2014高考总复习《从衡水走向清华北大》精品课件41双曲线
高考理科数学一轮复习课件双曲线
参数法适用于一些较复杂的双 曲线问题，如求轨迹方程、最 值问题等。
数形结合思想在求解中应用
数形结合思想是将代数问题和几何问题相互转化，通过图形直观理解问题并求解的 方法。
在双曲线问题中，可以通过画出双曲线的图形，利用几何性质来理解和求解问题。
数形结合思想在求解双曲线问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找 到正确的求解方法。
切线问题及其性质探讨
80%Байду номын сангаас
切线的定义
与双曲线只有一个公共点的直线 称为双曲线的切线。
100%
切线的性质
双曲线的切线满足切线方程与双 曲线方程联立后，判别式为零的 条件。
80%
切线的求解
通过联立切线方程和双曲线方程 ，消元后得到一元二次方程，由 判别式为零求得切线的斜率，从 而得到切线方程。
弦长公式应用举例
典型例题分析与解答
• 解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线 实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1| |PF2| = 2a2，由椭圆定义|PF1| + |PF2| = 2a1，可得|PF1| = a1 + a2，|PF2| = a1 - a2，又|PF1|⊥|PF2|，可得 |PF1|^{2} + |PF2|^{2} = 4c^{2}，即有(a1 + a2)^{2} + (a1 - a2)^{2} = 4c^{2}，化为a1^{2} + a2^{2} = 4c^{2}，即 有\frac{1}{{e{1}}^{2}} + \frac{1}{{e{2}}^{2}} = 4，可得 e{1}e{2} = \frac{c^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(a{1} + a{2})}^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4}(1 + \frac{a{1}}{a{2}} + \frac{a{2}}{a{1}}) ≥ 1，当且仅当a{1} = a{2}时等号成立．即有e{1}e{2} ≥ 1．故选A．
《走向清华北大》高考总复习 精品42抛物线
第四十二讲 抛物线班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4 B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0.过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，令x＝0得：y ＝－a2.∴12×|a |4·|a |2＝4， ∴a 2＝64， ∴a ＝±8，故选B. 答案：B2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为l ：x ＝－1，经过F 且斜率为3的直线y ＝3(x －1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A (3,23)，AK ⊥l ，垂足为K (－1,23)，∴△AKF 的面积是4 3.故选C.答案：C4．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．4个解析：经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.答案：C5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++＝0，则||||||FA FB FC ++等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)． ∵FA FB FC ++＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知||||||FA FB FC ++＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6，故选B. 答案：B6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.45B.23C.47D.12解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，另一种可能是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2(x －3)2－3，把y ＝2(x －3)2－3代入y 2＝2x ，可得2x2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝45，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x＝±2 3.故水面宽43米．答案：43米8．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为________．解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由点到直线的距离公式，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204－y 02＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个．答案：39．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程：x ＝－1，如图， 则直线AB 的方程为y ＝x －1，由21,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得 x 2－6x ＋1＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根， ∴x 1x 2＝1，x 1＝3＋2 2.根据抛物线定义，得|FA |＝x 1＋1， |FB |＝x 2＋1(x 1>x 2)，∴|FA ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝x 1＋11x 1＋1＝x 1(x 1＋1)x 1＋1＝x 1＝3＋2 2. 答案：3＋2 210．设x 1、x 2∈R，常数a ＞0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹方程是________． 解析：由y ＝x *a ，得y 2＝x *a ＝(x ＋a )2－(x －a )2＝4ax (y ≥0)． 答案：y 2＝4ax (y ≥0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB 过定点； (3)求弦AB 中点P 的轨迹方程； (4)求△AOB 面积的最小值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)． (1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2. (2)∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)． ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，∴k AB ＝2py 1＋y 2. ∴直线AB ：y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)． ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2.∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2.∴y ＝2py 1＋y 2(x －2p )． ∴AB 过定点(2p,0)．(3)如图，设OA ：y ＝kx ，代入y 2＝2px 得：x ＝0或x ＝2p k2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k . 同理，以－1k代k 得B (2pk 2，－2pk )．设中点坐标P (x 0，y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2y 0＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k .∵k 2＋1k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k 2＋2，∴x 0p＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0p 2＋2，即y 20＝px 0－2p 2.∴中点P 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.(4)设M (2p,0)，S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y 1|＋|y 2|)＝p (|y 1|＋|y 2|)≥2p |y 1y 2|＝4p 2，当且仅当|y 1|＝|y 2|＝2p 时，等号成立．评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；②因为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都在抛物线上，故满足y 21＝2px 1，y 22＝2px 2；③利用y 21y 22＝4p 2x 1x 2可以整体得到y 1y 2或x 1x 2.12．是否存在同时满足下列条件的抛物线：①准线是y 轴；②顶点在x 轴上；③点A (3,0)到该抛物线上的动点P 的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由．解：设满足条件的抛物线存在，顶点B 在x 轴上． 设B (a,0)，以y 轴为准线的抛物线方程为y 2＝4a (x －a )，由条件知a >0.设P 是抛物线上的点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24a ＋a ，m .则|AP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24a ＋a －32＋m 2＝116a[m 2－12(a －a 2)]2＋12a －8a 2， ∴当a －a 2≥0，即0＜a ≤1，且m 2＝12(a －a 2)时，|AP |min ＝12a －8a 2. ∴12a －8a 2＝2，解得a ＝1或a ＝12.此时抛物线方程为y 2＝4(x －1)或y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.当a －a 2<0，即a >1，且m ＝0时， |AP |min ＝|a －3|＝2.∴a ＝5，此时抛物线方程为y 2＝20(x －5)， ∴存在满足条件的抛物线，其方程为y 2＝4(x －1)或y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －12或y 2＝20(x －5)．13．(精选考题·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由224y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：8.5双曲线
(2)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以 A、B 为焦点
且过点 C 的双曲线的离心率为( )
1＋ 2 A. 2
1＋ 3 B. 2
C．1＋ 2 D．1＋ 3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)设椭圆 C1 的方程为xa221＋yb221＝1(a1＞b1＞0)，
由已知得：2e＝a1＝ca11＝261，53，
变式迁移 1 求与双曲线 16x2－9y2＝－144 有共同焦点，且过点(0,2)的双曲 线方程．
解析 由已知双曲线知1y62 －x92＝1， ∴c＝5，且焦点在 y 轴上． ∴可设所求双曲线方程为ya22－25x－2 a2＝1， 将点(0,2)代入方程得 a2＝4. ∴所求双曲线方程为y42－2x12 ＝1.
变式迁移 2 就 m 的不同取值，讨论方程9－x2m2＋m2y－2 4＝1 所表示的曲线类型．
解析 ①当 9－m2＝m2－4≠0， 即 m＝± 226时，方程所表示的曲线为圆． ②当 9－m2＞0，且 m2－4＞0 且 m≠± 226， 即－3＜m＜－2 或 2＜m＜3 且 m≠± 226时，方程所表示的曲 线为椭圆． ③当(9－m2)(m2－4)＜0 即 m＞3 或 m＜－3 或－2＜m＜2 时，方程所表示的曲线为双 曲线.
另外两个也可知道，特别地如果知道 e，也就知道了 a、b、c 之间的
关系，也就是说 a、b、c 三个字母只需一个字母即可表示：如 e＝ 5，
则b＝ a
5－1＝2，则 b＝2a，c＝
a2＋b2＝
5a，即 b、c 都可用 a 表示．
(6)双曲线通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦 AB 叫双曲 线的通径．通径长|AB|＝2ab2.
(5)双曲线的离心率
《走向清华北大》高考总复习 双曲线课件
x2 y 2 【典例3】双曲线 2 2 1(a 1, b 0)的焦距为2c, 直线l过 a b 点 a, 0 和 0, b 且点 1, 0 到直线l的距离与点 1, 0 到直线l 4 的距离之和s≥ c, 求双曲线的离心率e的取值范围. 5 4 [分析]用“距离之和s≥ c”这个条件列出只含有a和c的 5 c 不等式, 变形为“e ” ? 的不等式, 然后再解之. a
x y [解]直线l的方程为 1, 解bx ay ab 0, a b b(a 1) 由a 1, 得点 1, 0 到直线l的距离d1 . 2 2 a b b(a 1) 同理可得点 1, 0 到直线l的距离d 2 , a 2 b2 2ab 2ab s d1 d 2 2 2 c a b 4 2ab 4 又s≥ c, 得 ≥ c, 即5a 5 c 5 c 2 a 2 ≥2c 2 .
少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应
特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是 整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确
保轨迹的纯粹性和完备性.
类型二 求双曲线的标准方程
解题准备 : 待定系数法求双曲线方程最常用的设法 x2 y2 1 与双曲线 2 2 1有共同渐近线的双曲线方程可设 a b x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b b 2 若双曲线的渐近线方程为y x, 则双曲线方程可设 a x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b x2 y 2 3 过两个已知点的双曲线方程可设为 1(mn 0); m n
线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应
2014届高考数学一轮复习精品课件：9.7 双曲线
[难点正本
疑点清源]
1.双曲线中 a，b，c 的关系 双曲线中有一个重要的 Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是 a、b、c.易见 c2＝a2＋ c 1 2 b ，若记∠AOB＝θ，则 e＝a＝ . cos θ 2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2| ＝2a，其中 2a<F1F2，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值．
变式训练 2
(1)若双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，它的一个焦点是( 10， 0)，求双曲线的方程； 4 (2)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，并且焦点都在圆 x2 3 ＋y2＝100 上，求双曲线的方程．
y2 解 (1)设双曲线的方程为 x2－ ＝k (k>0)， 9 x2 y2 即 k － ＝1，则 k＋9k＝( 10)2，∴k＝1. 9k
y2 故所求双曲线的方程为 x － ＝1. 9
2
(2)当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2
4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 b 4 a＝6， ＝ ， a 3 ∴ 解得 b＝8. a2＋b2＝100， x2 y2 ∴焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 36 64 y2 x2 当焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为 2－ 2＝1 (a>0， b>0)， a b 4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 a 4 a＝8， ＝ ， b 3 ∴ 解得 b＝6. a2＋b2＝100， y2 x2 ∴焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 64 36 x2 y2 y2 x2 综上，双曲线的方程为 － ＝1 或 － ＝1. 36 64 64 36
《走向清华北大》高考总复习 函数模型及其应用课件
[分析]“保证第二产业的产值不减少”转译的数学语言是一 个“二次不等式模型”,“该市第二､三产业的总产值增加 最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”.
[解]设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足 (100-x)·a·(1+2x%)≥100a.
因为a>0,x>0,可解得0<x≤50, 设该市第二､三产业的总产值增加f(x)万元, 则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a, ∴f(x)=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增, ∴当x=50时,f(x)max=60a,
A.y 1 ex 100
C.yx100
B.y100lnx D.y1002x
答案:A
2.今有一组实验数据,如表:
t
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v
1.5 4.04 7.5 12 18.01
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是(
)
A.v=log2t
B.v=2t-2
C.v= t 2 1 2
次函数关系,其中x的范围为[-2,6],y的范围是[-11,9],试求y 关于x的函数关系式.
[剖析]错解对函数一次项的系数关注不够,只考虑了k>0的情 况,而忽视了k<0的情况,因而导致出错.
错源二
运算中忽视实际取整问题
【典例2】某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万
元)分别为L1=5.06x-0.15x2,和L2=2x,其中x为销售量(单位: 辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润
高中数学课件 高考数学复习课件 双曲线 课件
第八章
第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、解题技巧 1．巧设双曲线方程 (1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为 mx2＋ny2 ＝1(mn<0)． x2 y2 (2)若所求双曲线与 2－ 2＝1 有公共渐近线，或者已知其 a b b x2 y2 渐近线方程为 y＝± ax，可设其方程为a2－b2＝λ(λ≠0)．
第八章
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考点典例讲练
第八章
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双曲线的定义
[例 1]
在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点
x2 y2 A(－6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 － ＝1 的左支上， 25 11 sinA－sinC 则 sinB ＝_____来自__.第八章第五节
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思想方法技巧
第八章
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一、数学思想的应用 1．在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应 用． 2．求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个 轴上． 3． 求取值范围的问题、 最值问题要注意函数思想的应用． 4．圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路 的打通．
第八章
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疑难误区 点拨警示 1．注意双曲线的几何量 a、b、c 关系是 c2＝a2＋b2 应与椭圆区别．双曲线的离心率 e>1，而椭圆的离心率 0<e<1. 2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个 轴上， 不知道焦点位置时要分类讨论， 或直接设双曲线方 程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)，据方程判断焦点的位置时，也 要注意与椭圆的区别．椭圆看 a 与 b 的大小，双曲线看 x2、y2 系数的正负．
高考数学一轮复习 双曲线一 理优秀PPT
的左支上，则sin
A－sin sin B
C＝56．
考点探究
解析：(1)∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲
线的一支．
又∵|PM|>|PN|，∴点 P 的轨迹为双曲线的右支．故选 C.
(2)由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC 中，有
s|BinCA| ＝s|iAnBC| ＝s|AinCB| ＝2R，R
解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B， 根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动 点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)，这里 a ＝1，c＝3，则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝ 1(x≤－1)．
22
第七章 平面解析几何
考点1 求双曲线的标准方程
考点1 求双曲线(的2标)由准方已程 知得在椭圆中
高考总复习数学（理科）
a＝13，c＝5，曲线
C2
为双曲线，由此知在双
考点1 求双曲线的标准方程
考点3
利用双曲线定义求轨迹方程
曲线中 a1＝4，c1＝5，故双曲线中
b＝3，∴双曲线方程为1x62 －y92＝1.
x
轴上；
第七章 平面解析几何
考点3 考点2
利双用曲双线(曲定2)线义与定的义运双求用曲轨迹线方程x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－2)的双曲线．
高考数学一轮总复习(知识梳理+聚焦考向+能力提升)8.6 双曲线课件 理课件
3．理解数形结合的思想．
基础知识梳理 梳 理 一 双曲线的概念
梳理自测1
(教材改编)已知点 F1(－4，0)和 F2(4，0)，一
曲线上的动点 P 到 F1，F2 距离之差为 6，该曲线方程
x2 y2
是____9_－__7_＝．1(x≥3)
基础知识梳理 梳 理 一 双曲线的概念
聚焦考向透析 考向一 双曲线的定义及标准方程
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1．根据下列条件，求双曲线方程：
x2 y2 (1)与双曲线 9 －16＝1 有共同的渐近线，且过点(－3，2 3)；
x2 y2 解析：(1)设所求双曲线方程为 9 －16＝λ(λ≠0)，将
1 点(－3，2 3)代入得 λ＝4，
(1)利用双曲线定义 |PF2|－|QF2|＝2a 及三角形 周长的计算求解．
聚焦考向透析 考向一 双曲线的定义及标准方程
例题精编
(1)(2014·陕西师大附中模拟) 设过双曲线 x2－y2＝9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P ，Q，F2 为双曲线的右焦点． 若|PQ|＝7，则△F2PQ 的周长
F2( 7，0)，离心率为
7
x2 y2
e＝ 4 .由于双曲线a2－b2＝1
x2 y2 与椭圆16＋ 9 ＝1 有相同的
焦点，因此 a2＋b2＝7.
聚焦考向透析 考向一 双曲线的定义及标准方程
例题精编
x2 y2 (2)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，
x2 y2 b＞0)和椭圆16＋ 9 ＝1 有相同 的焦点，且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍，则
x2 y2 好确定，可将双曲线方程设为m2－n2＝λ(λ≠0)再根据条件求 λ 的值．
《走向清华北大》高考总复习 三角恒等变换课件
因为sin2α=2sinαcosα<0,且0<α<π,所以
所以sinα-cosα>0. 因为(sinα-cosα)2=1-sin2α= 所以sinα-cosα=
7 2
<α<π. 2
.
②
7 4
,
由①×②得:sin2α-cos2α= 即cos2α=cos2α-sin2α=
3.万能公式
2tan 1 tan 2 2tan sin2 ; cos 2 ; tan2 . 2 2 2 1 tan 1 tan 1 tan
4.积化和差公式 (1)sinαcosβ=
1 2 1 2 1 2 1 2
[sin(α+β)+sin(α-β)];
; ;
(2)sinθ-sinφ=2cos
(3)cosθ+cosφ=2cos (4)cosθ-cosφ=-2sin
2
2 2 cos ; 2 2
cos
2
;
考点陪练
2 sin 2 cos 1. 等于 1 cos 2 cos 2 A.tan B.tan2
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数 的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以
备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函
数值代入,从而达到解题的目的. ③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次 判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
3 10 【典例2】已知 , tan cot . 4 3 1 求tan的值;
(2)cosαsinβ=
(3)cosαcosβ= (4)sinαsinβ=-
《走向清华北大》高考总复习 函数的奇偶性与周期性课件
答案:A
4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均 为R,则()
A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-
1 ax
1
1 2
ax 1 ax
1 2
(1
1
a
x) ax
1
1 2
1
1 1 ax
1 2
1 ax 1
1 2
f
( x ),
即 f x f x , f x 为 奇 函 数 .
4
f
x
x(1 x(1
x) x)
(x 0) (x 0)
的定义域关于原点对称, ∵当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x) =-f(x)(x>0). 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x) =-f(x)(x<0). ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周 期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是 奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程 f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是 3999.
{x|f(x-2)>0}=()
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线
对点训练(2022·广东广州二模)写出一个同时满足下列性质①②③的双曲
线方程
.
①中心在原点,焦点在y轴上;②一条渐近线方程为y=2x;③焦距大于10.
答案
5 2
144
−
5 2
=1(答案不唯一)
36
解析 由①中心在原点,焦点在 y 轴上,可设双曲线的方程为
2
2
−
2
=1(a>0,b>0);
如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高
是6,则该双曲线的标准方程是(
2
A.
16
2
C.
8
−
2
=1
9
2 2
B. -y =1
4
−
2
=1
9
2
D.
4
)
2
− =1
3
2
(3)(2023·辽宁沈阳模拟)焦点在 x 轴上的双曲线 C 与双曲线 4
−
2
=1
有共同
9
的渐近线,且 C 的焦点到一条渐近线的距离为 3 2,则双曲线 C 的方程
6.共轭双曲线
(1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,
那么这两条双曲线互为共轭双曲线.
(2)性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率
的倒数的平方和等于1.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
2
2
9
56
25
∴双曲线的标准方程为 56 −
2014高三数学北师大版一轮总复习课件9-7双曲线61
集合 P＝{M|||FM1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常 数且 a>0，c>0：
(1)当 a<c 时，P 点的轨迹是 双曲线 ； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
[点评] 应用双曲线定义时要注意“绝对值是一常数”， “且该常数小于两定点的距离”，若无“绝对值”三字，则为 双曲线一支．
如果双曲线x42－1y22 ＝1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，
那么点 P 到它的左焦点的距离是( )
A．4
B．12
C．4 或 12 D．不确定
[答案] C
[解析] 由双曲线方程，得 a＝2，c＝4. 根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，则|PF1|＝|PF2|±2a ＝8±4， ∴|PF1|＝4 或 12，经检验二者都符合题意.
A．1 或 5 B．6
C．7
D．9
[答案] C
[解析] 由渐近线方程 y＝32x，且 b＝3，得 a＝2， 由双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝4， 又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
3．设 F1 和 F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，
若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心 率为( )
基础自测
1.(文)双曲线1x02 －y22＝1 的焦距为(
)
A．3 2
B．4 2
C．3 3
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[解]设动圆M的半径为r, 则由已知 | MC1 | r 2,| MC2 | r 2, | MC1 | | MC2 | 2 2. 又C1 4, 0 , C 2 4, 0 ,| C1C 2 | 8, 2 2 | C1C2 | . 根据双曲线定义知, 点M的轨迹是以C1 4, 0 、C 2 4, 0 为焦点的双曲线的右支. a 2, c 4,
第四十一讲
双曲线
回归课本 1.双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1､F2的距离的差的绝对值等于常数( 小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.即(||PF1|-
|PF2||=2a<|F1F2|).若常数等于|F1F2|,则轨迹是分别以
F1,F2为端点的两条射线. 提示:若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.
答案:D
5.已知双曲线的离心率为2, 两焦点是 4, 0 , 4, 0 , 则双曲 线方程为( ) x2 y 2 x2 y 2 A. 1 B. 1 4 12 12 4 x2 y 2 x2 y 2 C. 1 D. 1 10 6 6 10 解析 :由已知双曲线的焦点是 4, 0 , 4, 0 , 可知c 4.因为
c 4 离心率e 2, 所以a 2. a a 所以b 2 c2 a 2 42 22 12. 又因为由已知的焦点坐标可知焦点在x轴上, 所以双曲线 x2 y 2 方程为 1.故选A. 4 12
答案:A
评析 :由于不能直接由离心率的值来得出a与c的值, 所以应 c 根据焦点坐标得到c值后再利用e 的比值关系求出a, 从 a 而再利用b 2 c2 a 2的关系式求出b 2即可.
解析 : 设双曲线的焦距为2c, 实轴长为2a. 则 AB CB 2c. 由余弦定理得 | AC | 2 3c. 又双曲线以A､B为焦点且过点C, 则由双曲线的定义得2a | CA | | CB | 2( 3 1)c, e c 1 3 1 .故选B. a 2 3 1
(1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为起点的射线;
(2)当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为焦点的双曲线; (3)当2a>|F1F2|时,无满足条件的动点.
2.设ABC是等腰三角形, ABC 120, 则以A､B为焦点且 过点C的双曲线的离心率为( 1 2 A. 2 C.1 2 ) 1 3 B. 2 D.1 3
注意:在双曲线的标准方程中,若x2的系数是正的,那么焦 点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对 于双曲线,a不一定大于b.
【典例2】根据下列条件, 求双曲线的标准方程. 15 1 经过点 ,3 , 且一条渐近线方程为4x 3y 0; 4 2 P 0, 6 与两个焦点的连线互相垂直, 与两个顶点连线的 夹角为 ; 3 3 焦点在坐标轴上的双曲线, 它的两条渐近线方程为 3x y 0, 焦点到渐近线的距离为3.
答案:B
y2 3.设P为双曲线x 1上的一点, F1 , F2是该双曲线的两 12 个焦点, 若 PF1 ： PF2 3： 2, 则PF1F2的面积为( )
2
A.6 3 C.12 3
B.12 D.24
解析 :由双曲线的定义得 PF1 PF2 2, 又 PF1 ： PF2 3： 2, 所以 PF1 6, PF2 4, 又 | F1 F2 | 2c 2 13, 所以 PF1 PF2 F1F2 , 即PF1F2为直角三角形. S PF1F2 1 | PF1 | | PF2 | 12.故选B. 2
类型一
双曲线的定义
解题准备:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具 备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的
“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
【典例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. [分析]利用两圆内､外切的充要条件找出M点满足的几何条件 ,结合双曲线定义求解.
或|PF1|=-ex0-a(x0<0), |PF2|=-ex0+a(x0<0).
x2 y 2 y 2 x2 4 等轴双曲线方程 : 2 2 1或 2 2 1.其渐近线方 a a a a 程为y x, 离心率e 2. x y 5 共渐近线 0的双曲线系方程为 : a b x2 y 2 2 ( R且 0). 2 a b x2 y 2 y 2 x2 (6) 2 2 1与 2 2 1互为共轭双曲线, 有相同的渐近 a b b a 线、相同的焦距.
2 2 x y b 2 c 2 a 2 14,点M的轨迹方程是 1( x≥ 2). 2 14
[反思感悟]容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误以为是整 条双曲线从而得出方程后没有限制
x≤ 2.
求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲 线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减
x y [解]直线l的方程为 1, 解bx ay ab 0, a b b(a 1) 由a 1, 得点 1, 0 到直线l的距离d1 . 2 2 a b b(a 1) 同理可得点 1, 0 到直线l的距离d 2 , a 2 b2 2ab 2ab s d1 d 2 2 2 c a b 4 2ab 4 又s≥ c, 得 ≥ c, 即5a 5 c 5 c 2 a 2 ≥2c 2 .
解析 : 因为 MF1F2是正三角形且边MF1的中点在双曲线上, 则设边MF1的中点为P, 有F1PF2 90, PF1F2 60, 从而 | PF2 | 3c,| PF1 | c. 所以根据双曲线的定义可知 : 2a | PF2 | | PF1 | ( 3 1)c, c 2 解得e 3 1, 故选D. a 3 1
少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应
特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是 整条双曲线,还是双曲线的备性.
类型二 求双曲线的标准方程
解题准备 : 待定系数法求双曲线方程最常用的设法 x2 y2 1 与双曲线 2 2 1有共同渐近线的双曲线方程可设 a b x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b b 2 若双曲线的渐近线方程为y x, 则双曲线方程可设 a x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b x2 y 2 3 过两个已知点的双曲线方程可设为 1(mn 0); m n
2 2 2
答案:B
评析:遇到焦点三角形问题,要回归定义建立三角形的三边关 系,然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎 刃而解.
x2 y2 4.已知F1､F2是双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的两焦点,以线 a b 段F1F2为边作正三角形MF1F2 , 若边MF1的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是( A.4 2 3 3 1 C. 2 ) B. 3 1 D. 3 1
线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应
注意对焦点所在坐标轴的讨论.
类型三
双曲线的几何性质
解题准备:双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六 点”(两个焦点､两个顶点､两个虚轴的端点),“四线”(两 条对称轴､两条渐近线),“两形”(中心､焦点以及虚轴端
点构成的三角形,双曲线上一点和两焦点构成的三角形),
2 设F1、F2为双曲线的两个焦点, 依题意, 它的焦点在x轴上,
PF1 PF2 , 且 OP 6, 2c | F1F2 2 OP | 12, c 6. 又P与两顶点连线夹角为 , 3 a OP tan
6
2 3, b 2 c 2 a 2 24.
考点陪练 1.动点P到定点F1(1,0)的距离比到定点F2(3,0)的距离小2,则 点P的轨迹是( A.双曲线 ) B.双曲线的一支
C.一条射线
D.两条射线
解析:因|PF2|=|PF1|-2=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1为端点的
一条射线.故选C.
答案:C
评析:当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值,即 ||PF1|-|PF2||=2a时,要注意两点: 判断2a与|F1F2|的大小关系,其大小关系决定动点P的轨迹是 双曲线还是射线.
研究它们之间的相互联系.明确a､b､c､e的几何意义及它们 的相互关系,简化解题过程.
x2 y 2 【典例3】双曲线 2 2 1(a 1, b 0)的焦距为2c, 直线l过 a b 点 a, 0 和 0, b 且点 1, 0 到直线l的距离与点 1, 0 到直线l 4 的距离之和s≥ c, 求双曲线的离心率e的取值范围. 5 4 [分析]用“距离之和s≥ c”这个条件列出只含有a和c的 5 c 不等式, 变形为“e ”的不等式, 然后再解之. a
2.双曲线的标准方程及简单几何性质
3.双曲线中的几何量及其他问题 (1)实轴|A1A2|=2a,虚轴|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且满足 c2=a2+b2. (2)离心率:
(3)焦点在x轴上的双曲线的焦半径:
|PF1|=ex0+a(x0>0),
c e (e 1). a
|PF2|=ex0-a(x0>0);
x2 y 2 故所求的双曲线方程为 1. 12 24
3因双曲线的渐近线方程为
当 0时, a
2
3 x y 0.
故设双曲线方程为3x 2 y 2 0 ,
3 4 2 2 2 c a b , 3 焦点坐标为(2
, b2 ,