3-ARMA模型的特性1

j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；相反，
如果ϕ1 → 0 ，则ϕ1j 随 j 的增大而急剧减小，表明系统 的记忆较弱。 具体的对比见 p47 的表格。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
定义 系统解的系数函数ϕ1j 客观地描述了该系统的 动态性，称为系统的记忆函数，也叫做 Green 函数， 记作 G j = ϕ1j 。 利用 Green 函数，可将系统的解写成
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
2. AR(1)系统的平稳性条件 对于平稳的 AR(1)系统来说，如果系统受扰后， 该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统的响 应随时间增长回到均衡位置。相对于 Green 函数来 说，就是随 j → ∞ ，扰动权数G j = ϕ1j → 0 ，故 AR(1) 系统渐近稳定的条件，也就是平稳性条件为
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
2. 根据 X t = ∑ G j at − j 生成序列 X t （表 3.2（P51） ）
j =0 ∞
第四行 t 从 0 开始依次计算G0 at −0 ，表示 at 对系 统当前行为 X t 的影响； 第五行 t 从 1 开始依次计算G1at −1，是前一时刻 进入系统的扰动对 X t 的影响； 第六行 t 从 2 开始依次计算G2 at −2 ，是在前两期 进入系统的扰动对 X t 的影响；......。
k +2 k +1 k k
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
注：当 n 阶齐次差分方程存在 l 个相等的实根 λ 时， 则在其通解中相对应的项为
(C1 + C2 k + L + Cl k l −1 )λ k 。
例如，对于方程 y (k + 2) − 6 y (k + 1) + 9 y (k ) = 0 ，它有 两个相等的实根 λ1 = λ2 = 3，故其通解为
即有
λ n + an−1λ n−1 + L + a0 = 0
征根 λ1 , λ2 , L, λn ，即得方程(2)的通解为
(3)
方程(3)称为方程(2)的特征方程。解方程求得 n 个特
Y (k ) = ∑ Ci λik ，
i =1
n
其中 Ci 为任意实数。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
X t = ∑ G j at − j 。
j =0
∞
由于 at − j 是相互独立的，可以看作是无穷维线性空间 的基，其系数G j 就是 X t 在该基上的坐标。称上式为 Wold 分解式，其系数叫做 Wold 系数。 可见，Green 函数和 Wold 系数是同一客体从不 同角度观察的结果。
海军航空工程学院基础部数学教研室
X t = ∑ G j at − j
j =1
∞
(3.1.8)
或写成
Xt =
k =−∞
∑G
t
t −k
ak 。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
注 注意到
X t = ∑ϕ1j at − j = at + ϕ1at −1 + ϕ12 at −2 + L
j =1
∞
= at + θ1at −1 + ϕ 2 at −2 + L
b ，所以原方程的通解 程得 d − ad = b ，故有 d = 1− a b k 为 y (k ) = Ca + 。 1− a
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
例 2 求解二阶差分方程
y (k + 2) − 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 3k 。
λ 解： 解特征方程 λ 2 − 3λ + 2 = 0得特征根 λ1 = 1， 2 = 2 ，
(1 − ϕ1B) X t = at
(3.1.9)
它的解为
at Xt = = (1 + ϕ1B + ϕ12 B 2 + L)at 1 − ϕ1B = at + ϕ1at −1 + ϕ12 at −2 + L = ∑ϕ a
j =1 ∞ j 1 t− j
= ∑ G j at − j
j =1
∞
海军航空工程学院基础部数学教研室
ϕ1 < 1。
1, ϕ1 = 1, 当 ϕ1 = 1，即 时，虽然响应不回到 j (−1) , ϕ1 = −1
均衡位置，但仍是有界的，此时系统为临界稳定。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
3. Green 函数与 Wold 分解 所谓 Wold 分解也叫正交分解， 其核心就是把一 个平稳过程分解成不相关的随机变量的和，是用线 性空间的观点来看待 AR(1)模型的解
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
3. 系统参数对系统响应的影响 参考 P52-53 中图 3.2-3.3。 (1) ϕ1取负值时，响应波动较大； (2) ϕ1取正值时，响应变得较平坦； (3) ϕ1越大，系统响应回到均衡位置的速度越 慢，时间越长。
海军航空工程学院基础部数学教研室
注：求方程(1)的特解，要根据驱动函数的具体 形式而定。 例 1 解一阶差分方程 y (k + 1) − ay (k ) = b 。 解：解特征方程 λ − a = 0 得特征根 λ = a ，于是 相应齐次方程的通解是 y (k ) = Ca k 。 设非齐次差分方程的特解为Y (k ) = d ， 代入原方
(C1 + C2 k ) ⋅ 3k 。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
二、AR(1)系统的 Green 函数 系统的 1. AR(1)系统 Green 函数的形式 根据 AR(1)模型 X t − ϕ1 X t −1 = at ，递推可得
X t = ϕ1 X t −1 + at = ϕ1 (ϕ1 X t −2 + at −1 ) + at = ϕ12 X t −2 + ϕ1at −1 + at = ϕ13 X t −3 + ϕ12 at −2 + ϕ1at −1 + at =L = ∑ϕ1j at − j
第三章 ARMA模型的特性
3. Green 函数的意义 (1) G j 是 j 个时间单位以前进入系统的扰动对系 统现在行为影响的权数； (2) G j 客观地刻画了系统动态响应的快慢程度； (3) G j 是系统动态，即蕴含在时间序列中的数据 依存关系。对一个平衡系统来说，就是在某一时刻， 由于受到进入系统的扰动 at 的作用，系统离开平衡位 置。 G j 描述系统回到平衡位置的速度，ϕ1的值较小， 速度较快；ϕ1的值较大，速度较慢。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
从第四行到十八行中的第 k 行表示 ak 对系统后 继行为作用的结果。若从列看，第 j 列就是第 j 时刻 以前进入系统的扰动对第 j 时刻系统响应 X j 的影响 值，显然各列的和便是就是以前时刻进入系统的扰 动， j 时刻系统响应的作用结果之和， 对 那就是 X j 的 值。
y (k + n) + an−1 y (k + n − 1) + L + a0 y (k ) = 0
方程(2)是一个 n 阶其次差分方程。
(2)
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
2. 方程的求解 设Y (k ) = λ k 是方程(2)的一个解，则有
λ k + n + an−1λ k + n−1 + L + a0λ k = 0
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
1. 根据 X =
j =−∞
∑G
t
t− j
a j 生成序列 X t
表 3.1（P49）的说明：
ϕ1 = 0.5；第一行是时刻 t，取值为 0-14；
第二行是各时刻进入系统的扰动； 第三行是按Gt = ϕ1t 计算的 Green 函数的值； 第四行 t 从 0 开始依次计算Gt −0 a0 ； 第五行 t 从 1 开始依次计算Gt −1a1； 第六行 t 从 2 开始依次计算Gt −2 a2 ；......
(3.1.11)
的解为
X t = ∑ G j at − j 。
j =0
∞
将(3.1.11)写成 B 算子式
(1 − ϕ1B − ϕ2 B 2 ) X t = (1 − θ1B)at
(3.1.12)
y (k ) = C1 + C2 ⋅ 2k 。 于是相应齐次方程的通解是
设非齐次差分方程的特解为Y (k ) = d ⋅ 3k ， 代入原方程
1 得 d ⋅ 3 − 3d ⋅ 3 + 2d ⋅ 3 = 3 ，故有 d = ，所以原 2 1 k 方程的一个特解为 Y (k ) = ⋅ 3 ， 2 1 k k 故原方程的通解为 y (k ) = C1 + C2 ⋅ 2 + ⋅ 3 。 2
所以，AR(1)模型可用一个无穷阶 MA 来逼近。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第三章 ARMA模型的特性
2. AR(1)模型的后移算子表达式 后移算子用 B 表示， 的次数表示后移期数， B 即
BX t = X t −1 , B 2 X t = X t −2 ,L
根据后移算子，AR(1)模型可以写成