倒格子空间

b3
a3
b2
O
a2
b1
a1
(1)倒格子基矢和面间距的关系 在每个晶面族所对应的的法向方向上分别取 P1、P2、P3点，并且满足下面的关系：
OP3 a1a2，且OP3 b3 2 d 3 ，即b3 d 3 2，b3 a1 a2面； OP1 a2 a3，且OP1 b1 2 d1 ，即b1 d1 2，b1 a2 a3面； OP2 a3 a1，且OP2 b2 2 d 2 ，即b2 d 2 2，b2 a3 a1面。
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O ( 对称心)
y
x, y, z
x
A
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i) 。
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。
C
a3
Kh
O
a2 h2 a1 h1
B
a2
a2 a3 CB OB OC h2 h3
A
a1
a1 a3 K h CA ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h h 3 1 h1 b1 a1 h3 b3 a3 0 h1 h3 a2 a3 K h CB ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h h 3 2 h2 b2 a2 h3 b3 a3 0 h2 h3
1.象转轴 (1)定义——先绕u轴转动2π/n，再经过中心反演， 晶体自动重合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又 称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。 (2)符号表示——
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6。
2.n度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面 的分析，可以得到象旋转轴只有4 是独立的。
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3

a
C
3
a3
来自百度文库h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
• 即证明体心立方的倒格子为面心立方。同 理可证明面心立方的倒格子为体心立方
§1.6 晶体的特殊对称性 对称操作 一、转动
本节主要介绍四种基本的操作——转动、反演、 镜象、象转轴。 1.转动对称操作 设晶体外形为一立方体，沿图中 所示转轴转动 900 ，外形与原来 重合。这样的转动称为转动对称
操作。该轴称为转动轴。如果转
2
( 为整数)
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
3 2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 b1 b2 b3 3 利用：A B C A C B A B C a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1
第一章晶体结构
倒格子空间
• • • •
引入倒格子的目的 引入倒格子的方法 倒格子的性质 倒格子与正格子之间的关系
§1.5 倒格子 一、倒格子和晶格之间的关系
1.倒格子
晶面族：ABC；面间距：d ;
P
C
N
B
晶面族ABC法向： ON ;O OP ，使得 d＝ 2 A 对于每一族晶面，都有一点P，以OP=ρ为周
因为b3和a1 a2 的方向一致，所以可以写成矢量形式：
(4)倒格子基矢表达式 a1 a2 1 由 d 3 a1 a2 sin d 3 a1 a2 可得： d 3 2 a1 a2 2 由b3 d 3 2可得：b3 d 3
2 ＝

3


2 2 a2 a3 a1 3
3
3


2

3
2.倒格矢 K h 垂直于晶面族(h1h2h3) 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
a1 a3 CA OA OC h1 h3
a3 h3
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
6
符
号
二、中心反演(中心反映)
inversion through a point
i
A
1.中心反演 A 如图所示，有对称心i，晶体中任一点A过中 心 i 连线Ai并延长到A’，使Ai= A’i, A与A’是等同 点， i点称为对称心。 2.表示方式 x , y, z (1)熊夫利符号表示——Ci; x, y, z (2)国际符号表示——i。 例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称 心放在坐标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等 同。
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
动1800等晶体都保持外形重合。
转动轴
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所 转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。
B A

B1 A B

A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BA cos AB(1 2 cos ) n 1 cos n是整数。 2
1.付里叶变换
h h1
iK h r r K h e h
h2 h
二、倒格矢 K h
iK iK h Rl h r r Rl r r Rl K h e e h iK h Rl e 1 K h Rl 2 ( 为整数) Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 正格矢( 格矢量) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 倒格矢 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
三、镜象(镜面反映、对称面)
reflection across a plane
1.镜象——如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示——σ;
(2)国际符号表示——m。
z
O
A
A
x , y, z
A
y
A
x
x, y, z
O-xy 相当于镜面。
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
b1、b2、b3 称为倒格子基矢。 (2)正格子原胞体积Ω——由 a1、a2、a3 所围成的平 行六面体。 d 3 a1 a2 sin d 3 a1 a2 ， : a1、a2间的夹角。 (3)倒格子原胞体积 ——由 b1、b2、b3 所围成的 平行六面体。
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
z ( u轴)
A点绕旋转轴(z轴)
A
x , y, z
旋转3600，在经过中
心反演到A’点，晶体
完全重合。实际上即
为中心反演。
O ( 对称心)
y
x
A
x, y, z
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z ( u轴)
A
A
x , y, z
1
4.正格子和倒格子互为正倒格子









证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 2 4 c* (i j k ) (i j k ) (i j ) 3 V a a 2
n 1 cos ，且1 cos 1， n只能取值： 3， 2， 1， 0， 1。 2 n : 3 2 1 0 - 1; cos : 1 0.5 0 - 0.5 2 3 2 3 -1

:0 2 1

3 2 6

2 2 4

2 2 即
2 n 1， 2， 3， 4， 6。分别称为 1， 2， 3， 4， 6次( 度 )转轴。 n