直线上一动点到两固定点之间距离的最值
圆周一动点到两定点的最短距离
圆周一动点到两定点的最短距离圆周一动点到两定点的最短距离是一个经典的几何问题，涉及到圆的性质与直线的关系。
在本文中，我们将从不同的角度探讨这个问题，展示出它的深度和魅力。
首先，我们来了解一下这个问题的背景。
假设有一个圆，圆心为O，半径为r；另外有两个定点A和B，我们需要找到一个动点P，使得P到A和B的距离之和最小。
为了解决这个问题，我们可以运用几何分析的方法。
首先，我们将P点与A、B两点分别连线，得到线段PA和PB。
我们可以观察到，P 到A和B的距离之和等于线段PA和线段PB的长度之和。
接下来，我们观察到一个重要的性质：当线段PA和线段PB的长度相等时，P到A和B的距离之和达到最小值。
这是因为，当PA和PB 的长度相等时，P点正好位于线段AB的中垂线上，此时P到A和B 的距离之和等于2倍的线段PA（或PB）的长度。
根据这个性质，我们可以得出结论：圆周上与线段AB的中垂线相交的点P，即为P到A和B的距离之和最小的点。
这个点P的位置并不唯一，因为圆周上有无数个与线段AB的中垂线相交的点，它们的P到A和B的距离之和都是最小的。
这个结论可以通过几何推导得到，但也可以用数学方法进行证明。
我们可以设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，定点A的坐标为(x₁,y₁)，定点B的坐标为(x₂,y₂)。
根据求解最短距离的条件，可以列出以下方程组：√((x-x₁)²+(y-y₁)²)+√((x-x₂)²+(y-y₂)²)=k其中，k为常数。
通过求解这个方程组，我们可以得到圆周与线段AB的中垂线相交的点P的坐标。
除了几何和数学的方法，还有其他方法可以求解这个问题。
例如，我们可以利用优化算法来找到P到A和B的距离之和最小的点。
通过将问题转化为一个优化问题，我们可以建立一个目标函数，使得这个函数的取值在P点附近达到最小值。
通过迭代求解，我们可以找到使得目标函数取值最小的P点。
第十一周第一课时关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题一历城三中尹健
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题专题学习目标：1、领会和最小与差的绝对值最大问题的内涵，能正确求解二次函数综合问题中的相关问题；2、能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题。
学情分析：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50﹪左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
重点：能够正确的分析和最小与差的绝对值最大问题、转化问题 难点：理解和最小与差的绝对值最大问题的内涵 一、问题引入：问题1：大家记得这样一个常识吗？“牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？”即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小。
（1）A ，B 两点在直线异侧时（2）A ，B 两点在直线同侧时方法是：小结1：在直线l 上找一点P 使PA+PB 和最小，常把两点转化到直线的 ，即作B 点关于 （也可以作Ａ点关于l 的对称点Ａ′），连接ＡＢ′交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。
（３）变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小问题2：在l 上找一点P ，使得∣PA －P B ∣最大 （1）A ，B 两点在直线同侧时l A · B · l A · B · l A · B ·l B · A ·（2）A ，B 两点在直线异侧时小结2：在直线l 上找一点P 使∣PA －P B ∣最大，常把两点转化到直线的 ，即作A 点关于 （也可以作B 点关于l 的对称点B ′），连接A ′B 交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。
基础知识梳理：分清题目类型，若是和最小，则把两点转化到直线的异侧；若是差的绝对值最大，则把两点转化到直线的同侧；可以简记为“ ”。
二、例题讲解 和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，求点P 在何处时，PA ＋PB 的和为最小？并求最小值。
例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径
例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径(中学教研2017／3)杨伟达（广州市花都区第二中学 510800）众所周知，距离问题本是一个古老的话题．但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石．因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果．下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力．一、借助特殊曲线，寻求等价替换有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质．此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值.例1 已知圆C ：034222=+-++y x y x（1）略；（2）从圆C 外一点),(y x P 向圆引一条切线，M 为切点，O 为坐标原点，且有PO PM =，求使PM 最小的P 点的坐标．分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特殊）．解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决．解：已知圆C 方程：034222=+-++y x y x所以圆心坐标为)2,1(-，半径为2，又因为PO PM =，设),(11y x P ， 且PM 是圆C 的切线，所以)(222为圆的半径R PC R PM =+ 所以212121212)2()1(y x y x +=--++化简为：034211=+-y x 这是点P 满足的轨迹方程. 因为PO PM =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值.PO 的最小值转化为点O 到直线034211=+-y x 的距离.即1053203min ==PO联立方程组有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0342209112121y x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=5310311y x 因此，点P 的坐标为)53,103(-.例2 分别在椭圆19422=+y x 与抛物线222m y x -=上的两动点M 、N 间的距离最小值是5，则m 的值是（ ）（A ）1± （B ）2± （C ）2±（D ）22±分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊．观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离．此时问题就变得简单了.解：因为M 、N 间的距离最小值是5 所以椭圆与抛物线不相交如图1，观察，此时抛物线的顶点N 与椭圆上顶点M 的距离 就是两动点M 、N 间的距离最小值抛物线的顶点)2,0(2m 与椭圆上顶点)3,0(的距离最小值为5 所以5322=-m 解得：2±=m 故选B.二、借助三角函数，寻求合二为一有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值．比如：圆222R y x =+上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθR R ；椭圆12222=+by a x 上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθb a .例3 （2016·广州二测理数23）选修4－4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+)4π=(1) 略；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现．比较快捷的解决方法是利用参数方程表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决.解：(1)略.所求曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=；直线l 的直角坐标方程为2x y +=.(2)因为点Q 是曲线C 上的点，所以可设点Q的坐标为),sin θθ所以点Q 到直线l的距离为d==. 当cos 16πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d ==所以点Q 到直线l的距离的最大值为三、借助数形结合，突显形象直观有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内，另一个动点在某特殊曲线上．此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决.例4 设D 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域，圆C:1)5(22=+-y x 上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-134,1225 B.[)134,117+- C.[)34,17 D.[)134,117--分析：此题涉及线性规划问题.先将不等式组表示出平面区域，再根据圆的特殊性质通过数形结合可将问题解决.解：如图2，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域如下图中三角形ABO 内（含边缘）的阴影部分。
异侧和最小同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察
庄和李庄是位于公路 ２ 旁的 ２ 个村庄 ， 若要在公路 上建一个汽车站 ， 欲使 ２ 个村庄到该车站的距离之
和最小 ， 试设 计 出 车站 的最 佳位 置 ， 并说 明理 由． 这
上面这个模型典型特征是 ： （ １ ） 定点 Ａ ， 位 于 动点运 动轨道 的同侧 ； （ ２ ） 可求距 离之 差 的最大
第 ６期
王怀学 ， 等： 异侧 和最 小 同侧 差最大
・ ９・
异 侧
— —
和
最
小
同 侧
差
最 大
到两定点距离之 和与差的最值 问题 的新观察
（ 海头高级中学 江苏赣榆 ２ ２ ２ １ １ １ ）
●王怀 学 吕从 军 １ 问题提 出
边 之 和大 于 第 三 边 ” ， 那 么同时也应该 有 “ 三 角 形 两 边之 差小 于第 三 边 ” 所 对 应 的最 值 问 题 存 在 ， 也 就 是说 上述 模 型可 以改编 为 求距 离 之 差 的问题 ， 由
图 １ 图２
模型 ２ 如图 ２ ， 已知 点 Ａ， 在直 线 Ｚ 的 同侧 ， 在 ｆ 上 求 一点 ， 使得 Ｍ Ａ— ＭＢ最 大．
分析 延长Ａ Ｂ交 直线 Ｚ 于 点 ， 如图２ ， 线 段
“ 两点之间， 线段最短 ” ， 简单的 ８ 个字蕴涵着 生活的哲理 ， 它是我们都熟悉 的一个“ 距离公理” ，
联结 Ａ Ｂ 交 轴 于 点 Ｐ ， 则
Ｐ Ａ＋ Ｐ Ｂ＝Ｐ Ａ＋ 船 １ ≥Ａ Ｂ １ ， 也
｜ ／ 耳 ：
Ｐ、 ＼
． 、
｛
２
Ｂ１
ｊ
就是说 点 Ｐ 移动到 与点 Ｐ 重合 时 ， 取 到最 小值
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。
关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。
许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。
本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。
一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。
可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。
求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。
由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。
参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。
直线上一动点到两定点距离之和最小问题
直线上一动点到两定点距离之和最小问题．如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值所在直线的对称点与另一定p二、其中一定点关于动点点连结成的线段长即所求。
例题讲解）两点，3（3，），、平面直角坐标系内有A（2，-1B1 轴上一动点，求：是yP点B 距离之和最小时的坐标；P）到A、（1 距离之和的最小值；、BA2（）P到的周长的最小值。
PAB（3）三角形2，DM=2在CD上且MABCD例2、正方形的边长为8，点DN+MN的最小值是多少？在对角线动点NAC上，则3的A2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点3例．（顺OOA绕原点0），连结OA，将线段，坐标为（－2 OB.时针旋转120°，得到线段B的坐标；（1）求点、、O三点的抛物线的解析式；A（2）求经过B，使△C2）中抛物线的对称轴上是否存在点3（）在（C的周长最小？若存在，求出点的坐标和BOC.的最小周长；若不存在，请说明理由△BOCyBOA x4巩固提高边的BC中，点Q为、在边长为12㎝的正方形ABCD PQAC上一动点，连接PB、，中点，点P为对角线周长的最小值为____________㎝。
则△PBQ是等边三12，2、如图所示，正方形的面积为ABCDABE △AD内，在对角线角形，点在正方形P ACABCDE E 的和最小，则这个最小值为，使上有一点PE PDP CB（）．B．AD．C 3 ．662325，⊥BCABCD中，AD∥BC，AB3、已知直角梯形PD取P=2，BC=DC=5，点在BC上移动，则当PA+AD）APD最小值时，△中边AP上的高为（3D A、BC、、、482171717171717的两条对角线分别，荆门）如图，菱形ABCD4、（2008 分别P是对角线AC上的一个动点，点M、N8长6和，点值，则PM+PN的最小BC 是边AB、的中点是。
O在，点AMN=25、（2009，南通）如图，MN是O的直径，0上的一BAMN=30，为弧AN的中点，P是直径MN上，∠个动点，则PA+PB的最小值是。
求一动点到两定点距离问题
•（2008•广安）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是 对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为————．
.A
M B’
a
N
b
.B
求一动点到两定点之和最短①两定点在 直线同侧关键做对称点②两定点在直线 两侧关键平移一个河宽
天桥一模
市中一模
(2)也可证 △AOC∽△ACB(SAS)得 ∠ACB=∠AOC=90°
市中一模
小结：相似更简单 （3）求CM+DM最小值是联 想到修建自来水水塔问题关 键做出C或D的对称点或相似
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键 做对称点②两定点在直线两侧关键平移一个河宽
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键做对称点②两定点在直线两 侧关键平移一个河宽
三函数第4课时二次函数
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同 侧关键做对称点②两定点在直线两侧关键平移 一个河宽
1）利用交点式求表达式简单 2）因为AC一定，故关键求PC+PA最小，所以先求A点关于l 的对称点B与C点的直线表达式，其与l的交点即为P点 3）三角形为等腰三角形需分三种情况讨论
三函数第4课时二次函数
天桥一模
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线 同侧关键做对称点②两定点在直线两侧关键 平移一个河宽
县二模试题13题
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键做对 称点②两定点在直线两侧关键平移一个河宽
如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线 a的距离为2，点B到直线b 的距离为3，AB=2√30，试在直 线a上找一点M，在直线b上找一点N,满足MN⊥a且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=
动点到两定点距离和最小(两定一动)
3.在平面直角坐标系xoy中，矩形ABOC的坐标分别为A（4，3）、B（4，0）、C（0，3）,点D是OB的中点，点P是y轴上一动点，连接PA、PD，当PA+PD的值最小时，求点P的坐标.
（提示：找到D点关于y轴的对称点E（-2，0），确定直线AE表达式，从而..........）
如图3，我们连接AB1交直线l于点C，根据对称性，CB＝CB1，即AC+BC＝AC+CB1＝AB1.根据线段公理，我们不难发现AB1＜PA+PB1，、AB1＜QA+QB1
即：连接AB1交直线l于点C，在C处加水，可以使司机所走过的总路程最短。
小结：上述过程中，我们首先找出B点（也可以是A点）关于直线l的对称点B1（或A1），然后连接AB1（或A1B），所连线段与l的交点C就是所求作的点。（如图4、图5）
例2. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝900，AD＝5，AB＝5，BC＝7；点P是边AB上一动点，连接PD、PC，求PC+PD的最小值，并求此时PA的长。
解析：解决此题关键是：找到两定点C、D，一动点P，一直线AB所在直线，找对称、连接，然后构造一直角三角形，使用勾股定理求出PC+PD的最小值；进而再使用三角形相似求出PA.（PC+PD的最小值为13）
（答案：PA+PB的最小值为 ）
下面再给出几题供大家练习：
1.如图，将矩形ABCD对折，点P是折痕上的一动点，已知AB＝6，BC＝8，连接PB、PC，求PB+PC的最小值。
（答案：PB+PC的最小值为10）
2.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，点E为AD边中点。若AC＝AD＝6，连接PA、PE，求PA+PE的最小值。
解析几何中求距离最值问题的方法与策略
解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。
它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。
本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。
二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。
这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。
2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。
2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用空间几何和向量的知识。
三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。
在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。
在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。
3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。
在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。
在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。
3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。
常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。
四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。
通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。
曲线上一动点到两定点距离之和的最值
曲线上一动点到两定点距离之和的最值
最短距离可以定义为曲线上一动点到两定点距离之和的最值。
这样的问题，在日常生活中比较常见，比如你想选择一条把家和公司连接起来的路线，同时又尽量缩短行程的路程，比如有一个旅行者，他要从一个城市出发，经过两座城市，最终到达第三个城市。
此时，这个旅行者需要求出这三个城市之间最短路线，这有可能是由两个路线构成，一条是从始发城市到经由城市的路线，另一条是从经由城市到目的地的路线，如果两个路线的和最小，就是最短的路线。
求出最短距离的关键就是如何求出曲线上各点数据的地址编码，以及确定两定点的距离。
这要依赖地图或者用曲线上的一个点作为切割点将此曲线分为两条曲线，每条曲线再根据特定的定点及他们的距离关系来继续计算。
最后的结果就是曲线上到两定点的最近点。
一般来说，求最小距离要求用求交点法来寻求，有梯度下降法，梯度下降求交点法，牛顿迭代法，有偏梯度法，二次剩余收敛等方法。
最短距离的求解具有重要的实际意义，比如行车路线或者儿童教育，都要考虑到安全。
求最短距离也需要考虑到各地的地形条件，以确保路线的安全性，有效性，而最短距离的求解方法，正是帮助我们确定正确的路线。
定点到动直线距离最大值
定点到动直线距离最大值【摘要】定点到动直线距离最大值是一项重要的数学问题，其涉及到很多实际应用。
本文将从定点到动直线距离的定义开始，探讨影响这一距离的因素，以及优化方法和最大值的计算。
通过实例分析，我们将展示定点到动直线距离最大值的具体计算过程。
我们将探讨定点到动直线距离最大值的应用前景，总结结论并展望未来的研究方向。
通过本文的研究，读者将更深入地了解定点到动直线距离最大值这一问题，以及其在实际中的重要性和应用价值。
【关键词】关键词：定点到动直线距离、最大值、优化方法、计算、实例分析、应用前景、结论、研究背景、研究意义、影响因素。
1. 引言1.1 研究背景定点到动直线距离最大值是一项重要的研究课题，它在实际生活中有着广泛的应用。
研究这一问题的背景可以追溯到数学几何学的基础知识。
我们知道，在平面上，两点之间的距离可以通过距离公式来计算，而直线是两个点的集合，其中任意两点之间的距离也可以计算。
当其中一个点是动点时，两点之间的距离将变得动态，需要考虑点的位置随时间的变化。
在现代科技和工程领域，我们经常需要研究定点到动直线距离的最大值，比如在无人驾驶汽车中，需要计算车辆与前方障碍物之间的最大距离，以确保安全行驶；在机器人领域，需要考虑机器人与工作目标之间的最大距离，以提高工作效率。
研究定点到动直线距离最大值具有重要的应用意义，可以为实际生活中的问题提供解决方案，促进科学技术的发展和进步。
1.2 研究意义定点到动直线距离最大值的研究意义非常重要。
在现代社会，人们对空间距离的精确测量和优化具有重要意义。
定点到动直线距离的最大值是一种特殊的距离问题，其研究不仅可以帮助我们更好地理解空间距离的性质，还可以应用于各种领域。
定点到动直线距离的研究可以帮助我们更好地理解空间几何关系。
通过深入研究定点到动直线距离的定义和计算方法，我们可以揭示空间中点与直线之间的关系，从而为解决空间几何问题提供重要的理论基础。
定点到动直线距离的研究对于提高空间测量的精度和效率具有重要意义。
到两个定点距离之和为定值的轨迹
到两个定点距离之和为定值的轨迹篇一：《神奇的轨迹之谜》嘿，同学们！你们想过没有，到两个定点距离之和为定值的轨迹到底是个啥样儿？这可真是个超级有趣又神秘的问题呢！就好像我们在操场上跑步，从起点跑到终点，再跑回来，这一段路程是不是固定的？那如果有两个固定的点，我们到这两个点的距离加起来总是不变的，那我们会走出什么样的路线呢？比如说，有两个大树，一个在东边，一个在西边。
我们从东边的大树出发，要走到一个地方，使得走到东边大树和西边大树的距离之和永远是一个固定的数字。
这难道不像是在玩一个超级有趣的寻宝游戏吗？我们得找到那个神奇的地方！我和小伙伴们就曾经一起研究过这个问题。
“哎呀，这到底是怎么回事呀？”小明抓耳挠腮地说。
“我觉得吧，可能是个圆！”小红眨着大眼睛猜测道。
“怎么可能是圆呢？圆不是到一个点的距离相等嘛！”小刚立刻反驳。
“那你说是什么？”小红不服气地问。
大家七嘴八舌地讨论着，谁也说服不了谁。
后来，老师给我们讲了，这其实是个椭圆！就像是一个被压扁的圆。
我们都惊讶得张大了嘴巴，“啊？原来是这样！”那椭圆到底有什么神奇的地方呢？它的形状有时候看起来长长的，有时候又扁扁的。
这不就像我们的心情，有时候开心得像个气球，有时候又低落得像个瘪了的皮球？而且呀，椭圆在生活中也有很多的用处呢！比如说，卫星绕着地球转的轨道就是个椭圆，还有一些桥的形状也是椭圆的一部分。
你们说，这是不是很神奇？所以呀，我觉得数学真的是太有趣啦！就这么一个小小的问题，居然能引出这么神奇的答案，还能在生活中有这么多的应用。
我们可不能小瞧了数学，说不定以后还能发现更多更有趣的奥秘呢！篇二：《探索神奇的轨迹》嘿！同学们，今天我要和你们聊聊一个超有趣的东西——到两个定点距离之和为定值的轨迹。
这听起来是不是有点神秘，有点让人摸不着头脑？想象一下，在一个大大的操场上，有两根高高的旗杆，这就是我们说的两个定点。
然后呢，有一个小朋友拿着一个超级长的跳绳，跳绳的一头绑在第一根旗杆上，另一头绑在第二根旗杆上。
同侧异侧互化巧解距离和差最值问题
同侧异侧互化巧解距离和差最值问题2019-07-23在解析⼏何中，经常遇到⼀个动点到两个定点的距离之和与差的最值问题，此类问题的条件是动点在某条定曲线上，定点往往有分布在曲线同侧或者异侧，曲线有封闭型或者⾮封闭型，距离⼜有和或差，最值也有最⼤或最⼩，所以看似解法各异，解法灵活，实则是同类问题，这类问题的根本解决之道是同侧化异侧，异侧化同侧，再应⽤三⾓形的基本性质“两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边”加以解决，通⽤模式为：设A，B为两定点，P为评注例l涉及直线上⼀动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中⼀定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另⼀定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联⽴对称点与另⼀定点所在直线⽅程和题中所给定直线求交点即为所求，变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利⽤到导数，⽽且计算量较⼤；⽽通过转化为⼀动点到两定点的距离和的最值问题，再利⽤对称求解即可，变式2看似是两个定圆上的动点与⼀个动点距离差的最⼤值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆⼼的距离加减半径，可以将问题转化成⼀定直线上的动点与两个定点（即圆⼼）距离之差的最⼤值问题，再利⽤例l的⽅法求解即可得到所求最⼤值，这类问题的通性通法是：利⽤对称将直线上的⼀动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的⼀动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利⽤三⾓形的基本性质及通⽤模式求解最值，评注例2涉及椭圆上⼀动点与两定点（其中⼀个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利⽤定义，将动点到⼀个焦点的距离与其到另⼀个焦点的距离进⾏转化，然后利⽤⼏何最值法最终解决（如例2（1）中差的最⼩值和例2（2）中和的最⼤值和最⼩值）；（2）在求和的最⼩值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使⽤⼏何最值法（如例2（1）中差的最⼤值），具体属于哪⼀类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况⽽定，这类问题的通性通法是：利⽤定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利⽤三⾓形的基本性质及通⽤模式求解最值，3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进⾏同侧异侧互化评注例3涉及双曲线右⽀上⼀动点与两定点（其中⼀个为焦点）距离之和（差）的最值问题。
高考数学_浅析动点到两个定点的距离之和(差)的最值
浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值江苏省泰州市民兴实验中学马永华在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．许多同学在面对此类问题时感到束手无策，无从下手。
本文就此类最值问题常见题型作初步探索。
一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA ?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点B?（3，-2），则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PB??AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点B?，则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PB- PA= PB?- PA ?AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB?=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB?AB；同理在∆MAB中有MB-MA?AB，即MB-MA?-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB?MA-MB?AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF?BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在∆PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2?8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MM?为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MM?，可得MA+MF= MA+MM??AM?（当且仅当A，M，M?三点共线时等号成立，即当点M在M?处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PP?垂直y轴于点P?，则AP+ PP?的最小值为．解析：如图12，延长PP?交抛物线的准线于点P??，由抛物线的定义：PP?=PF，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。
直线上一动点到两定点距离之和最小问题
如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值解题思路和步骤：一、作出点p的位置：即其中一定点关于点p所在直线的对称点与另一定点的连线跟点p所在直线的交点。
1、作其中一定点关于点p所在直线的对称点；2、连接该对称点和另一定点，所得直线与点p所在直线的交点即点p的位置。
二、其中一定点关于动点p所在直线的对称点与另一定点连结成的线段长即所求。
例题讲解1、平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求：（1）P到A、B距离之和最小时的坐标；（2）P到A、B距离之和的最小值；（3）三角形PAB的周长的最小值。
例2、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？A D EPBC 例3．（2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标和 △BOC 的最小周长；若不存在，请说明理由.巩固提高1、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ， 则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。
2、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取 最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 B A O y xOxyBD AC P 4、（2008，荆门）如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别 是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 。
中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题
“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1河流A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。
而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。
我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。
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直线上一动点到两固定点之间距离的最值
【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。
当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。
【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B 点的距离之和最小。
【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：
1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）
2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。
”（定理2）
3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】
1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当两固定点在直线同侧时，如图1
图 1
假设直线上任意一点P’点，连接P’点与B点，P’点与A点，形成△P’BA，根据“定理3”，得知|P’A-P’B|<AB；
当P’点移动到P”点时，分别连接A、B两点，形成△P”BA，根据“定理3”，得知|P”A –P”B|<AB；
只有移动到P点，即BA连线的延长线与直线L的交点时，|PA-PB|=AB。
结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。
计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。
如图1，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’
这样，AM∥BM’
因此，在直角△PBM’中，AM/BM’=PM/PM’
所以，PM’=PM+MM’
最终得出：PM=（AM×MM’）÷|BM’-AM|，以此确定P点的位置（或坐标）。
同样道理，PM/MM’=PA/AB
所以，最大值AB=MM’/PM×PA，根据勾股定理计算出PA后，就计算出了AB的长度。
（2）当两固定点在直线异侧时，如图2
图2
对于处于直线异侧的两点，先通过其中一点A做一条垂直与直线L 的直线，垂足为M，且使AM=A’M（即做A点对于直线L的对称点），将异侧问题转化为同侧问题。
然后，连接A’和B点，并延长交于直线于P点，则P点就是到A、B 两点距离之差的绝对值最大时的点。
同样，在直线上任意一点P’，并连接P’A，P’B，P’A’，可以看出，在△P’A’B中，|P’A’-P’B|<A’B，由于P’A’=P’A，所以，|P’A-P’B|=|P’A’-P’B|<A’B。
将P’点移动到P”点，并构成△P”A’B，同样道理可以得出|P”A-P”B|=|P”A’-P”B|<A’B。
所以，只有将P点移动到A’B的延长线与直线L的交点处时，才能得到|PA-PB|=|PA’-PB|=A’B。
结论：当直线上一动点，与直线异侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于一点与另外一点对于直线的对称点的连线的延长线与直线的交点处。
计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。
如图2，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’
所以在直角△PM’B中，A’M/BM’=PM/PM’，由于PM’=PM+MM’
所以，PM=（A’M×MM’）÷|A’M –BM’|，以此确定P点的位置（或坐标）。
同样道理，PA’/A’B=PM/MM’，所以，P点到A、B两点距离之差的绝对值最大值为A’B=PA’×MM’÷PM，根据勾股定理计算出PA’后，就计算出了A’B的长度。
【本节结论】直线上移动点到直线外两固定点之间的距离之差的绝对值，只存在最大值，不存在最小值。
当两点在直线同侧时，最大值为两点连线长度；当两点在直线异侧时，最大值为一点与另一点对于直线的对称点的连线长度。
推导出：当两固定点在直线上时，动点与两定点之间的距离之差的绝对值，有且只有一个值（即常量），即两点之间的线段长。
2、求直线上动点到直线外两固定点的距离之和绝对值的最小值（1）当两固定点在直线同侧时，如图3
图 3
首先，过A点做直线垂直于直线L，垂足M，并使AM=MA’
连接A’B，AB，AB与直线L交于P点，连接AP
在直线L上任意取一点P’，连接P’B，P’A，P’A’
从图上可以直观得出，P’A=P’A’，所以，P’点到A、B点的距离之和与P’点到A’点、B点的距离之和相等，即|P’A+P’B|=|P’A’+P’B|
根据“定理3”，在△P’A’B中，P’B+P’A’>A’B，所以，P’B + P’A >A’B
同样道理，如果P’点移动到P”点，与A’、B点构成△P”A’B，P”B+P”A’>A’B，而P”A’=P”A
所以，P”B+P”A>A’B
只有当P点移动到A’、B点连线与直线L的交点处时，即P点即处于直线L上，又处于线段A’B上时，|PA’+PB|=A’B，而PA’=PA，所以，|PA+PB|=A’B
这时，P点到两定点的距离之和的绝对值才是其他所有点到两定点距离之和的绝对值中最小的。
结论：当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小时，P点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的
交点处。
计算：P点的位置（或坐标）以及最小值
如图3，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’
由于直角三角形MPA’与直角三角形BPM’，三角相等，所以，这两个三角形为相似三角形
所以，MP/PM’=MA’/BM’，且PM’=MM’-MP
所以，MP=MA’×MM’÷（MA+BM’），以此确定P点位置（或坐标）。
又因为，|PA+PB|=|PA’+PB|=A’B，且MP，PM’=MM’-MP均已计算出，运用勾股定理，分别计算出PA’、PB长度，即可确定A’B的长度，即P点到两固定点距离之和绝对值的最小值。
（2）当两固定点在直线L异侧时，如图4
图4
根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接A、B两点与直线L的交点就是符合要求的P点，在此不再累述。
【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只存在最小值，没有最大值。
当两固定点在直线同侧时，动点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处；当两固定点在直线异侧时，动点位于两固定点连线与直线的交点处。
推导出：
（1）当两固定点在直线上时，动点到两固定点的距离之和的绝对值的最小值，有且只有一个，就是两固定点之间的线段长。
（2）当两固定点在直线上时，直线上的动点到两固定点的距离之差的绝对值的最大值和距离之和的绝对值的最小值相等，即两固定点之间的线段长。