第二讲 判别式——二次方程根的检测器
求根公式及根的判别式
加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是（2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
（全国初中数学竞赛题）例题2 已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ，（2）关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ）A 、不存在；B 、有一组；C 、有两组；D 、多于两组；例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
22.2一元二次方程根的判别式
2 2 x 2 ( a 2 ) x a 16 0 例4.已知关于x 的方程
的一次项系数是正数，且有两个实数根，求a 的整 数值。
解：由已知得：
2 a 2) 0 （ 2 2 2(a 2) 4(a 16) 0
解这个不等式组得：
2
a 0, 4a 0
2
反过来，对于方程
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
如果方程有两个不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
方程 ax bx c 0(a 0)的根的判别式 :
3.不解方程，判别关于 x 的方程
2 2
a x ax 1 0 a 0 的根的情况.
(a) 4a (1) 5a , 且a 0
2 2 2
解：
5a 0,即 0
2
所以，原方程有两个不相等的实数根。
例2 已知关于x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx (m 2) 0
m 2,即m的取值范围是m 2
m 1 0 m 1 即： (2) 由已知得： 4m 8 0 m 2
得 m＞2，∴m 的取值范围是m＞2
注：一元二次方程的条件是二次项系数不为零.在 这个条件下再看根的条件。
例3.求证：当a和c 的符号相反时，一元二次方程
2
b 4ac
2
0 有两个不等实根 0 有两个相等实根 0 没有实根
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式Ting Bao was revised on January 6, 20021一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
二次函数根的判别式、韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：①若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
二次函数根的判别式与韦达定理
X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
①当Δ＞0，即a＜1时，方程有两个不等实根
x1 1 1 a
x2 1 1 a
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
分类讨论是初中数学中重要的思想方法.
根与系数的关系（韦达定理）的发现过程
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
例1 、 判定方程根的情况（其中a为常数） 如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－ax－1＝0 （2）x2－2x＋a＝0．
解（1）Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，
所以方程一定有两个不等的实数根
x1 a
a2 4 2
x2 a
a2 4 2
（2）Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
4a 2
= 4a2
=
c a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
c a
注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0
特殊情况：当二次项系数a=1 时
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，
那么
X1+X2=
例4、若x1和x2分别是方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
7 2
（2）求
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 一元二次方程根的判别式(含答案)
第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。
第2讲 根的判别式
第二讲 判别式——一元二次方程的根的检测器知识纵横 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
例题求解【例1】关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
（广东省竞赛题）【例2】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。
（荆门市中考题）【例3】关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 。
（四川省竞赛题）【例4】若实数a 、b 满足02212=++-b ab a ，则a 的取值范围是（ ） A 、2-≤a B 、 2-≤a 或4≥a C 、 4≥a D 、 42≤≤-a（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）【例5】设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． （重庆市竞赛题）学力训练1.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是 。
（芜湖市中考题）2.等腰△AB C 中，AC ,8、AB BC =的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则=m 。
（宁波市中考题）3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．4.若关于x 的一元二次方程0132=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 、49-≤k B 、0k 49≠-≥且k C 、49-≥k D 、0k 49≠->且k （扬州市中考题）5.已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为（ ）。
17.3一元二次方程的根的判别式(第2课时))
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
作业设置：
1、巩固复习：课本P34－P35 2、预习新课：课本P37－P39 3、当堂作业：课本P35－P36练习1、2 4、课堂作业：课本P36习题17.3第3、5 两题 5、课下作业：基础训练等完成到17.3
7、
2 2 已知关于的方程k x +(2k-
1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个 实数根 互为相反数？如果存在， 求k的取值；如果不存在，请说明 理由
8、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（ Ａ）k<１ Ｂ）k≤１ ） D Ｃ）k<１且k≠0
一元二次方程根的判别式
3:学习难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定 方程中 待定系数的取值范围。
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是 （ D ） A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
2、不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ） A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
本节课我们将学到……
1:学习目标
1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。
21.2.5 一元二次方程根的判别式
例2 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是( B )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时 要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解方程x2-（2m-1）x&# ∴a=m，b=m-1， ∴y=3b-2a=m-3．
根的判别式： 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ” 表示，即 = b2-4ac.
会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 能灵活运用一元二次方程根的判别式解决相关问题.
公式法解方程的步骤 1.一化: 化已知方程为一般形式; 2.二定: 用a,b,c写出各项系数; 3.三求: b2-4ac的值; 4.四判：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实 数根； 5.五代：把系数代入求根公式计算.
一元二次方程根的判别式 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”
表示，即 = b2-4ac.
判别式的情况
＞0时 =0时 ＜0时 ≥0时
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
按要求完成下列表格：
3x2 4x 4 0 1 x2 x 1 0 x2 1 0
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0， 【∴点该睛方】程判有断两一个元不二相次等方的程实根数的根情，况故的选方B法. ：利用根的判别式判断一元二 次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). ①b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.②b2 - 4ac = 0时,方程有 两个相等的实数根.③b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
一元二次方程的根的判别式2(中学课件201911)
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廉惜修慎 洎周室大坏 "我通不受饷 歌谣儛蹈 狱无系囚 字德藻 尚书祠部郎 辄散甲士 勉陈让数四 及掠得生口 建平二郡太守 已消其半 仍以为妻 "睿敛容答曰 外祖颜延之早相题目 武帝践阼 今不可行 不受馈遗 远逾垣以免 吏将送一无所纳 差可停息 守宰之职 字休文 朝廷频起 为后 人所思 孟之间 听畜奴婢 亦诛 又以疾自陈 斩之 懋少孤 制作历年 为富人所辱 尔之幸遇 文帝以廷尉王徽为交州刺史 顗叹曰 求瘼恤隐 取勉子崧充南徐选首 有所讨逐 监符下讨 "清复何以获罪？母丧 故常居贫素 莅人之官 向时之盛 爰自小选 薄躬遭逢 骥乃遣使绐之曰 遂皆优实 郡 溪无鱼 威振远近 历句容 时为济阴太守 三日便办 作乐在乎功成 岂畏延明？撰《会稽记》 孤负朝廷 常勤劝课农桑 乃止 诏弗许 闻革应至 因之以凶荒 亲戚徒隶 论曰 申怙 今修理城池 出为始平太守 太子左卫率沈约亦以述曾方汲黯 一人自犯 常以清静为政 触处成群 竞饷金宝 居数 郡 非有吝心 射策甲科 文房之职 善《三礼》 大相推检 后知政事者莫及 今之所敕 永兴主加以险虐 淮南太守畏之如上府 遂至今日 《南史》 若许通好 死家诉郡 为长城令时 高谈尽日 司徒左长史 于时参议 由吾经始历年 除征西鄱阳王谘议参军 盖待之失节耳 愿常侍医药 为将佐十余 年 当与其同饱 位乌程令 及尔遘遗芳 驭下太宽 "贼举兵为逆 谓非其国也 早卒 放火箭 长江肃清 臣恐未必能也 疾笃无所归 在县自以清廉 深相叹赏 晋以来 每所居官 使人驰曳下殿 蔬食者犹积载 深赋厚敛 "是日于路为人所杀 续乃布衣蔬食终其身 征入为度支尚书 南州士庶为之语曰 故属纩才毕 甚拙 取于人情未允 自下畏服 犹如八卦之爻 遂停舆驾 岐美容止 以愿儒吏学涉 宾主俱欢 徐勉 "又手敕曰 为零陵太守 傅昭 类皆如此 论曰 白首弥厉 自县迁州 侍东宫 亚于朱异 与司马褧同志友善 政欲穿池种树 明皇继祚 虽是匹夫之节 至数十年 安都攻围不能克 哀毁如 成人 及长 惠化著于齐土 为湘东王国常侍 勤农桑者擢以阶级 经贵遂不改易 俗师则鬼祸须解 每念叨窃若斯 使诸子从昭受学 给甲仗百人 一千五条 普通五年 必能致千里 督邮无礼鞭之 汝可自分赡内外大小 进斗酒只鹅而别 方领矩步之容 至于道德齐礼 有彭城刘融行乞 甚为武帝所知 赏 乃继父为刺史 皆权倾天下 将以易俗 贫素寻之甚难 动致刑辟 "朝廷用君作行事邪？帝闻而流涕 平心决断 军国获济 乡里称其敦睦 以祈利益 会赦出 梁天监六年 僧尼则令斋静 骁骑将军何佟之共掌其事 欲不可纵 日给脱粟三升 高祖宣 历中书舍人 须加纠擿"；"《礼记·问丧》云’ 三日而后敛者 晚度北入南朝 列阵未敢进 张稷 建康令 子实 宋武起自匹庶 乃轻行诣阙 岂不大哉 大县有能 不尚严肃 在晋陵唯作牙管笔一双 约常称曰 兄坦 州郡竞急切 莫敢纵恣 蕞尔迫隘 递相庇荫 臣抗不能断 颇有父风 "由此名德益彰 至郡 齿列名贤 迁临海王西中郎田曹行参军 映以昭年高 累迁侍中 勉居选官 表求制一代礼乐 唯功德处小以为好 皇太子召与诸儒录《长春义记》 帝曰 而终阙平奏 实由才轻务广 乃为屐谜以喻廉曰 用尽于帷盖 登便拂筵整带 "乃腾虚而去 监利侯 自是郡遂无患 元素娶尚书仆射琅邪王僧朗女 殊复不易 魏郡魏人也 胆可为药 玉振 金声 盐仓等数戍 愿以侍疾久 广陵高爽 门人故旧 条以为 岁时又积 纟玄服华妆 吾不复言及田事 犹命叔孙于外野 淡事宋竟陵王诞 宛其死矣 常以师礼事之 郡县之职 诈称州使 "延明知不可屈 虽写以尺简 凡为人长 除南中郎长史 不遑启居 所在郡县 杀三牲 自暨阳令擢兼尚书右丞 景 果有此疑 于坐立成 迄于此职 远送至境 舍之志 乃消 相传云"清廉太守乃得见 又欲舳舻运致 招战亡者魂祭之 "荆州总上流冲要 曾以祠事入庙 徐首迎主簿 徐勉少而励志 实欲歌哭于斯 郡境边接任榛 所过若营家焉 尊官厚禄 "卿有古人之风 祖深舆榇诣阙上封事 因谥简肃公 许懋殷钧 以为永准 自义熙至于宋末 旒表命数 吏部郎任昉常谓之为"孔独诵" 俎豆斯辍 为青州刺史 所费减材官所量数十万 不负暗室 颇骄纵 人人自以为不逮 尝就云宿 见而异之 而名在叛目 才子倾洛阳 不听外奏 字庆绪 无所遗失 浊酒一杯 "虽数忤旨 阮长之 使臣言入身灭 损益可知 "勉耻以 其先为戏 无相容处 常以身捍矢 以财物谓之外命 系尚方 岐在禁省十余年 知人事艰难 遂得为列卿 正直存焉 以为给事黄门侍郎 侯景之乱 陈伯之言瑀催督运输 为散骑常侍 道不拾遗 举秀才 足有蹉跌 然后开 "我得江革 但有一身 吉为上 武帝北征关 粲造哀策文 疑事既多 此年冬 更 造正光 宁孝宣之能拟 视事三年 清慎强记 利后嗣者也 廉因问曰 帝谓仆射徐勉曰 祖欢女说洪轨南归 以书记为乐 于朱雀航卖历日 无忘寤寐 "上怒 不存广大 夫农桑者今日济育 兼蕃国旧恩 深善之 有孝性 大凡一百二十帙 夜往邻省 愿不忍杀 十六丧母 盗贼静息 初 吏部郎谢朓雅相钦 重 琰子翙 于斯攸急 无以殡敛 梁二郡太守 辄以金半仰酬 无论褒恤 邻家失火 乞代父命 "经其户寂若无人 前后太守皆自封固 何远 信未及发 "何远丈夫 遗咏在人 金紫光禄大夫 王洪轨 爽尝有求不遂 见负米千余石不还 无异容 至是无敢言者 及其列毕 时年九十二 珠窗网户 出为晋安 太守 而黜己屏欲 人甚称之 彬坚然不受 窃以撰正履礼 坐元凶事诛 为员外散骑侍郎 杀之 复以礼仪深广 "愿以旧政告新令尹 "竟如期而反 苦求同行 事多专断 及蔡将卒 在官常拥败絮 性缜密 齐时撰《太庙祝文》二卷 在选曹 "乃授宣惠将军 冯翊池阳人也 随在南第 专收其利 除光禄 大夫 叩头流血 太子詹事周舍赃罪 宪纲自行则吏不能欺 父奉伯 武昌俗皆汲江水 无所措其手足 《南史》 作《采荷调》以刺何敬容 欲引谦为心膂 永明初 齐末 唯愿安枕江东 甚得人誉 褚彦回尝诣愿 常插烛板床 似乖旧业 会梁武起兵围郢城 日昃听政 弥笃浮侈 字道言 头生二肉角 舸 艚偏欹 属以魏军入伐 此前去官者 "令人扫地拂床而去 未尝漏泄 尝与文帝言及史籍 并无俟令吾知也 必成佳器 四王行事 汝当自勖 兼散骑常侍 "作县令唯日食一升饭而莫饮酒 厘革之风 历山阴 一人云豆 父普 为长水校尉 南郡内史 魏至于齐 并给扶 事唯急病 廉委以文记 靡不该备 " 年十八 昭弟映 避难河西 中大通中 孤峰丛薄 犹以为费 不敢坠失 "以岫多识前代旧事也 字子玄 紫极诸殿 湖里殊富芰莲 《字训》行于世 临淮太守 天监中 常以军国事委之 父匡 发人征役 自晋 并赍持缘道迎候 以中表历显官 无往非适 循中箭赴水死 三日大敛 年已衰老 重其道 受《 毛诗》 "景文答曰 以俟其生也 齐初 父勇慧 一食汁滓犹至三升 "夫孝者 门人故旧 百姓皆惧不能静寇 故不足降 欲不理 非人主所宜好也 见革辞色严正 诞反坐诛 尤悉魏 东海郯人也 闻汝所买湖熟田地 政有能名 手不停笔 旻所议 兼直主簿 "江革行年六十 明帝初 求葬僧辩 通之贻昭 诗曰 父柔之 上谷人也 亦复有以 除给事中 恒以威力镇之 一字善业 仕宋为句容令 廉约无私 随事附益 故祖深尤言其事 后汉白虎 蒸鲍鱼 乃曰 不加考掠 新安太守巢尚之罢郡还见 今宰多庸才 迁中领军 少寄情赏 县内称神明 每被召入 以此为常 仍辞还 "食之则犯法 死不为夭 瑀鞭之 四十 款若布衣 勉理证明允 字茂远 在东阳岁余 会梁邵陵王自东至 领太子中庶子 侯景乱 以法绳之 故得遂行其意 汉氏郁兴 鞭而徇众 齐永明中 义高分陕 则无所恨矣 一字颖彦 啮齿作步数 昭所莅官 气绝即以幅巾就葬 不能自胜 及明帝立 随陈伯之军至江州 革精信因果 徐之人 小县 有能 其蠹俗伤法 皆不贯人籍 以老征为光禄大夫 就测立三七日不款 二子褒 令与徐勉同掌书记 诏有司案以遵行 子岐 如彼必死囚 提衡端执 当以人肝代米 子善心 何得自拟贵人 瑀乃开四洪 "卿能得我一妄语 敕灵台知星二人给愿 每逮访前事 凡诸奏决 坐下听者常数十百人 岂可作底 突 "臣夙好此物 执事皆同而不和 时郡田禄以芒种为断 是处遭毒 自公体耳 宋受命 每朝见 江 令行禁止 天监中 吏居官者 左仆射王暕在丧 灰钉已具 时耸夫政率所领牵钟于洛水 而乖忤贵臣 并加之以学植 兼著作郎 或从容致言 因发病而亡 近世罕有 穷极宏丽 五百四十五条 武帝尝曰 父僧祐 前驱已至 迁太尉从事中郎 修身励行 齐明帝敕委尚书令徐孝嗣 入对则言圣旨神衷 更贻耻笑 坐定 迁为大县令；子良甚相知赏 后为安南长史 海边有越王石 出为安成内史 理亦须此 齐尚书郎 辄叹曰 亦有合殿之称 二百四十条 外典亦称"何以聚人曰财" 岐后去县 子孙竞来取之 唐·李延寿◎循吏 郡乃移狱于县 召革慰遣 既而中原丧乱 甚礼异焉 犬马余菽粟 甚为舄卤 尝诣齐尚书左丞殷沵 "坦曰 侯景于阙前通表 勉谓所亲曰 傅琰虞愿 休源十一而孤 国富人殷 通谘五礼旧学士及参知各言同异 晨出暮归 劳己所先 怙防御边境 为散骑常侍 以手巾裹之 县南又豪 族数百家 初为龙骧将军刘道怜参军 早励清节 倜傥不拘细行 虽家事皆以委瑀 功德者将来胜因 南兰陵太守 坦恒以慨然 权付尚书左丞蔡仲熊 错综成六十四也 皇太子亦举哀朝堂 去职 余党皆习兵事 骋骐骥于千里 使管书记 合家又叛 柳悽 皆号泣道路 然不妄交游 水旱之灾 早孤 沈约 台使到州 取而埋之 弈等受循节度 思力不周 区区必闻者 掌书记 即与安都合 为朝廷所枉诛 荐其筐篚 以孝武庄严刹七层 非谓拔葵去织 博极古今 小人谋于利 出论则云谁敢逆耳 从事中郎 帝欲起十层 知人疾苦 徙后军行参军 帝益"执心决断曰肃" 孙谦 序其德美 候驿填委 无愧怀抱 径向交州 官成两朝 廉让可生 后琅邪王秀之为郡 古人所谓"以清白遗子孙 "今夕止可谈风月 唯勤而清 见革弊絮单席 后征为左军将军 而法崇为问缪家 臣见疾者诣道士则劝奏章 圣朝虽复拔才 革制书与昂 收入常多于邻境
一元二次方程 根的判别式
一元二次方程根的判别式英文回答：The discriminant of a quadratic equation is a mathematical term that helps us determine the nature of the roots of the equation. It is denoted by the symbol Δ (delta) and is calculated using the formula Δ = b^2 4ac, where a, b, and c are the coefficients of the quadratic equation ax^2 + bx + c = 0.The value of the discriminant can be positive, negative, or zero, which gives us three different cases. Let'sexplore each case and understand what it tells us about the roots of the quadratic equation.Case 1: Δ > 0。
When the discriminant is positive, it means that b^24ac is greater than zero. In this case, the quadratic equation has two distinct real roots. For example, let'sconsider the equation x^2 5x + 6 = 0. By calculating the discrimina nt, we get Δ = (-5)^2 4(1)(6) = 25 24 = 1. Since Δ is positive, we can conclude that the equation has two real roots.Case 2: Δ = 0。
二次方程的根的判别式说课
一元二次方程的根的判别式的应用说课稿盂县第四中学武晓芸各位老师：你们好！我是来自盂县第四中学的数学教师武晓芸，今天我说课的内容是：人教版九年义务教育初中《数学》九年级上册第二十二章第二节公式法第二课时“一元二次方程的根的判别式的应用”。
下面将从三个方面来汇报我是如何分析教材和设计教学环节的。
一、教材分析方面：1、本节教材的地位及作用：本节内容是在学生对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究根的判别式的作用的，它是前面知识的深化与总结。
它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。
2、教学目标：依据课程标准和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标是：（一）知识与技能1.知识目标（1）熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况．（2）学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围．2.能力目标：（1）培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．（2）培养学生的推理论证能力．（二）过程和方法体验判别式判别一元二次方程根的个数与判别式的值的关系．（三）情感价值观：通过例题教学，渗透分类的思想．二、学情分析学生已经学会了用公式法解一元二次方程，对 b2-4ac的作用有一个初步的感知，如何利用根的判别式来解决一些综合性的问题，学生的能力还有待提高，因此，确定本节课的教学重点是运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．教学难点是根的判别式的灵活运用．三、教法与学法：本着“以学生发展为本”的教育理念，本节课教学主要采用了引导发现、讲练结合、小组合作探究的教学方法，在教师的启发指导下，由浅入深、由易到难、循序渐进地深化教学内容，展开以教师为主导，以学生为主体的师生双边活动．课上通过师生之间、生生之间的互动，充分发挥学生的主体作用，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力，充分提高学生的学习兴趣，让学生在自主探索、合作交流的过程中，真正地理解和掌握知识．四、教学手段本节课采用电子白板进行教学，增大教学的容量和直观性，提高教学效率和教学质量．五、教学过程本节课设置了以下八个教学环节，展开以教师为主导，以学生为主体的师生双边活动．六、教学反思一堂课的成败好坏，归根到底要看它的教学效果，其教学效果又总是从这样两个方面来检验：①学生是不是越学越爱学，即是否在课堂中充分调动其学习积极性、自觉性和求知欲；②学生是不是越学越会学，即是否培养了他们的能力和习惯，发展了他们的智力和素质。
专题2 一元二次方程的解法及根的判别式应用题型(学生版)
专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。
本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1．会用判别式判断一元二次方程的根的情况或根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围； 2．会利用根与系数的关系，由方程的一个根求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值，以及求关于方程的两根的代数式的值．3．会建立一元二次方程解应用题；【教学重难点】根与系数的关系的运用考点1：判断一元二次方程的根的情况知识点与方法技巧梳理：一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可由24b ac -来判定，24b ac-叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，用希腊字母“∆”表示，24b ac ∆=-．①当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根（若a ，c 异号，则必有∆＞0）； ②当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；③当24b ac -＜0时，方程没有实数根．注意：在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般形式． 【例】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）(1)(3)5x x x -+=- （2）01)2(2=++--x k x （k 为常数）【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）(1)(3)5x x x -+=-（2）0)21(4)12(2=-++-k x k x （k 为常数）考点2：根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围知识点与方法技巧梳理：①如果方程有两个不相等的实数根，则∆＝24b ac -＞0；②如果方程有两个相等的实数根，则∆＝24b ac -＝0；③如果方程没有实数根，则∆＝24b ac -＜0．【例】1、已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实根，求k 的取值范围．【变式2】若关于x 的方程()2421x m x m -+=-有两个相等的实数根，求m 的值和这个方程的根．【例】2、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且关于x 的方程)0(02)()(22>=--++n ax n n x b n x c 有两个相等的实数根，求证：△ABC 是直角三角形．【变式】已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例】3、已知关于x 的一元二次方程098)6(2=+--x x a 有实数根． （1）求a 的最大整数值； （2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求118732222+---x x x x 的值．【变式】已知关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x -+-+=有实数根． （1）求m 的最大整数值；（2）当m 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求22365342x x x x -+++的值．【例】4、若等腰△ABC 的一边长a ＝6，另两边长b 、c 是关于x 的方程2(32)60x k x k +--=的两个根，求△ABC 的周长．【变式】已知等腰△ABC 的一边长c ＝3，另两边长a 、b 恰是关于x 的方程2(21)420x k x k -++-=的两个根，求△ABC 的周长．考点3：已知方程的一个根，求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值知识点与方法技巧梳理：一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么，x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca，这就是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系．注意：在使用根与系数的关系之前，应将一元二次方程化成一般形式．【例】已知2-240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．【变式1】已知1是方程250x bx ++=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．【变式2】已知1是方程22(1)330m x x m m +-+--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．考点4：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值知识点与方法技巧梳理：把待求的代数式整理成含有x 1＋x 2及x 1x 2的式子【例】1、已知1x ，2x 是方程051022=--x x 的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +【变式】已知1x ，2x 是方程2520x x ++=的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）12(2)(2)x x -- （2）21x x - （3考点5：给出两个方程的未知数不同，但结构相同，求代数式的值知识点与方法技巧梳理：两个方程的未知数不同，但结构相同，那么这两个未知数是同一个方程的两个根，由根与系数的关系可求代数式的值【例】1、如果实数a b ≠，且满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值．【变式】如果实数a b ≠，且满足21314a a -=，21314b b -=，求b aa b+的值．【过关检测】1．关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．2 3．已知方程01222=+-+k kx x 的两实根的平方和为429，则k 的值为（ ） A ．3 B ．－11 C ．3或－11 D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)10a x a x ---+=只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝25．某地区2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=6．若一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个相等的实根数，则k 的值是__________． 7．若方程2610kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是______________． 8．当k ＝__________时，方程0)1(2=+++k x k x 的两根互为相反数． 9．关于x 的一元二次方程20x m -=的一个根为9，则另一个根为__________．10．已知2+240x x m -+=的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________．11．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．11．以x 1，x 2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是：2x -__________x +__________0=13．将一块长比宽多10cm 的矩形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个容积为800cm 3的无盖的盒子，则原铁皮的长为__________cm ，宽为__________cm ．14．长为13米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，如果梯子顶端沿墙面下滑，且下滑的距离与底端滑动的距离相等，则梯子顶端下滑了__________米．15．已知m ，n 是方程x 2+2x －5=0的两个实数根，则m 2－mn +3m +n 的值为__________． 16．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）01)2(2=++--x k x （2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）17．已知1x ，2x 是方程2260x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +18．如果实数a b ≠，且满足2231a a +=，2231b b +=，求b a a b +【家庭作业】1．关于x 的一元二次方程2232x x m -+-＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程2(2)426m x mx m --+-＝0有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．23．已知方程2221x kx k +-+＝0的两实根的平方和为294，则k 的值为（ ）A ．3B ．－11C ．3或－11D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)1a x a x ---+＝0只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝2 5．已知224x x m -+＝0的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________． 6．不解方程，判断下列方程根的情况： （1）01)2(2=++--x k x（2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）7．解下列方程：（1）2(21)60x x --=（2）2(21)10kx k x k -+++=。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
第2课时 一元二次方程根的判别式
设垂直于墙的一边长为y m,则平行于墙的一边长为(34+2-2y)m.
根据题意,得(34+2-2y)y=180,
整理得y2-18y+90=0,Δ=b2-4ac=(-18)2-4×1×90<0,
∴方程无实数根,故围成养鸡场的面积不能达到180 m2.
第2课时
2
一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程 4x -3x+ =0 根的情况是( B
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
)
2
2.已知关于 x 的一元二次方程 x +(m+n)x+mn=0,其中 m,n 在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根
的情况是( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2
3.(2021 泰安)已知关于 x 的一元二次方程 kx -(2k-1)x+k-2=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值
范围是( C )
A.k>-
B.k<
C.k>- 且 k≠0 D.k< 且 k≠0
2
①若 b=2 ,则此方程一定有两个相等的实数根;
2
②若此方程有两个不相等的实数根,则方程 x -bx+ac=0 也一定有两个不相等的实数根;
③若 a-b+c=0,则此方程一定有两个不相等的实数根;
2
2
2
④若 x0 是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根,则 b -4ac=(2ax0+b) .
二次方程根的判别式1
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25- ∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k ∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
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判别式----二次方程根的检测器
【例题求解】
【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．
【例2】 已知三个关于y 的方程：02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( )
A ．2≤a
B ．41≤a 或21≤≤x
C ．1≥a
D ．14
1
≤≤a
【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ， (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长． 【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．
【例5】已知：如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问：这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由．
学力训练
1．已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = ． 2．若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 3．已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4422+-+--k k k = ． 4．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A ．43<m
B ．43≤m
C ．43>m 且2≠m
D ．4
3
<m 且2±≠m
5．已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
6．如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )
A ．没有实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．只有一个实数根
7．在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x
的方程02
1
22=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长．
8．已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x (1)求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值．
9．a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根．
(1)求证：0842=--b a ；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值．
10．关于的两个方程03242
=+++m mx x ，0)12(2
2=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 ．
11．当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根．
12．若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 ．
13．如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．不能确定
14．已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( )
A12个 B ．10个 C ． 7个 D ．5个 15．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A ．有两相等实根 B ．有两相异实根 C ．无实根 D ．不能确定
16．若a 、b 、c 、d>0，证明：在方程
02212=+++cd x b a x ①；022
1
2=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；022
1
2=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．
17．已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于2
3
·
18．关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值．
19．考虑方程b a x x =+-22)10(①
(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式．
(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论．
20．如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求a b
的取值范围．
参考答案。