高三第一轮高考递推数列求通项题型分类练习题
常见递推数列通项的求解方法练习题
常见递推数列通项的求解方法练习题类型一专项练习题：1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
(12n n n a +=）2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
21n a n =+4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。
21n n a =+5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 13122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？（312n n a -=）7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 1123n n a +=- 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
31n n a n =+-9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
312n a n =- 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值； c=2（II ）求{}n a 的通项公式． 22n a n n =-+11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = 5 ；当4n >时，()f n = 222n n -+ （用n 表示）．类型二专项练习题：1、已知11a =，111n n n a a n --=+(2n ≥)，求n a 。
高中数学-递推数列的通项的求法练习
高中数学-递推数列的通项的求法练习1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( )A ．16B ．24C ．26D ．28 答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( )A ．2 017×2 018B ．2 016×2 017C ．2 015×2 016D ．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选B.4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n≥2)，则x n 等于( )A ．(23)n －1B ．(23)nC.n ＋12D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( )A ．2－(12)n －1B ．(12)n －1－2C ．2－2n －1D ．2n －1答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A.6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )A ．2(n 2＋n ＋1)B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．(·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为( )A ．2 2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.8．(·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )A ．－27B.27 C ．－37D.37 答案 D解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.故选D. 9．(·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014 答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________． 答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1， 则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13， a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n. 逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n3a n＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝13n －2解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n3a n＋1.两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n＋3.即1a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________．答案 2·3n －1－1解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴a n ＝2·3n －1－1.13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________．答案 (2n －1)·2n解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n≥2)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝an2n ，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1.∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n.14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝1n （n ＋1）解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a na n －1＝n －1n ＋1(n≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）.∴a n ＝1n （n ＋1）.15．(·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n∈N *)，则a n ＝________．答案n3n－2解析由a n－a n＋1＝2a n a n＋1n（n＋1）得1a n＋1－1an＝2n（n＋1）＝2×(1n－1n＋1)，则由累加法得1a n－1a1＝2(1－1n)，又因为a1＝1，所以1a n＝2(1－1n)＋1＝3n－2n，所以a n＝n3n－2.16．(·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n}满足∑ni＝2a i2i－1＝3n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n＝1），6n（n≥2），解析当n≥2时，∑i＝2n－1ai2i－1＝3n，又∑i＝2n ai2i－1＝3n＋1，两式相减，得a n2n－1＝2×3n，所以a n＝6n.由于a1＝7不符合a n＝6n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n＝1），6n（n≥2）.17．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1，求数列{b n}的通项公式．答案(1)a n＝2n (2)b n＝2(3n＋1)解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)∵a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1(n≥1)，①∴a n＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1＋b n＋13n＋1＋1.②②－①，得b n＋13n＋1＋1＝a n＋1－a n＝2，b n＋1＝2(3n＋1＋1)．故b n＝2(3n＋1)(n∈N*)．1．(·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A．2 016 B．2 015C.12 016D.12 015答案 D解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 015.故选D. 2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n （n －1）2解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋a n n ＋1＝a n ＋1－2，a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 23＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.。
2020江苏高考数学一轮配套精练：第39课数列的递推关系和通项
第39课数列的递推关系和通项A.课时精练一、填空题1. __________________________________________________________ 在数列｛a n｝中，若a n +1 = a n + 2- On, a1 = 2, a2 = 5,贝V a5= _____________________________O n+1 n *2. _______________________________________________________ 在数列｛a n｝中，若a i= 3，丁= (n € N )，贝U a n = _______________________________________a n n 十i3.已知数列｛a n｝的首项为3 , ｛b n｝为等差数列，且b n= a n+ 1一a n.若匕3=—2, b io= 12,则a8= _________ •4.已知数列｛a n｝满足a i十3a2 +彳务十…十3n —1a n= 3，那么数列｛a n｝的通项公式为2S~5.在数列｛a n｝中，已知S n为数列｛a n｝的前n项和，若a1 = 1, °!= 2S — 1 (n》2)，则数列｛a n｝的前n项和S n= _______ -6. __________________________________________________________________ 已知数列｛a n｝满足a1= 15, an+ 1—an = 2(n€ N*)，那么罟的最小值为________________________7.已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且a n+ S n= 3n—1 ,那么数列｛a n｝的通项公式为a n =8. __________________________________________________________ 已知数列｛a n｝的前n项和为S n= 2+入n,若a1= 1贝y S n= _________________________________二、解答题9. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a i = 2, n %+〔 = S n + n(n + 1)，证明：数列｛a *｝为等 差数列，并求其通项公式.公式a n . 11. (2018苏州暑假测试)已知数列｛a n ｝满足a n +1 +為=4n — 3(n € N *).(1) 若数列｛a n ｝是等差数列，求a 1的值；(2) 当a 1= 2时，求数列｛a n ｝的前n 项和S.B.滚动小练1. 已知 |a |=|b |= 1,且(a + 2b ) (-a — b ) = — 2,那么 a 与 b 的夹角为 ________ .112. 已知 a, (0, n ，且 tan(a — 3 = ~, tan B=—;,那么 tan a 的值为 _________________ 2 53. 如图，在△ ABC 中，已知 AC = 4, BC = 5. (1)若 A = 60 ° 求 cosB 的值；⑵ 若cos(A — B) = 7，点D 在边BC 上且满足 BD = DA ，求CD 的长.810.在数列｛a n ｝中，已知 t * a i = 1,当 n >2(n € N )时, a n +1 a n 2a n +1 + 11 — 2a n，求数列｛a n ｝的通项B(第3 题)。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。
例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。
+1/n-1an=1+1/2+。
+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。
例2]an+1=kan+f(n)型。
当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。
例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。
+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。
例3]an+1=f(n)an型。
若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。
1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。
解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。
可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。
高三第一轮高考递推数列求通项题型分类练习题
递推数列求通项题型分类练习类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
1、已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
3、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
4、变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
5、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .6、变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
数列递推求通项15类(解析版)
第17讲 数列递推求通项15类【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型【典例分析】已知数列{}n a 中，已知12a =，12n n a a n +-=，则50a 等于（ ） A ．2451 B ．2452C ．2449D ．2450【答案】B【详解】由12n n a a n +-=得：()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，……，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，各式相加可得：()()()112121212n n n a a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-⎡⎤⎣⎦， 又12a =，()2212n a n n n n ∴=+-=-+，5025005022452a ∴=-+=.故选：B.【变式演练】1.已知数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=，则9a =（ ）A ．510B ．512C ．1022D ．1024【答案】B【详解】由12a =,12n n n a a +-=得212a a -=，2322a a -=，3432a a ，…112n n n a a ---=，以上各式相加得，()21112122122222n n nn a a ---==+--=++-，所以1222n nn a a =-+=，所以991252a ==.故选：B.2.已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n . 【答案】1n a n=-； 【详解】（1）111=1+--+n n a a n n ，213243*********,,,,(2)1223341n n a a a a a a a a n n n-∴-=--=--=-⋯-=-≥-，将以上1n -个式子相加，得()()()()2132431n n a a a a a a a a --+-+-+⋯+-11111111+223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1112,n a a n n N n *-=-≥∈.()11111112,n a a n n N n n n*∴=+-=-+-=-≥∈. 又当n=1时，11a =-也符合上式，1n a n=-. 3.数列{a n }中，a 1=0,a n+1−a n =√n+√n+1且a n =9，则n =_________【答案】100【详解】∵a n+1−a n =√n−√n+1=√n +1−√n ，∵a n =a n −a n−1+a n−1−a n−2+⋯+a 2−a 1+a 1=√n −√n −1+√n −1−√n −2+⋯+√2−√1+0=√n −1 ∵a n =9，即√n −1=9，解得n=100故填：100【题型二】 通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型【典例分析】已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤ C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 【答案】C 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C.【变式演练】1.在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则n a =（ ） A ．8a B ．()21ln n n +-C ．1ln n n ++D ．2ln n n n +【答案】D【详解】由题意得，11ln 1n n a a n n n n ++=++，则1ln 11n n a a n n n n -=+--，121ln 122n n a a n n n n ---=+---…，212ln 211a a =+， 由累加法得，112ln ln ln1121n a a n n n n n -=+++--，即112ln 121n a n n a n n n -⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪--⎝⎭， 则2ln na n n=+，所以2ln n a n n n =+，故选：D 2.已知数列{}n a 满足132a =，112n n n n na a n -=--. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足12n S <的所有正整数n 的取值集合. 【答案】（1）2n n n a n =+；（2）{}1,2,3,4. 【详解】（1）因为112n n n n n a a n -=--，所以1112n n n a a n n --=--.因为2121212a a -=-，3231322a a -=-，…，1112n n n a a n n --=--，所以112321111111121122222212n n n n a a n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=-+++=-=-⎪⎝⎭-，于是2n n n a n =+. 当1n =时，113122a =+=，所以2n n na n =+. （2）因为102n n n nnS S a n --==+>，所以{}n S 是递增数列. 因为113122a =+=，225242a =+=，33327328a =+=，44417424a =+=，5555165232a ==+， 所以132S =，24S =，3598S =，493128S =<，55371232S =>， 于是所有正整数n 的取值集合为{}1,2,3,4.3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ﹣a n +1＝()*1(1)n n a a n N n n +∈+，则a 10的值是（ ） A ．23B ．12C ．1019D ．52【答案】C解：由11(1)n n n n a a a a n n ++-=+可得：111111(1)1n n a a n n n n +-==-++， 则：101099821111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝11111191191089210⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则101019a =．故选：C ． 【题型三】 通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”【典例分析】 已知数列{}n a 满足112a =，()11(1)n n n n n n a a a a +++-=，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 【答案】()*1nn N n ∈+ 【详解】易知0n a ≠，由()11(1)n n n n n n a a a a +++-=，得111(1)n n n n a a a a n n ++-=+，∵111111n n a a n n +-=-+，∵11111(2)1n n n a a n n--=--． ∵当2n 时，有12111112a a -=-，23111123a a -=-，．．．．．．111111n n a a n n--=--， 将以上1n -个等式相加得，111111(2)n n n a a n n --=-=又112a =， ∵1112(2)n n n n a n n-+=-=，经验证，当1n =时符合上式，∵)*(1n na n N n =∈+【变式演练】1.已知数列{}n a 满足*13(1)1(),2n n na n a n N a +-+=∈=，则2021a =______.【答案】2020【详解】因为1(1)1n n na n a +-+=，所以1(1)1n n na n a n n +-+=+-， 式子两端除以()1n n +，整理得：1111n n a a n n +++=+，即1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列. 因为32a =，所以31121133n a a n +++===，所以1n a n =-，所以2021202112020a =-=.故答案为：20202.已知数列{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，*N n ∈，则na n的取值范围是_____________． 【答案】[)2,3【详解】由题意得，11n n n a a a n n +-=+，即()111n n n a a n n++=+，则()1111n n a a n n n n +=+++，即11111n n a a n n n n +-=-++， 所以2111122a a -=-，32113223a a -=-，34114334a a -=-，…，11111n n a a n n n n--=---， 相加得，1111n a a n n -=-，故11213n a n n n=+-=-， 因为函数13y x=-在0,上单调递增，且当x →+∞时，133x-→， 所以1233n≤-<，即n a n 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,3.【题型四】 累积法【典例分析】已知数列{}n a 满足1(1)n n n a a n ++=+，12a =，则31a -的值为 ___，2021a 的值为_ ____. 【答案】16112021!+ 解：令1n =，则21213a a =+=，232a =，令2n =，则323732222a a =+=+=，所以376a =，所以3116a -=， 因为1(1)n n n a a n ++=+，所以1(1)(11)n n n a a +-+=-，即11111n n a a n +-=-+，当2n ≥时，有1321122111111(1)1111n n n n n a a a a a a a a a a --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-----，1111(1)12a n n =⋅⋅⋅⋅⋅--，因为12a =，所以11!n a n -=，所以11!n a n =+，所以2021112021!a =+，故答案为：16，112021!+【变式演练】1.已知数列{}n a 满足110,1,(2)2n n n n a a n a a a +≠=-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列35n a n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1) 12n n a n -=⋅ (2) 237212nn n-+-试题解析：（∵）因为()122n n n n a a a +-=，故()121n n n a a n++=，得121n n a an n+=⋅+；（也可以累积法） 设n n a b n =，所以12n n b b +=，0a ≠，0b ∴≠，12n n b b +∴=又因为1111ab ==， 所以数列{}n b 是以1为首项，公比为2的等比数列，故11122n n n n a b n--=⋅==，故12n n a n -=⋅. （∵）略.2.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1,1,Nn n n S a S n a n ==∈，则数列{}na 的通项公式为___________.【答案】()21n a n n =+【详解】由2n n S n a =，可得当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，则2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，故111n n a n a n --=+， 所以123211232112321211143(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯=+-+. 当11,1n a ==满足2(1)n a n n =+.故数列{}n a 的通项公式为2(1)n a n n =+.故答案为：2(1)n a n n =+3.数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】21n n+解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅∵；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅∵；∵减∵得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n a n --=+所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+， 所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【题型五】 周期数列【典例分析】已知数列{}n a 满足1130,31n n n a a a +==+2017a =A ．0B ．3-C 3D ．32【答案】A【详解】112130331a a a ===-+，，223233331a a a =-==+，，334333031a a a ===+，，由上述可知，数列{}n a 是每三项一次循环的数列，则有201710a a ==，故选A ．【变式演练】1.数列{}n a 中，11a =，23a =，*11(2,)n n n a a a n n N +-=-≥∈，那么2019a =A ．1B ．2C ．3D ．-3【答案】B 【详解】由题意，得32a =，41a =-，53a =-，62a =-，71a =，…，由此发现数列{}n a 是以6为周期的数列，又201933663=⨯+，所以201932a a ==，故正确答案为B.2.在数列{}n a 中，若121,2a a ==，并有11=n n n a a a +-对1n >且*n N ∈恒成立；则20202021a a +=_______________．【答案】32解：由条件11n n n a a a +-=及12n n n a a a ++=，得1121111n n n n n n n a a a a a a a ++++--===， 即211n n a a +-=（1n >且*n N ∈），则()*631n n n a a n N a ++==∈，从而知6是数列{}n a 的一个周期； 由121,2a a ==，及12n n n a a a ++=，得34561 2,1,2a a a a ====；故20202021a a +=4513122a a +=+=⋅故答案为：32. 另解：由121,2a a ==，又11n n n a a a +-=即11nn n a a a +-=对1n >且*n N ∈，可得34567812,1,,1,2,,2a a a a a a ======从而知6是数列{}n a 的一个周期；故202020214513122a a a a +=+=+=.故答案为：323.设数列{}n a 满足12a =，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的乘积为 A ．12B ．1C ．2D ．.3【答案】D【详解】由题意可得：1211n n n a a a +=+-，故：12a =，1212131a a a =+=--，23221112a a a =+=--，34321113a a a =+=-，45142121a a a a =+==-，据此可得数列{}n a 是周期为4T =的周期数列，注意到201943MOD =，且：12341a a a a =，故数列{}n a 的前2019项的乘积为：()12332⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选D.【题型六】 构造二阶等比数列型（待定系数型）【典例分析】已知数列{}n a 满足：*121()n n a a n n N +=-+∈，13a =.（1）证明数列*()n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项；（2）设11n nn n n a a c a a ++-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证：1n S <.【答案】（1）2nn a n =+；（2）略试题解析：（1）解：由n n b a n =-知n n a b n =+，代入得：()()1121n n b n b n n +++=+-+，化简得：12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，又111312b a =-=-=，则2n n b =，进而有2nn a n =+．（2）证明：由于11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，所以121223111111111111111n n n n n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=-< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式演练】1.数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-则6a = A ．33 B ．32 C ．31 D ．34【答案】A【详解】数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-，{}112(1),1n n n a a a +-=--是以2为公比的等比数列，首项为1，得到11122 1.n n n n a a ---=⇒=+633.a =故答案为A ．2.已知数列{}n a 中，11a =，134n n a a -=+（n *∈N 且2n ≥），则数列{}n a 通项公式n a 为（ ） A ．13n - B ．132n +-C ．32n -D ．3n【答案】C 【详解】由11a =，134n n a a -=+知：27a =且1232n n a a -+=+(2n ≥)，而123a +=，229a +=，∵{2}n a +是首项、公比都为3的等比数列，即32nn a =-，故选：C【题型七】 分式递推【典例分析】在数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+*N ，则22019是这个数列的第________________项． 【答案】2018【分析】同取倒数，得到关于1{}na 是等差数列；进而求得n a 的通项公式即可求出项数．详解】由已知得11112n n a a +=+，所以1{}n a 是以111a =为首项，12d =为公差的等差数列， 所以()1111122n n n a +=+-=，所以21n a n =+，令2212019n a n ==+，解得2018n =【变式演练】1.数列{}n a 满足：113a =，且*1121(,2)n n n a n n n N n a a --+-=∈≥ ，则数列{}n a 的通项公式是n a =_____． 【答案】21n na n =+ 【详解】原等式可化简为：112n n n n a a --=+，所以数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以3为首项，2公差的等差数列， 则()32121n nn n a =+-=-，所以21n n a n =-. 2.已知在数列{}n a 中，11a =，132nn na a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______.【答案】11231n -⨯-【详解】由题意，132n n n a a a +=+，取倒数得132132n n n n a a a a ++==+，即111131n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又11120a +=≠，所以，数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列，故11123n na -+=⨯， 所以11231n n a -=⨯-.故答案为：11231n -⨯-. 3.已知数列{}n a 满足111221,(2)311n n n a a n a a ---==≥--．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,用数学归纳法证明:13ln 22n n S n +⎛⎫<+- ⎪⎝⎭.【答案】（1）12n n a n +=+.（2）答案见解析 【详解】（1）1121,(2)11n n n a n a a ---=≥--,11111111111n n n n a a a a ----+∴==-+---111111n n a a -∴-=---∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为3-,公差为1-的等差数列．13(1)21n n n a ∴=---=---12n n a n +∴=+【题型八】构造二阶等差数列【典例分析】数列{}n a 满足：113a =，且()()*113n n n n a a n N a n ++=∈+，则数列{}n a 的前n 项和n s =__________. 【答案】3n【解析】∵()()*113n n n n a a n N a n++=∈+∵131n n n a n n a a +++=，即113n nn na a ++=+ ∵n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公差的等差数列∵()13313n 3n n n n a a =+-==，即∵数列{}n a 的前n 项和3n ns =【变式演练】1.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a =__________． 【答案】12018【解析】数列{}n a 满足11a =，()110n n n a a a ++-=，变形得到1111111=11,,n n n n n a a a a a n+-==∴=， 则2018a =12018。
2023届高考数学一轮复习考点训练——求数列的通项公式
2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。
练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。
练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++． （1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
高三数学递推数列求通项专题
例9：若数列 满足 ，若 ，则 的值为___________。
练习:（2005，湖南,文，5）
已知数列 满足 ，则 =（）
A．0B． C． D．
变式形如 的递推式
基本思路：将 两边同除以 ,得 ,令 ,则 ,由此仿照类型1可求出 ,从而求出 .
高考递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1递推公式为 与 的关系式。(或 )解法：利用
例题：已知下面各数列 的前n项和Sn的公式，求 的通项公式．
(1) (2)
(3)
点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
练习：已知 的前 项和满足 ，求 ；
变式1：已知 求 ，用作商法： 。
解：由已知，得 ，用
此式减去已知式，得
当 时， ，即 ，又 ，
，将以上n个式子相乘，得
类型2
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
(1)求证：{}是等差数列，并求其公差；
(2)求数列{an}的通项公式．
类型7 （其中p，q均为常数， ）。（或 ,其中p，q, r均为常数）。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决。
例7:已知数列 中， , ，求 。
解：在 两边乘以 得：
例1:已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
各省市数列求通项及递推公式月考、联考专题训练 附答案解析
．
1 所以数列 2 构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列, an
所以
1 1 2n 1 2 1 ( n 1) 2 2n 1 ,从而得到 an ,则 bn n , 2 an 2n 1 2
1 3 2 n 1 2 n ①, 2 2 2 1 1 3 2 n 3 2 n 1 Sn 2 3 n 1 ②, 2 2 2 2n 2 两式相减,得 1 1 1 1 1 2 n 1 1 1 2 n 1 3 2 n 3 S n 2 n 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n 3 所以 S n 3 n . 2
【解析】因为 a1 0 ，且对任意 k N * ， a2 k 1 , a2 k , a2 k 1 成等差数列，公差为 2k ，
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所以 a2 k 1 a2 k 4k 当 n 2k 1 ，即 k
n 1 时，可得 2
an a2k 1 a1 a3 a1 a5 a3 a2 k 1 a2 k 3 0 4 8 4 k 1 2 k k 1 n2 1 2 n2 ， 2
当 n 2k 时， an a2k a2k 1 2k 2k 2
n2 n 2k 2 an 2 n 1 n 2k 1 2
n2 n 2k 2 故答案为 2 n 1 n 2k 1 2
高考数学一轮复习 课时作业 加练一课(四)递推数列的通项的求法 文
加练一课(四)递推数列的通项的求法时间/ 30分钟分值/ 80分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2018=()A. 8B. 6C. 4D. 22.已知数列{a n}的前n项积为n2,那么当n≥2时,a n=()A. 2n-1B. n2C. D.3.数列{a n}定义如下:a1=1,当n≥2时,a n=若a n=,则n的值为()A. 7B. 8C. 9D. 104.[2017·河南八市三模]已知数列{a n}满足a n+1(a n-1-a n)=a n-1(a n-a n+1),若a1=2,a2=1,则a20=()A. B.C. D.5.已知数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=a n,则数列{a n}的通项公式为 ()A. a n=B. a n=C. a n=n(n+1)D. a n=n(n-1)6.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A. 2n-1B.C.D.7.[2017·衡水中学模拟]已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=(a n>0),则a n=()A. 10n-2B. 10n-1C. 1D.8.已知各项均为正数的数列{a n}中,a1=1,数列的前n项和S n满足S n-S n-1=2(n ∈N*,且n≥2),则a61=()A. 120B. 240C. 360D. 4809.已知数列{a n}满足a n+2=a n+1-a n,且a1=2,a2=3,则a2018的值为 ()A. -3B. 3C. 2D. -210.[2017·沈阳二中月考]设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.B.C.D.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2),则a7= .12.已知正项数列{a n}满足a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7= .13.[2018·合肥六中月考]已知数列{a n}满足a n+1=3a n+1,且a1=1,则数列{a n}的通项公式为a n= .14.[2017·宁波期中]已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则数列{a n}的通项公式为a n= .15.已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2+2a n=3a n+1(n∈N*),则数列{a n}的通项公式为a n= .16.[2017·兰州一诊]已知数列{a n},{b n},若b1=0,a n=,当n≥2时,有b n=b n-1+a n-1,则b2017= .加练一课(四)递推数列的通项的求法1.D[解析] 由题易得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列{a n}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018=a335×6+8=a8=2.2. D[解析] 设数列{a n}的前n项积为T n,则T n=n2,当n≥2时,a n==.3. C[解析] 因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9,故选C.4.C[解析] 将a n+1(a n-1-a n)=a n-1(a n-a n+1)化为+=,可知数列是等差数列,其首项为,公差为-=,∴=+×19=10,则a20=.故选C.5. A[解析] 当n>1时,有a n=S n-S n-1=a n-a n-1,整理得a n=a n-1,则a2=a1,a3=a2,…,a n-1=a n-2,a n=a n-1,将以上(n-1)个等式等号的两端分别相乘,整理得a n=,当n=1时,上式也成立.故数列{a n}的通项公式为a n=.6. B[解析] 由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,则=,又S1=a1=1,所以S n=.7.D[解析] 因为数列{a n}满足a n+1=(a n>0),所以log2a n+1=2log2a n⇒=2,所以{log2a n}是公比为2的等比数列,则log2a n=log2a1·2n-1⇒a n=.8. D[解析] 由S n-S n-1=2可得-=2,所以{}是以1为首项,2为公差的等差数列,则=2n-1,即S n=(2n-1)2,所以a61=S61-S60=1212-1192=480,故选D.9. B[解析] 由题意得a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3,∴数列{a n}是周期为6的周期数列,∴a2018=a2=3.10. B[解析] 由题意知S n+na n=2,当n≥2时,(n+1)a n=(n-1)a n-1,从而···…·=··…·,则a n=,当n=1时,上式也成立,所以a n=.故选B.11. 55[解析] ∵a n=a n-1+2n(n≥2),∴a n-a n-1=2n(n≥2),则a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,a5-a4=10,a6-a5=12,a7-a6=14,∴a7=1+4+6+8+10+12+14=55.12.[解析] 由2=+(n∈N*,n≥2),可得数列{}是等差数列,则公差d=-=3,又=1,∴=1+3(n-1)=3n-2,∴a n=,∴a7=.13.(3n-1)[解析] 因为a n+1=3a n+1,所以a n+1+=3,所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,所以a n+=×3n-1,即a n=(3n-1).14.[解析] ∵S n=n2+2n-1,∴当n=1时,a1=1+2-1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∵当n=1时,a1=2≠2+1=3,∴a n=15. 3×2n-1-2[解析] 由a n+2+2a n-3a n+1=0,得a n+2-a n+1=2(a n+1-a n),∴数列{a n+1-a n}是以a2-a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1-a n=3×2n-1,∴当n≥2时,a n-a n-1=3×2n-2,…,a3-a2=3×2,a2-a1=3,将以上各式累加得a n-a1=3×2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1),∴a n=3×2n-1-2(当n=1时,也满足此式).16.[解析] 当n≥2时,由b n=b n-1+a n-1得b n-b n-1=a n-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,b n-b n-1=a n-1,将以上各式累加得b2-b1+b3-b2+…+b n-b n-1=a1+a2+…+a n-1=++…+,即b n-b1=1-+-+…+-=1-=,所以b n=,故b2017=.。
高考递推数列求通项题型分类归纳解析 好
高考递推数列求通项题型分类归纳解析类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以na a n 111-=- 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，na n 32=∴ 例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
2019高考数学一轮复习第6章数列专题研究1递推数列的通项的求法练习理
专题研究1递推数列的通项的求法1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第()项．()A ．16B ．24C ．26D ．28答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为()A ．15B ．16C ．49D ．64答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于()A ．2 017×2 018B ．2 016×2 017C ．2 015×2 016D ．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选B.4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1xn －1＋1xn ＋1＝2xn(n≥2)，则x n 等于() A ．(23)n －1B ．(23)n C.n ＋12 D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 为首项为1x1＝1，d ＝12的等差数列，1xn ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1. 5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝() A ．2－(12)n －1B ．(12)n －1－2 C ．2－2n －1D ．2n－1 答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝() A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为()A ．22B ．4C ．8D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝()A ．－27B.27C ．－37D.37答案 D解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.故选D. 9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝()A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________． 答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1， 则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13， a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n. 逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .。
用递推公式求数列通项 练习-2023届高三数学一轮复习
递推公式求通项练习1．数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +=++，则n a =。
2．数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 3．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a =。
4．在数列{}n a 中，若12a =-，12n n n a a n +=+⋅，则n a =。
5.已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是 。
6．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是 。
7．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________． 8．在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a = 。
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1120n n n a S S +++=，则n S =______．10．各项均正的数列{}n a 满足1114,22n n n a a a ++==+，则n a 等于 。
11．已知数列{a n }满足11a =，11)n n n n a a na a n N *++-=∈（，则n a =________． 12．已知数列{}n a 满足12a =-，且136n n a a +=+，则n a =________________.13．已知数列{}n a 满足11235,6nn n a a a +=+⨯=，则数列{}n a 的通项公式n a =_________. 14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =，则na =_.15．已知数列{}n a 满足113a =，11221n n n n a a a n --⋅=+- (2,n n N *≥∈)，则n a =__________．16．数列{}n a 中，若11,a =1111n n a a +=-+，则2016=a 。
高考数学一轮复习 第6章 数列 专题研究1 递推数列的通项的求法练习 理
专题研究1 递推数列的通项的求法1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选B.4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n≥2)，则x n 等于( )A ．(23)n －1B ．(23)nC.n ＋12D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( )A ．2－(12)n －1B ．(12)n －1－2C ．2－2n －1D ．2n－1答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A.6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，则a 6的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( ) A ．－27B.27 C ．－37D.37答案 D解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，…，可以归纳通项公式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.故选D.9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________．答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n.逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝13n －2解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n3a n ＋1. 两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3. 即1a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列． 则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________． 答案 2·3n －1－1解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列． ∴a n ＝2·3n －1－1.13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________．答案 (2n －1)·2n解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n≥2)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n2n ，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n.14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝1n （n ＋1）解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n a n －1＝n －1n ＋1(n≥2)． ∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）.∴a n ＝1n （n ＋1）.15．(2017·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n∈N *)，则a n ＝________．答案n 3n －2解析 由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×(1n －1n ＋1)，则由累加法得1a n －1a 1＝2(1－1n )，又因为a 1＝1，所以1a n ＝2(1－1n )＋1＝3n －2n ，所以a n ＝n3n －2.16．(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n }满足∑ni ＝2 a i 2i －1＝3n ＋1(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n≥2），解析 当n≥2时，∑i ＝2n －1a i 2i －1＝3n ，又∑i ＝2na i 2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n.由于a 1＝7不符合a n＝6n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n≥2）.17．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n ＋1)(n∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n＋1)解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n≥1)，①∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1.②②－①，得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)．故b n ＝2(3n＋1)(n∈N *)．1．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A ．2 016B ．2 015 C.12 016D.12 015答案 D解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 015.故选D.2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________． 答案 2n （n －1）2解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝n ＋1解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋a nn ＋1＝a n ＋1－2，a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 23＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.。
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递推数列求通项题型分类练习类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
1、已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
3、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
4、变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
5、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .6、变式:（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
7、已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
8、: 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a9、练习:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。
10、变式:（2006，福建,文,22）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式；类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去nS)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
11：数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .类型7 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
12：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a a a a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a类型8 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。
13：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a aa n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
14、变式:（2006，江西,理,22）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式；答案：1、解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以na a n 111-=- 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴ 2、解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，na n 32=∴ 3、解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
4、解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n 5、解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .6、321-=+n n a7、解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+∙=∙++n n n n a a 令n n n a b ∙=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-= 所以n n nn n b a )31(2)21(32-== 8、解（特征根法）：的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 9、1731:()443n n key a -=--。
10、解： 112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22 (21)21().n n n n N --=++++=-∈11、解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 21211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=⇒n n n a 12、解：由211n n a a a ⋅=+两边取对数得a a a n n 1lg lg 2lg 1+=+，令n n a b lg =，则a b b n n 1lg21+=+，再利用待定系数法解得：12)1(-=n n a a a 。
13、解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n 14、解：（1）将条件变为：1－n n a ＝n 11n 113a －－（－），因此｛1－nn a ｝为一个等比数列，其首项为1－11a ＝13，公比13，从而1－n n a ＝n 13，据此得a n ＝n n n 331∙－（n ≥1）。