对数函数(三)
高中数学第4章对数运算与对数函数3对数函数3-1对数函数的概念3-3对数函数y=logax的图象和性
(2)已知对数函数f(x)的图象过点
1
4,
2
.
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
解 ①由题意设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),由函数图象过点
即
1
loga4= ,
2
1
所以2 =4,解得
a=16,故 f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2,
所以x=162=256.
.
解析 ∵已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log 1 x≤1,
2
即
1 -1
1 1
log 1 (2) ≤2log 1 x≤log 1 (2) ,
2
2
2
1
化简可得
2
≤x ≤2.再由 x>0
2
2
可得
2
≤x≤ 2,故函数 f(x)的定义域为[
2
,
2
2].
变式探究本例(1)中的函数变为
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
性质 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于负 当x值趋近于0时,函数值趋近于正
规律方法
涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是
“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线
对数函数及其性质(3)
对数函数及其性质（3）一 选择题1.下列式子①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c②(log a 3)2＝log a 32③log a (bc)＝(log a b)·(log a c)④log a x 2＝2log a x,正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.如果lgx ＝lga ＋2lgb －3lgc ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3 D.2ab 3c3.2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．44.已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a)2 D ．3a －a 2－15.的值等于( )A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52 D ．1＋52 6.与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( )A ．y ＝x －1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝x 2－1x ＋1 D ．y ＝(x －1x －1)2 7.已知f(log 2x)＝x ，则f(12)＝( ) A.14 B.12 C.22D.2 8.已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.p p ＋q D.pq 1＋pq9.设方程(lgx)2－lgx 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( )A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4 10.已知函数f(x)＝2x2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈( )A ．2.62 B ．2.38 C ．1.62 D ．0.38 二 填空题1.使对数式log (x －1)(3－x)有意义的x 的取值范围是_______2.计算：(1)2log 210＋log 20.04＝________(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝________(3)lg 23－lg9＋1＝________(4)13log 168＋2log 163＝________(5)log 6112－2log 63＋13log 627＝________ 3.设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________4.若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______5.将(61)0，2，log221,log0.523由小到大排顺序： 6.已知函数f(x)=(log 41x)2-log 41x+5,x ∈［2，4］，则当x= ，f(x)有最大值 ；当x= 时，f(x)有最小值 7.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为8.函数y=log 312x+log 31x 的单调递减区间是 9.光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)10.函数f(x)=log a (a x +1)(a ＞1且a ≠1)的反函数是三 解答题1.已知函数1323log (24)log (53)y x y x =+=-，．(1)分别求这两个函数的定义域 ；(2)求使y 1＝y 2的x 的值；(3)求使y 1＞y 2的x 值的集合；2.已知函数())f x x =(1)求函数的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性；(3)证明()f x 是减函数3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-)0(log )0(log )(f )(212 x x x x x ，若f （a ）>f(-a)则实数a 的范围4.解下列不等式：(1) )10(08log log 22<<>--a x x a a (2) 131log )32(log 2221+>-+x x x5.已知函数)91(,log 2)(f 3≤≤+=x x x 求)()]([)(22x f x f x g +=的定义域及值域6.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。
高中数学必修一课件：第四章对数函数的图象和性质(第3课时)
2
2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝( D )
A．－log2x
B．log2(－x)
C．logx2
D．－log2(－x)
解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以f(－x) ＝－f(x)，所以f(x)＝－log2(－x)．
∴g(x)min＝g(3)＝－98，
则m的取值范围是m|
m<－98.
探究3 对数型函数的奇偶性问题的求解方法：
对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶
性了，如y＝log2|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运 算性质来判断这类函数的奇偶性．
为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或利用定义的等
3．函数f(x)＝log211＋－xx( B )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析
要使函数f(x)＝log2
1＋x 1－x
有意义，需满足பைடு நூலகம்
1＋x 1－x
>0⇒－1<x<1，所以函数
的定义域为(－1，1)，关于原点对称．f(－x)＝log2
1－x 1＋x
，则f(x)＋f(－x)＝
(2)若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围为__(1_，__2)___． 【解析】 首先a作为底数满足a>0且a≠1， 令t＝2－ax，则t＝2－ax为减函数， ∵y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数， ∴y＝logat为增函数，∴a>1，又t＝2－ax在x∈[0，1]时需大于0， ∴2－a·1>0，∴a<2. 综上，1<a<2.
对数函数(3)
4
作业:p71 11
一般地, 函数 y loga x a 0, a 1叫 做 对数函数 ( log arithmic function) , 它的定义域是 0,.
对数函数的图象与性质
a 1
0 a 1
图象见几 何画板 图象见几 何画板
图 象
1定义域: 0,; 2值域: R ; 性 3图象过点1,0; 4 在0,上是
试比较
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
(0,) ，若函数 f ( x) lg x
x1 x2 ) 的大小； 2
与 f(
分层训练
必做题:课本p70 9,10 选做题： x f (x) ＝ a（ a ＞0，且 a ≠1）的反函 1.若函数 数的图像过(2,1) a 1) 在区间[a,2a上的最 大值是最小值的3倍，则 a =( ) 1 2 1 2 (A) (B) 2 (C) (D) 2
质
单调增函数;
在0,上是 单调减函数;
y a x 称为y loga x的反函数, 反之, y loga x也称 为y a x的反函数.
自主检测
课本p70 4,7
习题选讲
1 x (1 x 1) 是奇函数； 1.求证函数 y lg 1 x
2.对于任意的 x1 , x2
对数函数（3）
学习目标
1.进一步理解对数函数的概念,体会对数函数是 一类重要的函数模型; 2.进一步理解对数函数的性质; 3.能研究一些与对数函数有关的复合函数的定 义域、单调性、奇偶性； 4.能运用对数函数的单调性比较两个对数式值 的大小; 5.能够由函数图象确定对数函数中底数的大小.
对数函数的概念：
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数的概念课件北师大版必修第一册
基础知识
知识点1 对数函数 1．定义：给定正数a,且a≠1,对应每一个正数y,都存在唯一确定的实
数x,使得y＝ax．则______是_x_____的函y 数,称为以a为底的对数函数,记作x ＝logay．一般写成____________y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_且．a≠1)
2．性质：(1)定义域是(0,＋∞)；(2)图象过定点(1,0)； 3．特殊的对数函数： 常用对数函数：y＝lg x；自然对数函数：y＝ln x．
[解析] (1)要使函数有意义，需 22－x－x1＞＞00，，且2x－1≠1，即xx＞＜122，. 且x≠1， ∴12＜x＜2，且 x≠1， 故函数的定义域为x21＜x＜2，且x≠1．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，即33－－xx≤＞e02， 解得 3－e2≤x＜3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x＜3}．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中,a＞0且a≠1． (2)在解析式y＝logax中,logax的系数必须为1,真数必须为x,底数a必须 是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】❶ 指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x； ②y＝－log3x； ③y＝log0.5 x； ④y＝log3x；
思考：为什么对数函数的图象过定点(1,0)? 提示：因为x＝1时,y＝loga1＝0．
知识点2 反函数 指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数,对数函数y＝logax也是指
数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数．
基础自测
1．下列函数是对数函数的是
(D)
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0,且a≠1) C．y＝logax2(a＞0,且a≠1) D．y＝ln x
高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数y=log2x的图象和性质课件北师大版必修第一册
(2)因为函数 y＝log2x 在定义域(0，＋∞)上是增函数，且 0.5＜0.8，
所以 log20.5＜log20.8＜0，所以log120.8＜log120.5．
(3)因为函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是减函数，且 3.2＜3.6，
4
所以 log13.2＞log13.6．
4
4
[归纳提升] 关于对数大小的比较 (1)对于底数相同的数,首先考查所涉及的函数的单调性,再比较真数 的大小,最后利用单调性比较两个数的大小． (2)对于底数不同的数,可以借助换底公式化同底,再比较大小．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数 y＝log2x 的图象都在 y 轴的左侧．
(2)函数 y＝log1x 在定义域(0，＋∞)上是增函数．
2
(×) (×)
(3)函数 y＝log2x 的图象在直线 x＝1 右侧，图象位于 x 轴上方；在直
线 x＝1 左侧，图象位于 x 轴下方．
题型三
函数y＝log2x的性质的应用
例 3 使不等式log2(2x)＞log2(5x－3)成立的实数x的集合为 ___x_35_＜__x_＜__1__．
[解析] 因为函数 y＝log2x 是(0，＋∞)上的增函数， 2x＞0，
所以52xx－＞35＞x－03，，解得35＜x＜1． 所 以 使 不 等 式 log2(2x) ＞ log2(5x － 3) 成 立 的 实 数 x 的 集 合 为 x35＜x＜1．
【对点练习】❷ 已知 a＝log20.2，b＝log10.2，c＝log42，则 a，b，
2
c 由小到大的顺序为___a_＜__c_＜__b___．
[解析] 因为 a＝log20.2＜0，b＝log120.2＝log1251＝log25，c＝log42＝
课时作业(九) 对数与对数函数 (3)
课时作业(九) 对数与对数函数 基础过关组 一、单项选择题1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2)C ．[23，＋∞)D ．(23，＋∞)解析 由Error!即Error!解得x ≥23。
答案 C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12x D ．2x －2解析 由题意知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2。
所以f (x )＝log 2x 。
故选A 。
答案 A3．(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16解析 解法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
解法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19。
故选B 。
解法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log 34＝log 43，所以4a2 ＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
解法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49,4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。
故选B 。
答案 B4．如果log12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析 因为log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1。
对数函数的图像与性质(三)
求函数 y＝log (1－ x 的最 值 (x ＋3 ） ） ＋ log 0.5 0.5
首先确定函数的定义域，再运算求真数的值域，从而可得函数的最值 .
[解题过程]
1－x＞0 由 ，得－3＜x＜1， x＋3＞0
所以已知函数的定义域为(－3,1)． 另一方面，在 x∈(－3,1)时，已知函数表达式 可化为 y＝log0.5(1－x)(x＋3)＝log0.5[－(x＋1)2＋4]． 对于二次函数 t＝－(x＋1)2＋4，x∈(－3,1)， 当 x＝－1 时有最大值 4，无最小值， 即 0＜t≤4，对数函数 y＝log0.5t 在区间(0,4]上 为减函数，则 log0.54≤log0.5t，即－2≤y， 所以此函数有最小值－2，无最大值．
求下列函数的值域． (1)y＝log2(x2－4x＋6)； (2)y＝log2(x2－4x－5)．
解析： (1)∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2， 又 f(x)＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数， 2 ∴log2(x －4x＋6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)． (2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9， ∴x2－4x－5 能取得所有正实数． ∴函数 y＝log2(x2－4x－5)的值域是 R.
2、求函数y=log 1(x -6x 8)的单调区间。
2
3、求函数y loga (ax a 2 )(a 0,且a 1)的单调区间 。
对数 函数
对数函数对数函数是一种非常有用的函数，尤其在数学、物理和工程等领域中，经常出现在各种公式和问题中。
本文主要介绍对数函数的基本定义、性质和应用。
一、基本定义对数函数的定义如下：若a是正实数并且不等于1，那么以a为底的对数函数f(x)=loga(x)，其中x>0。
其中，a称为底数，x称为真数，f(x)称为以a为底、以x为真数的对数，简称为log。
由于底数a是一个常数，我们通常省略不写，因此对数函数也可以简写为f(x)=log(x)。
对数函数的定义基于指数函数的性质：a^f(x)=x，即以a为底、以x为幂的指数函数。
对于任意正实数a和x，这个指数函数总是唯一存在的，因此对数函数也是唯一存在的。
同时，对于a>1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且具有良好的连续性和可导性。
二、性质与公式对数函数有许多重要的性质和公式，常用的包括：1. 基本公式log(a×b)=log(a)+log(b)log(a/b)=log(a)-log(b)log(a^k)=k×log(a)这些公式的证明和应用可以用指数函数和对数函数的基本定义和性质进行推导。
2. 运算规律log(x)和e^x是互为反函数的，即log(e^x)=x，e^(log(x))=x。
log(x)与log(y)的和差等于log(xy)和log(x/y)，即log(x)+log(y)=log(xy)，log(x)-log(y)=log(x/y)。
这些运算规律可以在解决一些复杂问题时大大简化运算。
3. 对数函数的图像对数函数在底数a和真数x的不同取值情况下，图像呈现出不同的特性。
例如，以2为底的对数函数log2(x)在x=1时取得最小值0，在x=2时取得最大值1，同时在x>0时单调递增。
此外，对于任意的底数a>1，loga(x)都具有与log2(x)类似的性质。
4. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：（1）计算复利和现值：在金融领域中，复利的计算和现值的估算都需要用到对数函数。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。
本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。
一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。
记作y=logaₐx。
2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。
3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。
二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。
2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。
4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。
（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。
（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。
（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。
（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。
三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。
（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。
2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
2.2.2对数函数及其性质(三课时)
< １、 log0.56______log0.5４
< 3、 若 log3m log3n，则m___n;
> > ２、 log1.51.6______log1.51４. 4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
利用单调性比较大小
练习：比较下列各数的大
1 1
2
3
4
5
6
7
8
定义域： 值域：
（0，+∞） (,)
性
过点（1，0），即当x=1时，y=0
质 x (0,1)
y0
x (0,1) y 0
x (1,) y 0
在（0，+∞）上是 增 函数
x (1,) y 0
在（0，+∞）上是 减 函数
y
图
y=log 2x
形
y=log 3x
01
y log 1 x x
一
在第一象限按顺时针方向底 补充 数增大。
性质 二
指数函数、对数函数的图象有何关系呢？ 先看y=2x 与y=log2x
y=2x
y=2x
y=log2x y=x
指数函数与对数函数
图 象 间 的 关 系
指数函数与对数函数
图 象 间 的 关 系
3、指数函数与对数函数的图象的关系：
对数函数 y loga x 与指数函数 y ax
3
y log 1 x
2
补充 底数互为倒数的两个对数
性质 函数的图象关于x轴对称。
一
在第一象限按顺时针方向底 补充 数增大。
性质 二
3、指数函数与对数函数的图像的关系：
对数函数 y loga x 与指数函数 y ax
对数函数图像及性质的应用(3)
热点突破
对数函数奇偶性问题
已知
f ( x) loga (1 x), g( x) loga (1 x)(a 0, a 1)
f ( x) g ( x)
F(x)=
（3）判断函数F(x) 在（-1，1）的单调性，并予以证明；
设 1 x1 x2 1, 则 1 x F ( x) f ( x) g ( x) log a (1 x) log a (1 x) log a 1 x 1 x1 1 x2 F ( x1 ) F ( x2 ) log a log a 1 x1 1 x2
热点突破
对数函数奇偶性问题
例2.已知 f ( x) loga (1 x), g( x) log a (1 x)( a 0, a 1) F(x)= f ( x) g ( x)
（1）求函数F(x)的定义域；
（2）判断函数F(x) 的奇偶性，并予以证明； （3）判断函数F(x) 在（-1，1）的单调性，并予以证明； （4）求使F(x)>0 的 x 的取值范围。
热点突破
对数函数奇偶性问题
1 x1 x2 1, 0 1 x1 1 x2 2,0 1 x2 1 x1 2 1 1 1 0 , 2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 )的定义域为(1,1)且 1 x 1 x 1 f ( x) log a log a ( ) 1 x 1 x 1 x log a log a (1 x) log(1 x) 1 x f ( x) ∴函数f(x)奇函数.
热点突破
对数函数奇偶性问题
已知 F(x)=
f ( x) loga (1 x), g( x) loga (1 x)(a 0, a 1) f ( x) g ( x)
对数函数的性质及运算
对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。
本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。
一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。
1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。
当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。
（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。
（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。
（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。
（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。
（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。
二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。
（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。
（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。
（4）logₐ(a)=1/logₐ(a)，即对数底变换公式。
2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。
（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。
三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。
2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。
4.4对数函数(第三课时)——不同函数增长的差异课件(人教版)
选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0, +∞） 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
不妨以y=lgx和y=
1 10
x为例。
分析：
在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数
y
1 10
x
值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异。
利用信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
解析:在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如下图所示,由图象可 判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会 快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有 2x>2x.
推广：
一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都 与上述类似。即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有 一 段 区 间 会 小 于 y=kx(k>0) ， 但 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度。
x
y=lgx y 1 x
10
0 不存在 0
10
1
1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
对数函数及其性质(三)9
课堂小结
• 掌握对数函数的图 像和性质
• 掌握底数的变化对 函数图像的影响
• 会进行简单的指数 与对数函数图像之 间的变换
再见
高中数学优质学案经典专题知识
对数函数及其性质
知识回顾
指数函数的图象 指数函数的性质
• a>1时函数为增函数 • 0<a<1 时函数为减函数 • a>1时
x<0时,0<y<1;x>0时,y>1 • 0<a<1时
x<0时,y>1;x>0时,0<y<1
新课展示
对数函数的定义:
指数函数y ax (a o且a 1)的反函数 叫对数函数. 记作: y loga x(a 0且a 1)
1
x c3
c4
解:由图像x>1的部分与轴的接近程度 可以看出 c<d<a<b
例题分析
例题2
已知:a =log 0.70.8 b=log 1.1 0.9 c=1.1 0.9 则 a, b, c的大小为 ：
(A) a<b<c (B) b<c<a
(C) c<a<b (D) b<a<c 例题3
答:(D)
将函数y=(1/2)x的图像经过怎样的变换得到函数 y=log2x的图像,并做出其图形.
对数函数的图象
对数函数的图象与指数函数的图象
关于直线y=x对称
对数函数的性质
函数定义域 x∈(0,∞ ) 函数值域 y∈( -∞,+∞)
0<a<1时
a>1时
• 对数函数是减函数 • 对数函数是增函数
对数函数及性质(3)
f ( x) 在 (, 2 ) 上是增函数，求 a 的取值范围. 1 解： (1)依题意，有 0a1 且3a－10， 0 a . 3
又当x1时，（3a－1）x＋4a 7a－1，
1 当x1时，logax0， 所以7a－10 a . 7 ห้องสมุดไป่ตู้ 1 ∴ a的取值范围是: [ , ). 7 3
解：令 u 2 ax , 则 y loga u ，
a 0且a 1 由题意，
得 u 2 ax 在[0，1]上是减函数， 按照复合函数“同增异减”法则，
a1 知 y loga u 是增函数，
又 2 ax 0 在[0，1]上恒成立， 故只需 (2 ax )min 0 , x [0 , 1] 即 2 a 0 , a 2 .
综上a的取值范围是: 1 a 2 .
(3a 1) x 4a, x 1 9. （ 1）已知 f ( x) 是 log a x, x 1 (, ) 上的减函数，求 a 的取值范围.
(2)已知函数 f ( x) log1 ( x ax a) ，若
2 2
在函数x=log2 y中，y是自变量，x是函数.但习惯上， 我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对 调函数x=log2 y中的字母x、y，它写成 y=log2 x .这样， 对数函数y=log2x（x ＞0）是指数函数 y=2x（x∈R）的 反函数. 由上述讨论可知，对数函数y=log2x（ x ＞0 ）是指 数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=2x （x∈R）也是对数函数y=log2x（ x ＞0 ）的反函数.因 此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数y=log2x（x ＞0 ） 互为反函数.
对数函数及其性质(三)
2.2.2 对数函数及其性质（三）（一）【教学目标】1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.（2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）【教学重点、难点】重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）【教学方法】通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.老师提问，学生回答. 为学习新知作准备.形成概念反函数概念指数函数y=a x（x∈R）与对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））互为反函数.师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）和指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）互为反函数.生：在函数x=log a y中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））是指数函数y=a x（x∈R）的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））是指数函数y=a x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=a x（x∈R）也是对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））的理解反函数的概念.反函数.因此，指数函数y=a x（x∈R）与对数函数y=log a x（x∈（0，+∞））互为反函数.课堂练习：求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1；（2）y=log a（4－x）.课堂练习答案（1）5log(1)y x=-；（2）4xy a=-应用举例例1 已知函数y=log a（1－a x）（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称.例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－a x的范围，可应用换元法，令t=1－a x以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－a x＞0，即a x＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－a x，则0＜t＜1，而y=log a（1－a x）=log a t.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2）∵a＞1时，t=1－a x在（－∞，0）上单调递减，y=log a t关于t单调递增，∴y=log a（1－a x）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a＜1时，t=1－a x在（0，+∞）上单调递增，而y=log a t关于t单调递减，进一步掌握对数函数的应用.例2 已知函数f （x ）=（21）x（x ＞0）和定义在R 上的奇函数g （x ）.当x ＞0时，g （x ）=f （x ），试求g （x ）的反函数.∴y =log a （1－a x ）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y =log a （1－a x ）， ∴a y =1－a x .∴a x =1－a y ，x =log a （1－a y ）.∴反函数为y =log a （1－a x ），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y =x 对称.例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f （x ）为奇函数，故应考虑x ＞0，x ＜0，x =0三种情况.解：∵g （x ）是R 上的奇函数， ∴g （－0）=－g （0），g （0）=0.设x ＜0，则－x ＞0，∴g （－x ）=（21）－x.∴g （x ）=－g （－x ）=－（21）－x =－2x .∴g （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>.0,2,0,0,0,)21(x x x x x当x ＞0时，由y =（21）x 得0＜y ＜1且x =log 21y ，∴g －1（x ）=log 21x （0＜x ＜1＝；当x =0时，由y =0，得g －1（x ）=0（x =0）；当x ＜0时，由y =－2x ，得－1＜y ＜0，且x =log 2（－y ）， ∴g －1（x ）掌握根据奇偶性求函数表达式.。
对数函数(3)
生：仿照材料一分析： 与 的关系．
师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
教学过程与操作设计：
环节
呈现教学材料
师生互动设计
创
设
情
境
材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数 ；
t关于P是对数函数 ，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；
（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：
对数函数（三）
教学目标：
知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
教学重点：
重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难点反函数的概念．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
DS M金牌数学高一（必修一）专题系列之指数函数的图形及其性质
1．幂函数：
.
★2．函数的奇偶性：（1）奇函数：
.
（2）偶函数：
.
★3．函数奇偶性的性质：
.
4.指数函数：。
5.指数函数的图像与性质
题型一：简单运算
例1.若a 2x
＝8，则x
x x
x a a a a －－＋＋33___________．
拓展变式练习
1.（理）化简2
15658)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________． 2.（2010重庆文数）函数164x y =- . 3.（文）已知函数f (x )＝a －
1
2x
＋1
，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 题型二：中难度题型
例2.（2013 黑龙江伊春一模，8）已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x
)的定义域为________．
拓展变式练习
1.（2014 江苏）当x ∈[－1,1]时，f (x )＝3x
－2的值域为__ _____． 2.函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x
－2）的定义域为___________．
3.（2011 湖北）若21
(5
)2x f x -=-，则(125)f = .
题型三：难度题型
例3.（2014 山东东营二模，7）已知f (x )＝(12x －1＋12)x .
(1)求函数的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；
(3)求证：f (x )>0.
拓展变式练习
1.（2014 福建漳州一模，4）已知函数
1
()(1)
1
x
x
a
f x a
a
-
=>
+
,
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求该函数的值域；
(3)证明()
f x是R上的增函数。
2.（2013 浙江杭州一模，21）若函数y ＝1
212·－－－x x a
a 为奇函数，
（1）确定a 的值； （2）求函数的定义域； （3）求函数的值域；
3.(2014 湖南娄底4月，6 )已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x 、y 都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
高考题库
（2014 上海）定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2，且)1,0(∈x 时，1
42)(+=x x x f
（Ⅰ）求)(x f 在[－1，1]上的解析式； （Ⅱ）判断)(x f 在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ为何值时，方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解.
一、选择
1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =， 则 ()7.5f 等于 （ ） A ．0.5 B ．0.5- C ．1.5 D ． 1.5-
2．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()
2
23f a a -+
（a R ∈）的大小关系是（ ）
A ．()2f -<()2
23f a a -+
B ．()2f -≥()
2
23f a a -+
C ．()2f ->(
)
2
23f a a -+
D ．与a 的取值无关
3．若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ） A ．()f x 0> B ．()f x 0<
C ．()f x ()f x -≤0
D ．()f x －()f x -0>
4．若(12)2a ＋1<(12
)3－2a
，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1
2
)
5. 函数f (x )＝1
2x ＋1在(－∞，＋∞)上( )
A ．单调递减无最小值
B ．单调递减有最小值
C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
二、解答题
1.（2013 江西，23,12分）已知()()110212x
f x x x ⎛⎫=+≠
⎪-⎝⎭
， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x >．
2. ⑴已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1
2()()f x f x x
+=，试判断()f x 的奇偶性。
⑵函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性。
一、选择题
1．若a ＝1)32(－＋，b ＝1)32(－－，则（a ＋1）－2
＋（b ＋1）－2
的值是（ ）
A ．1
B ．
41 C ．2
2； D ．32 2．在下列等式中，函数f （x ）＝x
2不满足的是（ ）
A ．f （x ＋1）＝2f （x ）
B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）
C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ）
D ．f （－x ）＝)
(1
x f
3．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x
)的定义域是（ ）
A ．(0，1)
B ．(
2
1
，1) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)
4．若122-=x
a
，则x
x x
x a
a a a --++33等于（ ） A ．22－1 B ．2－22
C ．22＋1
D ．2＋1
5．当x ∈［－2，2)时，y =3－x
－1的值域是（ ）
A ．［－
9
8
，8］ B ．［－
9
8
，8］ C ．(
9
1
，9) D ．［
9
1
，9］ 二、填空题
1．函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a . 2．函数y =
1
21
+x
的值域是________． 3．已知2
21)(x
x x f +=，那么)41
()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。
4．不等式16
2
2<-+x x 的解集是 .
5．函数y ＝a x ＋2012
＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．
三、解答题
1．若函数
是奇函数，求 的值．
3.已知函数f （x ）=a －
1
22
x
（a ∈R ）， （1）.求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2）.若f （x ）为奇函数时，求a 的值。