2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(上海)

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2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBC 1A 1B 1AFCG19．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得1)(2222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客/xiejunchao1。

2003年高考试题——数学文(上海卷)及答案

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——培根2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= .7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = . 12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|x ctg y =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（） A ．α、β都垂直于平面r . B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β. D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.15．在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数x a y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A ．P ．B ．Q.C ．M.D ．N.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =1， 0<b<2,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a =－2,b=0,则函数g(x )的图象关于y 轴对称D ．若 a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.19．（本题满分14分）已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+- （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.（3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)21,21(-. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．190119 10．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．[解]12|||1sin cos (cos sin )|z z i θθθθ⋅=++-===故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38.19．[解]x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则121222221122122122122111111122()()log log )[log (1)log (1)],111111220,log (1)log (1)0,11x x f x f x x x x x x x x x x x x x ++-=--+=-+-------->--->--（由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为12222=+by a x . 将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道拱宽约为33.3米. （2）由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+ba2222222211 4.5211 4.59999,2,,.42211 4.51,,231.1, 6.422ab ab l a h b S lh a b ab S a b l a h b a b πππ⨯⨯+≥≥====≥======≈=≈因为即且所以当取最小值时有得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+ba 于是,121481222-⋅=a a b222222228112181(121242)242)81121,4121412199,,121,1121a b a a ab S a a b a =-++≥=⨯-≥-===-即当取最小值时有得21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10。

2003年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国)卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离PMNlPNMl NlPMlMNPNlPM215 3419．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .OPAG D FEC By参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA ===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s 某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C （0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。

2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)及答案

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232c o s -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的（） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//nB ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（）A ．51 B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．241B ．81 C ．61 D ．21 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中，是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.CBC B118．（本小题满分15分）如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的 .|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点， ∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a AC AD CD DE =⋅=C 1解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACDC V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ，又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.图（2）图（1）C 11C18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x（Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -，其中,500<<x 则,1925202=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为： ),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x=代入②式得,500x y y = 于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(00x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为.146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC 所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M重合时，P 到三镇的最远距离最小.答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-= 即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==- 对任意的]1,1[,-∈v u ，当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时当0,u <⋅v不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ① 由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。

2003年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海)卷

2003年高考理科数学试题(上海卷) 一、填空题
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）
已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
18．（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，
AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角
等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
参考答案。

03届,普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案

03届,普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：，其中R 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知，0），，则（）（A）（B）（C）（D）2．圆锥曲线的准线方程是（）（A）（B）（C）（D）3．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）4．函数的最大值为（）（A）（B）（C）（D）2 5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则（）（A）（B）（C）（D）6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）（B）（C）（D）7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）（A）1 （B）（C）（D）8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D）9．函数，的反函数（）（A），1] （B），1] （C），1] （D），1] 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，）11．（）（A）3 （B）（C）（D）6 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．的展开式中系数是14．使成立的的取值范围是 2 1 5 3 4 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）D E K B C1 A1 B1 A F C G （II）求点到平面AED的距离19．（本小题满分12分）已知，设P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围20．（本小题满分12分）O 北东O y 线岸O x O r(t) P 海在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km 的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）O P A G D F E C B x y 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，。

2003年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)

绝密★启用前2003年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．x y 21-= B ．x y 21=C ．x y 2-=D ．x y 2= 2．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247C ．724 D ．－724 3．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（）A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－8 4．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,31521==+=（）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠ F 1MF 2=120°则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26C ．36 D ．33 6．设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 7．已知==)2(,lg )(5f x x f 则（）A ．2lgB ．32lgC ．321lgD ．2lg 51 8．函数R x y 是)0)(sin(πϕϕ≤≤+=上的偶函数，则ϕ=（）A ．0B ．4π C ．2π D ．π9．已知点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的距离为1，则a = （）A ．2B ．－2C ．12-D ．12+10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为43R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．225R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tg θ= （）A ．31B ．52 C ．21 D ．112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．π3B ．4πC ．π33D ．π6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．不等式x x x <-24的解集是 . 14．492)21(x xx 展开式中-的系数是 . 15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.（I）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（II）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.19．（本小题满分12分）已知数列|n a |满足)2(3,11121≥+==--n a a a n n（I ）求;,32a a（II ）证明213-=n n a20．（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. （I ）函数数)(x f 的最小正周期和最大值;（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且,DADCCD CF BC BE ==P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.。

2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)及答案

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,1252ππα”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥α，α∩β=n ，则m//nB ．若m ∥n ，α∩β=n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（）A ．51 B ．52C ．55 D ．552 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,23)1(3=-+=--n a nn n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．241 B ．81 C ．61 D ．21 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（） A ．kk a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为12．函数x tg x h x x g x x f 2)(|,|2)(),1lg()(2=-=+=中，是偶函数.13．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值、最小值. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(3R x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.CBC B118．（本小题满分15分）如图，A 1，A 为椭圆的两个顶点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA 上异于O ，A 的任一点K 作OA 的垂线，交椭圆于P ，P 1两点，直线 A 1P 与AP 1交于点M.求证：点M 在双曲线192522=-y x 上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）判断函数⎩⎨⎧∈--∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(x x x x x g 是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(x f y =，且使得对任意的 .|)()(|],1,1[,v u v f u f v u -=--∈都有若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．3 12．)();(x g x f 13．)4(362--=x y 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为),42cos(2)(π+=x x f 所以)(x f 的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：由,323n n n nn a b ==得,323)22(343212n n n n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②将①式减去②式，得 .32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S所以.32)31(31+⋅+-=n nnn S17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B. ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点， ∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1.（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的距离. 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a AC AD CD DE =⋅=CC 1解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积111ACC D ACD C V V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴,43a x =∴即点D 到平面ACC 1的距离为a 43. （Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ，又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1. 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1.图（2）图（1）C 11C18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）解：由图可知,.3a b ,4,522=-===c c a 所以该椭圆的方程为,192522=+y x准线方程为.425±=x（Ⅱ）证明：设K 点坐标)0,(0x ,点P 、P 1的坐标分别记为),(),,(0000y x y x -，其中,500<<x 则,19252020=+y x ……① 直线A 1P ，P 1A 的方程分别为：),5()5(00+=+x y y x ……② ).5()5(00-=-x y y x ……③ ②式除以③式得,555500-+=-+x x x x 化简上式得,250x x =代入②式得,50x y y =于是，直线A 1P 与AP 1的交点M 的坐标为).5,25(0x y x 因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020=--=-x x x x y x所以，直线A 1P 与AP 1的交点M 在双曲线上192522=+y x .19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为 .146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f所以，当4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当因为225y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上是减函数. 所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24119,0(解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,12|25,25)(222y y y y y y x g 当当由|12|252y y -≥+解得,24119≥y 记,24119*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,12|,,25)(**2y y y y y y x g 当当函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC 所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24119,0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M重合时，P 到三镇的最远距离最小.答:点P 的坐标是);24119,0( 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-= 即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）答：函数)(x g 满足题设条件.验证如下：).1(0)1(g g ==- 对任意的]1,1[,-∈v u ，当|;||)1()1(||)()(|,0,1][,u v u v u v g u g v -=---=-∈有时当|;||)()(|,,0]1-[,u v u v g u g v -=-∈同理有时当0,u <⋅v不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 有.|||||)1()1(||)()(|u v v u v u v g u g -≤+=--+=-所以，函数)(x g 满足题设条件.（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由,0)1()1(==-f f 得,0|)1()1(|=--f f ①由于对任意的]1,1[,-∈v u ，都有.|||)()(|v u v f u f -=-所以，.2|)1(1||)1()1(|=--=--f f ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。

2003年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海)卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分）已知0>c ，设D E KBC 1A 1B 1AFCGP：函数x cy=在R上单调递减Q：不等式1|2|>-+cxx的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东东O偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C …………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。

普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)

普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为2.双曲线的渐近线方程为______3.的二项展开式中的系数为(结果用数值表示)4.设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则=5.已知复数满足,(是虚数单位),则6.记等差数列的前项和为,若,则7.已知.若函数为奇函数,且在上递减,则8.在平面直角坐标系中,已知点是轴上的两个动点,且,则最小值为9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为___________(结果用最简分数表示)10.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________11.已知常数,函数的图像经过点,若,则=12.已知实数1212,,,x x y y 满足:22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则+的最大值为_____二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设p 是椭圆22153x y +=上的动点,则p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. B. C. D.14.已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

03届,普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)及答案

《03届,普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）及答案》摘要：学（史类）（北京卷）试卷分Ⅰ卷（选择题）Ⅱ卷（非选择题）两部分共50分考试0分钟Ⅰ卷（选择题共50分）事项．答Ⅰ卷前考生必将己姓名、准考证、考试科目用铅笔涂写答题卡上．每题选出答案用铅笔把答题卡上对应题目答案标涂黑如改动用橡皮擦干净再选涂其它答案不能答试题卷上 3．考试结束监考人将试卷和答题卡并收回参考公式三角函数积化和差公式正棱台、圆台侧面积公式其、分别表示上、下底面周长表示斜高或母线长球体体积公式其R表示球半径、选择题题共0题每题5分共50分每题给出四选项只有项是合要．设集合等（）． B．．．．设则（）．3 B．3 ．3 ．3 3．“”是“” （）．必要非充分条件 B．充分非必要条件．充分必要条件．既非充分又非必要条件．已知αβ是平面是直线下列命题不正确是（）．若∥αα∩β则 B．若∥α∩β则⊥α ．若⊥α⊥β则α∥β ．若⊥α则α⊥β 5．如图直线椭圆左焦和顶...003年普通高等学校招生全国统考试数学（史类）（北京卷）试卷分Ⅰ卷（选择题）Ⅱ卷（非选择题）两部分共50分考试0分钟Ⅰ卷（选择题共50分）事项．答Ⅰ卷前考生必将己姓名、准考证、考试科目用铅笔涂写答题卡上．每题选出答案用铅笔把答题卡上对应题目答案标涂黑如改动用橡皮擦干净再选涂其它答案不能答试题卷上 3．考试结束监考人将试卷和答题卡并收回参考公式三角函数积化和差公式正棱台、圆台侧面积公式其、分别表示上、下底面周长表示斜高或母线长球体体积公式其R表示球半径、选择题题共0题每题5分共50分每题给出四选项只有项是合要．设集合等（）． B．．．．设则（）．3 B．3 ．3 ．3 3．“”是“” （）．必要非充分条件 B．充分非必要条件．充分必要条件．既非充分又非必要条件．已知αβ是平面是直线下列命题不正确是（）．若∥αα∩β则 B．若∥α∩β则⊥α ．若⊥α⊥β则α∥β ．若⊥α则α⊥β 5．如图直线椭圆左焦和顶B该椭圆离心率（）． B．．． 6．若且值是（）． B．3 ．．5 7．如圆台母线与底面成60°角那么这圆台侧面积与轴截面面积比（）． B．．． 8．若数列通项公式是则等（）． B．．． 9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种选出3种分别种不土质三块土地上其黄瓜必须种植不种植方法共有（）．种 B．8种．种．6种 0．某班试用电子投票系统选举班干部候选人全班k名学都有选举权和被选举权他们编分别…k规定按“”不（含弃权）按“0”令其…k且…k则学当选人数（）． B．．．Ⅱ卷（非选择题共00分）二、填空题题共题每题分共6分把答案填题横线上．已知某球体体积与其表面积数值相等则球体半径．函数是偶函数 3．以双曲线右顶顶左焦焦抛物线方程是．将长铁丝分成两段分别围成正方形和圆形要使正方形与圆面积和正方形周长应三、答题题共6题共8分答应写出说明证明程或演算步骤 5．（题满分3分）已知函数（Ⅰ）正周期；（Ⅱ）值、值 6．（题满分3分）已知数列是等差数列且（Ⅰ）数列通项公式；（Ⅱ）令数列前项和公式7．（题满分5分）如图正三棱柱B—B是BB （Ⅰ）证直线⊥B；（Ⅱ）到平面距离；（Ⅲ）判断B与平面位置关系并证明你结论 8．（题满分5分）如图椭圆两顶椭圆两焦（Ⅰ）写出椭圆方程及准线方程；（Ⅱ）线段上异任K作垂线交椭圆两直线与交证双曲线上 9．（题满分分）有三新兴城镇分别位B三处且B3kB0k今计划合建心医院方便三镇准备建B垂直平分线上处（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望到三镇距离平方和应位何处？（Ⅱ）若希望到三镇远距离应位何处？0．（题满分分）设是定义区上函数且满足条件（）（）对任（Ⅰ）证明对任（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；（Ⅲ）区[－]上是否存满足题设条件函数且使得对任若存请举例若不存请说明理由绝密★启用前 003年普通高等学校招生全国统考试数学试题（史类）（北京卷）参考答、选择题题考基知识和基运算每题5分满分50分．． 3．． 5． 6．B 7． 8．B 9．B 0．二、填空题题考基知识和基运算每题分,满分6分．3 ． 3．．三、答题题共6题共8分答应写出说明证明程或演算步骤5．题主要考三角函数倍角、和角公式以及三角函数性质等基知识考运算能力满分3分（Ⅰ）因所以正周期（Ⅱ）因所以值,值－ 6．题主要考等差、等比数列等基知识考综合运用数学知识和方法问题能力满分3分（Ⅰ）设数列公差则又所以（Ⅱ）由得① ② 将①式减②式得所以 7．题主要考直线与平面位置关系正棱柱性质棱锥体积等基知识考空想象能力和逻辑推理能力满分5分（Ⅰ）证法∵是正△BB边∴⊥B 又⊥底面B∴⊥B ∵B∥B∴⊥B 证法二连结则B ∵是正△B底边B ∴⊥B ∵B∥B∴⊥B （Ⅱ）法作⊥ ∵平面⊥平面B ∴⊥平面即长到平面距离R△ ∴所距离法二设到平面距离∵体积即到平面距离（Ⅲ）答直线B平面证明如下证法如图连结交则∵是B∴∥B 又平面B平面∴B∥平面证法二如图,取B则∥∥B∴∥平面B且∥平面B ∴平面∥平面B∵B平面B∴B∥平面 8．主要考直线、椭圆和双曲线等基知识考分析问题和问题能力满分5分（Ⅰ）由图可知, 该椭圆方程准线方程（Ⅱ）证明设K坐标,、坐标分别记其则……① 直线方程分别……② ……③ ②式除以③式得化简上式得代入②式得是直线与交坐标因所以直线与交双曲线 9．题主要考函数不等式等基知识考运用数学知识分析问题和问题能力满分分（Ⅰ）设坐标（0）则至三镇距离平方和所以当函数取得值答坐标是（Ⅱ）法至三镇远距离由得记是因[上是增函数而上是减函数所以,函数取得值答坐标是法二至三镇远距离由得记是函数图象如图因当函数取得值答坐标是法三因△BB3,且所以△B外心线段上,其坐标, 且B 当射线上记；当射线反向延长线上记这到、B、三远距离和且≥≥所以与外心重合到三镇远距离答坐标是0．题考函数、不等式等基知识考综合运用数学知识分析问题和问题能力满分分（Ⅰ）证明由题设条件可知当有即（Ⅱ）答函数满足题设条件验证如下对任当当当不妨设有所以函数满足题设条件（Ⅲ）答这样满足函数不存理由如下假设存函数满足条件则由得① 由对任都有所以② ①与②矛盾因假设不成立即这样函数不存。

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 已知函数1)(+=x x f ，则=-)3(1f.2. 直线1=y 与直线33+=x y 的夹角为 .3. 已知点P ()ααcos ,tg 在第三象限，则角α的终边在第象限.4. 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是 .5. 已知集合{}{}a x x B x x x A ≥=∈≤=,R 2||，，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .6. 已知z 为复数，则z z +＞2的一个充要条件是z 满足 .7. 若过两点)20()01(，、，B A -的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则=a .8. 不等式()()()π,0120lg cos 2∈>x x的解为 .9. 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有场比赛.10. 若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）11. 若函数3)2(2+++=x a x y ，],[b a x ∈的图象关于直线1=x 对称，则=b .12. 设221)(+=xx f 利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 关于直线a 、b 、l 以及平面N M 、，下列命题中正确的是 ( ) (A) 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b . (B) 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M .(C) 若M a ⊂，M b ⊂，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M . (D) 若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N .14. 复数i im z 212+-=（i R m ,∈为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 ( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.15. 把曲线012cos =-+y x y 先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的切线方程是( )(A)032sin )1(=-+-y x y . (B)032sin )1(=-+-y x y .(C)012sin )1(=+++y x y . (D)012sin )1=+++-y x y （. 16. 关于函数21)32(sin )(||2+-=x x x f ，有下面四个结论：（1）)(x f 是奇函数. （2）当2003>x 时，21)(>x f 恒成立.（3）)(x f 的最大值是23. （4）)(x f 的最小值是21-.其中正确结论的个数为 ( ) （A ）1个. （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个. 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)解不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x .18. (本题满分12分)已知函数)sin()(ϕω+=x A x f R),0,0(∈>>x A ω在一个周期内的图象如图所示. 求直线3=y 与函数)(x f 图象的所有交点的坐标.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知三棱柱111C B A ABC -，在某个空间直角坐标系中，{,,0}22m AB =-，}0,0,{m AC =，},0,0{1n AA =，其中0>n m 、.（1）证明：三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱；（2）若n m 2=，求直线1CA 与平面11ABB A 所成角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知函数5)(,5)(31313131--+=-=x x x g x x x f .（1）证明)(x f 是奇函数；并求)(x f 的单调区间.（2）分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出涉及函数)(x f 和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设21F F 、分别为椭圆1:2222=+b y a x C )0>>b a （的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到21F F 、两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段K F 1的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若N M 、是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.在一次人才招聘会上，有B A 、两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初被B A 、两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. 4.2.3π. 3. 二. 4.（3，2）. 5. 2-≤a . 6.1Re >z . 7. 54±. 8. ）（2,0π. 9.16. 10. 83arctg . 11. 6 . 12. 23..17.[解] 由,0862>+-x x 得0)4)(2(>--x x ，∴ 2<x 或4>x . …4分由213>-+x x ，得 015>-+-x x ， 51<<∴x ， …8分 ∴原不等式组的解是 )5,4()2,1( ∈x . …12分18. [解]根据图象得21,4)2(27,2==--==ωπππT A ,∴ )2sin(2ϕ+=xy . …4分又由图象可得相位移为2π-. 221πϕ-=-∴，4πϕ=.即 )421sin(2π+=x y . …8分根据条件)421sin(23π+=x ，23)421sin(=+∴πx .Z 23a r c s i n)1(42∈-+=+k k x kππ，Z 232)1(2∈--+=k k x k πππ， ∴ 所有交点坐标为）（，Z 3232)1(2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k πππ. …12分 19. [解] （1） }0,23,2{mm AB AC BC =-=，∴ m BC =|| ，又}0,23,2{mm AB -=，}0,0,{m =， ∴ m =||， m =||，△ABC 为正三角形. …4分又⋅1AA =0，即AB AA ⊥1，同理AC AA ⊥1，∴⊥1AA 平面ABC ，从而三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱. …8分（2）取AB 中点O ，连结CO 、O A 1.AB CO ⊥，平面⊥ABC 平面11A ABB ， ∴ ⊥CO 平面11A ABB ，即O CA 1∠为直线1CA 与平面11ABB A 所成角.…10分在∆Rt O CA 1中，m CO 23=，221n m CA +=， ∴ 221123sin nm mCA CO O CA +==∠=22，即︒=∠451O CA . …14分 20. [解]（1）函数)(x f 的定义域)0,(-∞ ),0(∞+关于原点对称，又())(55)()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---，∴ )(x f 是奇函数. …3分设），（、，∞+∈<02121x x x x ，55)()(31231231131121-----=-x x x x x f x f )11)((51312311312311x x x x +-=，0312311<-x x ，011312311>+x x ，∴0)()(21<-x f x f ，)(x f 在),0(∞+上单调递增.又 )(x f 是奇函数，)(x f ∴在)0,(-∞上也单调递增. …7分（2）计算得0)2()2(5)4(=-g f f ，0)3()3(5)9(=-g f f ，由此概括出对所有不等于零的实数x 有：0)()(5)(2=-x g x f x f . …10分5555)()(5)(3131313132322---+⋅-⋅--=-x x x x x x x g x f x f0)51)5132323232=---=--x x x x （（. …14分21. [解]（1）椭圆C 的焦点在x 轴上.由椭圆上的点A 到21F F 、两点的距离之和是4，得24=a ，即2=a ，又点)23,1(A 在椭圆上，因此12321222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b得32=b ，于是1222=-=b a c ，所以椭圆C 的方程为13422=+y x ，焦点)0,1(),0,1(21F F -. …4分（2）设椭圆C 上的动点为),(11y x K ，线段K F 1的中点),(y x Q 满足：2,2111yy x x =+-=， ∴ y y x x 2,1211=+=， …7分因此()()13241222=++y x ，即1342122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 为所求的轨迹方程. …10分（3）类似的性质为：若N M 、是双曲线：12222=-by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值. …13分设点M 的坐标为),(n m ，则点N 的坐标为),(n m --，其中12222=-bn a m .又设点P 的坐标为),(y x . 由m x n y k PM --=，mx ny k PN ++=，得⋅PM k =PN k ⋅--m x n y m x n y ++=2222m x n y --，将22222b x a b y -=，22222b m a b n -=代入得 ⋅PM k =PN k 22ab . …16分22. [解](1) 此人在B A 、公司第n 年的月工资数分别为：)N ()1(2301500∈-⨯+=n n a n ，)N (%)51(20001∈+=-n b n n . …4分（2）若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为304200)(121021=+++a a a （元），若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为301869)(121021≈+++b b b （元）， …8分因为在A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择A 公司. …10分（3）问题等价于求105.120002301270-⨯-+=-=n n n n n b a c )N ∈n （的最大值.当2≥n 时，=--1n n c c 205.1100230-⨯-n .当01>--n n c c ，即005.11002302>⨯--n 时，,3.205.12<-n 得 1.19<n .因此，当192≤≤n 时，n n c c <-1；于是，当20≥n 时，1-≤n n c c .19c ∴是数列{}n c 的最大项， …16分 827191919≈-=b a c (元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元. …18分。

2003年上海高考试卷(文)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）本试卷共22道题，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= .2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（） A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x yD ．|2|xctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.15．在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数x a y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A ．P ．B ．Q.C ．M.D ．N.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =1， 0<b<2,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a =－2,b=0,则函数g(x )的图象关于y 轴对称D ．若 a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.19．（本题满分14分）已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明. （3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：nnn n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)21,21(-. 5．arctg2. 6．[1,3].7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．190119 10．2.6 .11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题） 17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38.19．[解]x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab ba 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a a b,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一. 21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB v u 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10。

2003年普通高等学校春季招生统一考试数学试卷上海卷

2003年上海市普通高校春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________.2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.5．已知函数)24(log )(3+=x x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________ (结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(lim n a n n _____________.8．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。

若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）9．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.10．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.11．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列。

然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________.二、选择题（本大题满分16分）12．下列函数中，周期为1的奇函数是（）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tg y 2π= （D ）x x y ππcos sin =13．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．在A B C ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④15．若21++=a a p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是（）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）16. （本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.17. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车。

2003年普通高校招生数学理统一考试上海卷答案

2003年普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)43,22(π. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．190119 10．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 19．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nnn n n n n n n n nnn nnnn n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a Cq a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(133********122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）[解一]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab ba 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a ab ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一.21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.22．[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a aT x f x x T Tx =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，因为f(x)=sin kx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+k T)=Tsin kx .因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+k T∈R，于是sin kx∈[－1，1]，sin(kx+k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx+k T)=Tsin kx .成立，，当T=1时，sin(kx+k)=sin kx成立，则k=2mπ, m∈Z .只有T=1当T=－1时，sin(kx－k)=－sin kx成立，即sin(kx－k+π)= sin kx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z .综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。

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2003年上海高考物理试题一、选择题。

（共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个答案中，至少有一个是正确的。

）1.在核反应方程(X)O N He 17814742+→+的括弧中，X 所代表的粒子是（A ） A.H 11 B.H 21 C.e 01- D.n 102.关于机械波，下列说法正确的是（ABC ） A.在传播过程中能传递能量 B.频率由波源决定C.能产生干涉、衍射现象D.能在真空中传播3.爱因斯坦由光电效应的实验规律，猜测光具有粒子性，从而提出光子说。

从科学研究的方法来说，这属于（C ）A.等效替代B.控制变量C.科学假说D.数学归纳4.一个质量为0.3kg 的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同。

则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为（BC ）A.Δv =0B.Δv =12m/sC.W =0D.W =10.8J5.一负电荷仅受电场力作用，从电场中的A 点运动到B 点。

在此过程中该电荷做初速度为零的匀加速直线运动，则A 、B 两点电场强度E A 、E B 及该电荷在A 、B 两点的电势能εA 、εB 之间的关系为（AD ）A.E A =E BB.E A <E BC.εA =εBD.εA >ε B6.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。

现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是（B ）B.C. D.7.质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。

支架的两直角边长度分别为2l和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，则（BCD ）A.A 球的最大速度为2gl 2B.A 球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C.A 球的速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°D.A 、B 两球的最大速度之比v 1∶v 2=2∶18.劈尖干涉是一种薄膜干涉，其装置如图1所示。

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2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第 1 题至第 12 题）
4 3 11 7． arccos . 6
1．π. 2． .
3．－49 .
4． (
1 1 , ). 2 2
5． arctg2.
6．[1,3].
8． (1, )( a1 0,0 q 1 的一组数）. 9． 12．|PF2|=17. 14 D 15 D

2
).
D． y | ctg
x |. 2
（）
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 A．α、β都垂直于平面 r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m 是α内两条直线，且 l∥β，m∥β. D．l，m 是两条异面直线，且 l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
x 15．在 P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和 N ( , ) 四点中，函数 y a 的图象与其反函
1 x1 1 1 x2 1 log 2 log 2 x1 1 x1 x 2 1 x2 1 1 2 2 ) [log 2 ( 1) log 2 ( 1)], x1 x 2 1 x2 1 x1
1 1 2 2 0, log 2 ( 1) log 2 ( 1) 0, x1 x 2 1 x2 1 x1
f ( x)
1 1 x 1 1 x log 2 ( log 2 ) f ( x) ，所以 f ( x) 是奇函数. x 1 x x 1 x
研究 f ( x) 在（0，1）内的单调性，任取 x1、x2∈（0，1），且设 x1<x2 ，则
f ( x1 ) f ( x 2 ) ( 由
[来源:学+科+网]
[来源:学科网 ZXXK] 19．（本题满分 14 分）已知函数 f ( x)
1 1 x log 2 ，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. x 1 x
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[来源:]
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？[来源:] （2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S
王新敞
奎屯新疆

4
) cos x sin( x

4
) 的最小正周期 T=
.

3
是方程2 cos(x ) 1的解, 其中 (0,2 ), 则
王新敞
奎屯新疆
王新敞
奎屯
新疆
3．在等差数列 {a n } 中，a5=3, a6=－2,则 a4+a5+…+a10=
4．已知定点 A（0，1），点 B 在直线 x+y=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是
2 2
（3）是否存在实数 a，使抛物线 y ax 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不存
2
在，说明理由：若存在，求 a 的取值范围. [来源:]
Go the distance Nhomakorabea[来源:Z*xx*]
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分. 已知数列 {a n } （n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比数列.
3
.（结果用
.（结果精确到 0.1）
11．已知点 A(0, ), B (0, ), C (4
2 n
2 n
2 ,0), 其中 n 为正整数 .设 Sn 表示△ABC 外接圆的面积， n
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则 lim S n =
n
.
12．给出问题：F1、F2 是双曲线
x2 y2 =1 的焦点，点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距 16 20
1 3
BD=2.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
故平行六面体 ABCD—A1 B1C1D1 的体积为 SABCD·BB1= 8 3 .
x 0 1 x 19．[解]x 须满足 1 x ,由 0得 1 x 1, 0 1 x 1 x
所以函数 f ( x) 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数 f ( x) 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意 x，有
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18．（本题满分 12 分）已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，A1A⊥平面 ABCD，AB=4，AD=2.若 B1D⊥BC，直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°，求平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的体积.
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故 | z1 z 2 | 的最大值为
3 , 最小值为 2 . 2
18 ．[解]连结 BD，因为 B1B⊥平面 ABCD，B1D⊥BC，所以 BC⊥BD. 在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以 BD= 2 3 . 又因为直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°，所以 ∠B1DB=30°，于是 BB1=
王新敞
奎屯新疆
5．在正四棱锥 P—ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于
2
.（结果用反三角函数值表示） .
6．设集合 A={x||x|<4},B={x|x －4x+3>0}, 则集合{x|x∈A 且 x A B} = 7．在△ABC 中，si nA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= 示）
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2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）
本试卷共 22 道题，满分 150 分考试时间 120 分钟
王新敞
奎屯新疆
王新敞
奎屯
新疆
第Ⅰ卷（共 110 分）一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1．函数 y sin x cos(x 2．若 x
Z&X&X&K] 故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时，土方工程量最小. [解二]由椭圆方程
112 4.5 2 x2 y2 81 a2 2 1 . b 1 , ，得于是 4 a 2 121 a2 b2 a2 b2
81 2 1212 81 (a 121 2 242 ) (2 1212 242 ) 81 121, 4 4 a 121 1212 即ab 99,当S取最小值时, 有a 2 121 2 , a 121 a 2b 2
.（结果用反三角函数值表
8．若首项为 a1，公比为 q 的等比数列 {a n } 的前 n 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1，公比 q 的一组取值可以是（a1，q）= .
9．某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为分数表示） 10．方程 x +lgx=18 的根 x≈
离等于 9，求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.
. 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 A．y=tg|x|. C． y sin( x B．y=cos(－x). （）
1 2
119 190
10．2.6 . 11．4π 二、（第 13 题至第 16 题）题代号号 13 C
16 B
三、（第 17 题至第 22 题） 17．[解]
| z1 z 2 || 1 sin cos (cos sin )i | (1 sin cos ) 2 (cos sin ) 2 1 2 sin 2 cos2 2 sin 2 2 . 4
得 f ( x1 ) f ( x 2 ) >0，即 f ( x) 在（0，1）内单调递减，由于 f ( x) 是奇函数，所以 f ( x) 在（－1，0）内单调递减.
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点 P（11，4.5），椭圆方程为
x2 y2 1. a2 b2
将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 a 隧道的拱宽约为 33.3 米.
0 1 2 0 1 2 3 （1）求和： a1C2 a2 C2 a3C2 , a1C3 a2 C3 a3C3 a4 C3 ;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明. （3）设 q≠1，Sn 是等比数列 {a n } 的前 n 项和，求：

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