第3讲(2)特征值特征向量与矩阵的对角化

定义2 设A为一n阶方阵, 如存在一对角矩阵B, 使 得A~B, 则称A可对角化.
定理2 n阶方阵A可对角化当且仅当A有n个线性 无关的特征向量.
定理3 属于矩阵A的不同的特征值的特征向量线 性无关.
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推论 设λ1, λ2, …, λm是矩阵A的m个不同的特征值, 而 βi1 , βi2 ,L, βiri 是A的属于λi (i=1, 2, …, m)的线性 无关的特征向量. 则向量组
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1
求方阵特征值和特征向量的方法:
给定一个n 阶方阵A, 1. 写出它的特征多项式det(A−λI)；
2. 求det(A−λI)=0的所有解，即A的所有特征根;
3. 对于每一特征根λ0, 求齐次线性方程组 (A−λ0I)X=O
的一个基础解系, 此基础解系是矩阵A的属于特征 值λ0的线性无关的特征向量组.
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例1 判断上一节例1, 例2和例3中的矩阵是否可对角 化. 如可对角化, 求可逆矩阵T, 使得T-1AT为对角阵.
A
=
⎡0.94 ⎢⎣0.06
0.03⎤ 0.97 ⎥⎦
⎡1 2 2⎤ A = ⎢⎢2 1 2⎥⎥
⎢⎣2 2 1⎥⎦
⎡3 1 0⎤
A = ⎢⎢−4 −1
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 4 −8 −2⎥⎦
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定理4 设A=(aij)n×n, 并设A的特征多项式det(A−λI) 为
那么
f (λ)=an λn+ an -1λn-1+…+ a1 λ+ a0
an=(−1)n, a0=det(A), an-1=(−1)n-1 ( a11+a22+…+ann)
思考： an λn+ an -1λn-1+…+ a1 λ+ a0 中的λn 与λn-1项 出自于det(A- λI) 中(a11- λ) (a22- λ) … (ann- λ)中的 λn 与λn-1项.
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定义3 设A=(aij)n×n, 称A的主对角线上元素之和为 A的迹, 记为
tr(A)= a11+a22+…+ann
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2
定理5 设A=(aij)n×n, λ1, λ2, …, λn 是A的n个特征根. 那么
i) λ1+λ2+ …+ λn =tr(A) ii) λ1λ2 … λn=det(A)
例 1(1)
A
=
⎡0.94 ⎢⎣0.06
0.03⎤ 0.97⎥⎦ ,
T
=
⎡1 ⎢⎣2
1⎤ −1⎥⎦ ,
T −1 AT
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0.91⎥⎦
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4
例 1(2)
⎡1 2 2⎤
⎡1 −1 −1⎤
A
=
⎢ ⎢
2
1
2
⎥ ⎥
,
T = ⎢⎢1
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 2 2 1 ⎥⎦
⎢⎣1 0 1 ⎥⎦
⎡5
⎤
5
定理1 设λ0是矩阵A的一个特征值. 那么, 向量β0是 A的属于特征值λ0的一个特征向量当且仅当β0是齐 次线性方程组
的一个非零解.
(A− λ0I)X=O
定理2 一数λ0是矩阵A的一个特征值, 当且仅当λ0 是A的特征多项式det(A−λI)的一个根，即，A 的特 征方程det(A−λI)=0的一个解.
下的矩阵是
⎡ 2 −2 2 ⎤
A = ⎢⎢−2
−1
4
⎥ ⎥
⎢⎣ 2 4 −1⎥⎦
判断是f 否可以对角化？
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5
解： 根据前面例题的讨论可知f有3个线性无关 的特征向量:
ξ1 = −2α1 + α2 , ξ2 = 2α1 + α3
ξ3 = α1 + 2α2 − 2α3
因此f 可以对角化，f 在这组基下的矩阵是
证明. 由 anλn+an-1λn-1+…+ a1λ+ a0＝ an(λ-λ1) (λ-λ2)…(λ-λn) 及定理4 可得.
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例 2 求下述矩阵的特征值和特征向量.
⎡1 2 2⎤ A = ⎢⎢2 1 2⎥⎥
⎢⎣2 2 1⎥⎦
答案.
特征值：二重根λ1=-1, λ2=5.
⎡−1⎤
λ1=-1对应的特征向量
T −1 AT
=
⎢ ⎢
−1
⎥ ⎥
⎢⎣
− 1 ⎥⎦
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例2 证明: 如一矩阵为上(或下)三角矩阵，并且对 角线上元素两两不等, 则可对角化. 例3 证明: 如A~B, 则Am~Bm. 并由此计算§1中例1 与例2中矩阵的m次方幂.
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例2 判断矩阵
⎡3 −1 1⎤ A = ⎢⎢2 0 1⎥⎥
⎢⎣1 −1 2⎥⎦
a12
L
a1n
det( A − λ I ) = a21
a22 − λ L
a2n
M
MOM
a1n
a2n L ann − λ
故，行列式det(A−λI)的展开式是一个λ的n次多项 式.
4
定义2 称λ的n次多项式det(A−λI)为矩阵A的特征 多项式, 而称方程det(A−λI)=0为矩阵A的特征方 程.
3—2 特征值、特征向量与矩阵的对角化问题
3-2-1矩阵的特征值与特征向量 3-2-2矩阵对角化问题
1
2
3-2-1 矩阵的特征值与特征向量
定义1 设A是一n 阶方阵, 如果存在一数λ0和一非
零向量β使得
注意
Aβ= λ0β
(1)
则称λ0是A的一个特征值,
并称β为A的属于特征值λ0的特征向量.
3
因为
a11 − λ
⎢⎣ 20 ⎥⎦
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⎡0⎤ λ2=5对应的特征向量 ξ2 = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣1⎥⎦
3-2-2 矩阵对角化问题
定义1 设A, B是两个n 阶方阵. 如果存在一个可逆 矩阵T, 使得
B=T −1AT 则称A与B相似, 记为A~B.
显然, 如A~B, 则也有B~A.
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3
定理1 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而也有相 同的特征值.
ξ1
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥Leabharlann ,⎢⎣ 0 ⎥⎦⎡−1⎤
ξ2
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
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⎡1⎤ λ2=5对应的特征向量 ξ3 = ⎢⎢1⎥⎥
⎢⎣1⎥⎦
例 3 求下述矩阵 A 的特征值与特征向量.
⎡3 1 0⎤
A
=
⎢ ⎢
−4
−1
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 4 −8 −2 ⎥⎦
答案.
特征值：二重根λ1=1, λ2=-5.
⎡3⎤ λ1=1对应的特征向量 ξ1 = ⎢⎢−6⎥⎥
β11 , β12 ,L, β1r1 , β21 , β22 ,L, β2r2 ,L, βm1 , βm2 ,L, βmrm
也线性无关.
定理4 n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个ni 重特征值λi ，A有ni个线性无关的属于特征值λi的 特征向量.
推论5 如n阶矩阵A有个n不同的特征值, 则可对角 化.
是否可以对角化？
解：先求出A的特征值
λ − 3 1 −1 λI − A = −2 λ −1
−1 1 λ − 2 = (λ −1)(λ − 2)2 于是的特征值为 λ1 = 1, λ2 = 2（二重）
由 性于 无关λ1的=特1 是征单向的量特. 下征面值我，们它考一虑定λ对2 应= 一2 个线
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例 1 求上一章最后一个应用实例中矩阵
A
=
⎡0.94 ⎢⎣0.06
的特征值和特征向量.
答案.
特征值：λ1=1, λ2=0.91.
0.03⎤ 0.97 ⎥⎦
λ1=1对应的特征向量
ξ1
=
⎡1⎤ ⎢⎣2⎥⎦
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λ2=0.91对应的特征向量 ξ2
=
⎡−1⎤ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
定理3 如果λ是矩阵A的一个特征值, 而β是A的属 于特征值λ的特征向量，则对任意正整数m, λm是 Am的一个特征值，并且β是Am的属于特征值λm的 一个特征向量.
⎡−1 1 −1⎤ ⎡1 −1 1⎤ λ2I − A = ⎢⎢−2 2 −1⎥⎥ → ⎢⎢0 0 1⎥⎥
⎢⎣−1 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
于是
r(λ2I − A) = 2, q2 = n − r (λ2I − A) = 1
从而不可以相似对角化.
例3 设V是数域K上的3维线性空间，f是V上
的一个线性变换，f在V上的一个基 α1,α2,α3
⎡3 0 0 ⎤
B = ⎢⎢0
3
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 −6⎥⎦
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由基 α1,α2,α3 到基 ξ1,ξ2,ξ3 的过渡矩阵是
于是有
⎡−2 2 1 ⎤
P
=
⎢ ⎢
1
0
2
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 1 −2⎥⎦
P−1AP = B
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