知，如图点A （1，1），B （2，﹣3），点P 为x 轴上一点，当|PA ﹣PB|最大时，点P 的坐标为（ ）A ．（﹣1，0）B ．（12，0） C ．（54，0） D ．（1，0）9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，Q 为△AOB 内部一点，则AQ +OQ +BQ 的最小值等于（ ）A ．23B ．3C ．6D ．7二、填空题10．如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，12)，P 为x 轴上一动点，则PA ＋PB 最小时点P 的坐标为________．11．如图，已知直线y=34x＋3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，线段AB 为直角边在第一内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90º．点P 是x 轴上的一个动点，设P(x，0)．(1)当x ＝______________时，PB＋PC 的值最小；(2)当x ＝______________时，|PB－PC|的值最大．12．如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点的坐标是_________.13．已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上有两动点E、F，且EF=1，线段EF在x轴上平移，当四边形ABEF的周长取得最小值时，点E的坐标为________．14．要在马路旁边设一个共享单车投放点，向A 、B 两家公马路司提供服务，投放点应设在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小明根据实际情况，以马路旁为y 轴建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为()2,1，B 点的坐标为()4,4，则从A 、B 两点到投放点距离之和为最小值时，投放点的坐标是______．15．如图，点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线y x =上运动，则线段AB 的长度的最小值是___．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知线段OP 的最小值即为点O 到直线AB 的距离，求出交点坐标及线段AB 的长，由三角形面积即能求出点O 到直线AB 的距离. 【详解】解：联立323342y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为（2,3）令33y x 042=+=，解得2x =-，所以B （-2,0） 过点A 作AC 垂直于x 轴交于点C,过点O 作OP 垂直于AB ，由垂线段最短可知此时OP 最小，在Rt ABC ∆中，由A 、B 坐标可知3,4AC BC ==，根据勾股定理得5AB =.1122ABC S OB AC AB OP ∆==OB AC AB OP ∴=即23655OB AC OP AB ⨯===故答案为：C【点睛】本题考查了函数解析式，涉及的知识点包括由解析式求点坐标、三角形面积、勾股定理，由垂线段最短确定OP位置是解题的关键.2．A【解析】【分析】如图，作点A关于y轴的对称点'A，连接'BA交y轴于P，连接PA，根据轴对称的性质可知PA=PA′则点P即为所求根据B、A′坐标求出直线'BA的解析式即可求出P点坐标.【详解】如图，作点A关于y轴的对称点'A，连接'BA交y轴于P，连接PA，∵A、A′关于y轴对称，∴A′坐标为（-1，2），PA=PA′，∴PA+PB=PA′+PB，设直线'BA的解析式为y=kx+b，∵A′（-1，2），B（2，-1）∴2 21k bk b-+=⎧⎨+=-⎩解得11kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BA′的解析式为y=-x+1，当x=0时，y=1，∴P点坐标为（0，1）故选A.【点睛】本题考查轴对称最短问题，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题．3．B【解析】【分析】作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【详解】作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，如图所示：∵D（2，0），A（3，0），∴H（4，0），设直线CH解析式为y=ax+b，则：404a b b ＝＝+⎧⎨⎩ ，解得：14a b -⎧⎨⎩＝＝， 所以直线CH 解析式为y=-x+4， ∴x=3时，y=-3+4=1， ∴点E 坐标（3，1） 故选：B ． 【点睛】考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E 位置，学会利用一次函数解决交点问题. 4．B 【解析】由题可得,点C 关于直线x =1的对称点E 的坐标为(2,−1)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，则21k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ ， 解得1313k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1133y x ∴=-- ，将D (1,m )代入，得112333m =--=- ，即点D 的坐标为(1,23-)，∴当△ACD的周长最小时,△ABD的面积=12124423233 AB⨯⨯-=⨯⨯=.故选B.点睛：先根据△ACD的周长最小，求出点C关于直线x=1对称的点E的坐标，再运用待定系数法求得直线AE的解析式，并把D（1，m）代入，求得D的坐标，最后计算，△ABD的面积．5．B【解析】试题分析：根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=5，∴△PBM∽△ABO，∴PM=4．故选B．考点：一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．6．B【解析】【分析】点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【详解】解：如图，点C(1，0)关于y轴的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y=-x+7，∴直线CC″的解析式为y=x-1，由71 y xy x-+⎧⎨-⎩＝＝解得43 xy＝＝⎧⎨⎩，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，C(1，0)，设C″坐标为（m，n），∴14232mn+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：76mn=⎧⎨=⎩∴C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C ″=22(71)(60)10++-=故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D 、点E 位置，将三角形的周长转化为线段的长． 7．B 【解析】 【分析】先作出点A 关于y=1的对称点A′，再连接A'B ，求出直线A'B 的函数解析式，再把y=1代入即可得． 【详解】作点A 关于y=1的对称点A'（1，0），连接A'B 交y=1于C ，则033k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线A'B 的函数解析式为：3322y x =-，把C 的坐标（a ，1）代入解析式可得，a=53． 故选B ． 【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点A 关于y=1的对称点A′是解题关键．8．B【解析】【分析】作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．【详解】作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，1），∴C的坐标为（1，﹣1），连接BC，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴1{23 k bk b+=-+=-，解得：2 {1kb=-=，∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝12，∴点P的坐标为：（12，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC，∴此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值．故选：B．【点睛】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．9．D【解析】【分析】由题意得出OB=3，OA=1，由勾股定理得出AB= 2222(3)12OB OA+=+==2，得出∠OBA=30°，∠OAB=60°，任取△AOB内一点Q，连接AQ、BQ、OQ，将△ABQ绕点A顺时针旋转60°得到△AB′Q′，过B′作B′C⊥x轴于C，证出△QAQ′是等边三角形，得出AQ=QQ′，得出OQ+AQ+BQ=OQ+QQ′+Q′B′，当OQ、QQ′、Q′B′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+BQ的最小值=OB′，求出AC=12AB′=1，B′C=3，得出OC=OA+AC=2，再由勾股定理即可得出结果．【详解】解：∵直线y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1；∴OB＝3，OA＝1，∴AB＝2222(3)12OB OA+=+=，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，任取△AOB内一点Q，连接AQ、BQ、OQ，将△ABQ绕点A顺时针旋转60°得到△AB′Q′，过B′作B′C⊥x 轴于C，如图所示：∴AB′＝AB＝2，AQ＝AQ′，BQ＝B′Q′，∠BAB′＝∠QAQ′＝60°，∴△QAQ′是等边三角形，∴AQ＝QQ′，∴OQ+AQ+BQ＝OQ+QQ′+Q′B′，∴当OQ、QQ′、Q′B′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+BQ的最小值＝OB′，∵∠BAO＝∠BAB′＝60°，∴∠B′AC＝60°，∴AC＝12AB′＝1，B′C＝3，∴OC＝OA+AC＝2，∴OB′＝222202(3)7c B c'+=+=，∴AQ、OQ、BQ之和的最小值是7；故选：D．【点睛】考查了旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最短距离等知识；证明△QAQ'是等边三角形是解题的关键． 10．（2，0） 【解析】先作出点A 关于x 轴对称的点A′（0，-1），再连接A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求．由题中条件设直线A′B 的解析式为y=kx+b ，可得1132b k b -=⎧⎪⎨=+⎪⎩，求出121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即直线A′B 的解析式为y=12x-1，并得到当y=0时，与x 轴的交点坐标（2，0）． 故答案为：（2，0）．11．3 -21 【解析】试题分析：（1）作点B 关于x 轴的对称点点B '，连接B 'C 交x 轴与点P ，此时PB ＋PC 的值最小，作CD ⊥x 轴交于点D ，要求点P 的横坐标即要求直线B 'C 的解析式，即要求点B '、C 的坐标，B '坐标不难求，C 的坐标通过△AOB ≌△CDA 全等可以求得；（2）延长CB 交x 轴于点P ，此时|PB －PC |的值最大，要求点P 横坐标，即要求直线BC 的解析式，求出直线BC 的解析式，令y =0，求出点P 的坐标即可. 试题解析：（1）作点B 关于x 轴的对称点点B '，连接B 'C 交x 轴与点P ，此时PB ＋PC 的值最小，作CD ⊥x轴交于点D ，令x =0，y =3，B （0，3）；令y =0，x =4，A （4，0）， ∴B '（0，－3），AO =4，BO =3，∵等腰Rt △ABC ，∴∠BAC =90°，AB =AC ， ∴∠BAO +∠CAD =90°， ∵∠CAD +∠ACD =90°， ∴∠BAO =∠ACD ， 在△AOB 和△CDA 中，BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△CDA ， ∴AO =CD =4，BO =AD =3， ∴OD =7， ∴C （7， 4），设直线B 'C 的解析式为：y =kx +b ，473k b b =+⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴y =x －3， 令y =0，x =3；（2）延长CB 交x 轴于点P ，此时|PB －PC |的值最大， 设直线BC 解析式为：y =kx +b ，347b k b =⎧⎨=+⎩，解得173k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴y =17x +3， 令y =0，x =－21.点睛：本题关键在于利用轴对称的性质以及三角形三边关系确定P 点的位置. 12．(0，3) 【解析】试题分析：将点作关于y 轴的对称点A′，连接A′B 与y 轴的交点就是点C 的坐标. 考点：(1)、轴对称图形；(2)、一次函数13．（﹣25，0） 【解析】如图，过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点E ，在x 轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF 的周长最小．∵A（3，4），∴A′（2，4），∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则241k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得，k=53，b=23．∴直线A′B′的解析式为y=53x+23，当y=0时，53x+23=0，解得x=-25．故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-25，0）．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．14．35【解析】【分析】可先找点A关于y轴的对称点C，求得直线BC的解析式，直线BC与y轴的交点就是所求的点．【详解】作A 关于y 轴的对称点C ，则C 的坐标是()2,1-，设BC 的解析式是y kx b =+，则{4k b 42k b 1+=-+=，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则BC 的解析式是1y x 22=+， 令x 0=，解得：y 2=， 则派送点的坐标是()0,2，从A 、B 两点到投放点距离之和的最小值是226(41)35+-=，故答案为：35. 【点睛】本题考查了对称的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确确定投放点的位置是关键．15．22【分析】当线段AB 最短时，直线AB 与直线y x =垂直，根据勾股定理求得AB 的最短长度．【详解】解：当线段AB 最短时，直线AB 与直线y x =垂直，过点A 作AB ⊥直线l ，因为直线y x =是一、三象限的角平分线，所以'45AOB ∠=，所以'45OAB ∠=，所以''AB OB =，222''AB OB OA ∴+=，即22'1AB =， 所以2'2AB =．故答案是：22． 【点睛】 考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，熟知垂线段最短是解。
(完整版)北师大版八上一次函数的动点问题面积问题
一次函数的动点问题类型一 面积问题 23. 如图，直线133+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 以线段AB 为边在第一象限作等边三角形ABC ， 存在点)21,(m P ， 使ABC ∆的面积与ABP ∆的面积相等，求m 的值。
练习1 已知如图，直线121+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段'AB . （1）求直线'AB 的解析式。
(2) 若动点),1(a C 使得'ABB ABC S S ∆∆=的面积相等，求a 的值。
练习2 如图，已知一次函数b x y +-=21的图像过)3,2(A , x AB ⊥轴于点B ， 连接OA 。
（1）求一次函数解析式。
（2）设点P 为直线b x y +-=21上一点，且在第一象限内，经过点P （不与A 重合）作x 轴的垂线，若AOB POQ S S ∆∆=, 求点P 的坐标。
练习3 已知)0,0(),0,2(),2,0(C B A 三个点为顶点的三角形被直线a ax y -=分成两部分， （1）填空: 不论a 为何值，直线a ax y -=必定经过一顶点C ， 则该顶点为 。
（2）若所分的两部分面积之比为7:1， 求a 的值。
如图， 已知直线42+=x y 的图像交两坐标轴于点B A ,, 点C 为OB 的中点，直线l 经过点C ，与AB 交于点D , 把AOB ∆的面积分为2:1， 求直线l 的解析式。
如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B 。
（1）求点B A ,的坐标。
（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ， 若415=∆ABP S , 求直线BP 的解析式。
二 动点问题一条直线上顺次有C B A ,,三个港口，甲乙两船分别从B A ,港口出发，沿直线行驶到C 港口，最终到达C 港口在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口,甲乙两船同时分别从A 、B 港口出发,沿直线匀速驶向C 港．最终到达C 港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B 港的距离分别为y1、y2（km ）,y1、y2与x 的函数关系如图所示.（1）填空：A 、C 两港口间的距离____km,a= _____； （2）求图中点P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时,x 的取值范围．两城B A ,间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A 城出发沿这一公路驶向B 城，甲车到达B 城1小时后沿原路返回．如图是它们离A 城的路程y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图像． （1）求甲车返回过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）乙车与返回的甲车相遇距离B 城还有多远？特殊三角形问题已知)4,4(A, 在y轴上找一点C，使得ABC0,1(B),为等腰三角形，求出点C的坐标。
(完整版)新北师大版八年级上册动点与一次函数专题练习(含答案),推荐文档
A M
OC
x
B
2、在边长为 2 的正方形 ABCD 的边 BC 上，点 P 从 B 点运动到 C 点，设 PB=x,四边形 APCD 的面积为 y
，（1）写出 y 与自变量 x 的函数关系式，并画出它的图象。
3
（2）当 x 为何值时，四边形 APCD 的面积等于 。
2
D
C
P
A
B
3、如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程 为
2
2
3.解：（1）.由图 2 可知，x 从 4 到 9 的过程中，三角形的面积不变，
1
所以，矩形的边 AB=9-4=5，边 BC=4，所以 s△ABC= ×5×4=10
2
1
15
（2）.①点 P 在 BC 上时，0≤x≤4，点 P 到 AB 的距离为 PB 的长度 x， y= AB•PB= ×5x= x ，
所以，动点 P 运动的总路程为 AB+BC+CD=2+2+2 3 =4+2 3 ，
∵动点 P 的运动速度是 1cm/s， ∴点 P 从开始移动到停止移动一共用了（4+2 3 ）÷1=4+2 3 （秒）．
5.（1）作 PE⊥y 轴于 E， ∵P 的横坐标是 2，则 PE=2．
1
1
∴S△COP= OC•PE= ×2×2=2；
的方向不停移动，直到点 P 到达点 D 后才停止．已知△PAD 的面积 S（单位：cm2）与点 P 移动的时间 （单位：s）的函数如图②所示，则点 P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号）．
5、如图，A、B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点，点 P(2,p)在第一象限，直线 PA 交 y 轴于点 C（0,2）
(2021年整理)北师大版数学动点问题练习
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八年级动点1.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等？(2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？2.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A—C—B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A—B—C—D 的方向运动，当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形)，解答下列问题：（1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒;（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是秒；(3）求y与x之间的函数关系式．。
八年级数学四边形之动点问题(建等式一)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（建等式一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向点C运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线CB-BA向点A运动（不与点C，A重合）．设点P的运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为( )秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm．动点P 从点O出发，以1cm/s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（3）当点P在OA上运动，且△OPQ的面积为平行四边形OABC的面积的一半时，t的值为( )A.，8B.4C. D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：动点问题的处理框架中的第三步：分析几何特征、表达、设计方案求解，具体的操作动作有哪些？问题2：表达线段长时有哪些手段？。
北师大版八年级上数学动点问题
北师大版八年级上数学动点问题初二动点问题1.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=10cm ，BC=30cm ，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以每秒1cm 的速度运动，同时动点Q 从C 开始沿CB 边向点B 以每秒3cm 的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
设运动时间为t 秒。
（1）t 为何值时，四边形ABQP 是平行四边形？（2）四边形ABQP 能成为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由。
2.如图，已知直线1l :2+-=x y 与直线2l ：82+=x y 相交于点F ，1l 、2l 分别交x 轴于点E 、G ，矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线1l 、2l ，顶点A 、B 都在x 轴上，且点B 与点G 重合。
（1）、求点F 的坐标和∠GEF 的度数；（2）、求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长；（3）、若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t ()60≤≤t 秒，矩形ABCD 与△GEF 重叠部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式，并写出相应的txy O x =4 A B C PH M 3.四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC ，在建立如图的平面直角坐标系中，A （10，0），B （8，6），直线x =4与直线AC 交于P 点，与x 轴交于H 点；（1）直接写出C 点的坐标，并求出直线AC 的解析式；（2）求出线段PH 的长度，并在直线AC 上找到Q 点，使得△PHQ 的面积为△AOC 面积的51，求出Q 点坐标；（3）M 点是直线AC 上除P 点以外的一个动点，问：在x 轴上是否存在N 点，使得△MHN 为等腰直角三角形？若有，请求出M 点及对应的N 点的坐标，若没有，请说明理由．4．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ．（1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．。
第四章一次函数综合题动点问题练习(1)2021-2022学年 北师大版数学八年级上册
北师大版数学八年级上册第四章一次函数综合题动点问题练习11.如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为(-8，0)，点A的坐标为(-6，0).(1)求k的值；(2)若点P(x，y)是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)点P是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，探究：当点P运动到什么？并说明理由.位置时，△OPA的面积为2782.如图，已知点A（6，0）、点B（0，2）．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）若C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，试求点C的坐标．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，直线l2：y=-3x与直线l1交于点C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）当PA+PC的值最小时，求此时P点的坐标，并求PA+PC的最小值；（3）在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A、O、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说出理由．4.如图1，已知平行四边形ABCD，AB//x轴，AB=12，点A的坐标为（2，-8），点D的坐标为（-6,8），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.(1)若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.(2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.5.直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OCOB =43．（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是在第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？（3）若点A是直线y=kx-4上的一个动点,设A（x,y）,△AOB的面积为s,求s关于x 的函数表达式，并写出x的取值范围.6.已知，直线y=2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图①，点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）如图②，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA=AB．①求点C的坐标；②过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与直线AB交于点E，若点E不在线段BC上，则m的取值范围是______；（3）若∠ABN=45°，求直线BN的解析式．7.如图，直线l分别交坐标轴于点A（3，0）、B（0，6）．点P（m，n）是直线l上的动点，但不与点A重合，连接OP，设△OAP的面积为S．（1）求直线l所对应的函数表达式；（2）求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）是否存在这样的点P，使S=3?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，直线y=2x+6交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出A（______，______），B（______，______）；x上一点，若以A，B，（2）如图1，点E为直线y=x+2上一点，点F为直线y=12E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E，F的坐标.（3）如图2，点C（m，n）为线段AB上一动点，D（-7m，0）在x轴上，连接CD，点M为CD的中点，求点M的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式，并直接写出在点C移动过程中点M的运动路径长．9.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,0)，直线l:y=−x+4，在第一象限有一动点P(x,y)在直线l上，直线l与x轴、y轴分别交于点B、C，设ΔOPA的面积为S．（1）分别求出B、C的坐标；（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；10.已知，直线AB分别交x、y轴于A(4，0)、B两点，C(－4，a)为直线y＝－x与AB的公共点.(1)求点B的坐标。
八年级数学上册单元题型精练(北师大版)： 动点问题(强化)(解析版)
专题1.7动点问题1．在ABC 中，90ACB ，5AB cm ，3AC cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1/cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP 为直角三角形时，求t 的值．【解答】解：在Rt ABC 中，由勾股定理得：222225316BC AB AC ，4BC cm ．根据题意得：BP tcm ．①如图①，当BAP 为直角时，BP tcm ．(4)CP t cm ，3AC cm ，在Rt ACP 中，222223(4)AP AC CP t ，在Rt BAP 中，222AB AP BP ，222253(4)t t ，解得254t ．②如图②，当APB 为直角时，此时点P 与点C 重合，4BP BC cm ，4t ．当ABP 为直角三角形时，4t 或254．2．如图，ABC 中，20AB AC BC 厘米，如果点M 从点C 出发，点N 从点B 出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N 第一次到达C 点时，M ，N 两点同时停止运动．运动时间为t （秒)．（1）当05t 且BMN 为直角三角形时，求t 的值；（2）当t 为何值，BMN 为等边三角形．【解答】解：（1）当05t 时，点M 在BC 上，点N 在AB 上，4BN t ，204MB t ，BMN 为直角三角形，则90BNM 或90NMB ，①当90BNM 时，60B ∵，90906030BMN B ，2BM BN ，20424t t ，解得：53t ；②当90NMB 时，60B ∵，90906030BNM B ，2BN BM ，42(204)t t ，解得：103t ．③点M 在AC 上，点N 在AB 上，404AN CM t ，(808)(404)20t t ，253t （不合题意舍去），综上，当53t 或103时，BMN 为直角三角形；（2）点N 第一次到达C 点时，M ，N 两点同时停止运动，则010t ，①当05t 时，当MB BN 时，BMN 为等边三角形，此时，4204t t ，解得：52t ；②当510t 时，BMN 为等边三角形，只能点M 与点A 重合，点N 与点C 重合，此时，10t ，综上，52t 或10t 时，BMN 为等边三角形．3．如图，已知ABC 中，90B ，16AB cm ，12BC cm ，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A 方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，同时停止．（1）P 、Q 出发4秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边CA 上运动时，出发几秒钟后，CQB 能形成直角三角形？【解答】解：（1）由题意可得，248()BQ cm ，161412()BP AB AP cm ，90B ∵，)PQ cm ，即PQ 的长为；（2）当BQ AC 时，90BQC ，90B ∵，16AB cm ，12BC cm ，20()AC cm，∵22AB BC AC BQ ， 16122022BQ ，解得485BQ cm ，36()5CQ cm ， 当CQB 是直角三角形时，经过的时间为：36(1229.65（秒)；当90CBQ 时，点Q 运动到点A ，此时运动的时间为：(1220)216 （秒)；由上可得，当点Q 在边CA 上运动时，出发9.6秒或16秒后，CQB 能形成直角三角形．4．如图，在Rt ABC 中，90C ，10AB cm ，6AC cm ，动点P 从点B 出发，以2/cm 秒的速度沿BC 移动至点C ，设运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）在点P 的运动过程中，是否存在某个时刻t ，使得点P 到边AB 的距离与点P 到点C 的距离相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt ABC 中，由勾股定理得：8()BC cm ；（2）存在，理由如下：如图，当点P 恰好运动到BAC 平分线上时，点P 到直线AB 的距离与点P 到点C 的距离相等，由已知可得：2BP t cm ，(82)PC BC BP t cm ，连接AP ，过点P 作PE AB 于E ，如图所示：则(82)PE PC t cm ，在AEP 与ACP 中，90PAE PAC AEP C AP AP，()AEP ACP AAS ，6AE AC cm ，1064()BE AB AE cm ，在Rt BEP 中，由勾股定理得：222BP BE PE ，即222(2)4(82)t t ，解得：52t ，即当t 的值为52时，点P 到边AB 的距离与点P 到点C的距离相等．5．如图，在Rt ABC 中，90B ，7AB cm ，25AC cm ．点P 从点A 出发沿AB 方向以1/cm s 的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿BC 方向以6/cm s 的速度向终点C 运动，P ，Q 两点同时出发，设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）当2t 时，求P ，Q 两点之间的距离；（3）当AP CQ 时，求t 的值？【解答】解：（1）在Rt ABC 中，90B ，7AB cm ，25AC cm ，24BC cm ．（2）如图，连接PQ ，725BP ，6212BQ ，在直角BPQ 中，由勾股定理得到：13()PQ cm ；（3）设t 秒后，AP CQ ．则246t t ，解得247t ．答：P 、Q 两点运动247秒，AP CQ ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ，10AB cm ，6AC cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s ．（1）当ABP 为直角三角时，求t 的值；（2）当ABP 为等腰三角形时，求t 的值．【解答】解：（1）当ABC 为直角三角时，8()BC cm ，①当90APB 时，点P 与点C 重合，8BP BC ，8t ，②当90BAP ，BP t ，8CP t ，6AC ，在Rt ACP 中，2226(8)AP t ，在Rt BAP 中，222AB AP BP ，222210[6(8)]t t ，解得：252t ，综上所述，8t 或252；（2）在ABC 中，90ACB ，由勾股定理得：8()BC cm ，ABP ∵为等腰三角形，当AB AP 时，则216BP BC cm ，即16t ；当10BA BP cm 时，则10t ；当PA PB 时，如图：设BP PA x ，则8PC x ，在Rt ACP 中，由勾股定理得：222PC AC AP ，222(8)6x x ，解得254x ，254t ．综上所述：t 的值为16或10或254．7．如图，在ABC 中，60A ，4AB cm ，12AC cm ．动点P 从点A 开始沿AB 边以1/cm s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CA 边以3/cm s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也随之停止运动．设动点的运动时间为t (04)s t ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在PQ 的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使APQ 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若点A 在线段PQ 的垂直平分线上，则AP AQ ，AP t ∵，123AQ t ，123t t ，解得：3t ，答：当3t 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上；（2）①若90APQ ，则APQ 是直角三角形，60A ∵，30AQP ，2AQ AP ，1232t t ，125t ，②若90AQP ，则APQ 是直角三角形，60A ∵，30APQ ，2AP AQ ，2(123)t t ，247t ． 当125t 或247时，APQ 是直角三角形．8．如图，在Rt ABC 中，3AB ，4BC ，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动，连接PQ ，设它们的运动时间为(0)t t 秒．（1）设CBQ 的面积为S ，请用含有t 的代数式来表示S ；（2）线段PQ 的垂直平分线记为直线l ，当直线l 经过点C 时，求AQ 的长．【解答】解：（1）如图1，当03t 时，BQ t ，4BC ，1422S t t ；如图2，当35t 时，，3AQ t ，则3(3)6BQ t t ，14(6)1222S t t ；（2）连接CQ ，如图3，QP ∵的垂直平分线过点C ，CP CQ ，3AB ∵，4BC ，5AC ，2224(5)t t ，解得910t ；或2224(6)(5)t t ，显然不成立；92131010AQ ．9．如图，在Rt ABC 中，90ABC ，20AB ，15BC ，AD 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（2）若CBD 是等腰三角形，求t 的值．【解答】解：（1）2CD t ，90ABC ∵，20AB ，15BC ，25AC ，252AD AC CD t ；①90CDB 时，1122ABC S AC BD AB BC，即1125201522BD ，解得12BD ，9CD ，92 4.5t ；②90CBD 时，点D 和点A 重合，25212.5t ．综上所述， 4.5t 或12.5秒时，CBD 是直角三角形（2）①CD BC 时，15CD ，1527.5t ；②CD BD 时，C DBC ，90C A DBC DBA ∵，A DBA ，BD AD ，112.52CD AD AC ，12.52 6.25t ；③BD BC 时，如图，过点B 作BF AC 于F ，根据等腰三角形三线合一的性质可得2CD CF ；则CF DF ，12BF ∵，9CF ，29218CD CF ，1829t ．综上所述， 6.25t 或7.5或9秒时，CBD 是等腰三角形．10．已知ABC 中，90B ，8AB cm ，6BC cm ，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B 方向运动且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A 方向运动，在BC 边上的运动速度是每秒2cm ，在AC 边上的运动速度是每秒1.5cm ，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边BC 上运动时，t 为何值时，ACQ 的面积是ABC 面积的13；（3）当点Q 在边CA 上运动时，t 为何值时，PQ 将ABC 周长分为23:25两部分．【解答】解：（1）当2t s 时，点Q 在边BC 上运动，则2AP cm ，24()BQ t cm ，8AB cm ∵，826()BP AB AP cm ，在Rt BPQ 中，由勾股定理可得)PQ cm ，PQ 的长为；（2）12ACQ S CQ AB ∵，12ABC S BC AB ，点Q 在边BC 上运动时，ACQ 的面积是ABC 面积的13，1162()33CQ BC cm ，624()BQ BC CQ cm ，422t ，当点Q 在边BC 上运动时，t 为2时，ACQ 的面积是ABC 面积的13；（3）在Rt ABC 中，由勾股定理得：10()AC cm ，当点P 达到点B 时，881t ，当点Q 达到点A 时，610292 1.53t ，∵当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，08t ，AP t ∵cm ，(8)BP t cm ，点Q 在CA 上运动时，61.5()(1.5 4.5)()2CQ t t cm ，10(1.5 4.5)(1.514.5)()AQ t t cm ，86 1.5 4.5(0.59.5)()BP BC CQ t t t cm ，(1.514.5)(0.514.5)()AP AQ t t t cm ，分两种情况：①2325BP BC CQ AP AQ ，即0.59.5230.514.525t t ，解得：4t ，经检验，4t 是原方程的解，4t ；②2523BP BC CQ AP AQ ，即0.59.5250.514.523t t ，解得：6t ，经检验，6t 是原方程的解，6t ；综上所述，当点Q 在边CA 上运动时，t 为4或6时，PQ 将ABC 周长分为23:25两部分．11．如图，在ABC 中，90C ，12AC ，5BC ，BD 平分ABC ．动点P 从点B 出发，沿折线BA AC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 不与点D 重合时，连结P 、B 、D 三点．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AB 的长为13；（2）当DP AB 时，t；（3）求线段BD 的长；（4）当DBP 与DPB 相等时，直接写出t 的值．【解答】解：（1）90C ∵，12AC ，5BC ，13AB ．故答案为：13．（2）BD ∵平分ABC ，DP AB ，DC CB ，DC DP ．在Rt DCB 和Rt DPB 中，BD BD DC DP，Rt DCB Rt DPB(HL) ．5BC BP ．15t BP．故答案为：5．（3）BD∵平分ABC，AD AB CD BC．12135CDCD．解得：103 CD ．在Rt CDB中，3BD ．（4）①当点P在AB上时，DBP DPB∵，DB DP．过点D作DE AB于点E，如图，由（2）知：Rt DCB Rt DEB，5BE BC．DB DP∵，DE AB，5PE BE．210PB BE．110t BP；②当点P在AC上时，DBP DPB∵，DB DP．由（3）知：3BD ，103CD ，PD ．PA AC CD PD ．点P 运动的距离为：653AB PA ．6565()133t ．综上，t 的值为：10或653 ．12．如图，在ABC 中，3AB ，4AC ，5BC ，P 为边BC 上一动点，PE AB 于E ，PF AC 于F ，M 为EF 中点，求AM 的最小值．【解答】解：∵在ABC 中，3AB ，4AC ，5BC ，222AB AC BC ，即90BAC ．又PE AB ∵于E ，PF AC 于F ，四边形AEPF 是矩形，EF AP ．M ∵是EF 的中点，1122AM EF AP ．当AP BC 时，AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高125，AM 的最小值是65．13．如图，已知四边形ABCD 中，//AB CD ，4BC AD ，10AB CD ，90DCB ，E 为CD 边上的一点，7DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB 向终点B 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）求BE 的长；（2）若BPE 为直角三角形，求t 的值．【解答】解：（1）10CD ∵，7DE ，1073CE ，在Rt CBE 中，5BE ；（2）当90BPE 时，1037AP ，则717t （秒)，当90BEP 时，222BE PE BP ，即222254(7)(10)t t ，解得，53t ， 当7t 或53时，BPE 为直角三角形．14．如图，在Rt ABC 中，90ABC ，20AB ，15BC ，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，速度为每秒2个单位长度．（1）填空：当t 4.5或12.5秒时，CBD 是直角三角形；（2）若CBD 是等腰三角形，求t 的值．【解答】解：（1）2CD t ，90ABC ∵，20AB ，15BC ，25AC ，252AD AC CD t ；①90CDB 时，1122ABC S AC BD AB BC，即1125201522BD ，解得12BD ，9CD ，92 4.5t ；②90CBD 时，点D 和点A 重合，25212.5t ．综上所述， 4.5t 或12.5秒时，CBD 是直角三角形（2）①CD BC 时，15CD ，1527.5t ；②CD BD 时，C DBC ，90C A DBC DBA ∵，A DBA ，BD AD ，112.52CD AD AC ，12.52 6.25t ；③BD BC 时，如图，过点B 作BF AC 于F ，根据等腰三角形三线合一的性质可得2CD CF ；则CF DF ，12BF ∵，9CF ，29218CD CF ，1829t ．综上所述， 6.25t 或7.5或9秒时，CBD 是等腰三角形．故答案为：4.5或12.5秒．15．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ，8AC ，16BC ，D 是AC 上的一点，3CD ，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ．连接AP ．（1）当3t 秒时，求AP 的长度（结果保留根号）；（2）当ABP 为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP 于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD ？【解答】解：（1）根据题意，得2BP t ，162162310PC t ，8AC ，在Rt APC 中，根据勾股定理，得AP ．答：AP 的长为．（2）在Rt ABC 中，8AC ，16BC ，根据勾股定理，得AB若BA BP ，则2t ，解得t ；若AB AP ，则32BP ，232t ，解得16t ；若PA PB ，则222(2)(162)8t t ，解得5t ．答：当ABP 为等腰三角形时，t 的值为、16、5．（3）①点P 在线段BC 上时，过点D 作DE AP 于E ，如图1所示：则90AED PED ，90PED ACB ，PD 平分APC ，EPD CPD ，又PD PD ∵，()PDE PDC AAS ，3ED CD ，162PE PC t ，835AD AC CD ，4AE ，4162202AP AE PE t t ，在Rt APC 中，由勾股定理得：2228(162)(202)t t ，解得：5t ；②点P 在线段BC 的延长线上时，过点D 作DE AP 于E ，如图2所示：同①得：()PDE PDC AAS ，3ED CD ，216PE PC t ，835AD AC CD ，4AE ，4216212AP AE PE t t ，在Rt APC 中，由勾股定理得：2228(216)(212)t t ，解得：11t ；综上所述，在点P 的运动过程中，当t 的值为5或11时，能使DE CD ．16．如图，在ABC 中，5AC ，E 为BC 边上一点，且1CE ，AE ，4BE ，点F为AB 边上的动点，连接EF ．（1）求AB 的长；（2）当BEF 为等腰三角形时，求AF 的长．【解答】解：（1）5AC ∵，1CE ，AE 2226AC CE ，226AE ，222AC CE AE ，90ACE ，5BC CE BE ∵，5AC ，AB ；（2）①当4BF BE 时，4AF AB BF ；②如图，当BF EF 时，有45FEB B ，90BFE ，BF EF ，设BF EF x ，222BF EF BE ∵，2224x x ，x （负值舍去），AF AB BF ③如图，当BE EF 时，有45EFB B ，90BEF ，4EF BE ，BF，AF AB BF综上所述，AF 的长为4或．。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理--动点问题 练习(含答案)
《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 ；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。
北师大版八年级数学上册动点问题专练无答案
(北师大版八年级数学上册动点问题专练无答案）北师大版八年级数学上册动点问题专练 BCED是平行四边形，1、已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形 ADCE是平行四边形；（1）求证：四边形是矩形？ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE（2）当△．的边AB上的点，连接DE2、如图，已知E是平行四边形ABCD ；，使∠CBF=∠ADE1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F（（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） ADE≌△CBF．1（2）在（）的条件下，求证：△DC的延长线于点F．ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交3、如图，已知E是?ABE≌△FCE．（1）求证：△，求证：四边形ABFC为矩形．AC、BF，若∠AEC=2∠ABC（2）连接，分别AC、BCl上两点，点C为直线l上方一动点，连接4、如图①所示，已知A、B为直线作，过点E作DD⊥l于点D以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF 和正方形CBEG，过点D11 E．EE⊥l于点11；E重合），试说明DD=AB（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E与11之间的数EEDD、、AB（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段11量关系，并说明理由；之间的数量关EE、AB、（3）如图③，当点E 在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD11系．（不需要证明），4∠1=2=∠3=∠，，G，H分别在NPPQ，QM，MN上，若∠，，矩形5、如图1MNPQ中，点EF为矩形，且43，图中，四边形ABCDEFGH则称四边形为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图 AB=4，BC=8．理解与作图：ABCD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形CDE，F分别在BC，31（）在图2，图中，点．的反射四边形EFGH 计算与猜想：的反射四边形的周长是否为的周长，并猜想矩形ABCDEFGH2（2）求图，图3中反射四边形定值？启发与证明：，试利用小华同的延长线于交，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长）如图（34GFBCM4/ 1无答案）北师大版八年级数学上册动点问题专练(）中的猜想．学给我们的启发证明（22cm/s方向以出发，按折线DCBAD＝8cm，动点M从点DBC6、如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，的速度运动．DABCD方向以1cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线同时出发，经过几秒钟两点相遇？M、N （1）若动点同时出发，相遇时停止运动，经过几M、NBC上，且BE＝3cm，若动点（2）若点E在线段、N组成平行四边形？A、E、M秒钟，点NMB7、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B 运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始．（1）经过多少时间，四边形AQPD是平行四边形？（2）经过多少时间，四边形AQPD成为等腰梯形？（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？8、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB 方向向点B以3cm/s4/ 2北师大版八年级数学上册动点问题专练无答案）(同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停CQ分别从点A和点的速度运动．点P、止运动．）经过多长时间，四边形（1PQCD是平行四边形？ 2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（ 3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？（在线段，AC=6cm，点E AC、BD相交于点O，BD=12cm10、如图，平行四边形ABCD 的对角线以2cm/s的速度运动．1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O BO 上从点B以为何值时，四边形AECF是平行四边形．、F同时运动，设运动时间为t秒，当t（1）若点E可以是矩是菱形；②四边形AECF）在（21）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF（形吗？为什么？点出从B BC=11，梯形的高为4，动点MAD11、如图，在梯形ABCD中，∥BC，AD=4，DC=5，以每CDA运动；动点N同时从C点出发沿发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一N单位长度的速度向终点A运动．若M，秒2 秒．点也随之停止运动，设运动的时间为t 为平行四边形；）t为何值时，四边形ABMN（1 t为何值时，四边形CDNM为等腰梯形．（2）AD从点A开始沿AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P∥12、如图，等腰梯形ABCD 中，ADBC，的速度运以每秒3cm从点C开始沿CB边向点B的速度运动，同时动点边向点以每秒1cm Q t秒．动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为是平行四边形？1（）t为何值时，四边形ABQP的值；如果不能，请说明理由．）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，求出t2（P，BC=26cm，动点B=90∥BC，∠°，AD=24cm，AB=8cmAD13、如图，已知在四边形ABCD中，的BCB边向点以3cm/s C1cm/s AD从A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点开始沿同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，、C别从点速度运动，P、QA 秒．设运动的时间为tABQP t1（）当为何值时，四边形为矩形？43 /(北师大版八年级数学上册动点问题专练无答案）PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形P，动点B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cmAD14、如图，在直角梯形ABCD中，∥BC，∠3cm/以从点C开始沿CB边向点B AD从点A开始沿边向点D以1cm/秒的速度运动；动点Q同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停、Q分别从点A、CP秒的速度运动，若止运动，设运动时间为t． t为何值时，线段AB与线段PQ相等；（1）当）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；（2的值；若不t值，使PQ 把直角梯形分成周长相等的两部分？若存在，求出3（）是否存在t 存在，请你说明理由．P BC=270m，道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，二人沿直角梯形15、P、Q ABCD的速度3m/s从点C开始沿CB边向点B以QA从点开始沿AD边向点D 以1m/s的速度行走，跑步．二人所在的位置两点同时出发多少时间时，四边形PQCD、Q（P、（1）PQ二人分别从A、C 点）是平行四边形？Q为P、是C两点同时出发，在某时刻四边形PQCDQ（2）添加一个什么条件时，P、二人分别从A、菱形？说明理由．是等腰梯形？二人分别从P、QA、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD）（3的内、外MN分别交∠ACB，设的直线上一动点为△16、如图，OABC的边AC,过点OMN∥BC 。
北师大版数学动点问题练习
八年级动点
1.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，
请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
2.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点P、Q同时
从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A—C—B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A—B—C—D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式．。
初中数学 动点问题概述及练习题 北师大版
初中数学动点问题及练习题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
第7章平行线的证明——动点问题专练(3)-北师大版数学八年级上册
北师大版数学八年级上期第7章平行线的证明——动点问题专练31.已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．2.如图，已知AM // BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（要有推理过程）（1）求∠CBD的度数；（2）试说明：∠APB=2∠ADB；（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．3.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG=∠FEG，EF平分∠AEG．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q=α，∠EHG=β①若∠HEG=40°，∠QGH=20°，求∠Q的度数．②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．4.如图(1)，AB // CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．(1)求证：∠EPF＝∠BEP＋∠PFD；(2)若M为CD上一点，如图(2)，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N.试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；(3)移动E，F使得∠EPF＝90°，如图(3)，作∠PEG＝∠BEP，请直接写出∠AEG与∠PFD的关系5.如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；②点G在整个运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．6.如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．①当点G在点F的右侧时，若β=50°，求α的度数；②点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．7.如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG.（1）若∠BEG+∠DFG=90，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由.（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG=2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由.（3）如图2，若移动点M，使∠MFG=n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系： ________________________________.8.如图,直线x⊥直线y于点O, 直线x⊥AB于点B，E是线段AB上一定点，D点为线段OB上的一动点(点D不与点O、B重合)，CD⊥DE交直线y于点C，连接AC（1）当∠OCD=60°时，求∠BED的度数；（2）当∠ CDO=∠A时，有结论：① CD⊥AC；②EP // AC，其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论，并说明理由；（3）若∠BED、∠DCO的角平分线的交点为P，当点D 在线段OB上运动时，问∠P 的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．9.如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF=90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM 于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．10.已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．11.已知点C（-10，10），直线CE∥x轴交y轴于点B，点A是x轴的负半轴上的动点，作AD⊥AC交线段BO于点D（点D不与点O、B重合），MD⊥AD交CE于点M，∠EMD，∠OAD的角平分线MN，AN交于点N（1）直接写出OB的长度；（2）求出∠MNA的度数；（3）若NH⊥x轴于点H，求∠ANH的取值范围．12.如图，直线AC∥BD，连接AB，P为一动点.（1）当动点P落在如图（1）所示的位置时，连接PA、PB，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在如图（2）所示的位置时，连接PA、PB，则∠APB、∠PAC、∠PBD 之间的关系如何，你得出的结论是______ （只写结果，不用证明）.13.已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，点P在直线CD上，点Q是直线EF上一个动点．（1）如图1，当点Q在射线ME上时（点Q不与M重合），求证：∠NQP+∠NPQ+∠AMN=180°（2）如图2，当点Q在射线NF上时（点Q不与N重合），请探索∠NQP，∠NPQ 和∠AMN的关系，并说明理由．14.如图1．已知直线AB//ED．点C为AB，ED内部的一个动点，连接CB，CD，作∠ABC的平分线交直线ED于点E，作∠CDE的平分线交直线BA于点A，BE和DA交于点F．（1）若∠FDC+∠ABC=180∘，猜想AD和BC的位置关系，并证明；（2）如图2，在（1）的基础上连接CF，则在点C的运动过程中，当满足CF//AB且∠CFB=3∠DCF时，求∠BCD的度数．215.已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，∠ACB=90∘．（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=46∘，则∠CEF=________；（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=140∘，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．16.已知AB∥CD，直线l与AB，CD分别交于点E，F，P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M在EF上，且∠FMP=∠FPM．（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60∘，则∠FPM=________；若∠AEF=α，则∠FPM=________；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．第11页，共1页。
八年级数学四边形之动点问题(框架)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（框架）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC 方向向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B 运动.点P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①1/s；②B.①3/s；②C.①3/s；②D.①3/s；②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( )A.1；B.2；；C.3；；；D.3；；；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）当P在BC上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.3tB.18-3tC.3t-9D.3t-18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第3，4，5题）（4）当点P在CA上运动时，线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.18-3tB.3t-18C.27-3tD.3t-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当运动终止时，线段BQ的长为( )A.105B.45C.35D.30答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当点P运动到AD上时，若PQ∥DC，则t的值为( )A. B.25C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
北师八年级上册数学习题课件 微专题6 特殊四边形中的动点问题
1．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8 cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动 到点 A 时停止，同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 时停止，点 P，Q 的速度都是 1 cm/s，连接 PQ，AQ，CP．设点 P，Q 运动的时间为 t s， 当 t 的值是 4 时，四边形 ABQP 是矩形．
解：（2）由题意，得AP＝2t cm，CQ＝3t cm， ∴BQ＝BC－CQ＝（30－3t）cm．
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴要使四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ， 即2t＝30－3t，解得t＝6． （3）由（2）知当t＝6时，四边形ABQP是矩形，此时AP＝2×6＝ （cm）， ∴要使矩形ABQP是正方形，则AB＝AP＝12 cm．
3．如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm， 点 E 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度向点 O 运动，点 F 从点 O 出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动． （1）若点 E，F 同时出发，设运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 AECF 是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当 AB 的长为何值时，▱ AECF 是菱形？ （3）求（2）中菱形 AECF 的面积．
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解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
由题意，得BE＝t cm，OF＝2t cm， ∴OE＝OB－BE＝（6－t）cm． 要使四边形AECF是平行四边形，则OE＝OF，即6－t＝2t，解得t＝ ∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
（2）若平行四边形AECF是菱形，则AC⊥EF， ∴∠AOB＝90°，
2．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝25 cm，BC＝30 cm，点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动，同时点 Q 从点 C 出 发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停 止运动，设运动时间为 t s． （1）当 t＝ 5 时，四边形 PQCD 是平行四边形； （2）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形？ （3）当 AB 的长为多少时，四边形 ABQP 是 正方形？
新北师大版八年级上册动点与一次函数专题练习(含答案)
动点问题专题练习 1、如图,已知在平面直角坐标系中,直线l ：ｙ=-21x ＋２分别交两坐标轴于A 、B 两点,M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为x ，三角形O ＭB 的面积为S;(１)写出S 与x 的函数关系式，并画出函数图象；ﻫ（2）若△O ＭＢ的面积为3，求点M 的坐标;3(ﻫ）当△ＯＭB 是以ＯB 为底的等腰三角形时,求它的面积。
2、在边长为2的正方形ABCD 的边ＢC 上，点Ｐ从B 点运动到C 点,设PB ＝x,四边形APCD 的面积为 y ，(1）写出y 与自变量x 的函数关系式,并画出它的图象。
（２)当x 为何值时,四边形A ＰCD 的面积等于23。
3、如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点Ｂ出发，沿BC 、C Ｄ、DA 运动至点Ａ停止,设点P 运动的路程为x,△ABP 的面积为y ，如果y 关于ｘ的函数图象如图2所示, (1）求△ＡＢＣ的面积。
(2)求Ｙ关于x 的函数解析式。
4、如图①,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以１c ｍ/s 的速度沿着Ａ→Ｂ→C→Ｄ的方向不停移动,直到点P 到达点D 后才停止．已知△ＰA Ｄ的面积S(单位:cm2）与点Ｐ移动的时间 （单位:s)的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒(结果保留根号).５、如图,A 、Ｂ分别是ｘ轴上位于原点左右两侧的点,点P(２，ｐ)在第一象限,直线P Ａ交y 轴于点C(0,２）直线PB 交y 轴于点D,S △AOP ＝６. （1）求△CＯP 的面积（2）求点A 的坐标及P 的值(３）若Ｓ△AOP=Ｓ△B ＯP ，求直线BD 的函数解析式【参考答案】1．（1)Ｓ=-x ＋4（0<x ＜4) （2)M(1,23)（３）S=22．（1)y=2－x 22 (２)当ｘ=22时，四边形ＡＰC Ｄ的面积等于23 3.解:(1)．由图2可知，ｘ从4到9的过程中，三角形的面积不变,ﻫ所以，矩形的边AB=９－４＝5,边ＢC=4，所以ｓ△ABC=21×5×４=１0ﻫ(2)．①点Ｐ在ＢＣ上时，０≤ｘ≤4,点P 到ＡB 的距离为PB 的长度x, y=21ＡB •ＰB ＝21×5x ＝x 25,ﻫ ②点P 在ＣD 上时，4≤x ≤9，点P 到AB 的距离为B Ｃ的长度2， y=21AB •ＢC=21×５×4=10,ﻫ ③点P 在A Ｄ上时,9≤x ≤1３时,点P 到AB 的距离为PA 的长度13-x, y ＝21AB ．ＰA=21×5×(1３-x)=)13(25xxB yAMC O A DCP B AD C P BxOy4 9图（1）图（2）B4、由图②可知，t 在2到4秒时,△ＰAD 的面积不发生变化,∴在AB 上运动的时间是2秒,在BC 上运动的时间是４-２＝2秒动点P 的运动速度是1ｃｍ/s, ∴AB=２c ｍB 作BE ⊥ＡD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F , 则四边形BC ＦE 是矩形， ∴BE=CF ，ＢＣ=EF=２cm∠A=60°，∴BE=ABsin60°＝2×23=3,AE=ＡBcos ６０°=２×21＝1，21×ＡD×BE=３3，即21×AD×3=33， 解得ＡD=6ｃm ， ∴DF=AD-ＡRt △CDF 中,ＣD=22DF CF +=223)3(+=２3,动点P 运动的总路程为ＡB+B Ｃ+CD=２＋2+23=4+23动点P 的运动速度是1ｃm ／s ， ∴点Ｐ从开始移动到停止移动一共用了（4+23）÷1＝４＋23(秒)．5.(1)作ＰE ⊥y 轴于E ， ∵Ｐ的横坐标是2，则ＰE=2.∴S △COP ＝21O Ｃ•P Ｅ=21×2×２)∴S △AO Ｃ=S △AOP －S △COP =6-２=4, ∴S △AOC ＝21OA•ＯC=４，即21×OA×２=４, O Ａ=４, ∴A 的坐标是(-4,0）. AP 的解析式是ｙ=kx+b,则⎩⎨⎧==+-204b b k解得:⎪⎩⎪⎨⎧==221b k.y ＝21x+２. 当ｘ=2时,y ＝3,即p 3）∵Ｓ△A ＯP =S △BOP ， ∴ＯB=ＯA ＝4，则B 的坐标是（４，0)，设直线B Ｄ的解析式是y ＝mx+n ，则⎩⎨⎧=+=+3204n m n m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=623n m ．则BD 的解析式是：y ＝－23x+6.6.--7.8.。
北师大版八年级数学上册动点问题专练
北师大版八年级数教上册动面问题博练之阳早格格创做1、已知，如图，面D是△ABC的边AB的中面，四边形BCED是仄止四边形，（1）供证：四边形ADCE是仄止四边形；（2）当△ABC谦脚什么条件时，仄止四边形ADCE是矩形？2、如图，已知E是仄止四边形ABCD的边AB上的面，对接DE．（1）正在∠ABC的里面，做射线BM接线段CD于面F，使∠CBF=∠ADE；（央供：用尺规做图，生存做图痕迹，没有写做法战道明）（2）正在（1）的条件下，供证：△ADE≌△CBF．3、如图，已知E是▱ABCD中BC边的中面，对接AE并延少AE接DC的延少线于面F．（1）供证：△ABE≌△FCE．（2）对接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，供证：四边形ABFC为矩形．4、如图①所示，已知A、B为曲线l上二面，面C为曲线l上圆一动面，对接AC、BC，分别以AC、BC为边背△ABC中做正圆形CADF战正圆形CBEG，过面D做DD1⊥l于面D1，过面E做EE1⊥l于面E1．（1）如图②，当面E恰佳正在曲线l上时（此时E1取E沉合），试道明DD1=AB；（2）正在图①中，当D、E二面皆正在曲线l的上圆时，探索供三条线段DD1、EE1、AB之间的数量闭系，并道明缘由；（3）如图③，当面E正在曲线l的下圆时，请间接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量闭系．（没有需要道明）5、如图1，矩形MNPQ中，面E，F，G，H分别正在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．明白取做图：（1）正在图2，图3中，面E，F分别正在BC，CD边上，试利用正圆形网格正在图上做出矩形ABCD 的反射四边形EFGH．估计取预测：（2）供图2，图3中反射四边形EFGH的周少，并预测矩形ABCD的反射四边形的周少是可为定值？开收取道明：（3）如图4，为了道明上述预测，小华共教测验考查延少GF接BC的延少线于M，试利用小华共教给咱们的开收道明（2）中的预测．6、如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动面M从面D出收，按合线DCBAD目标以2cm/s的速度疏通，动面N从面D出收，按合线DABCD目标以1cm/s的速度疏通．（1）若动面M、N共时出收，通过几秒钟二面相逢？（2）若面E正在线段BC上，且BE＝3cm，若动面M、N共时出收，相逢时停止疏通，通过几秒钟，面A、E、M、N组成仄止四边形？7、已知：如图，正在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，面P从C出收，以1cm/s的速度背D疏通，面Q从A出收，以3cm/s的速度背B运动，其中一动面达到端面时，另一动面随之停止疏通．从疏通开初．（1）通过几时间，四边形AQPD是仄止四边形？（2）通过几时间，四边形AQPD成为等腰梯形？（3）正在疏通历程中，P、Q、B、C四面有大概形成正圆形吗？为什么？8、如图，已知仄止四边形ABCD的对于角线AC、BD相接于面O，AC=20cm、BD=12cm，二动面E、F共时分别以2cm/s的速度从面A、C出收正在线段AC相对于上疏通．（1）供证：当E、F疏通历程中没有取面O沉适时，四边形BEDF一定为仄止四边形；（2）当E、F疏通时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？9、如图所示，正在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26cm，动面P从面A出收沿AD目标背面D以1cm/s的速度疏通，动面Q从面C开初沿着CB目标背面B以3cm/s的速度疏通．面P、Q分别从面A战面C共时出收，当其中一面到达端面时，另一面随之停止疏通．（1）通过多万古间，四边形PQCD是仄止四边形？（2）通过多万古间，四边形PQBA是矩形？（3）通过多万古间，四边形PQCD是等腰梯形？10、如图，仄止四边形ABCD的对于角线AC、BD相接于面O，BD=12cm，AC=6cm，面E正在线段BO上从面B以1cm/s的速度疏通，面F正在线段OD上从面O以2cm/s的速度疏通．（1）若面E、F共时疏通，设疏通时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是仄止四边形．（2）正在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；②四边形AECF不妨是矩形吗？为什么？11、如图，正在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，BC=11，梯形的下为4，动面M从B面出收沿线段BC以每秒1个单位少度的速度背末面C疏通；动面N共时从C面出收沿CDA以每秒2单位少度的速度背末面A疏通．若M，N二面共时出收，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通，设疏通的时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABMN为仄止四边形；（2）t为何值时，四边形CDNM为等腰梯形．12、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动面P从面A开初沿AD边背面以每秒1cm的速度疏通，共时动面Q从面C开初沿CB边背面B以每秒3cm的速度疏通，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通，设疏通时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABQP是仄止四边形？（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，供出t的值；如果没有克没有及，请道明缘由．13、如图，已知正在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动面P从A开初沿AD边背面D 以1cm/s的速度疏通，动面Q从面C开初沿CB边背面B以3cm/s的速度疏通，P、Q别从面A、C共时出收，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通，设疏通的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为仄止四边形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？14、如图，正在曲角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动面P从面A开初沿AD边背面D 以1cm/秒的速度疏通；动面Q从面C开初沿CB边背面B以3cm/秒的速度疏通，若P、Q分别从面A、C共时出收，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通，设疏通时间为t．（1）当t为何值时，线段AB取线段PQ相等；（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；（3）是可存留t值，使PQ把曲角梯形分成周少相等的二部分？若存留，供出t的值；若没有存留，请您道明缘由．15、P、Q二人沿曲角梯形ABCD讲路朝练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P从面A开初沿AD边背面D以1m/s的速度止走，Q从面C开初沿CB边背面B以3m/s的速度跑步．（1）P、Q二人分别从A、C二面共时出收几时间时，四边形PQCD（P、Q二人地圆的位子为P、Q面）是仄止四边形？（2）增加一个什么条件时，P、Q二人分别从A、C二面共时出收，正在某时刻四边形PQCD是菱形？道明缘由．（3）P、Q二人分别从A、C 二面共时出收几时间时，四边形PQCD是等腰梯形？16、如图，O为△ABC的边AC上一动面,过面O的曲线MN∥BC，设MN分别接∠ACB的内、中角仄分线于面E、F.（1）供证：OE=OF （2）当面O正在那边时，四边形AECF是矩形？（3）请正在ABC中增加条件，使四边形AECF形成正圆形，并道明您的缘由.。
动点问题(表达)(二)(北师版)(含答案)
动点问题（表达）（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=12厘米，AC=4厘米．动点P自点A 沿线段AB以2厘米/秒的速度向点B运动，同时动点Q自点C沿线段CB以1厘米/秒的速度向点B运动，当P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段BP和CQ的长可用含t的式子分别表示为( )厘米．A.8-2t；tB.12-2t；tC.4-t；2tD.4-2t；8-t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当4≤t≤6时，线段PQ长可用含t的式子表示为( )厘米．A.12-3tB.t+4C.t-4D.4-t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在长方形ABCD中，BC=8米，AC=10米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CP，CQ的长可用含t的式子分别表示为( )米．A.2t；tB.t；2tC.10-2t；tD.t；10-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9，动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．当3≤t≤6时，线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.3t-9B.9-3tC.18-3tD.3t-18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动．连接AP，BP．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）当8≤t≤12时，线段AP的长可用含t的式子表示为( )A.2tB.24-2tC.16-2tD.2t-16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第6，7题）（3）若△ABP的面积为16，则t的值为( )A.1B.2C.2或10D.2或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图，在梯形ABCD中，AB=DC=12cm，BC=15cm，∠B=∠C，点E为边AB上一点，且AE=5cm．点P在线段BC上由点C向点B运动，同时点Q在线段CD上以每秒2cm的速度由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CQ，DQ的长可用含t的式子表示为( )cm．A.t；15-tB.12-2t；2tC.2t；12-2tD.2t；15-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第9题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和线段BP的长，下列解题思路正确的是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
北师大版八年级数学上册动点问题专练
北师大版八年级数学上册动点问题专练1、已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？2、如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．3、如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．4、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）5、如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH．计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．6、如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动．（1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，且BE ＝3cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？7、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，BC=8cm ，CD=24cm ，AB=26Cm ，点P 从C 出发，以1cm/s 的速度向D 运动，点Q 从A 出发，以3cm/s 的速度向B 运 动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始．（1）经过多少时间，四边形AQPD 是平行四边形？（2）经过多少时间，四边形AQPD 成为等腰梯形？（3）在运动过程中，P 、Q 、B 、C 四点有可能构成正方形吗？为什么？8、如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=20cm 、BD=12cm ，两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形；（2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？N M D C BA9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A 出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s 的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？10、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，BC=11，梯形的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿CDA以每秒2单位长度的速度向终点A运动．若M，N两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABMN为平行四边形；（2）t为何值时，四边形CDNM为等腰梯形．12、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD 边向点以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．13、如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？14、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动，若P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．（1）当t为何值时，线段AB与线段PQ相等；（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；（3）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请你说明理由．15、P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P 从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走，Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步．（1）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD（P、Q二人所在的位置为P、Q点）是平行四边形？（2）添加一个什么条件时，P、Q二人分别从A、C两点同时出发，在某时刻四边形PQCD是菱形？说明理由．（3）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD是等腰梯形？16、如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
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北师大版八年级数学上册动点问题专练
1、已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？
2、如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．
（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．
3、如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
4、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别
以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD
1⊥l于点D
1
，过点E作
EE
1⊥l于点E
1
．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E
1与E重合），试说明DD
1
=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD
1、EE
1
、AB之间的数
量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD
1、EE
1
、AB之间的数量关
系．（不需要证明）
5、如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．
理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同
学给我们的启发证明（2）中的猜想．
6、如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？
7、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始．
（1）经过多少时间，四边形AQPD是平行四边形？
（2）经过多少时间，四边形AQPD成为等腰梯形？
（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？
8、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．
（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；
（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A 出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s
N
A
的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？
10、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？
11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，BC=11，梯形的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿CDA以每秒2单位长度的速度向终点A运动．若M，N两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）t为何值时，四边形ABMN为平行四边形；
（2）t为何值时，四边形CDNM为等腰梯形．
12、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD 边向点以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．
13、如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
14、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动，若P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）当t为何值时，线段AB与线段PQ相等；
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；
（3）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请你说明理由．
15、P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P 从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走，Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步．
（1）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD（P、Q二人所在的位置为P、Q点）是平行四边形？
（2）添加一个什么条件时，P、Q二人分别从A、C两点同时出发，在某时刻四边形PQCD是菱形？说明理由．
（3）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD是等腰梯形？
16、如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
（1）求证：OE=OF
（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？
（3）请在ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明你的理由。