2019届一轮复习人教A版(文)坐标系课件
1.3.1空间直角坐标系课件2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
A.1
B
)
B.2
C.3
D.4
[解析] 在①中,OP的坐标为 1,2,3 ,故①正确;
在②中,点P关于x轴对称的点的坐标为 1, −2, −3 ,故②错误;
在③中,点P关于原点对称的点的坐标为 −1, −2, −3 ,故③错误;
在④中,点P关于Oxy平面对称的点的坐标为 1,2, −3 ,故④正确.故选B.
= x, y, z
直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作___________.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） x, y, z 既可以表示向量,也可以表示点.( √ )
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组 x, y, z 表示,符号 x, y, z 具有双
1 1
1
, ,−
2 2
2
所以EF =
因为CG =
.
1
CD,所以GC
4
=
1
DC，
4
又因为H为C1 G的中点,所以GH =
1 1
8 2
GH = 0, ,
.
1
GC1
2
=
1
(GC +
2
CC1 ) =
1
DC
8
+
1
DD1 ,所以
2
课中探究
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
课中探究
探究点三 空间中点的对称问题
课中探究
探究点二 求空间向量的坐标
例2
如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体
OABC − O′A′B′C′，且OA = 6，OC = 8，OO′ = 5.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结
在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有 序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ， 标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心， 为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x， 在同一坐标系中， 经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判 断是什么曲线．
高 考 真 题 【例 8】 在极坐标系中， 圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
高二数学人教A版2019选择性必修第一册精品课件1-3-1空间直角坐标系
空间点、向量的坐标
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱 CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标 系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标; (2)求点N的坐标.
空间点、向量的坐标
空间点、向量的坐标
(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2_____________________； (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3_____________________； (4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4_____________________； (5)关于xOy坐标平面的对称点是P5__________________； (6)关于yOz坐标平面的对称点是P6__________________； (7)关于zOx坐标平面的对称点是P7____________________.
空间点、向量的坐标
在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)； (2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)； (3)关于y轴的对称点是P′″(－x，y)， 那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P1______________；
空间直角坐标系
问题1：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点和坐标轴上的点的坐标有何特征？
2．坐标轴上的点的坐标特征： x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
03空间点、向量的坐标
A．y轴上
1.3.1空间直角坐标系 课件-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
(1)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
长为1，则点B1的坐标是( C )
A.(1,0,0) C.(1,1,1)
B.(1,0,1) D.(1,1,0)
(2)（多选）在空间直角坐标系中，点P(1,-3,2)在坐标平
面内的射影可能为( BCD )
A.(-1,3,-2) B.(1,-3,0) C.(0,-3,2)
z
P7
P
O
y
例1 空间直角坐标系
(1)下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是①____④__
例1 空间直角坐标系
(2)如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，
BC⊥BD，请叙述如何建立空间直角坐标系。
解：因为AB⊥底面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD。又因为BC⊥BD， 所以以点B为坐标原点，以DB所在 直线为x轴，BC所在直线为y轴，BA 所在直线为z轴，建立空间直角坐标 系。
D.(1,0,2)
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
(3)在空间直角坐标系中，点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于
（ C ）对称
A.原点 B.x轴 C.y轴 D.z轴
例3 空间向量的坐标表示
B
z
P
O
y
P5
在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
• 点P关于x轴的对称点是_P_1_(x_,_-_y,_-z) • 点P关于y轴的对称点是_P_2_(-_x_,_y,_-z)
P6
• 点P关于z轴的对称点是_P_3_(-_x_,_-y_,z)
• 点P关于原点的对称点是_P_4_(-_x_,_-y_,-z)
空间向量运算的坐标表示(教学课件)(人教A版2019选择性必修第一册)
又因为A(1, 0, 2), B(1, 3,1), MA MB , 所以 (1 0)2 (0 0)2 (2 a)2 (1 0)2 (3 0)2 (1 a)2 ,
解得a 3, 所以M(0, 0, 3).
4. 如图, 正方体OABC DABC的棱长为a, 点N , M分别在AC , BC 上, AN 2CN , BM 2MC, 求MN的长.
人教A版2019选择性必修第一册
1
环节一：创设情境，引入课题
我们所在的教室即是一个三维 立体图,如果以教室的一个墙角为 始点,沿着三条墙缝作向量可以得 到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的, 那么如何用这三个向量表示空间 中任意的向量呢？
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) a b ___(_a_1___b_1,_a_2___b_2_)____, a b ____(_a_1__b_1_,_a_2___b_2_)___,
(4) a b (3)1 2 5 5 (1) 3 10 5 2
2.已知a (2, 1, 3), b (4, 2, x), 且a b, 求x的值.
因为a b, 所以a b 8 2 3x 0, 解得x 10 . 3
3. 在z轴上求一点M, 使点M到点A(1,0, 2)与点B(1, 3,1)的距离相等.
a __(__a_1,___a_2_, __a_3_),_____R_,
a b ____a_1b_1___a_2_b_2 __a_3_b_3___ .
问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运 算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
知识点1 空间向量及其运算的坐标表示
空间直角坐标系课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
已知正四面体ABCD的棱长为1, 试建立恰当
的坐标系并表示向量AC.
z
A
解: BCD的边长为1，
BE 3 ,OE 3 ,OB 3
2
6
3
B
O
并且OA 12 ( 3 )2 6 ，
xF
C
D
Ey
3
3
A, B,C, D四点坐标分别为A(0，0,
6 ), B(0，
3 ,0)，
C( 1 ， 3 ，0), D( 1 ， 3 ，0),
记作a (x, y, z)
四、课堂小结
z
1.空间坐标系
z
z
A(x,y,z)
1
kA
i Oj
k
y
i Oj
y
O•
1
1
y
x
x
x
2.空间向量的坐标 a OA xi y j z j
记作a (x, y, z)
作业: 课本P18 练习
3题
P22 习题1.3 3题
O
过O作OF // CD,交BC于F,
x
F C
连接BO并延长交CD于E, E为CD中点,
E Dy
以O为原点,OF,OE,OA分别为x轴, y轴, z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
3.变式练习
已知正四面体ABCD的棱长为1, 试建立恰当
的坐标系并表示向量AB.
z
A
解: BCD的边长为1，
BE 3 , OE 3 , OB 3
等于0.
X轴上A Y轴上B Z轴上C
坐标形式 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
空间向量及其运算的坐标表示 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
→
→
→
设向量P→
1P2与P1P3的夹角为θ，因为P1P2＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，P1P3＝(0，1，3)－(1，
－1，2)＝(－1，2，1)，所以 cos θ＝
→
P→
1P2·P1P3
＝0.因为 0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.故选 D.
标为( D )
1
1
A．( ，1，－ )
2
2
1
1
C．(－ ，1， )
2
2
1
1
B．( ，－1， )
2
2
1
1
D．( ，1， )
2
2
由题可知，M 为 DC1 的中点，
1
1
1
1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→，
∴AM＝AD＋DM＝AD＋ (DD1＋DC)＝AD＋ (AA1＋AB)＝ AA1＋AD＋ AB
2
2
2
2
1
1
∴坐标为( ，1， )．
B
)
A． (0，－4,6)
B． (0，－2,3)
C． (0,2,3)
D． (0，－2,6)
【答案】B
−3+3 1−5 −4+10
【解析】根据线段的中点坐标公式可得线段 AB 的中点 M 的坐标是(
即(0，－2,3)．故选 B.
2
，2 ，
2
)，
例题解析
例 4.点 A(2，－3,1)关于原点的对称点 A′的坐标是(
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第4章第5节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
D.将 y=sin 2x 的图象向右平移3 个单位长度可以得到
f(x)的图象
(2)(2021 全国甲,文 15)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
f
π
2
=
.
答案:(1)C (2)- 3
3
解析:(1)将(0, )代入,则
2
f(0)=sin
3
φ= ,
2
π
π
∵|φ|< ,∴φ= ,
2
2
B.[1, 2]
C. −
π
2
2
,1
2
D.[- 2,1]
y=g(x)的图
答案:D
11π
7π
π
2π
解析:设 f(x)的最小正周期为 T,由题图可知 =
− = ,所以 T= ,ω=3.
2
12
12
3
3
当
7π
x=12 时,y=0,即
π
因为|φ|<2 ,所以
又f
π
2
=Acos
3×
7π
π
+φ=2kπ-2 (k∈Z),所以
3
6
(2)作
π
9π
f(x)=sin(2x+4),x∈[0, 8 ]的图象,如图所示.
由图可知 x1,x2 关于直线
π
x=8对称,x2,x3 关于直线
5π
x= 8 对称,
π
5π
∴x1+x2= ,x2+x3= ,
4
4
π
5π
∴x1+2x2+x3=4 + 4
令
=
2019高中数学4.3空间直角坐标系讲义含解析新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)， 所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式， 得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。
人教A版数学(文)复习课件：2.7函数的图象
【互动探究】若本例题(1)中，函数y=f(2x+1)是“偶函数”改
为“奇函数”，则函数y=f(2x)的图象关于下列哪个点成中心
对称( )
(A)(1，0)
(C)( 1 ，0)
2
(B)(-1，0) (D)( 1 ，0)
2
【解析】选C.∵y=f(2x+1)是奇函数，
∴f(2x+1)的图象关于原点(0，0)对称. 又f(2x)的图象可由f(2x+1)的图象向右平移 1 个单位得到，
_______.
【解析】∵y=f(x)的对称轴为x=0， 又y=f(x) 左 移y=f(x+1)，
一个单位
∴y=f(x+1)的一条对称轴为x=-1. 答案：x=-1
4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是 _______. 【解析】在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象， 如图所示：
【拓展提升】1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调 性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究， 但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根， 方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方 程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 3.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等 式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结 合求解.
【思路点拨】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据 解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求 解(2)(3)(4)(5)四个小题.
2019届一轮复习人教A版理 选修4-4 第2节 参数方程 课件(47张)
(t
为参数)与曲线xy＝ ＝33csions
α， α
(α
为参数)的交点个数．
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝ ＝tt， －a (t 为参数)过椭圆 C：
x＝3cos φ， y＝2sin φ
(φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值.
【导学号：97190394】
(2)把直线
l
x＝1＋ 的参数方程
23t，
y＝2＋12t
代入 x2＋y2＝16，
得1＋ 23t2＋2＋12t2＝16，t2＋( 3＋2)t－11＝0， 所以 t1t2＝－11， 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.
[规律方法] 1解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通 方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有 关的问题，如最值、范围等.
x＝3cos θ， y＝sin θ
(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为xy＝ ＝a1＋ －4t t，
(t 为参数)．
(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
[解] (1)曲线 C 的普通方程为x92＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
x＋4y－3＝0， 由x92＋y2＝1，
解得xy＝ ＝30， 或xy＝＝－22452.215， 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，－2215，2245.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的
[规律方法] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有 代入消去法、加减消去法、恒等式三角的或代数的消去法.另外，消参时要注意 参数的范围. 普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线 的参数方程直接写出.
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2
＝4，两圆圆心距为 －12＋2 22＝3＝1＋2，所以两圆外 切．
3． [2018· 皖北协作区联考]在极坐标系中， 直线 ρ( 3cosθ －sinθ)＝2 与圆 ρ＝4sinθ 的交点的极坐标为(
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
π 标为2，6 .故选
A.
π 4．[2018· 株洲模拟]在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为( ) A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3
π 解析 直线 ρsin(θ＋4)＝2 可化为 x＋y－2 2＝0，圆 ρ ＝4 可化为 x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得 2 r2－d2＝ 2
π 2 ， A. 6 π C.4，6 π 2 ， B. 3 π D.4，3
)
解析 ρ( 3cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 3x－ y＝2，即 y＝ 3x－2. ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y2＝4y，把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2 ＝4y，得 4x2－8 3x＋12＝0，即 x2－2 3x＋3＝0，所以 x ＝ 3，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐
6．[2017· 天津高考]在极坐标系中，直线
π 4ρcosθ－6 ＋1
2 ＝0 与圆 ρ＝2sinθ 的公共点的个数为________ ．
解析 由
π θ － 4ρcos 6＋1＝0
得 2 3ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝
0，故直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0.
3π 表示为2， 4 .(
√ )
(4)过极点，作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝α 或 θ＝π＋α(ρ∈R)．( √ ) (5)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标 方程为 ρ＝2asinθ.( × )
4 2．[2018· 开封模拟]方程 ρ＝－2cosθ 和 ρ＋ρ＝4 2sinθ 的曲线的位置关系为( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
(1)将(*)代入 2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形 方程是 x′＋y′＝0.
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后， y′＝3y
直线 2x＋3y＝0 变成直线 x′＋y′＝0.
(2)将(*)代入 x2＋y2＝1， 得到经过伸缩变换后的图形的 x′2 y′2 方程是 4 ＋ 9 ＝1.
考向 例 1
平面直角坐标系下图形的变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图
x′＝2x， 形经过伸缩变换 后的图形． y′＝3y
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
解
x＝1x′， x′＝2x， 2 由伸缩变换 得到 1 y′＝3y， y＝3y′.
(*)
2 2 4 －
2 2 ＝4 . 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
考点 3
常用简单曲线的极坐标方程
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程．( × ) π (2)tanθ＝1 与 θ＝4表示同一条曲线(ρ≥0)．( × ) (3)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox 的正方向为极轴方向，取相 同的长度单位， 建立极坐标系． 设点 P 的直角坐标为(x， y)， 它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
ρ2＝x2＋y2， x＝ρcosθ， y y＝ρsinθ， tanθ＝ x≠0. x
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
x′＝2x， 因此，经过伸缩变换 后，圆 x2＋y2＝1 变 y′＝3y
x′2 y′2 成椭圆 4 ＋ 9 ＝1.
触类旁通 平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示． 在伸