专项训练2 绝对值的八种常见应用
专题二 绝对值的应用及动点问题
专题二绝对值的应用及动点问题一． 知识应用知识点一 利用绝对值求字母的取值范围例1下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2.知识点二已知一个数的绝对值求这个数例2（易错题型）若 x = y ,且x =−3,则y =.例3 若 x −2 =3， y +2 =1，则 x +y 的值为.知识点三利用绝对值比较大小例4 若a <0,b >0, a > b ,试用“<”把a ,−a ,b ,−b 连起来.知识点四化简含字母的绝对值例5 已知a <0<c ,ab >0, b < c < a ,（1）在下面数轴上标出a ,b ,c 的大致位置.（2）化简 b − a +b + c −a + b +c .知识点五 运用绝对值求最值问题例6 已知x 为有理数，则 x +3 + x −2 的最小值为.知识点六 绝对值的非负性的运用例7 若 x −2 =2−x ，则x 的取值范围是.例8 已知 a −2 与 b +3 互为相反数，则a +b =.例9若abc ≠0，则||||||c c b b a a +++abc abc 的所有可能值. 知识点七绝对值的几何意义及动点问题例10数轴上A 、B 两点离原点的距离分别为2和3，则AB 间的距离是.例11数轴上表示x 和−2的两点间距离是；若 x +2 =5,则x =.二．专项训练1.化简：（1）−5; （2）−(+7); （3）−−8; （4）−−a(a<0);2.若−x=4,则x的值为（）A.4B.-4C.±4D.03.若x+2=6,则−x=（）A.4B.8C.4或8D.4或-84.（易错题）若x=−x,则x的取值范围是A.x>0B.x=0C.x<0D.x≤05.若a+b<0,则1−a−b=（）A.−1−a−bB.−1+a+bC. 1−a−bD. 1+a+b6.若x>2，则化简x−2−x+1的结果为（）A. −2x+1B. 2x+1C.2D.-37.把−−1,−23,− −45,0用“>”连接正确的是（）A.0>−−1>− −45>−23B. 0>−−1>−23>− −45C.−−1>0>−23>− −45D.−−1>0>− −45>−238.小明得到了一个如图所示的数轴草图，他想知道一些式子的符号，请你帮他完成.−a0,a+b0,a−b0,b−a0.（填“>”, “<”或“=”号）9.绝对值不大于3的所有整数为.10.数轴上表示x和−2的两点间距离是；若x+2=5,则x=.11.（易错题）已知x=5,y=7,且x−y=x−y,则x+y的值为.12.已知有理数在数轴上的对应点如图所示，化简：a+b−a−1+2+b+−a13.若点A 、B 表示的数分别是−2、6，则AB 的中点为；若点A 、B 表示的数分别是a ,b ，则AB 的中点.14.已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abcabc ||的值15.已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值.16. （易错题）化简： 11009−11008 + 11010−11009 + 11011−11010 +⋯+ 12019−12018 .17.已知数轴上三点M,O,N 表示的数分别是-3，0,1，点P 为数轴上任意一点，其表示的数为x .(1)如果点P 到点M,点N 的距离相等，那么x 的值是.(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点M,点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出去x ，若不存在，请说明理由.(3)如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时，点M ，点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等？。
绝对值专题的应用
绝对值专题a （a ＞0）（1） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（2） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（5） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；【例1】（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3）下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？（5）若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________【巩固】 1、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞02、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？【例2】（1）若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值【巩固】已知22310ab b -+-=， 求()()()()()()1111112220112012ab a b a b a b ++++++++++ 。
【例3】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y的值是多少？【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例4】解方程：（1）05|5|23=-+x （2）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【例6】（1）已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2）若|a|=b ，求|a+b|的值【巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例8】（1）若a<-b 且0>ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值【巩固】如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|C B 0 A【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| （2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --【巩固】有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值【例10】化简|x+5|+|2x-3||a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离 |a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a ，b 对应数轴上两点间的距离【例11】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该式子的值最小。
数学 第二讲 绝对值的综合运用专题
第二讲 绝对值的综合运用专题绝对值⑴绝对值的几何意义及代数意义绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作│a │.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0.关于绝对值的几点需要注意：①取绝对值是一种用算，这个运算符号是“││”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号。
②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或零。
③任何一个有理数都是两部分组成的：符号和它的绝对值，如：-5，符号是负号，绝对值是5。
⑵字母a 的绝对值的分类①,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或②,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或③,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩⑶利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而小。
步骤：①计算两个负数的绝对值。
②比较这两个绝对值的大小。
③写出正确的判断结果。
⑷如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。
例： 若0,0,0,0a b c a b c ++====则绝对值基本题型专项一、选择题1、有理数的绝对值一定是 （ ）A 、正数B 、整数C 、正数或零D 、自然数 2、下列说法中正确的个数有 （ ）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ） A 、甲数必定大于乙数 B 、甲数必定小于乙数C 、甲、乙两数一定异号D 、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定 4、绝对值等于它本身的数有 （ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个 5、下列说法正确的是（ ）A 、a -一定是负数B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若a b =，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 二、填空题6、数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为___________.7、绝对值小于π的整数有______________________8、当0a >时，a ＝_________，当0a <时，a ＝_________， 9、如果3a >，则3a -＝__________，3a -＝___________.10、若1x x =，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；若1xx=-，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；11、已知3x =，4y =，且x y <，则x y +＝________ 三、解答题12、已知420x y -++=，求x ，y 的值绝对值经典题型专项1.2. 若1abcdabcd=，计算a b c d a b c d +++的值。
绝对值应用(习题及答案)
例题示范
例 1：已知有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简： c cb ac ba ．
思路分析 ①看整体，定正负：
c cb ac ba
②根据绝对值法则，去绝对值，留括号：
原式= (
) (
)(
)(
)
③去括号，合并．
过程示范
解：如图，由题意，
c 0，cb 0，ac 0，ba 0，
∴原式 (c) (c b) (a c) (b a)
c c b a c b a c
巩固练习
1. 若 a a ， b b ，则 b 2a ________．
2. 若 ab ab ，则必有（ ）
A． a 0 ， b 0
B． a 0 ， b 0
C． ab ≥ 0
思考小结
1. ①正负；②括号；③合并． 2. 2 或 0 或 2
思路分析
法则；比大小．
②1； 1．1，-1．③ 2 或 0 或 2
4
D． ab ≤ 0
3. 已知有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
a b a 1 2 b a ．
1
4. 已知 a＜0＜c， b b ，且 b c a ，化简： ac bc ab ．
5. 若 x 2 3 ， y 2 1，则 x y 的值为_____________． 6. 若 a 2 ， b 1 3 ，且 a b b a ，则 a+b 的值是多少？
7. 若 ab 0 ，则 a b 的值为____________． ab
8. 若 mn 0 ，则 m n 2 m n 的值为____________． m n mn
9. 已知 x 为有理数，则 x 3 x 2 的最小值为___________．
绝对值的八大题型
绝对值的八大题型
绝对值是数学中的一个重要概念，涉及到多种题型。
以下是“绝对值的八大题型”及其相应的解题技巧和示例：
一、绝对值的基本概念题
这类题型主要考查对绝对值基本概念的理解。
解题关键是掌握绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例1：判断下列说法是否正确：
（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
解：（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
二、求一个数的绝对值
这类题型要求根据绝对值的定义求出一个数的绝对值。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例2：求下列各数的绝对值：
（1）12 （2）- 15 （3）0.2 （4）- 6.7
解：（1）|12| = 12 （2）|-15| = 15 （3）|0.2| = 0.2 （4）|-6.7| = 6.7
三、比较两个数的绝对值
这类题型要求比较两个数的绝对值的大小。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例3：比较下列各组数的绝对值的大小：
（1）|2| 和|3| （2）|-4| 和|-3| （3）|0| 和|-5|
解：（1）因为|2| < |3|，所以|2| < |3|。
（2）因为|-4| = |-3|，所以|-4| = |-3|。
（3）因为|0| < |-5|，所以|0| < |-5|。
绝对值练习题及答案
绝对值练习题及答案绝对值练习题及答案绝对值是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与数值相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨一些绝对值的练习题，并给出相应的答案。
通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解和应用绝对值的概念。
一、基础练习题1. 计算以下数的绝对值：-5, 0, 7, -2, 10.答案：5, 0, 7, 2, 10.2. 求解以下方程：|x| =3.答案：x = 3 或 x = -3.3. 如果|x - 2| = 4, 求解x的可能值。
答案：x = 6 或 x = -2.4. 求解以下不等式：|2x - 3| ≤5.答案：-1 ≤ x ≤ 4.二、进阶练习题1. 已知|x - 4| = 2x + 1，求解x的值。
答案：x = -3.解析：将方程两边平方，得到(x - 4)² = (2x + 1)²，展开化简后得到x² - 10x - 15 = 0，解这个方程可以得到x = -3 或 x = 5，但是只有x = -3满足原方程。
2. 若|3x - 2| = 5x + 1，求解x的值。
答案：x = -1 或 x = 1.解析：将方程两边平方，得到(3x - 2)² = (5x + 1)²，展开化简后得到4x² + 14x -3 = 0，解这个方程可以得到x = -1 或 x = 1，均满足原方程。
三、挑战练习题1. 若|2x - 3| < 4x + 1，求解x的值。
答案：-1 < x < 2/3.解析：对于绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，即2x - 3 < 4x +1 和 2x - 3 > -(4x + 1)，解这两个不等式可以得到-1 < x < 2/3，满足原不等式。
2. 若|3x - 4| > 2x + 1，求解x的值。
答案：x < -1 或 x > 3.解析：同样地，我们将绝对值不等式转化为两个不等式，即3x - 4 > 2x + 1 或3x - 4 < -(2x + 1)，解这两个不等式可以得到x < -1 或 x > 3，满足原不等式。
绝对值专题(合并版) 文档
绝对值专题一、知识解析1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值2、绝对值的代数意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即：a (a≥0)或|a|=-a (a≤0)3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数．二、典例精析类型一：绝对值几何意义应用1、|2|= ________ , |-2|= ________ , |0|=________;2、若|a|=2,则a=___, 若|-x|=2，则x=____；若|a-1|=2,则a=_____,3、若x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为_____;4、已知|a|+|b|=9，且|a|=2则b=_____；5、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a<b<c，a=_____，b=_____，c=_____；6、已知│x+y+3│=0, 则│x+y│=_____。
7、绝对值小于4且不小于2的整数是____8、实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是_______。
a b9、如果a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值是1，求代数式x ba++x2+cd的值。
10、11-++xx的最小值是。
11、|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值是,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值是,12、我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义。
进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|。
(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和5 的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；b c a10(2) 数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是_______,如果|AB|=2，那么x 的值为_____;（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义___,当x 取何值时，该式取值最小：_______（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值。
初中数学 绝对值解题的八个应用模型
绝对值解题的八个应用模型绝对值是一个重要数学概念，也是一个重要解题工具，其解题应用可归纳为如下七种解题模型，请同学们学习并掌握.模型1：文字叙述型例1（2019•湖南岳阳）﹣2019的绝对值是（）A．2019 B．﹣2019 C．12019D．﹣12019解析：﹣2019的绝对值是：2019．所以选A．点拨：文字叙述型求绝对值，通常给出的数是一个负数，这是学习的一个重点，更是难点.为了更高效求得负数的绝对值，同学们可以利用转化思想解答，把负数的绝对值转化为负数的相反数求解，这样可能更快捷．负数的绝对值就是这个数的相反数，这是解题的口诀，记牢用好解对，方为上策.模型2：符号描述型例2（2019•山东临沂）|﹣2019|= （）A．2019 B．﹣2019 C．12019D．﹣12019解析：因为|﹣2019|=2019，所以选A.点拨：探求|a|关键是分清数a的属性，运用好有理数分为正数、负数和0三种情形求解的指导思想，对号解答即可.通常以负数为主要考查对象，所以谨记“负数的绝对值就是这个数的相反数”是解题的关键.模型3：与原点间距离型例3（2019湖南常德）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是．解析：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．所以答案为：3．点拨：根据数形结合思想可知，数a到原点的距离是|a|，这是解题的根本所在.模型4：大小比较型例4（2019•湖南长沙）下列各数中，比﹣3小的数是（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1解析：因为|﹣5|=5＞3=|﹣3|，所以﹣5＜﹣3，所以比﹣3小的数是﹣5，所以选A.点拨：正数，0都大于负数，解题时，不需要多费神，小的数一定在负数行列中确定，于是利用好“两个负数相比较，绝对值大的反而小”这条基本原则解答即可.但是，正确确定数的绝对值却是解题的关键.例5 (2019安徽)在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1解析：因为|﹣2|=2＞1=|﹣1|，所以﹣2＜﹣1，所以在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．所以选A.点拨：最小数通常源自负数中，解答时，先整体看数的类型，最后将眼光聚焦到负数系列中，确定出最小数即可.模型5：绝对值等式型例5（2019•山东省德州市）|x﹣3|=3﹣x，则x的取值范围是．解析：因为-（x-3）=3-x，所以x-3=0或x-3是负数，所以x=3或x ＜3,所以x≤3；所以答案为x≤3.点拨：绝对值等式型是考查绝对值的重要方式之一，其最大特点是运用到了数学分类思想，日常学习时，要重视，且自我训练巩固好，不要掉以轻心．模型6：绝对值为常数型例6 如果|x|=2,那么x一定是2吗？如果|x|=0,那么x等于几？如果x=-x,那么x等于几？解析：因为|x|=2表示到原点的距离为2的数，所以这样的数有2或-2，所以x=2或x=-2,因此x不一定是2；因为|x|=0表示到原点的距离为0，所以这个数是0，所以x=0；因为x=-x，从左向右看，表示一个数等于它的相反数，从右向左，表示一个数的相反数等于自身，而满足这样条件的数只有0，所以x=0.点拨：通过对问题的解答，可引申推广得到三个基本结论：结论1：绝对值为正数m的数有两个，分别是m，-m.结论2：绝对值等于0的数为0.结论3：相反数等于自身的数为0.模型7：绝对值，相反数混合型例7 (2019甘肃省天水市)已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. -3B. -1C. -1或-3D. 1或-3解析：因为|a|=1，所以a=1或a=-1.因为b是2的相反数，所以b=-2.当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；所以a+b的值为-1或-3，所以选C. 点拨：抓住绝对值、相反数的意义，分别独立求值，运用分类思想，综合计算求值.模型8：生活实际应用型例8 如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记作正数，不足的克数记为负数.从轻重的角度看，哪个球最接近标准.解析：因为判断的要求是从轻重角度，所以其数学意义恰好表示数的绝对值，所以绝对值最小的最接近标准，因为|-3.5|=3.5, |+0.7|=0.7, |-2.5|=2.5, |-0.6|=0.6,显然0.6＜0.7＜2.5＜3.5,所以重量轻0.6的排球最接近标准.点评：这是绝对值在生活实际中一个重要应用，也是对绝对值应用的一个知识拓展，要熟练掌握.。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
绝对值的计算和应用
绝对值的计算和应用绝对值是数学中的一种常见运算符号，用来表示一个数与0的距离。
在数学中，绝对值用两个竖线“|”将数值包围起来表示。
本文将探讨绝对值的计算方法以及在实际问题中的应用。
一、绝对值的计算方法绝对值的计算方法非常简单，只需要按照以下规则进行操作即可：1. 当一个数为正数时，它的绝对值等于它本身。
例如：|3| = 3，|5.8| = 5.8。
2. 当一个数为负数时，它的绝对值等于它的相反数。
相反数可以通过改变符号得到。
例如：|-4| = 4，|-2.5| = 2.5。
通过以上两个规则，我们可以计算任意实数的绝对值。
二、绝对值的应用1. 距离的计算在现实生活中，绝对值常被用来计算距离。
假设有一个线段AB，其中A的坐标为x1，B的坐标为x2，那么线段AB的长度可以表示为|x1 - x2|。
这是因为无论AB的两个点的坐标是正数还是负数，我们都只关心它们之间的距离。
例如，一个人从途中的起点A行走到终点B，起点A的坐标为-5，终点B的坐标为3，那么这个人所行走的距离可以表示为|(-5) - 3| = 8。
2. 温度差的计算绝对值还常被用来计算温度差。
在摄氏温度和华氏温度中，它们之间的转换就需要绝对值的帮助。
例如，假设在一天中，早上温度为10摄氏度，下午温度为22摄氏度。
我们可以计算温度的变化量为：|10 - 22| = 12摄氏度。
3. 账户余额的计算绝对值还可应用于计算银行账户余额。
我们知道，一个账户的余额可以是正数、负数或零。
当余额为正数时，它表示账户中的存款金额；当余额为负数时，它表示账户中的欠款金额；当余额为零时，表示账户中没有余额。
例如，某人的银行账户余额为-500元，那么他目前的债务可以表示为|-500| = 500元。
同理，若某人的账户余额为1000元，则他的存款金额是1000元。
综上所述，绝对值是一种用于表示一个数与0之间距离的数学运算符号。
通过简单的规则，我们可以计算任何实数的绝对值。
绝对值经典题型
题型一：定义考察正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|-3|的相反数是.【解析】：|-3|的绝对值为3，3的相反数是-3.例2.绝对值大于2小于5的所有整数有.【解析】：绝对值大于2小于5的整数有-4、-3、3、4.例3.已知|X|= 4，则X= ; 已知|-X|= 5，则X= ;【解析】：(1)绝对值等于4的数有±4；(2)虽然|-X|有个“-”，但带有绝对值，这个“-”可以直接去掉，可以同(1)一样，绝对值等于5的数有±5.例4.已知|X-5|=2，则X= .【解析】：解法1：可以把绝对值里面的数当作一个整体，（X-5）的绝对值为2，则X-5=±2解得X=7或X=3解法2：利用绝对值的几何意义来解题：|X-5|=2，一个数到5的距离为2，则这个数为3或者7例5.下列语句:○1一个数的绝对值一定是正数；○2-a 一定是一个负数；○3没有绝对值为-3 的数；○4若|a| =a,则a 是一个正数；○5在原点左边离原点越远的数就越小.正确的有( )个A.0B.3C.2D.4【解析】：○1一个数的绝对值的绝对值可能是正数也肯是负数；○2一个字母前面带“-”，不能确认这个字母是正是负还是0，所以带上“-”后也不能确定是正是负还是0；○3一个数的绝对值只可能≥0○4一个数的绝对值等于它本身，这是数可能是正数也有可能是0○5在原点左边离原点越远的数就越小，在原点右边离原点越远数就越大例6.若|a| = -a,则a一定是( )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零【解析】：一个数的绝对值等于它的相反数，它可能是负数也可能是0题型二：非负性一个数的绝对值≥0例1.已知|a+3|+|c-2|=0，则a+c= .【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a+3=0，c-2=0 → a=-3，c=2，∴a+c=-1例2.若|x+3|+(y-1)2 = 0，求xy的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，一个数的平方也是≥0，两个≥0的数相加等于0，只可能是它们分别为0，即: x+3=0，y-1=0，∴x=-3，y=1；∴xy=-3例3.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，两个绝对值互为相反数，只有可能两者都为0，因为0的相反数仍为0∴2x-4=0，y-3=0；∴x=2，y=3；∴3x-y=9例4.已知|a-3|+|b -5|=0，x，y互为相反数，求3(x+y) -a+2b的值.【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a-3=0，b-5=0，a=3，b=5；∵x，y互为相反数，∴x+y=0所以3(x+y) -a+2b=7题型三：去绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|3-π|+|π-4|= .【解析】：要想去绝对值，得先搞清楚绝对值里面的正负，这样我们才能正确把绝对值去掉.因为3-π<0，π-4<0，所以|3-π|=π-3，|π- 4|=4 -π所以|3-π|+|π-4|=1例2.如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|= .【解析】：从图中可知c < b < c，|c|>|a|>|b|a-b>0，2c+b<0，a+c<0|a-b|=a-b，|2c+b|=-(2c+b)，|a+c|=-(a+c)所以|a-b|-|2c+b|+|a+c|=a - b --(2c+b)-(a+c)=a-b+2c+b-a-c=c> 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|.例3.若a<-b，ab【解析】：因为a> 0，所以○1a>0，b>0；○2a<0，b<0b○1当a>0，b>0时，与a<-b矛盾，所以这种情况不存在○2当a<0，b<0时，|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-(a+b)+ab=-2a+ab 例4.若1<a<5，则|1-a|+|5-a|= .【解析】：因为1<a<5，所以1-a<0，5-a>0所以|1-a|+|5-a|= -(1-a)+(5-a)=4例5.若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=4，则m-n= .熟记：|a|=a，则a≥0，|a|=-a，则a≤0切记别把“0”漏掉【解析】：因为|m-n|=n-m，所以m-n≤0○1第一种情况：m-n=0；○2第二种情况：m-n<0；又因为|m|=4，|n|=4所以m=-4，n=4即：m-n=-8例6.若x<-2，则y=|1-|1+x||等于.提示：多个绝对的情况，由内到外依次去绝对值【解析】：∵x<-2，∴1+x<0原式=|1-[-(1+x)]=|1+1+x|=|2+x|=-(2+x)题型四：分类讨论例1.若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b= . 【解析】：∵|a+b|=a+b∴a+b≥0又∵|a|=5，|b|=7∴a=±5，b=7(负舍)∴a-b=-2或a-b=-12例2.若a>0，则|a|a = ，若a<0，则|a|a= .【解析】：○1∵a>0，∴|a|=a，∴|a|a = aa= 1；○2∵a<0，∴|a|=-a，∴|a|a = −aa= -1；例3.已知abc≠0，求|a|a + |b|b+ |c|c=【解析】：○1当a、b、c没有负数时，则原式=3○2当a、b、c有一个负数时，则原式=-1+1+1=1○3当a、b、c有两个负数时，则原式=-1-1+1=-1○4当a、b、c有全是负数时，则原式=-1-1-1=-3例4.若|ab|ab =1，则|a|a+ |b|b=【解析】：∵|ab|ab=1，∴a，b同号∴○1当a，b大于0时，原式=2○2当a，b小于0时，原式=-2题型5：零点分段零点：令绝对值等于0的x值，称为该绝对值的零点.步骤：○1找出每一个绝对值的零点；○2根据零点值给x分段；○3在每一段所属范围内，化简绝对值.例1.化简|x-1|+|x-4|【解析】：零点分别为1和4.○1当x <1时，原式=1-x+4-x=5-2x○2当1≤x≤4时，原式=x-1+4-x=3○3当x >4时，原式=x-1+x-4=2x-55-2x（x <1）|x-1|+|x-4|= 3 （1≤x≤4）2x-5（x >4）题型六：绝对值方程常用公式：若|a|=|b|，则a=b或a=-b步骤：○1根据绝时位内的正员分类，并去绝对值○2解出每一类对应的程○3检验方程的解是符合分类的范围要求例1.解方程：|2x-1|=|x+2|解：2x-1=±（x+2）○1当2x-1=x+2x=3○2当2x-1= -(x+2)2x-1=-x-23x=-1x= -13例2.解方程：|x-1|=2x-5解：x-1=±（2x-5）○1当x-1=2x-5x=4○2当x-1=-(2x-5)x-1= -2x+5X=2题型七：最值问题几何意义：|a-b|表示数轴上，a到b的距离Eg.|x-2|表示数轴上x到2的距离|x+3|表示数轴上x到-3的距离例1.当x在什么范围内|x-1|+|x-3|有最小值，最小值又是多少？【解析】：几何意义x到1的距离与与到3的距离之和○1当x<1时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2○2当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2 = 2○3当x>3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2总结：|x-a|+|x-b|在a，b之间最小为|a-b|例2.求|x+1|+|x-5|+|x-2|的最小值【解析】：几何意义x到-1，5，2的距离之和当x=2时，最小值为6例3.求|x+2|+|x-1|+|x+4|+|x-7|的最小值.当-2≤x≤1时，最小值为14总结：奇为中间点，偶取中间段题型八：定值问题解题思路：让未知数之间相互抵消，则结果就是一个定值.例1. 若|x -1|+|x -2|+ … +|x -2022|的值为定值，求x 的范围.【解析】：偶数个绝对值相加，要想原式为定值，则一半的式子为x ，后一半式子-x ，这样未知数就都抵消了，所得结果为定值.(x -1)+(x -2)+ … +(x -1011)+(-x+1012)+ … +(-x+2022)这样正好将x 都消掉 解：当20222≤x ≤20222 + 1，即1011≤x ≤1012时，原式为定值例2. 若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】：要想原式为定值，就要把a 都给抵消掉原式=2a+4-5a+3a -1解: 4-5a ≥0，1-3a ≤0，即：13≤x ≤45 原式=2a+4-5a+3a -1=3。
专训2 绝对值的八种常见应用(1)
同类变式
4．绝对值不大于3的所有整数为 ________________________________________．
5．若|－x|＝－(－8)，则x＝______，若|－x|＝|－2|， 则x＝________.
类型 3 绝对值在求字母的取值范围中的应用
6．若|x|＝－x，则x的取值范围是____x_≤_0__． 7．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是
类型 1 已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (3) |－|＋ 4 | |；
7 解：(1)原式＝7.
(2)原式＝－8. (3)原式＝ 4 .a|(a＜0)．
类型 2 已知一个数的绝对值求这个数
2．若|a|＝2，则a＝___±__2___. 3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝___±__3___.
零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 ＋0.13 －0.25 ＋0.09 －0.11 ＋0.23
_________________x_≤_2_________________．
8．如果|－2a|＝－2a，则a的取值范围是( C )
A．a>0
B．a≥0
C．a≤0
D．a<0
类型 4 绝对值在比较大小中的应用
9．把－(－1)，－
2 3
，－|－
4 5
|，0用“>”连接
正确的是( C )
A．0>－(－1)>－ |－ 4 5
解：a＜0，b＞0，c＜0.
(2)化简|a－b|＋2a＋|b|.
解：(2)因为a，b互为相反数， 所以b＝－a.又因为a＜0，b＞0. 所以|a－b|＋2a＋|b| ＝|2a|＋2a＋|b| ＝－2a＋2a＋b ＝b.
绝对值函数的应用
绝对值函数的应用绝对值函数是数学中常见的一类函数，它的定义域包括实数集，值域也是实数集。
绝对值函数的图像可表示为一个V形，其特点是函数值始终非负。
在实际生活中，绝对值函数有许多应用。
本文将从数学、物理和经济三个方面探讨绝对值函数的具体应用，希望能帮助读者更好地理解和运用绝对值函数。
一、数学应用1. 求解绝对值方程绝对值函数常用于求解绝对值方程。
以|x| = a 为例，其中a是一个常数。
我们需要找到使得绝对值函数的值等于a的x值。
根据绝对值函数的性质，可将绝对值方程转化成两个方程来求解，具体步骤如下：当x ≥ 0时，|x| = x，此时方程变为x = a，解为x = a；当x < 0时，|x| = -x，此时方程变为-x = a，解为x = -a。
通过以上方法，我们可以求解出绝对值方程的解，进一步应用于数学问题的解决。
2. 求解绝对值不等式绝对值函数也可以用于求解绝对值不等式。
以|x| < a 为例，其中a 是一个正常数。
解绝对值不等式的方法与求解绝对值方程类似，我们需要将不等式转化成两个不等式来求解，具体步骤如下：当x ≥ 0时，|x| = x，此时不等式变为x < a，解为0 ≤ x < a；当x < 0时，|x| = -x，此时不等式变为-x < a，解为-a < x ≤ 0。
利用这种方法，我们可以求解出绝对值不等式的解集合，进一步应用于数学推理和证明的过程中。
二、物理应用1. 速度与位移在物理学中，绝对值函数可以用来描述速度和位移之间的关系。
当物体做匀速直线运动时，其速度与位移的关系可以表示为：位移 = 速度 ×时间。
由于速度是标量，没有方向，因此速度的绝对值即为速度本身。
当速度为负时，即表示运动的方向与我们所定义的正方向相反。
因此，我们可以将速度的绝对值函数应用于求解物体的位移。
2. 电流的减小与增加在电路中，电流的方向是有正负之分的。
绝对值的题型归类
绝对值的题型归类
（原创版）
目录
1.绝对值的概念与定义
2.绝对值的题型分类
3.绝对值题型的解题技巧
正文
【1.绝对值的概念与定义】
绝对值是一个数学概念，表示一个数到零点的距离。
它的符号是“| |”，读作“绝对值”。
绝对值的定义是：对于任意实数 x，其绝对值|x|等于 x （当 x≥0 时），或等于-x（当 x<0 时）。
换句话说，绝对值就是一个数
去掉正负号后的值。
【2.绝对值的题型分类】
根据题型的不同，我们可以将绝对值题目分为以下几类：
（1）求绝对值：给定一个实数或代数式，求其绝对值。
（2）比较绝对值大小：给定两个实数或代数式，比较它们的绝对值
大小。
（3）绝对值的性质：研究绝对值的性质，例如|x| = |-x|，|x+y| = |x| + |y|等。
（4）含有绝对值的方程与不等式：解含有绝对值的方程或不等式。
（5）绝对值与函数：研究绝对值在函数中的应用，例如绝对值函数
y=|x|的性质和图像。
【3.绝对值题型的解题技巧】
（1）求绝对值：直接将实数或代数式去掉正负号即可。
（2）比较绝对值大小：将实数或代数式去掉正负号后进行比较。
（3）绝对值的性质：利用已知的绝对值性质进行化简和计算。
（4）含有绝对值的方程与不等式：将方程或不等式分为正负两种情况讨论，利用绝对值的性质进行求解。
（5）绝对值与函数：利用绝对值函数的性质，结合函数的图像进行分析和求解。
人教七年级上册专题练习绝对值的七种常见的应用题型
专训 1绝对值的七种常有的应用题型名师点金：绝对值是初中代数中的一个重要观点，应用较为宽泛．在解与绝对值相关的问题时，第一一定明确绝对值的意义和性质．关于数x 而言，它的绝对值表示为|x|.已知一个数求这个数的绝对值1．化简：(1)|－ ( ＋7)|；(2) － |－ 8|；(3) －＋4；(4)－ |－ a|(a＜ 0)．7已知一个数的绝对值求这个数2．若|a|＝2，则a＝________.3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.4．绝对值不大于3的所有整数为________________________________________________________________________ ．5．若|－x|＝－(－8)，则x＝______，若|－x|＝|－2|，则x＝________.绝对值在求字母的取值范围中的应用6．假如|－ 2a|＝－ 2a，则 a 的取值范围是( )A． a>0 B． a≥ 0 C． a≤ 0 D． a<07|x|x x ________8．若|x －2| ＝2－x，则x 的取值范围是________________________________________________________________________ ．绝对值在比较大小中的应用2 ，－ － 4， 0 用 “>”连结正确的选项是()9．把－ (－ 1)，－ 3 5 4 2A ． 0>－ (－ 1)> －－5 >－ 32 4 B ． 0>－ (－ 1)> － 3>－ － 524 C ．－ (－ 1)>0> － 3>－ －542D ．－ (－ 1)>0> －－5 >－ 3绝对值非负性在求字母值中的应用10． (1)已知 |a|＝ 5，|b|＝ 8，且 a<b ，则 a ＝ ________，b ＝ ________；(2)有理数 a ，b 在数轴上的地点以下图，若|a|＝ 4， |b|＝2，求 a ， b 的值．(第10 题)11．若 a － 1 ＋ b － 1 ＋ c － 1 ＝ 0，求 a ＋ b － c 的值．2 3 4绝对值非负性在求最值中的应用12．依据 |a|≥ 0 这条性质，解答以下问题：(1)当 a ＝ ________时， |a － 4|有最小值，此时最小值为 ________； (2)当 a 取何值时， |a － 1|＋3 有最小值？这个最小值是多少？(3)当 a 取何值时， 4－ |a|有最大值？这个最大值是多少？【导学号：11972006 】绝对值在实质中的应用13．某工厂生产一批部件，部件质量要求为“部件的长度能够有0.2 cm 的偏差”．现抽查 5 个部件，超出规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果以下表：部件号数①②③④⑤数据＋－＋－＋(1)指出哪些部件是合格产品(即在规定偏差范围内)；(2)在合格产品中，几号产品的质量最好？为何？试用绝对值的知识说明．答案1． 解： (1) 原式＝ 7. (2) 原式＝－ 8.4(3)原式＝ 7.(4) 原式＝ a.2． ±2 3.±3 4.0， ±1， ±2， ±3 5． ±8；±2 6.C 7． x ≤ 0 8.x ≤ 2 9.C10． 解： (1) ±5； 8 (2)a ＝ 4，b ＝ ±2. 11． 解：由题意得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝ 1.2 3 4 1 1 1 7因此 a ＋b － c ＝ 2＋3－ 4＝ 12.12． 解： (1)4； 0(2)由于 |a － 1|≥0，因此当 a ＝ 1 时， |a －1|＋ 3 有最小值．这个最小值是3.(3)由于 |a|≥ 0，因此－ |a|≤ 0，因此当 a ＝ 0 时， 4－ |a|有最大值，这个最大值是 4.13． 解： (1) 由于 |＋ 0.13|＝ ＜ ， |－ 0.25|＝ ＞ ， |＋ 0.09|＝ ＜ ， |－0.11|＝＜， |＋0.23|＝＞，因此①③④号部件是合格产品．(2) 在合格产品中，③号产品的质量最好．由于|＋ 0.09|＜ |－ 0.11|＜ |＋ 0.13|.因此质量最好的产品是③号部件．。
七年级上数学绝对值的题型总结
七年级上数学绝对值的题型总结绝对值是七年级数学中的一个重要概念，它涉及到了数的绝对值、几何距离、表示数轴上的点等多个方面。
以下是对绝对值题型的总结，主要包括绝对值的基本概念、应用、基本性质、代数意义、几何意义、生活中的应用以及与其他数学知识的结合等方面。
一、绝对值的基本概念绝对值是一个数在数轴上的距离，用符号“|x|”表示。
如果x是正数，则|x|等于x；如果x是负数，则|x|等于它的相反数；如果x是零，则|x|等于零。
二、绝对值的应用绝对值的应用非常广泛，包括以下几个方面：1.计算两个数的绝对值差：|a-b|等于a和b之间的距离。
2.比较两个数的大小：通过比较它们的绝对值来判断大小关系。
3.解决实际问题：例如，在计算最短路径、找零钱等方面都可以用到绝对值的概念。
三、绝对值的基本性质绝对值具有以下基本性质：1.非负性：|x|总是非负的，即|x|≥0。
2.反身性：任何数的绝对值等于它本身。
3.对称性：如果|a|=b，那么a和b互为相反数。
4.传递性：如果|a|=b，|b|=c，那么|a|=c。
四、绝对值的代数意义绝对值的代数意义主要体现在以下几个方面：1.任何数的绝对值都是非负数。
2.互为相反数的两个数的绝对值相等。
3.正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
4.绝对值的运算遵循代数运算的法则。
五、绝对值的几何意义绝对值的几何意义主要体现在以下几个方面：1.用数轴上某个点到原点的距离来表示该数的绝对值。
2.如果点A和点B分别表示两个数的点在数轴上互为相反，那么它们的绝对值相等。
3.如果点A到原点的距离为|x|，那么点A在数轴上对应的数的绝对值为|x|。
六、绝对值在生活中的应用绝对值在生活中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1.计算距离：在地图上，我们可以使用绝对值来计算两个地点之间的距离。
2.计算时间：在赛跑中，我们可以使用绝对值来计算选手完成比赛的时间。
3.计算费用：在银行中，我们可以使用绝对值来计算存款和取款的金额。
小专题(一)绝对值的应用
小专题（一）绝对值的应用类型1 利用绝对值比较大小1.比较下列各对数的大小：（1）0.10.2--与；（2）4556--与 （3）81217---与； （4）(5)|6|-+--与.类型2 利用绝对值的性质求字母的值2.已知1||3,||3a b ==，且0a b <<，则a ，b 的值分别为（ ） 11A. 3,B. 3,3311C. 3, D. 3,33---- 3.如果||8,||5a b ==，且a b <，试求a ，b 的值.4.已知|1||3|0a b -+-=，求式子2a b +的值.5.根据x 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：（1）当x 取何值时，|2018|x -有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，2019|1|x --有最大值？这个最大值是多少？类型3 绝对值在生活中的应用6.一只可爱的小虫从点O 出发，在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm ）依次记为5310861210+-+--+-，，，，，，，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫共可以得到多少粒芝麻？参考答案1.解：（1）0.10.2->-.（2）45.56->-（3）81||217-<--.（4）(5)|6|-+>--. 2.B 3解：因为||8a =，所以8a =±.因为||5b =，所以5b =±.因为a b <.所以8a =-，5b =或85a b =-=-， 4.解：由已知得1030a b -=-=，，所以1,3a b ==.所以25a b += 5.解：（1）当2018x =时，|2018|x -有最小值,这个最小值是0.（2）当1x =时，2019|1|x --有最大值，这个最大值是2019. 6.解：小虫爬行的总路程为|5||3||10||8||6||12||10|5310861210++-+++-+-+++-=++++++54(cm)=.小虫得到的芝麻数为54×2=108（粒）.。
专训绝对值的七种常见的应用题型 精品课件
2 3
>－ |－
4 5
|
C．－(－1)>0>－ 2 >－ |－ 4 |
3
5
D．－(－1)>0>－ |－
4 5
| >－
2 3
类型 5 绝对值非负性在求字母值中的应用
10．(1)已知|a|＝5，|b|＝8，且a<b，则a＝___±__5___， b＝_____8___；
(2)有理数a，b在数轴上的位置如图所示，若|a| ＝4，|b|＝2，求a，b的值．
零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 ＋0.13 －0.25 ＋0.09 －0.11 ＋0.23
(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)； (2)在合格产品中，几号产品的质量最好？为什么？
试用绝对值的知识说明． 解：(1)因为|＋0.13|＝0.13＜0.2，|－0.25|＝0.25＞0.2，
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1 绝对值的七种常见 的应用题型
绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较 为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须明 确绝对值的意义和性质．对于数x而言，它的绝对 值表示为|x|.
类型 1 已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (3) |－|＋ 4 | |；
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
解： (2)a＝4 b＝±2.
同类变式
11．若| a－
1 2
| ＋ | b－
1 3
| ＋ | c－
1 4
| ＝0，
求a＋b－c的值．
专项训练初一数学_绝对值的综合应用(1)
绝对值的综合应用一、常考易错题解析【例 1】观察以下每对数在数轴上对应点间的距离：4与2，3与 5，2与6，4与3．如： 4 与2对应点间的距离是| 4(2)|6；3与 5对应点间的距离是|35| 2．回答以下问题：（1）若数轴上A 、 B 两点分别表示有理数 a 、 b ，则A、B两点间的距离是多少？（用含 a 、 b 的式子表示）答：；（2）若数轴上的点 A 表示的数为x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为；（3）结合数轴可得| x 2 | | x3| 的最小值为；（4）若关于x的方程| x1|| x1|| x 5 | a 无解，则a的取值范围是．【解答】解：（ 1）由观察可知： A 、 B 两点间的距离是 | b a | ；（2）结合数轴，我们获取 A 与 B 两点间的距离可以表示为| x 1| ；（3）当x 3 时，| x 2 || x3|2x(3x)2x 1 ，此时最小值大于5；当 3x 2 时，| x 2 | | x 3| 2 x x 3 5 ；当 x2时， | x 2 || x3|x2x3 2 x1，此时最小值大于5；所以 | x 2 || x3| 的最小值为5，获取最小值时x 的取值范围为3x 2 ；（4）当 x 5 时，原式x 1 x 1x 5 3x 5 10 ，当 1x5时，原式x1x15x x5，此时6原式10，当 1x1时，原式1x x15x7x ，此时6原式8 ，当 x1时，原式1x x15x53x8，此时原式 >8 ，第 1页所以 | x 1| | x 1|| x 5 | 6 ，因为 | x1|| x 1|| x 5 | a 无解，所以 a 6 ．故答案为：（ 1）|b a |；（2） | x1|；（3）5；（ 4）a 6．【例 2】数轴是一个特别重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭穿了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答以下问题：（1）数轴上表示 1 和 4 的两点之间的距离是；表示 3 和 2 的两点之间的距离是；表示数 a 和 2 的两点之间的距离是3，那么a；一般地，数轴上表示数m 和数 n 的两点之间的距离等于（2）若数轴上表示数 a 的点位于 4 与2之间，求| a4| | a 2| 的值；（3）当a时，| a5| | a 1| | a 4 |的值最小，最小值是．【解答】解：（ 1）数轴上表示 1 和 4 的两点之间的距离是3；表示 3 和 2 的两点之间的距离是 5；表示数a和2 的两点之间的距离是3，那么 a 1 或 5 ；一般地，数轴上表示数m 和数 n 的两点之间的距离等于| m n | ；（2） 4 a 2 ， | a 4| | a 2 | a 4 2 a 6 ；（3）当 a 1 时， | a 5| | a 1| | a 4| 6 0 3 9 ，故答案为：（ 1） 3； 5；5 或 1； | m n | ；（ 2） 6；（ 3） 1；9．二、牢固练习一．选择题（共 3 小题）第 2页1．（ 2019?平阴县二模）8 的绝对值是 ()A ． 8B ．1C． 8D．1 882．（ 2019 春 ?浦东新区期末）以下说法正确的选项是()A．一个数的绝对值等于它自己，这个数必然是正数B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数必然是负数C．绝对值越大，这个数越大D．两个负数，绝对值大的那个数反而小3．（ 2019 春 ?南岗区校级月考）若| a | 3 ，则a的值为 ()A ．3B． 3C．3或 3D．以上答案都不对二．填空题（共 4 小题）4．（ 2019?德州） | x 3| 3 x ，则x的取值范围是．5．（ 2019 春 ?松江区期中）已知 3 x 5 ，化简 | x 3|| x 5 |．6．（ 2018 秋 ?碑林区校级期末）若是x 、y都是不为0 的有理数，则代数式x| y | 的值| x |y是．7．（ 2018 秋?常熟市校级月考）三个数a、b、c是均不为 0的三个数，且 a b c 0 ，则ab c．| a || b ||c |三．解答题（共 7 小题）8．（ 2018 秋 ?南关区校级期中）已知| a |a， | b | 1 ， | c | c ．b（1）比较大小：a0， b0，c0；（2）比较大小： a b0，a c0， b c0；（3）依照（ 1）、（ 2）问结论，化简| a b || a c |b c ．a b a c|b c |9．（ 2018 秋 ?启东市期中）已知： b 是最大的负整数，且a，b ，c满足 | a b | (4 c)20160 ，试回答以下问题：第 3页（1）请直接写出 a ，b， c 的值；（2）若a， b ，c所对应的点分别为A， B ，C，点 P 为一动点，其对应的数为x ，点P在0 到 1 之间运动时（即0 x 1) ，请化简式子：| x 1| |1 x | 2 | x 4 | ．10．（ 2013 秋 ?泗洪县校级月考）已知实数 a ，b， c 在数轴上对应点以下列图，化简：| a | | a b | | c b | | b c | ．11．（2018 秋 ?东营区校级月考）化简：| 2x 3| |3 x 5| | 5x1|12．（ 2017 秋 ?沈丘县期末）结合数轴与绝对值的知识回答以下问题：（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是；表示 3 和 2 两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数 n 的两点之间的距离等于| m n | ，若是表示数 a 和 2 的两点之间的距离是3，那么a．（2）若数轴上表示数 a 的点位于 4 与2之间，求| a4| | a 2| 的值．13．（ 2017 秋 ?高新区期末）阅读资料：我们知道：点 A 、 B 在数轴上分别表示有理数 a 、b ，A、B两点之间的距离表示为AB ，在数轴上 A 、 B 两点之间的距离AB | a b | ．所以式子 | x 3| 的几何意义是数轴上表示有理数 3 的点与表示有理数x 的点之间的距离．依照上述资料，解答以下问题：（1）若 | x3|| x1| ，则x；（2）式子 | x3|| x1| 的最小值为；（3）若 | x3|| x1|7 ，求x的值．14．（ 2016 秋 ?思明区校级期末）同学们都知道|5( 2)| 表示 5 与 ( 2) 之差的绝对值，也可理解为 5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试试究：（1）求|5 (2) |．（2）找出所有吻合条件的整数x ，使得| x 5|| x 2 |7 建立的整数是．（3）由以上研究猜想，关于任何有理数x ，| x3|| x6| 可否有最小值？若是有，写出最小值；若是没有，说明原由．参照答案与试题解析一．选择题（共 3 小题）1．【解答】解：8 的绝对值为| 8| 8 ．应选： C．2．【解答】解：A．一个数的绝对值等于它自己，这个数是正数或0，应选项 A 不合题意；B ．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数必然是负数或0，应选项B不合题意；C ．负数绝对值越大，这个数越小，应选项 C 不合题意；D ．两个负数，绝对值大的那个数反而小．正确．应选： D．3．【解答】解：因为 | a |3 ，所以 a 3 或 3 ，应选： C．二．填空题（共 4 小题）4．【解答】解：3x0 ，x3；故答案为 x 3 ；5．【解答】解： Q 3 x5x 30 ， x 5 0 ，| x 3| x 3 ， | x 5 | 5 x| x 3| | x 5| x 3 5 x 2故答案为 2．x| y |1 12 ；6．【解答】解：①当x，y中有二正，y| x |②当 x ，y中有一负一正，x| y |0 ；| x |1 1y③当 x ，y中有二负，x| y |1 12 ．| x |y故代数式x | y |的值是 2或2或0．| x |y故答案为： 2 或2或 0．7．【解答】解：Q三个数a、b、c是均不为 0的三个数，且 a b c0 ，a ， b ， c 三个数中必有一个或两个负数，①当 a ， b ， c 三个数中只有一个负数时，则ab c1111 ；| a ||b | |c |②当 a ， b ， c 三个数中有两个负数时，a b c111 1，| a || b || c |综上所述：a b c1或 1，| b || c || a |故答案为： 1或 1．三．解答题（共7 小题）8．【解答】解：（ 1）因为 | a |a， | b |1， | c | c ．b所以 a0 ， b0 ， c0 ，故答案为：，，；（2）因为 a0 ， b0 ， c0 ，所以 a b 0 ， a c0 ， b c 0 ，故答案为：，，；（3）因为 a b0 ， a c0 ， b c0 ，所以 | a b | | a c | b ca b a c| b c |a b a c b ca b a c b c1111．9．【解答】解：（ 1）Q b 是最大的负整数，| a b |(4 c) 20160 ，b1， a b 1 ， c 4；（2）Q0x1，x 1 0 ，1 x0 ，x 4 0 ，| x 1||1x | 2 | x 4 |x 1 (1 x) 2(4 x) 8 ．10．【解答】解：依照数轴化简得：| a | | a b | | c b | |b c | a b a c b c b 2c 3b ．11．【解答】解：①当 x1 时，原式32 x 5 3x5x 1 9 ．5②当1332 x 53x5x 110x7．5x时，原式2③当3x5时，原式2 x3 5 3x 5x1 6 x 1 ．23④当 x5时，原式2x3 3x5 5x 19312．【解答】 解：（ 1） 3； 5； 5 和 1；（2） | a 4 | | a2|表示在 4 与 2 之间的数到 4 和 2 的距离的和，值为 6．故答案为： 3； 5； 5 和 1．13．【解答】 解：（1）依照绝对值的意义可知，此点必在 1 与 3 之间，故 x 3 0 ， x 1 0 ，原式可化为 3 x x 1 ，x 1 ；（2）依照题意，可知当 1 x 3 时， | x 3|| x 1| 有最小值．| x3| 3 x ， | x 1| x 1 ， | x3| | x 1| 3 xx 1 4 ；（3） Q| x 3| | x 1| 7 ，若 x3 ，则原式可化为 ( x3) ( x 1) 7 ， x9 ；2若 1 x 3，则 (x3) (x 1) 7 ， x 不存在；若 x1 ，则 ( x 3) ( x 1) 7 ， x5 ；2x9或 x5 ．22故答案为： 1， 4， x9或 x5 ．2214．【解答】 解：（ 1）原式 | 5 2 | 7 故答案为： 7；（2）令 x 5 0 或 x 2 0 时，则 x5 或 x2当 x5 时，( x 5) ( x2) 7，x 5 x 2 7 ，x 5 （范围内不行立）当 5 x 2 时，( x 5) ( x 2)7 ，x 5 x 27 ，7 7 ，x5， 4， 3，2，1，0，1，2当 x 2时，( x5)( x2) 7，x5x27 ，2 x 4 ，x2，x2（范围内不行立）综上所述，吻合条件的整数x 有： 5 ， 4 ，3，2 ，1，0，1，2；故答案为： 5，4， 3， 2 ， 1，0，1，2；（3）由（ 2）的研究猜想，关于任何有理数x ，| x3|| x 6 | 有最小值为 3．。
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专项训练2 绝对值的八种常见应用
已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|；
(2)－|－8|；
(3)⎪⎪⎪
⎪－⎪⎪⎪⎪＋47；
(4)－|－a|(a<0)．
已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a ＝________.
3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________.
4．绝对值不大于3的所有整数为________．
5．若|－x|＝－(－8)，则x ＝________，
若|－x|＝|－2|，则x ＝________.
绝对值在求字母的取值范围中的应用
6．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________．
7．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________．
8．如果|－2a|＝－2a ，则a 的取值范围是( )
A ．a>0
B ．a ≥0
C ．a ≤0
D ．a<0
绝对值在比较大小中的应用
9．把－(－1)，－23
，－⎪⎪⎪⎪－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪－45>－23
B ．0>－(－1)>－23
>－⎪⎪⎪⎪－45 C ．－(－1)>0>－23
>－⎪⎪⎪⎪－45 D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪－45>－23
绝对值的非负性在求字母值中的运用
10．若⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪
⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值．
绝对值的非负性在求最值中的应用
11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________；
(2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？
绝对值的非负性在化简中的应用
12．三个有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数a，b互为相反数．试求解以下问题：
(第12题)
(1)判断a，b，c的正负性；
(2)化简|a－b|＋2a＋|b|.
绝对值在实际中的应用
13．某工厂生产一批零件，零件质量要求为“零件的长度可以有0.2 cm的误差”．现抽查5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：
(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)．
(2)在合格产品中，几号零件的质量最好？为什么？试用绝对值的知识说明．
参考答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8.
(3)原式＝4
7. (4)原式＝a.
2．±2 3.±3
4．0，±1，±2，±3
5．±8；±2 6.x ≤0 7.x ≤2
8．C 9.C
10．解：由题意知a ＝12，b ＝13，c ＝14，所以a ＋b －c ＝12＋13－14＝712
. 11．解：(1)4；0 (2)当a ＝1时，|a －1|＋3有最小值．这个最小值是3.(3)当a ＝0时，4－|a|有最大值．这个最大值为4.
12．解：(1)a ＜0，b ＞0，c ＜0.
(2)因为a ，b 互为相反数，所以b ＝－a.又因为a ＜0，b ＞0.
所以|a －b|＋2a ＋|b|＝|2a|＋2a ＋|b|＝－2a ＋2a ＋b ＝b.
13．解：(1)因为|＋0.13|＝0.13<0.2，|－0.25|＝0.25>0.2，
|＋0.09|＝0.09<0.2，
|－0.11|＝0.11<0.2，
|＋0.23|＝0.23>0.2，
所以①③④号零件是合格产品．
(2)在合格产品中，③号零件的质量最好．因为|＋0.09|<|－0.11|<|＋0.13|.
所以质量最好的产品是③号零件．。