张量基础知识
01张量基础
01张量基础第一章张量基础晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。
第一章张量基础张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系1.1 张量的基本知识（1）一、标量与矢量1、标量在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。
这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。
它们完全由给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）2、矢量与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。
它们不仅有大小，而且有一定的方向。
如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。
矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。
矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]1 2 3——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。
这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）二、二阶张量在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：D =εEε——介电常数在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E31.1 张量的基本知识（4）即D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。
张量表达式
张量表达式张量表达式是一种描述多线性代数关系的数学工具，它以张量和向量等数学对象为基础，通过加、减、乘、除和求和等基本运算，将多维数据结构在一些方面进行推广，从而成为了高维数据处理和机器学习中的核心工具之一。
本文将对张量表达式的数学特性以及在实际应用中的一些常见用法进行介绍和分析。
一、基本概念1. 张量在数学上，张量是一种广义向量的概念，可以看作是以一种特定的方式组织的多维数组。
在神经网络中，我们通常使用四层或三层张量。
其中四层张量通常表示为`(batch size, height, width, channels)`，代表了一些图片数据的信息。
此外，我们还可以使用三层张量表示`(height, width, channels)`，代表着一幅图像。
2. 向量在线性代数中，向量是指由一组有序数按照一定规律排列而成的数组。
通常用于表示大小和方向。
在深度学习中，向量通常使用一维数组表示。
3. 标量在数学中，标量是指中包含一个数的量。
常常用于表示权重、偏置、损失函数的值等。
二、定义张量表达式是指任意数量的张量、向量和标量之间通过一些运算法则所组成的式子。
张量表达式通过这些符号和运算法则来表达多维数据结构中的组合操作。
张量的操作包括：向量积、向量内积、对角线运算等线性代数运算。
例如，对于一个张量`T = [x_1, x_2,...,x_n]`，它可以表示为：$T_{i,j,k} = a_i + b_j c_k$其中`a,b,c`是张量，代表数据中的各个维度。
张量表达式则会将这些维度和操作法则相结合，从而可以对数据进行操作和分析。
三、基本操作1. 加法/减法张量之间可以做加法和减法的操作，在实际的应用中，这种操作可以用于修改数据的值或者处理缺失数据等。
例如，如果提取一张图片的红色通道，我们可以将整张图片的像素值减去除红色通道外的其他两个通道，从而实现红色通道选取的目的。
2. 乘法/除法指的是张量元素之间的相乘和相除。
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
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第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
高一数学中的张量初步怎么入门
高一数学中的张量初步怎么入门在高一数学的学习中，张量是一个相对较新且具有一定难度的概念。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，入门张量并非遥不可及。
首先，我们来理解一下什么是张量。
简单来说，张量是一种数学对象，它可以用来描述物理、工程等领域中的各种现象和问题。
张量可以看作是向量和矩阵的推广，具有多个维度和分量。
那为什么要在高一学习张量初步呢？这是因为张量在现代科学和技术中的应用越来越广泛，提前接触和了解张量的概念，有助于为今后更深入的学习打下基础。
接下来，我们谈谈如何入门张量。
一、扎实掌握基础知识要理解张量，必须先有扎实的向量和矩阵知识。
向量是具有大小和方向的量，比如力、速度等。
矩阵则是一个按照矩形排列的数表。
熟练掌握向量的运算，如加法、减法、数乘、点乘和叉乘，以及矩阵的运算，如加法、乘法、转置等，是理解张量的重要前提。
同时，对于线性代数中的一些基本概念，如线性空间、线性变换等，也要有一定的了解。
这些知识能够帮助我们更好地理解张量的性质和运算规律。
二、从直观示例入手在学习张量的过程中，多接触一些直观的示例会很有帮助。
比如，在物理学中，应力张量可以用来描述物体内部的受力情况；在流体力学中，速度梯度张量可以描述流体的流动特性。
通过这些实际的例子，我们能够更直观地感受到张量的作用和意义。
我们可以想象一个正方体的物体，在不同的方向上受到不同大小的力。
为了准确描述这种受力情况，就需要用到应力张量。
应力张量中的每个分量都代表了在某个方向上的应力大小。
三、理解张量的指标和分量张量通常用指标来表示其维度和分量。
例如，一个二阶张量可以用两个指标来表示其分量。
在学习过程中，要学会正确地读写张量的指标和分量，并理解它们所代表的物理意义。
假设我们有一个二阶张量 T，用 Tij 表示其分量，其中 i 和 j 分别表示行指标和列指标。
通过对不同指标的组合，可以得到张量的所有分量。
四、掌握张量的运算张量的运算包括加法、减法、数乘、张量积等。
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
流体力学 数学基础
高等流体力学第一章第章预备知识●场论与正交曲线坐标•场：具有物理量的空间=f t •物理量()f R t 空间位置，§1.1 向量及张量的基本运算一向量运算符号规定、向量运算符号规定1、爱因斯坦（Einstein ）求和符号定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的指标（哑指标）如：i i 112233a =a +a +a e e e e ++()12112233i i j j 12k a b k =k a b +a b +a b +3k +e e i克罗内尔2、克罗内尔（Kronecker ）δ符号定义：任意两个正交单位向量点积用表示ij δ1i=j =δ=⎧e e i =1i j ij 0i j ⎨≠⎩123i j ，，，3、置换符号任意两个正交单位向量叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号i j ijk ke e e e ×=ijk e j i ⎧0j k 231i j k 123123ijk e ⎪=⎨，，中有个或个自由指标值相同，，中按顺序任取个排列 1 i j k 132133⎪−⎩，，中按顺序任取个排列e e 123123i j ijk k a b e a a a ==e e 123b b b()()()()()()() a b c d a c b d b c a d ××=−i i i i i三、向量分量的坐标变换i i i i =a a ′′=e e a 和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方i i a a ′，i i ′e e ，a 向余弦）为(123)j j j l m n j =，，，，各坐标轴方向余弦e e e ()()123i i i i i i i a a a i =, , ′′′′==e e e e i i 123123l l l m m 1′e ()()123i i i i i i i a a a i=, , ′′′′==e e e e i i 12′′e e 123123 m m m n n n 23′′e e 3′e例如：阶的基本算()()()1121311123112233a a a a l a l a l a ′′′′=++=++e e e e e e i i i 四、二阶张量的基本运算二阶张量是两个向量的并积表示为：()B j 123i i j j i j i j ij i j a c a c b i =, , ===e e e e e e ，ac =！i j j i≠e e e e二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则()i j i j i ja b c d ±±e e ab cd =()()()c =c =c =c i i i i a b a b b a b a ()()()i i i i ab cd =a b c d =b c ad =ad c b b b d b d d b ()()()()()()==i i i i i i i i c ab d =c a c a a c ()××ab c =a b c 2、二阶张量分量的坐标变换B=b b =′′′′e e e e ij i j i j i j()()()ij i j i i j j i j i j ij b b b ′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ′′，i j i j i i j j ij i j i j b b b ′′′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ，例如：()()()j ()()()()()()11211122112312111213b b b b ′′′′′′′′=++e e e e e e e e e e e e i i i i i i ()()()()()()()()()()()()211221221222231223311321321322331323b b b b b b ′′′′′′′′′′′′++++++e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e i i i i i i i i i i i i 1111121213132l m b l m b l m b l =+++12122222323m b l m b l m b ++313132323333l m b l m b l m b +++T =−）二阶单位张量()()22ij ij ji ij ji T T T T ++5）二阶单位张量：ijδϕgradϕϕϕϕ∂∂∂=++i j kl x y z∂∂∂∂x y z∂∂∂在直角坐标系中的梯度●重要性质：2、向量梯度的定义、性质定义个●定义：一个二阶张量向量的散度的定义物理量的散度可用来判别场是否有源1、向量的散度的定义如：Q=d d i v sd =++V xy z ΔΩ∫∫∫⎜⎟∂∂∂⎝⎠y x z ∂∂∂a a a 则有div x y z++∂∂∂a =◆流体力学中x z y div y x z∂∂∂++P p p p =则应力张量散度x y z∂∂∂3、有源场与无源场∂()xx xy xz p u+p v+p w x =∂()yx yy yz p u+p v+p w y∂+∂∂()zx zy zz p u p v p z+++∂三物理量的旋度三、物理量的旋度⎛⎞⎞a a rot y y x x z z y zz x x y ∂∂⎛∂∂∂∂⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠a a a a a =i +j +k xy z ∂∂∂=∂∂∂a a a xyz◆流体力学中速度旋度为：δ解：rot rot rot rot ωω=+×=×V V R R ()()0δi ωω×=R x z x y z y x x z z y ωωωωωω−−+−−−k ()()()y x x y ⎥⎢⎥∂∂∂⎦⎣⎦2222ωωω=i+j+k =ωx y z j ∴ rot 2δ=V ω§1.3 哈密顿（x ∂ix ∂i=div ∂∂∇=i i i a a e a =e a =rot i i x x ∂∂∇×××=∂∂a a e a =e a i i i i x x ∂∂i i2i j x x x x 2∂∂∂∇=∇∇==∂∂∂∂i i a a a a e e i j i i§1.4 广义高斯（Gauss ）定理与斯托克斯（Stokes ）定理一广义高斯定理、广义高斯定理d dA τ∇=∫i i a n a d dA τ∇=∫n Aτ∫A τϕϕ∫ d dA τ∇×=×∫∫a n a 二、斯托克斯定理A τ标量势向量势和场()A ldA dl ∇×=∫∫i n a a i 三、标量势及向量势、调和场可以证明0∇×∇a =a =∇×i =a =b 式中称为向量的标量势，称为向量的向量势ϕ 0∇∇a ϕa b a流体力学中速度势为单位质量力=●流体力学中，速度势，单位质量力的势定义为ϕϕ∇V −∇f = U f U ●如向量处处是无旋的，即，，同时又是无散的即=0∇×a ϕ∇a =是无散的，即则其势必满足此时向量场称为调和场=0∇i a ϕ=0ϕϕ2∇∇=∇i 此时，向量场称为调和场，为调和函数ϕa。
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量，矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时,向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间.张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数,即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样.而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的.进而发展了张量分析.现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等.代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实,线性代数是很多现代数学概念的基础,而线性代数的核心就是空间的概念.而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难.现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想,读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
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张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
张量网络基础知识
一、常用符号说明二、基本符号和运算表示的张量网络图表示：三、张量爱因斯坦乘积和张量多模乘积张量多模乘积：给定两个张量，并且具有相同维度，则该两个张量的多模乘将得到一个新的张量，其运算公式为，该运算表示为●张量爱因斯坦乘积：给定两个张量和，并且由P个相同的维度L1,L2,L3……L P,，则该两个张量的爱因斯坦乘将得到一个新的张量，其运算公式为，该运算式子可以表示为：●区别和联系：张量爱因斯坦乘积和张量多模乘的本质是一样的，只是在相等的维度所在的阶是否连续，如果是连续的，则为张量爱因斯坦乘积，如果不是连续的则为张量多模乘。
●图示对比：张量爱因斯坦乘：张量多模乘：四、基于张量的链式分解问题：●问题：假设原始张量，当一个新张量沿着第k阶以增量的方式追加到原始张量中，得到更新张量。
原始张量的张量链分解结果已知如下，其中。
●分析：问题研究的核心为基于原始张量分解的张量核，当新的张量Y到来后，如何求解张量Y的链分解结果.●解决步骤:➢对张量进行链分解;➢计算补零张量的张量链分解结果;➢基于张量链格式对张量相加得和的张量链格式;➢对更新张量的张量核进行正交核压缩.●图示:●举个例子:比如说面包店有十种面包在售,有前一周的销售额和客流量X,以天为单位添加销售额Y;X∈R7x7x10新增加的张量Y∈R1X10，第一步我们对新张量Y进行TT分解,然后将张量Y`进行补零至7*7*10,然后对分解的结果进行Y`和已知的X张量的TT结果进行相加得到Z,最后对Z张量的张量核及逆行正正交和压缩.五、算法的可行性相关●补零张量可行性:➢奇异值分解规律按行补零:给定一个举证M1∈R m×n和一个矩阵M2∈R(m+△m)×n,矩阵M2是通过在矩阵M1的底部补零得到的,即M2=.假定矩阵M1和M2的奇异值分解结果分别为,如果对各自奇异值分解结果进行相同的截断后σ秩为r1,r2,则r2=r1,.证明:根据奇异值分解的性质可得,U1,V1,U2,V2都是正交矩阵,S1,S2都是对角阵,因此可以有:考虑,结合上述两个式子可以得到:,因为相同矩阵的特征值唯一,所以S12=S22相同,因此M1,M2的奇异值相等,即S1=S2.V1=V2.如果对M1和M2的奇异值分解结果进行相同的σ截取,则截取后的σ秩相等,r1=r2,因此,可以推断V2r2=V1r1.假设 ,根据上诉结论S1=S2和r2=r1,有:,因此r2=r1,因此按列补零同理;。
pytorch张量的乘法
pytorch张量的乘法PyTorch是一款开源的机器学习框架，它提供了丰富的工具和API，使得机器学习的实现更加简单和高效。
PyTorch的核心模块是张量（Tensor），它类似于Numpy中的多维数组，但是它可以在GPU上进行高速计算，因此非常适合深度学习等需要大量计算的任务。
PyTorch张量的乘法是非常常见的操作，它可以用于许多不同的场景，例如线性代数中的矩阵乘法、神经网络中的层与向量之间的乘法等。
本文将详细介绍PyTorch张量乘法的用法和一些相关的知识点。
1. 张量乘法的基础知识在介绍PyTorch张量乘法之前，我们需要了解一些基础知识。
在数学中，矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算，它的定义如下：$$ C_{i,j} = \sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j} $$其中，$A$和$B$是两个矩阵，$C$是它们相乘得到的新矩阵，$n$是矩阵的维度。
在PyTorch中，张量乘法的实现与数学中的矩阵乘法类似。
PyTorch中提供了两个函数，分别是mm函数和matmul函数。
这两个函数的具体用法将在下文中介绍。
2. 张量乘法的使用方法2.1 mm函数PyTorch中的mm函数是一种快速的实现矩阵乘法的函数，它的使用方法如下：```python torch.mm(mat1, mat2, out=None) ```其中，mat1和mat2是两个张量，分别表示需要相乘的矩阵，out是一个可选参数，用于存储结果。
下面是一个简单的示例：```python import torch# 创建两个矩阵 x = torch.randn(3, 4) y = torch.randn(4, 5)# 使用mm函数相乘 z = torch.mm(x, y)print(z.shape) ```输出结果为：``` torch.Size([3, 5]) ```可以看到，通过调用mm函数，我们可以快速地计算出两个矩阵的乘积，并且输出的张量的形状是正确的。
0 场论与张量基本知识
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
张量和矩阵
张量和矩阵在数学中，张量和矩阵都是非常重要的概念。
它们有许多相似之处，但也有很多不同之处。
在本文中，我们将介绍这两个概念的基础知识，以及它们在数学和物理中的应用。
一、张量的基本概念张量是一个非常基础的数学概念，可以用来描述物理现象、几何结构等。
它可以被描述为一个多维数组，其中每个元素都有一个特定的坐标。
一个张量的维数取决于它的坐标系，通常由几个张量分量决定。
一个二阶张量可以被描述为一个二维数组，其中的每个元素都有两个下标。
用一个具体的例子来说明：假设有一张二维图像，每个像素的颜色值都有一个特定的坐标。
将这个图像表示为一个二阶张量，其中的每个元素都对应一个像素的颜色值。
同样，我们可以将三维图像表示为一个三阶张量，其中的每个元素都对应一个像素的颜色值和位置。
矩阵是一种特殊类型的张量，通常表示为一个二维数组。
每个元素都有一个特定的下标，矩阵的维数由它的行和列数决定。
矩阵的乘法是对两个矩阵进行元素级别的乘法，并将结果相加得到一个新的矩阵。
行列式是一种特殊类型的算术运算，用于确定矩阵是否可逆。
如果一个矩阵的行列式为零，则称该矩阵为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
矩阵可以被视为一种特殊类型的张量，其中的每个元素都只有二维坐标。
在某些情况下，我们可以将一个高阶张量表示为一个矩阵的集合。
例如，在深度学习中，一个二阶张量可以被视为一组矩阵，其中每个矩阵表示一个样本的特征向量。
在这种情况下，矩阵乘法可以被视为执行对每个样本的一系列线性变换。
这种线性变换可以被视为对输入数据进行预处理，以便于实现更好的分类或回归效果。
张量和矩阵在数学和物理中有许多应用。
例如，在物理学中，张量可以被用于描述物体的形态、运动和电磁场等。
在机器学习和计算机视觉中，张量可以用来表示图像、声音和文本等数据。
在深度学习中，张量可以被用来描述神经网络的权重和偏差等参数，并用于计算网络的输出。
总之，张量和矩阵是非常重要的数学概念。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、机器学习、计算机视觉和信号处理等。
将张量变换法则
将张量变换法则
张量变换法则是张量理论中的基础知识，它描述了张量在不同坐标系中的变换关系。
具体来说，它指出了在不同坐标系中表示同一个张量时，各个分量之间的变换关系。
张量变换法则是将张量从一个坐标系转换到另一个坐标系的关键，它不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程、数学等领域也有着很重要的作用。
根据张量变换法则，当我们从一个坐标系转换到另一个坐标系时，张量的分量会发生变化。
具体来说，对于一个二阶张量T，它在两个坐标系中的表示分别为Tij和T'ij。
当我们从第一个坐标系转换到
第二个坐标系时，它们之间的变换关系可以表示为：
T'ij = ∑kl Rik Rjl Tk'l
其中，Rik和Rjl是坐标系之间的旋转矩阵，Tk'l是张量在第一个坐标系中的表示。
这个公式告诉我们，当我们从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要对张量的每个分量进行一定的线性变换，这个变换由旋转矩阵来描述。
需要注意的是，在不同坐标系中表示同一个张量时，张量的物理含义不会发生改变。
张量变换法则只是描述了张量在不同坐标系中的表示方式，并没有改变它的本质属性。
因此，张量变换法则是张量理论中非常重要的基础知识，也是理解和应用张量的关键。
- 1 -。
推理引擎 张量定义
推理引擎张量定义
张量是数学中的一个重要概念，它在推理引擎中扮演着关键的角色。
张量可以理解为多维数组或矩阵的推广，它可以用来表示和处理多个维度的数据。
在推理引擎中，张量的定义和使用对于问题的解决至关重要。
推理引擎是一种计算机程序，它可以模拟人类的推理过程，通过输入数据和预定义的规则，来得出结论。
而张量作为推理引擎的基础数据结构，为程序提供了处理和分析复杂数据的能力。
在推理引擎中，张量可以表示各种类型的数据，比如图像、声音、文本等。
通过对这些数据进行张量运算，推理引擎可以提取出其中的特征和模式，从而实现各种复杂的任务，如图像识别、语音识别、自然语言处理等。
张量的定义和使用需要遵循一定的规则和原则。
首先，张量的维度和形状需要事先定义好，以便能够正确处理和操作数据。
其次，张量的数值计算需要遵循相应的规则和算法，以保证结果的准确性和可靠性。
推理引擎的设计和实现需要考虑到实际应用的需求和场景。
不同的问题可能需要不同类型和形状的张量来表示和处理数据。
因此，推理引擎的设计应该具有一定的灵活性和可扩展性，以便能够适应不同的应用场景。
在推理引擎的开发过程中，还需要考虑到效率和性能的问题。
由于张量的维度和大小可能非常大，因此需要采用高效的算法和数据结构来提高计算的速度和效率。
张量作为推理引擎的基础数据结构，在问题的解决过程中发挥着重要的作用。
通过合理定义和使用张量，可以实现对复杂数据的处理和分析，从而实现各种智能应用。
不仅如此，张量的灵活性和可扩展性也为推理引擎的设计和实现提供了更多的可能性。
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I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
即相当于单位矩阵。
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j 3
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
x2
x1'
x2' x2
x2' e2'
e2 e1'
x1'
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的 对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标 系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义 的张量。
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
i'
j
xx12
( )
同样：xx12
1211''
1
2'
2 2'
x1' x2'
i
'
j
T
xx12''
由（）式得
x1 x2
i
'
j
1
xx12''
比较 :
i
'
j
T
i
'
j
1
[i' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j xi i j' x j'
由 xi x i j' j' ij' j'k xk
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
S ai xi a j x j
i1
j 1
约定
S ai xi aj xj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33x3 y3
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j ) ( i' , j 1,2 )
则：i' j
ccooss((ee12''
, ,
e1 ) e1 )
cos(e1' cos(e2'
, ,
e2 e2
) )
cos sin
sin
cos
于是：xx12''
12'1'1
1'2 2'2
xx12
Pi* aikTkla jlQ*j
令：P* T *Q* 则：T * AT A
令： Pi* Tij*Q*j 则： Tij* aikTkla jl
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a jlTkl
Tij*k ail a jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
P* PA1 P A
a11 a21 a31
P1*
P2*
P3* P1
P2
P3 a12
a22
a32
a13 a23 a33
P* AP
P1* P2*
a11 a21
a12 a22
a13 P1
a23
P2
P3* a31 a32 a33 P3
P AP*
P1 a11
P2
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
J E
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
或简写为
3
e' i a eij j （i 1, 2 , 3) j 1
反之，有
3
ei ajie' j ( i 1, 2, 3) j 1
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13 e1
a23
e2
e'3
a31
a32
a33 e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cos(e'i e j )
又 xi ik xk
ij' j'k ik
讨论上式的几何意义
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 ei' i' je j ei ij' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j vi ij' v j'
再看三维情况
ei e j ij
ei' e j' i' j'
X1 X2 X3 (老坐标轴)
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
以此类推，若A,B是阶数各为m,n的张量，则A,B 分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积， 表示为C=AB。
三、张量的收缩
在三阶张量 Aijk ( i, j , k 1, 2, 3) 中，如果让 j k
并对 j求和，即
3
Ci Aijj (i 1, 2,3)
j 1
则 Ci (i 1, 2,3) 为一阶张量，此种运算称为张量的收缩。
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
ami anj
aok
a
T*
pl mnop
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i' j'k'l'
i'i j' j k 'k
ijkl
ijkl
ii' jj' kk' ll '
a12
a21 a22
a31 a32
PP12**
P3 a13 a23 a33 P3*
Pi* aij Pj
Pi ajiP* j
二阶张量的变换
P* P Q Q*
P、Q均为矢量
若有：P* AP P TQ Q AQ*
P* AT AQ*
若有： Pi* aik Pk Pk TklQl Ql a jlQ*j
考虑一位置矢量
x x je j x j' e j' x je j ei' x j' e j' ei' x j cos(e j ,ei' ) x j' j'i' xi'
xi' i' j x j
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Aij, Bij (i, j 1, 2,3) 皆为二阶张量，则
Cij Aij Bij (i, j 1, 2,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij , Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具 有相同的方向，此时J与E的关系变为
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji xi bj
aki xi bj aki xi bk
wrong right
3．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义： ij 10