地表粗糙度的常用计算方法及其在风蚀研究中的应用

地表粗糙度的常用计算方法及其在风蚀研究中的应用
2.1 粗糙度概念的推导
牛顿摩擦定律描述流体层流运动，粘性应力τ与垂直速度梯度成正比，即： dy du μτ= (2.1) 式中μ为动力黏性系数。

流动方式为湍流时，包括粘性力以及由于界面粗糙元的阻碍作用而产生的切应力，称为湍流剪应力；湍流剪应力通常比粘性应力大几个量级，因而对于湍流常忽略粘性应力而只考虑占主导的湍流应力的作用，湍流应力为：
2*u ρτ= (2.2)
对于固体表面的流体流动，Prandtl 通过量纲分析原理，给出另一种表达式，(2.1)式积分可得c y/u +=μτ。

代入(2.2)并利用边界条件 0=y 、0=u 得 0=c ，于是有： ⎪⎭⎫ ⎝⎛=v yu f u u ** (2.3) 其中，v 由v ρμ=定义，表示运动粘性系数；f 为v yu /*的普适函数。

在流体运动的粘性底层（11/*≤v yu ）上式满足νν/yu =）/yu （f **即层流运动的式（2.3）；在距界面较远或摩阻速度较大处（80) /v yu (f *>），流体为充分发展的湍流时运动决定于摩阻速度*u 和高度y ，于是可得： y u C dy du *= (2.4) C 写作κ/1，并积分上式得到: c y u u +=ln 1*κ (2.5)
自然对数符号里的数值应是无量纲的，从量纲分析原理认为y 可由无量纲量或雷诺数来替代，例如用湍流雷诺数v yu /*代替，就成为满足层流运动的对数速度分布关系式：
1**ln 1c v yu u u +=νκ (2.6) 对于湍流,用粗糙元高度0y 、附面层厚度δ或管半径R 与高度y 之比来表示，就可得到如下关系式： 4*3*20
*ln 1ln 1ln 1c R y u u c y u u c y y u u +=+=+=κδ
κκ (2.7)
基于这些发展了应用到各种植被覆盖地表和草方格等防沙工程及城市地表等粗糙面的关系式： )(,ln 1u u 50*H y c y d y ≥+-=κ (2.8)
H 为植株或建筑群冠层高度。

粗糙度概念由Nikuradse J.（1932）的粗糙管流实验进行了验证：均匀沙粒按直径分级粘于管子内壁，然后通水测定内部流体的流速随高度的分布。

实验结果显示，在湍流时（雷诺数e R 从40/*≈νyu 时开始）满足对数分布律。

根据曲线分布和公式(6)可得4.0=κ或5.51=c 。

从而可得常见的普适速度分布公式： )5.5lg 75.5(**+=u y u u (2.9)
2.2 空气动力学粗糙度主要的几种计算方法
在空气动力学粗糙度的计算方法有很多种，针对不同的条件选择适合的计算方法是十分重要的，常用的计算方法中有对数廓线法、质量守恒法、无因次化风速法、阻力法等等。

2.2.1 对数廓线拟合法
在计算空气动力学粗糙度的诸多方法中，尤其是在许多实际应用的计算中，最常用的是实测风速对数廓线的最小二乘拟合法，简称为对数廓线法，风速廓线方程为式（1.1），通过测得3个或3个以上高度的风速后，用最小二乘回归的拟合方式处理所测得风速数据，可得：
z b a U z ln += (2.10)
式中，z U 为高度z 处风速；a 、b 为回归系数。

令上式中0=z U 可求出 ()b a z /exp 0-= (2.11)
2.2.2 质量守恒法
植被上方的惯性副层内，风速廓线仍满足对数定律式(1.1),DeBruin 考虑了转换层的存在，使用质量守恒原理，利用湍流流动时测得的*u 和风速廓线数据(要求在惯性副层内进行风速测量)来计算零平面位移高度d 和空气动力学粗糙度0z ，在中性条件下选择一理论风速廓线使得质量传输与实际风速廓线的质量传输相等，即：
()dz z d z u dz z u f f
z z d z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+0*0ln 0κ (2.12)
式中，f z 为选定的惯性副层内的某一高度。

由方程可得： m f f f z z d z z d z z d -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----
=00ln (2.13) ()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+==∑⎰+=-+121111021n i i i i i f z f m z u z z u u z u dz z u z u z f
(2.14)
联立式(2.17)和方程(1.1)并带入*u 值，可得： A
z z d m f -= (2.15) f y m e A
z z -=0 (2.16) 其中， ()f y f f f y e A u z u z d z y f
--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11;0ln *κ (2.17)
2.2.3 阻力法
粗糙元耗散了粗糙地表上方的风动量，引起风速廓线的变化，耗散的风动量作用在粗糙元上的形式为拖曳力，通过测量拖曳力从而进行粗糙度的计算。

摩阻速度与剪应力关系为ρτ/*=u ，测得剪应力即可计算出摩阻速度*u ，将*u 带入对数廓线方程（1.1）即可得： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ρτκ/exp /0z U z z (2.18) 式中ρ为空气密度。

在中性大气层结条件下，空气动力学粗糙度0z 可由高度z 、
z 处的风速z U 、阻力τ、空气密度ρ来确定。

2.2.4 无因次化风速法
加入修正函数后式（1.1）变为： ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ξϕκm z z z u U 0*ln (2.19) 由式（2.19）可得： ()ξϕκm z u U z z +=*0ln (2.20)
式中，L z /=ξ，L 为Monin-Obukhov 长度；()ξϕm 为风速廓线稳定度修正函数。

其形式为：
()ξξφξϕξξd m
m ⎰-=01 (2.21)
其中m φ为无因次风速梯度，为： z U u z z
m ∂∂=*κφ (2.22)
L z /及*/u u κ可由实验测得，带入Businger-Dyer 的通量廓线关系：
()⎩⎨⎧>+<-=-05101614/1ξξξξφm (2.23) 即可得到式（2.20）中等式右边的值，从而可以计算出0z 值。

2.3 地表粗糙度的应用
地表粗糙度是大气边界层湍流属性通量参数化方案中常用的一个参数。

Greeley 等(1974)建立了起动摩阻速度t u * 与0z 间的关系式：
⎪⎭⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
202*1ln 776.01139.0z d gd u t ρσ (2.24)
式中，σ为沙颗粒密度；d 为颗粒直径径。

Bagnold 输沙率方程为： ()t u u g D d A q *-=ρ (2.25) 式中q 表示输沙率；A 为常数；D 取值0.25mm 指标准粒径。

White 输沙率方程为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=****3*1161.2u u u u g u q t t ρ (2.26)
在其他模型中输沙率也都与起动风速相关，由以上三式可知，空气动力学粗糙度直接影响沙粒的起动风速，进而影响绝对和相对输沙量，从而对土地荒漠化形成规律、沉积物输运方式、沙丘迁移以及戈壁风蚀面的形成、发育等过程具有重要作用。

将空气动力学原理运用于风沙等方面问题的研究自上个世纪以来取得了很大的进展，估计不同地表的空气动力学粗糙度成为了的重要的研究内容。

地表粗糙度0z ，阻力系数D C ，零平面位移高度d 等参数都用来表征地表障碍物对地表上方气流阻滞作用的影响，关于这三个参数的实验数据表明：0z 最为敏感，其次为阻力系数D C ，零平面位移高度d 为最弱；因此，空气动力学粗糙度0z 最为广泛地用于表征各种下垫面的空气动力学特征。