高考理科数学总复习第1轮广东专版课件第45讲空间几何体的表面积和体积.ppt
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2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
2020高考数学总复习空间几何体的表面积和体积PPT课件
空间几何体的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
A.17 27
B.5 C.10 D.1
9
27
3
(2)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积等于________cm3.
(3)三棱锥 P-ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱
锥
D-ABE
的体积为
V 1，P-A B C
的体积为
V
2，则VV
1＝________.
2
又∵长方体表面积重叠一部分， ∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填 空题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
[例 2] (1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )
2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一
周所得的几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．9π
D．24π
解析：选 B 以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
A.17 27
B.5 C.10 D.1
9
27
3
(2)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积等于________cm3.
(3)三棱锥 P-ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱
锥
D-ABE
的体积为
V 1，P-A B C
的体积为
V
2，则VV
1＝________.
2
又∵长方体表面积重叠一部分， ∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填 空题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
[例 2] (1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )
2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一
周所得的几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．9π
D．24π
解析：选 B 以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆
空间几何体的表面积和体积课件-ppt
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
空间几何体的表面积与体积ppt课件最新
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R 3a 2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
DБайду номын сангаасA
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
例题讲解
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积．
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________.
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
本 课 时 栏 目 开 关
第 1 课时 柱体、锥体、台体的表面积
[学习要求]
1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的
本
求法；
课 时
2．了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表
栏 目
高三数学复习课件空间几何体的表面积与体积.ppt
优秀课件
30
在△ABC 中，令 AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴△ABC 为直角三角形．
根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2R＝5，
∴R＝1.
∴V 圆柱＝πR2·h＝6π(cm3)．
而三棱柱的体积为
V
三
棱
柱
＝
1 2
×3×4×6
＝
36(cm3)．
∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm3)．
所以四棱锥的体积 V＝31×(2＋
3)×
3＝3＋32
优秀课件
35
【规律小结】 几何体的展开图
优秀课件
36
优秀课件
37
方法感悟
方法技巧 1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、 棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特 点与平面几何知识来解决．(如例1) 2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的 已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的 技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)， 或化离散为集中，给解题提供便利．(如例2)
即削去部分体积的最小值为 6(6－π)cm3.
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31
几何体的折叠与展开
几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得 的，利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图 形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间 想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是 高考的一个热点．
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32
例3 (1)有一根长为3π cm、底面半径为1 cm的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁 丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝 的最短长度为多少？ (2)把长、宽分别为4π cm和3π cm的矩形卷成圆柱， 如何卷能使体积最大？
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11
2.已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )
A．4＋ 2 C．3＋ 2
B．2＋ 2 D．3
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12
【解析】由三视图可知，该几何体是底面为等腰 直角三角形的直三棱柱，底面等腰直角三角形直角边 长和棱柱的高都是 1，
故表面积 S＝2×(21×1×1)＋2×(1×1)＋ 2×1＝ 3＋ 2.故选 C.
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25
素材1
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为 36 .
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26
【解析】 这个几何体的直观图所图所示，其体积为 21×(2＋4)×2×6＝36.
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27
二 等积变换
【例 2】如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平 面所截得到的几何体，截面为 ABC，已知 A1B1＝B1C1＝2， ∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求该几何体的体 积及截面 ABC 的面积．
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21
(1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的表面积 S.
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22
【解析】 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)， 其底面是边长为 1 的正方形，高为 3，
所以 V＝1×1× 3＝ 3.
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23
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面 ABCD， CD⊥平面 BCC1B1，
优秀课件
46
【解析】 (1)因为圆锥侧面展开图的半径为 5，所以圆 锥的母线长为 5.设圆锥的底面半径为 r，则 2πr＝5×65π，
所以 r＝3，则圆锥的高为 4， 故体积 V＝13πr2×4＝12π.
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47
(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形． 设圆柱的底面半径为 y， 则3－3 y＝4x，得 y＝3－43x.
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1
优秀课件
2
会计算球、柱、锥台的表面积 和体积(不要求记忆公式)．
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3
优秀课件
4
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
优秀课件
5
2．空间几何体的表面积和体积公式
名称几何体
柱体 (棱柱和圆柱)
锥体 (棱锥和圆锥)
台体 (棱台和圆台)
球
表面积 S表面积=S侧+2S底
体积 V=①________
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32
素材2
(2011·皖南八校第二次联考)如图 DC⊥平面 ABC，EB∥DC， AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝90°，求几何体 B－ADE 的 体积．
优秀课件
33
【解析】因为 DC⊥平面 ABC，所以 AC⊥DC，又 AC⊥BC， 所以 AC⊥平面 BCDE. 所以 VB－ADE＝VA－BDE＝31S△BDE·AC＝13×21×2×2×2＝34.
S表面积=S侧+S底
V=②________
S表面积=S侧+S上+S下 V=③__________
S=4pR2
优秀课件
V=④__________
6
3.过球心的平面截球所得的截面是一个圆， 称为球的大圆，不过球心的平面截球所得 的平面也是圆，称为球的小圆．球的小圆 圆心与球心连接的线段与小圆面垂直， 该线段长为d，与小圆半径r、球半径R 之间满足⑤ __________.
些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
3有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应
以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、
直角梯形求有关的几何元素．
优秀课件
58
优秀课件
7
【要点指南】
①S底
h；②
1 3
S底h；
③
1 3
h(S上
S下
S S )；
④ 4 p R3；⑤R2 d 2 r2
3
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8
优秀课件
9
1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1， 3，2，则其外接球的表面积为 8π .
优秀课件
10
【解析】设其外接球半径为 r， 则(2r)2＝12＋( 3)2＋22＝8，故 r2＝2， 所以 S 球＝4πr2＝8π.
所以 AA1＝2，侧面 ABB1A1、CDD1C1 均为矩形， 所以 S＝2×(1×1＋1× 3＋1×2)＝6＋2 3.
优秀课件
24
【点评】解决空间几何体的三视图、面积和体积计算问 题的关键因素是“图”，根据“图”找到空间几何体中的几 何元素之间的关系，想象出这个空间几何体的真实形状，然 后通过推理论证和相关的计算找到我们所需要的几何体，根 据相关公式进行计算．
棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合
它们的结构特点与平面几何知识来解决．
2．要注意将空间问题转化为平面问题．
3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算
公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，
但条件中的已知元素彼此离散时，我们可
采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简
单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，
优秀课件
35
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和 NC 的长．
优秀课件
36
【解析】(1)正三棱柱 ABC－A1B1C1 侧面展开图是一个 长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97.
优秀课件
37
(2)如图，将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上，点 P 即点 P1 的位置，连接 MP1，则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线．
3 3
a
，
又
由
球
的
相
关
性
质
可
知
，
球
的
半
径
R＝
OO′2＋O′A2＝ 621a，所以球的表面积为 4πR2＝37πa2.故
选 B.
优秀课件
52
备选例题
底面直径为 2，高为 1 的圆柱截成横截面为长方形的 棱柱，设这个长方形截面的一条边长为 x，对角线长为 2， 截面的面积为 A，如图所示：
优秀课件
53
给解题提供便利．
优秀课件
57
1几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，
分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
2 几何体的?补形”与分割一样，有时为了计算方
便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方
体、正方体等，另外补台成锥是常见的解决台体
侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有
优秀课件
50
素材4
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶
点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.37πa3
C.131πa2
D．5πa2
优秀课件
51
【解析】设球心为 O，设正三棱柱上底面为△ABC，中
心为 O′，因为三棱柱所有棱的长都为 a，则可知 OO′＝a2，
O′A ＝
优秀课件
38
设 PC＝x，即 P1C＝x. 在 Rt△MAP1 中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29， 解得 x＝2，所以 PC＝P1C＝2. 因为MNCA＝PP11CA＝52，所以 NC＝54.
优秀课件
39
【点评】(1)柱、锥、台的表面积，都是利用展开图求得 的，利用了空间问题平面化的化归思路．
优秀课件
15
4.已知三棱锥 P－ABC 的各顶点都在一个半径为 R
的球面上，球心 O 在 AB 上，OP⊥底面 ABC，AC＝ 3R，
则三棱锥的体积与球的体积之比是
3 8π
.
优秀课件
16
【解析】三棱锥的体积为31R·23R2＝ 63R3，球的体积是43πR3，
所以三棱锥的体积与球的体积之比是
3 8π .
41
【分析】 把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面 上两点间的最短距离．
优秀课件
42
【解析】 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面 上得到矩形 ABCD(如图)，
优秀课件
43
由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是 铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度．
优秀课件
34
三 几何体的展开与折叠
【例 3】如图所示，在正三棱柱 ABC－A1B1C1(底面 ABC 为正三角形，侧棱 AA1⊥底面 ABC)中，AB＝3，AA1＝4，M 为 AA1 的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线长为 29，设这条最短路线与 CC1 的 交点为 N，求：
以下同方法 1.
优秀课件
31
【点评】解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：
1°几何体的“分割”
依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体
积的几何体，进而求解．
2°几何体的“补形”
有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
体，如长方体、正方体等．
3°几何体的等积变形
如三棱锥任何一个面都可作为底面．
优秀课件
48
圆柱的侧面积 S(x)＝2π(3－34x)x ＝23π(4x－x2) ＝23π[4－(x－2)2](0＜x＜4)． 当 x＝2 时，S(x)有最大值 6π. 所以当圆柱的高为 2 时，有最大侧面积 6π.
优秀课件
49
【点评】旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的 接、切情况，实际是把空间图形平面化．
优秀课件
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【解析】方法 1：过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C，