2019-2020学年高中数学 2.5平面向量应用举例课前预习案新人教版必修4.doc
2.5 平面向量应用举例学案【人教版】高中数学必修
2.5 平面向量应用举例课型：新授课 课时数：1 时间：.1.8 高一（ ）班 学号： 姓名：一、学习目标：1.会用向量表示几何元素，将平面几何问题转化为向量问题,并通过向量运算研究如距离、夹角等几何问题；2.会用向量方法解决简单的物理问题, 体验向量的工具作用。
二、学前准备1、向量的运算有哪几种？ 、 、 和 。
2、阅读课本P110，了解几何问题与向量的联系：几何问题对应向量问题 相关运算或公式 点M （x,y ）向量OM 线段AB 的长度 模|AB |（或某投影）夹角θ向量夹角θ 三点共线向量共线且有公共点 直线平行向量共线没有公共点 直线垂直 向量垂直 3、阅读课本P111，了解物理问题与向量的联系：（1）力、速度、加速度、位移都是 ；力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的分别是向量的 和 。
（2）动量mv 就是数学上的 。
（3）功就是力F 与所产生的位移s 的 。
三、典型例题 例1：在ABCD 中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。
例2：已知ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点， F 在边BC 上，且BF ：FC=2：1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积。
B C D E F P A A B C Dx y例3：用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10N ，问每根绳子的拉力是多少？四、达标练习1、在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是（ ）A 、AB →//CD → B 、()()AB BC BC CD +⊥+C 、()()0AB AD BA BC --= D 、AB AD BC CD =2、在ABCD 中，AB =a ，AD =b ，则当2()a b +=2()a b -时，该四边形是（ ）A 、菱形B 、矩形C 、正方形D 、以上都不正确3、在ABC 中，若||AB =4，||AC =5，||BC ，则A ∠=______。
【新导学案】高中数学人教版必修四：25《平面向量应用举例》.doc
2.5《平面向量应用举例》导学案【学习目标】1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析儿何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.【学法指导】预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具•，建立实际问题与向量的联系。
【知识链接】阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的儿何问题、物理问题。
另外，在思考一下儿个问题：例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？例3中，⑴&为何值时，最小，最小值是多少？⑵尺|能等于|G|吗？为什么？提出疑惑疑惑点疑惑内容【学习过程】探究•一：（ 1 ）向量运算与几何中的结论”若a = b，贝叽方冃引，且方Z所在直线平行或重合”相类比，你有什么体会？（2 ）举岀几个具有线性运算的几何实例.例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 己知：平行四边形ABCD.求证：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2.试用儿何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面儿何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究儿何元素Z间的关系，（3）把运算结•果“翻译”成儿何关系。
变式训练：\ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点0,设AB = a, AC = b.（1）证明A、0、E三点共线；(2) ffl a.b.表示向量AO。
例2,如图，平行四边形ABCD'I',点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、：T两点，你能发现AR、RT、7T之间的关系吗?探究二：两个人提一个旅行包，夹和越大越费力•在单杠上做引体向上运动，两臂夹和越小•越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3.在日常生活中，你是否冇这样的经验：两个人共提-个旅行包，夹角越大/ :解释这种现象吗?'鸞巴软吁作引体向上运动’两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度F请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题:(1)0为何值吋，丨只丨最小，最小值是多少？⑵1尺|能等于|G|吗？为什么?例4如图，一•条河的两岸平行，河的宽度d二500/7/, 一艘船从A 处出发到河对岸.己知船的速度|p,|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1 min)?变式训练：两个粒子A、B从同一源发射岀来，在某一时刻，它们的位移分别为» =(4,3),» =(2,10) ,(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在》方向上的投影。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
2020学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案(含解析)新人教A版必修4(最新整理)
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5 平面向量应用举例考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量在平面几何中的简单b b应用平面向量在物理中的简单应用a a知识导图学法指导1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法（基底法和坐标法）和向量法解决几何问题的“三步曲";难点是如何将实际问题转化为向量问题．2．通过练习,体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”,后者的思路是“形到数→数的运算→数到形”．3．向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用向量来解决这个数学模型.1。
物理学中的量与向量的关系（1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．（2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤错误! 向量方法解决平面几何问题的六个应用(1）证明线段相等：通过向量运算,证明错误! 2＝错误! 2，即可证明AB ＝CD 。
（2)证明线段平行:利用错误!＝λ错误!,点A ，B ，C ，D 不共线，可以证明AB∥CD ，特别地，当λ＝1时,AB 綊CD 。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例(第2
2.5 平面向量应用举例（第2课时）
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1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．
特别提醒向量在物理中的应用需注意的问题：
学习向量在物理中的应用要注意两个方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：
(1)力、速度、加速度和位移是向量；
(2)力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加减法；
(3)动量m v是数乘向量；
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．。
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量应用举例 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量应用举例 学案1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 知识拓展1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ ) (4)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．3．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形． 答案 等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)． ∴△ABC 为等腰三角形． 题组三 易错自纠4．在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________．答案 －23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________． 答案 5解析 依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是_________．答案 (1,2)或(1，－2)解析 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p 2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，则有3＋p 2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0，所以OA →·AF →＝y 204⎝⎛⎭⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2.所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)(2017·长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →等于( )A.32 B ．－32 C.34 D ．－34 答案 A解析 取HF 的中点O ， 则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32，故选A.题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________． 答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．跟踪训练 (1)(2017·衡阳联考)已知对任意平面向量AB →＝(x ，y )，把AB →绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP →＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)叫作把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P .设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转π4后得到点的轨迹是曲线x 2－y 2＝2，则原来曲线C 的方程是( ) A ．xy ＝－1 B ．xy ＝1 C ．y 2－x 2＝2 D ．y 2－x 2＝1答案 A解析 设平面内曲线C 上的点P (x ，y )，则其绕原点沿逆时针方向旋转π4后得到点P ′⎝⎛⎭⎫22(x －y )，22(x ＋y )，∵点P ′在曲线x 2－y 2＝2上， ∴⎝⎛⎭⎫22(x －y )2－⎝⎛⎭⎫22(x ＋y )2＝2，整理得xy ＝－1.故选A.(2)(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中测试)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的射影的最大值为________． 答案 15解析 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →， 即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72， 所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的射影为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤722 16×925＝15， 当且仅当|x |＝154时取等号．题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例 已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,3] D ．[1,4]答案 D解析 作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图阴影部分所示，设z ＝OA →·OM →，因为A (－1,2)，M (x ，y )，所以z ＝OA →·OM →＝－x ＋2y ，即y ＝12x ＋12z .平移直线y ＝12x ，由图像可知，当直线y＝12x ＋12z 经过点C (0,2)时，截距最大，此时z 最大，最大值为4，当直线y ＝12x ＋12z 经过点B 时，截距最小，此时z 最小，最小值为1，故1≤z ≤4，即1≤OA →·OM →≤4.命题点2 向量在解三角形中的应用典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．答案 3解析 由图像可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.三审图形抓特点典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2 一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，由CD →在x 轴上的射影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图像的对称中心，C 为图像最低点――――――――→作出点C 的对称点MD ，B 两点对称CD 和MB 对称BM 在x 轴上的射影OF ＝π12AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝sin (2x ＋φ)和y ＝sin 2x 图像比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图像的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，由CD →在x 轴上的射影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像可以看作是由y ＝sin ωx 的图像向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．(2018·株州模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．3．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为( ) A.12 B ．2 C ．2 2 D ．－2答案 B解析 由题意可得m·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B. 4．(2017·长春质量监测)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD 等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 B解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( ) A ．9,7 B ．8,7 C ．9,8 D ．17,8答案 B解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.6．(2018·四川凉山州一诊)若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图像交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x ＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图像的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2，故选B.7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________． 答案2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________． 答案 1∶2解析 如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →， ∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比． 即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10．如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立，故最小值为－92.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．(2018·酒泉质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C . 根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0. 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6. 即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则( ) A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 答案 D解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．(2018·北京市丰台区二模)已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →. (1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝________；(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________． 答案 (1)12 (2)23解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点， BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故λ＋μ＝12.(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎨⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2，化简得⎩⎨⎧λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎨⎧λ＝23－a 3c，μ＝23－c3a ，则λ＋μ＝43－⎝⎛⎭⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23.15．(2018·台州一模)已知共面向量a ，b ，c 满足|a |＝3，b ＋c ＝2a ，且|b |＝|b －c |.若对每一个确定的向量b ，记|b －t a |(t ∈R )的最小值为d min ，则当b 变化时，d min 的最大值为( ) A.43 B ．2 C ．4 D ．6 答案 B解析 固定向量a ＝(3,0)，则b ，c 向量分别在以(3,0)为圆心，r 为半径的圆上的直径两端运动，其中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，如图，易得点B 的坐标 B (r cos θ＋3，r sin θ)，因为|b |＝|b －c |，所以OB ＝BC ，即(r cos θ＋3)2＋r 2sin 2θ＝4r 2，整理为r 2－2r cos θ－3＝0，可得cos θ＝r 2－32r，而|b －t a |(t ∈R )的最小值为d min ，即d min ＝r sin θ＝－r 4＋10r 2－94＝4－(r 2－5)24≤2，所以d min 的最大值是2，故选B.16．(2018·宁德质检)已知在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤33，4311B.⎝⎛⎭⎫39，33 C.⎝⎛⎦⎤39，4311D.⎝⎛⎦⎤39，2311答案 C解析 由题意可知AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC 2＝4.建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)． 设BF →＝λBC →⎝⎛⎭⎫λ∈⎝⎛⎭⎫0，34， BE →＝⎝⎛⎭⎫λ＋14BC →， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝⎛⎭⎫32－2λ，23λ＋32.所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝⎛⎭⎫32－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ ＝16λ2－4λ＋3＝16⎝⎛⎭⎫λ－182＋114∈⎣⎡⎭⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝|AB |·|AC ||BC |＝3， 所以△AEF 的面积S △AEF ＝12|EF |·3＝32为定值．所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ＝12tan θ，故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF →∈⎝⎛⎦⎤39，4311，故选C.。
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2019-2020学年高中数学 2.5平面向量应用举例课前预习案新人教版必修
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【学习目标】掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.
【学习重点】(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2) 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减运算，运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量m v 是数乘向量；(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积． 课前预习案
【知识链接】问题1：向量与力有什么相同点和不同点？
结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 到同一作用点上.
问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？
结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos ,W F S F S =⋅，功是一个实数，它可正，也可负.
⑵在解决问题时要注意数形结合.
自主小测
1.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和2，则3F 的大小为( )
A ．6
B ．2
C ．32
D ．272.点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10) 3.作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =_______。