河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题A卷
河北省衡水市冀州中学高二上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．若函数y=f（x）的定义域是，则函数g（x）=的定义域是（）A． B．0，1）∪（1，40，20，10，1） C． D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈hslx3y3h0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．=•x12﹣3r，【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C 内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C （1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）休假次数0 1 2 3人数 5 10 20 15某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ0 1 2 3Pξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。
2016年河北省衡水二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．9910．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．212．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为．15．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选：C．6．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设t=a﹣a x，则y=为增函数，则函数y=（a＞0，a≠1）为单调函数，当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．7．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选：A．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99【解答】解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选：B．10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B 1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．11．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f（2015）=f（2015﹣4×504）=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βs in=．故答案为：．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：715．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为4．【解答】解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴C=．∵c=2，C=，由余弦定理，，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．【解答】解：（1）由不等式的性质得：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a﹣1|≥a，解得：，所以实数a的取值范围为．（2）（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB．由AD为∠BAC 的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，再根据BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．∵HE=4，∴ED=2．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π，∴A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC，∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…（6分）（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8．∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0，∴d=2．∴a n=2n．…（9分）∴==．∴S n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a 3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈，∴2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈（0，3]．（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…（5分）再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故k max=3…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…（10分）又ln [（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n （n +1））]=ln （1+1×2）+ln （1+2×3）+…+ln（1+n ×（n +1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n （n +1）]＞e 2n ﹣3…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期第四次月考试题B
开始a输入1,0k S ==1(21)(21)S S k k =+-+1k k =+?S a >是否k输出结束河北冀州中学2015—2016学年度上学期第四次月考高二年级数学试题（理）考试时间150分钟 试题分数120分一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=Z x x x x P ,21|,集合{}032|2>-+=x x x Q ,则=Q C P R I （ ）A ．{}0123，－，－，－ B ．{}1123，－，－，－ C ．[)03，－ D ．{}123－，－，－ 2．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1--C ．[]2,1-D ．[]1,24．已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃,命题0,:2>∈∀x R x q ,则（ ）A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∨是假命题D ．命题)(q p ⌝∧是真命题 5. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则C ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或 D ．若则0,0022≠+==b a b a 则且6．一个四面体的三视图如图所示， 则该四面体的表面积为( )A ．2 3 B. 3 C.32 D.347. 曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=,则点0P 的坐标是（ ）A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,0)D ．(1,1)-8.阅读如图所示的程序框图,若输入919a =, 则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 9. 设函数()f x ，()g x 满足()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有（ ）A 、()()f x g x >B 、()()f x g x <C 、()()()()f x g b g x f b +>+D 、()()()()f x g a g x f a +>+10.已知||2||0a b =≠r r，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅r r r在R 上有极值，则向量,a b r r 的夹角范围是（ ） A ．[0,)6πB ．(,]6ππC ．2(,)33ππD ．(,]3ππ11.已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．553 C ．355 D ．5 12.已知函数f (x )＝201543212015432x x x x x +⋯+-+-+，则下列结论正确的是（ ） A. f (x )在(0,1)上恰有一个零点 B. f (x )在(0,1)上恰有两个零点 C . f (x )在(－1,0)上恰有一个零点 D. f (x )在(－1,0)上恰有两个零点 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ⋅的最大值为 .14. 设函数()cos(3)f x x ϕ=+(0ϕπ<<)，若()()f x f x +'是奇函数，则ϕ= 。
【全国百强校】河北省冀州市中学2015-2016学年高二上学期期中考试(B卷)理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”的否定为 （ ） A 、对任意x ∈R ，都有2ln 2x < B 、存在x ∈R ，使得2ln 2x < C ． 存在x ∈R ，使得2ln 2x ≥ D 、不存在x ∈R ，都有2ln 2x < 【答案】B考点：1、全称命题；2、命题的否定．2.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 【答案】D 【解析】试题分析：方程221mx ny +=化为标准方程为22111x y m n +=，由0m n >>知110n m >>，所以“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件，故选D ． 考点：1、椭圆的标准方程；2、逻辑关系．3.下列双曲线中与椭圆2214x y +=有相同焦点的是 ( )A ．2214x y -= B ．2214y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：椭圆2214x y +=的焦点为()，A选项焦点为()，选项B 和C 的焦点在y 轴上，D选项焦点为()，故选D ．考点：1、椭圆的标准方程及焦点； 2、双曲线的焦点．4.设a 3(,sin )2α=，b1(cos ,)3α=，且//a b ，则锐角α为 （ ） A ．075 B ．060 C ．045 D ．030 【答案】C考点：1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题.本题通过向量共线//a b r r，得12210x y x y -=，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角α的三角函数值，从而求得锐角α的值. 5.已知n 次多项式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++，用秦九韶算法求当0x x =时()0f x的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是 （ ） A 、n ，n B 、2n ，n C 、()12n n +，n D 、n +1，n +1 【答案】A 【解析】试题分析：本题考查秦九韶算法，看最高次项的指数，最高次项为n ，所以需要进行n 次乘法运算，n 次加法运算，故选A ． 考点：算法的应用．6.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( )A ．0.75B ．0.8C ．0.8192D ．0.852【答案】A考点：概率统计．【易错点晴】本题主要考查的是简单随机抽样，属于易错题．概率与统计问题的解题关键是读懂题目，认清哪个数字代表什么意思，然后找出满足条件的数有几个，通过比例得出结果，一定要仔细，防止出现多算或者漏算的错误．7.在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小（ ）A ．12B ．1732C ．3132 D ．1532【答案】D 【解析】试题分析：椭圆的离心率为c e a=2222231,24c b e a b a a ==-<∴<；它所对于的区域如下图中阴影所示.则方程22221x y a b +=表示焦点在x()111113215222=1-2432S P S ⨯⨯+⨯+⨯==⨯阴影矩形，故选D ．考点：1、椭圆的离心率；2、几何概型．8.已知等比数列{}n a 中，123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为（ ）A 、31n- B 、()331n - C 、 D 、【答案】D考点：1、等比数列的通项；2、数列求和．9.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12.其中，正确说法的序号是 ( )A. ①②B.③④C.①③D. ②④ 【答案】C 【解析】试题分析：将图中各数按从小到大排列为：78,83,83,85,90,91；所以中位数是8385842+=，众数为83，平均数为788383859091856+++++=，极差为917813-=，故①③正确，选C ．考点：1、茎叶图；2、统计． 10.已知函数()()sin cos cos f x x x x=+，则下列说法正确的为 （ ）A ． 函数()f x 的最小正周期为2πB ． ()f x 的最大值为C ． ()f x 的图象关于直线x=﹣对称D ． 将()f x 的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D考点：1、二倍角公式；2、两角和与差公式；3、函数的变换．【思路点晴】本题主要考查的是三角函数的性质，函数图像的变换，二倍角公式及恒等变换公式的综合应用，属于中档题；由三角函数的表达式能直接看出最值与周期；熟练的记住公式，并能灵活的运用公式是解题的关键；做该题时一定要细心，运用公式一定要准确．11.利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下表，读出的第3个数是 （ ）A ．841B ．146C ．114D ．014 【答案】C 【解析】试题分析：从随机数表的第12行第5列的数开始向右读，第一个数是389，下一个是775（大于499，舍去），再下一个是841，舍去；再下一个是607，舍去；再下一个是449；再下一个是983，舍去；再下一个是114；所以第三个数是114，故选C ．考点：1、抽样方法；2、随机数表的读法．【思路点晴】本题主要考查的是随机数表的读法，属于容易题；先从随机数表的第12行第5列的数开始向右读，三个三个数一起数，把编号不在000-499之间的数排除，剩下的数字就是正确的数，做题时一定要细心，认真审题．12.设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A 、224412521x y +=B 、224412125x y +=C 、224412521x y -=D 、224412125x y -=【答案】A考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的定义、椭圆的标准方程，属于中档偏难题；根据垂直平分线的性质，得MA MQ =，再根据椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程；得到5MA MC AC+=>是该题目的关键；做该题时一定要细心，运用公式一定要准确．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.如图所示的程序框图，输入98,63m n ==时，程序运行结束后输出的m 、i 值的和为 ．【答案】11 【解析】试题分析：执行程序框图，得0,98,6335,63,35,1i m n r m n i ===⇒====，不满足0r =；得28,35,28,2r m n i ====，不满足0r =；得7,28,7,3r m n i ====，不满足0r =；得0,7,0,4r m n i ====，满足0r =，退出循环，输出m 的值为7，i 的值为4，故和为11.考点：1、程序框图；2、算法．14.在半径为1的圆周上有一定点A ，以A 为端点任作一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为 ． 【答案】23考点：几何概型．15.在三角形ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知060A =,1b =，其面积为，则a = ． 13【解析】试题分析：由面积公式011sin 1sin 60322S bc A c =⋅=⨯⋅⋅=4c =；再根据余弦定理得2212cos 116241132a b c bc A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、面积公式．【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的应用，要熟练掌握这两个定理以及三角形面积公式，属于中档题；先用面积公式1sin 2S bc A =⋅求出边c 的值，再根据余弦定理222cos a b c bc A =+-⋅，求出边a 的值，运算过程要仔细．16.在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点.若MPQ V 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．【答案】62⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭考点：1、椭圆标准方程；2、圆的标准方程；3、锐角三角形．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系等，属于难题；先把根据点F 和点M 的横坐标相同，代入椭圆方程得到点M 的坐标，再根据MPQ V 为锐角三角形，列出关于离心率的不等式，本题还考查了推理与计算能力．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知命题p :221210x y t t +=+-方程表示双曲线；命题q ：11m t m -<<+（0m >）,若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围． 【答案】实数m 的取值范围为03m <≤． 【解析】试题分析：先由命题p 和q 是真命题，表示出t 的取值范围；再根据p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，由命题的等价性，得到(1,1)(2,10)m m -+⊂-，即可解得实数m 的取值范围.试题解析：由命题p 得(2)(10)0t t +-< ∴210t -<< 2分 由命题q 得∴(1,1)t m m ∈-+ 4分由题意及逆否命题的等价性可知q p ⇒，即(1,1)(2,10)m m -+⊂- 6分∴由12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩（不同时取等号）及0m >得03m <≤ 8分 ∴所求m 的取值范围为03m <≤ . 10分 考点：1、双曲线的标准方程；2、逻辑与命题；3、命题之间的关系． 18.（本小题12分）已知0a >，命题p ：0x ∀>，2a x x +≥恒成立，命题q ：k R ∀∈，直线20kx y -+=与椭圆2221y x a +=有公共点，求使得p q ∨为真命题，p q ∧为假命题的实数a 的取值范围．【答案】实数a 的取值范围为12a ≤<．∴（1）若p 真q 假，则：102a a ≥⎧⎨<<⎩；∴12a ≤<； 8分（2）若p 假q 真，则：012a a <<⎧⎨≥⎩；∴a φ∈； 10分综上可得，a 的取值范围是12a ≤< 12分 考点：1、命题的真假；2、直线与椭圆的位置关系；3、分类讨论的数学思想．【方法点晴】本题主要考查的是命题之间的关系，直线和椭圆的位置关系，属于容易题；做题时由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题知，p q 、一真一假；然后用分类讨论的数学思想，分p 真q 假和p 假q 真两种情况，解决该问题；分类讨论完一定记得总结． 19.（本小题12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()cos ,sin m A A =u r，向量)sin ,cos n A A =r .若2m n +=u r r.（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 外接圆的半径为2，b=2，求边c 的长．【答案】（I ）角A 的大小为4π；（II ）边c考点：1、向量的简单运算；2、正弦定理；3、余弦定理． 20.（本小题12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．【答案】（I ）估计本次考试成绩的中位数为2203；（II ）所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为12．考点：1、频率分布直方图；2、中位数；3、概率．21.设1F ，2F 分别是椭圆E ：()222101y x b b +=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【答案】（I ）43AB =；（II）b = 【解析】 试题分析：（I ）根据椭圆的定义得224AF AB BF ++=，解得43AB =；（II ）设出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理写出12x x 、的关系，再根据第一问的弦长公式即可求出实数b 的值．试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义知224AF AB BF ++=，考点：1、椭圆的定义；2、等差中项；3、直线与椭圆的位置关系．【易错点晴】本题主要考查的是椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题；解答此类问题时一定要先把直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理写出1212,x x x x +2x 中，联立方程即可求出b 的值．22.已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =.直线x=t （t ＞0）与曲线E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（I）椭圆E的方程为22143x y+=；（II）△ABC．∴△ABC的面积12S=⋅=≤=．=，即t=∴△ABC． 12分考点：1、椭圆的标准方程；2、弦长公式；3、三角形面积公式．【方法点晴】本题主要考查的是直线与椭圆的位置关系，属于难题；解题时一定要注意各参数的取值范围，不能把范围扩大了；圆锥曲线问题一般都会有直线与圆锥曲线的联立，然后用韦达定理写出关系；当碰到此类问题时，即使看到结论没头绪，也要把联立的方程写出来，会有相应的步骤分；当应用到基本不等式时，不要忘记注明等式成立的条件．：。
2016届河北省衡水市冀州中学高三上学期第一次月考理科数学试题A卷及答案
试卷类型：A 卷 河北冀州中学2015-----2016学年上学期第一次月考 高三年级应届理科数学试题A 卷 考试时间：120分钟 试题分数：150一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞ B ．1(,][1,)2-∞+∞ C ．1[0,][1,)2+∞D ．(1,)+∞2．已知命题p ：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q ：若函数f （x ﹣1）为偶函数，则f （x ）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（ ）A ． p ∧qB ．⌝p ∧⌝qC ．⌝p ∧qD ．p ∧⌝q 3．若不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A.)0,3(-B.[)0,3-C.[]0,3-D.]0,3(-4．计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰（ ）A ．3B ．72C ． 92D ．325．已知1a >，()22x x f x a +=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是A ． 10x -<<B ． 21x -<<C ． 20x -<<D ． 01x <<6．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ≤+=x x f 的图像向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ）A ．0 B. 21- C. 23-D. 237．下列说法正确的个数是（ ）①命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 03﹣x 02+1＞0”； ②“b=”是“三个数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件；③“m=﹣1”是“直线mx+（2m ﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：④“复数Z=a+bi （a ，b ∈R ）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题． A ． 1B ．2C ．3D ．48．已知函数3()sin 1(,,)f x a x bx cx a b c R =+++∈，(lg(lg3))3f =，则3(lg(log 10))f =（ ）A ．3B ．1-C ．3-D ．2014 9．若定义在实数集R上的偶函数)(x f 满足)(>x f ,)(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 则(2015)f =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 10．如图所示的是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 12+x 22等于（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）=，若f （x ）≥kx，则k 的取值范围是（ ）A ．[]5,1- B. []0,1- C. []5,0 D.[]2,1-12．定义在(0,)2π上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >⋅成立。
河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．故选：B．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny ≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z 的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期第三次月考试题A
河北冀州中学2015—2016学年度上学期第三次月考试题高二年级理科数学试题考试时间150分钟 试题分数120分一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.下列说法中正确的是 （ ） A 、 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B 、 “a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、 “220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D 、 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）A 、必要不充分条件B 、 充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆4、已知数列{}n a 中，372,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ）A 、25-B 、12C 、5D 、235、已知x 、y 满足约束条件1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 2z x y =+的最大值为 （ ）A 、﹣2B 、﹣1C 、 1D 、 26、一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1-50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是 ( )A 、 抽签法B 、系统抽样法C 、随机数表法D 、分层抽样法7、已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 （ ） A 、630 B 、7 C 、630或7 D 、65或7 8、两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a = （ ） A ．1 B ．31-C ．1或0D ．51-或319、若框图所给的程序运行结果为S =90．那么判断框中应填人后的条件是 ( ) A 、k=9 B 、k ≤8 C 、k<8 D 、k>810、在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．411、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A 、（1，）B 、（1，+1） C 、（+1，）D 、（，）12、点P 到点1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 （ ） A 、12 B 、32 C 、12或32 D 、12-或12二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13、在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A （﹣4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆221259x y +=上，则= ．14、已知函数()()()221020xx f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．15、已知命题[]:0,1,xp x a e ∃∈≤，命题:,q x R ∀∈20x x a ++>，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是__________.16、已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（1，-1），点N(x,y)的坐标x,y 满足230,330,1.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则0OM ON ⋅<u u u u r u u u r的概率为_________.三、 解答题（本题共6道小题，其中17题10分，其余每题12分） 17、（本小题10分）已知命题22:46,:210(0),p x q x x a a -≤-+-≥>若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。
2015-2016年河北省衡水二中高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．3268．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．129．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣311．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．3612．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=．15．（5分）已知函数f（x）=，则=．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1．∴z=a+（a﹣2）i=1﹣i．则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=（a＞0），|z|=1，∴=1，∴a=1，∴z==i，∴=﹣i，故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：A．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．326【解答】解：因为5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，所以n=16×16+1=257，故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4=3和2，由正视图知长方体的高为1+1=2，∴长方体的体积V=3×2×2=12．9．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种【解答】解：第一步分步：由题意把8人分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为C81C73++=280+210+280=770种，第二步，分配，每一种分法都有A33=6种，根据分步计数原理，共有770×6=4620种，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3【解答】解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009﹣3，故选：B．11．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．36【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于±1．【解答】解：∵函数f（x）在定义上为奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）+f（x）===0，即（a2﹣1）（e x+e﹣x）=0解得a=±1，故答案为±1．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr415．（5分）已知函数f（x）=，则=．【解答】解：=dx+x2dx，因为dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，所以dx=×22π=π，x2dx=|=，所以=dx+x2dx=π+故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【解答】解：（1）==．（3分）由得（5分）于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…（11分）由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…（12分）20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，则，∴（2x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或，当（2x+1）（x﹣1）＜0时，得，又定义域为x∈（0，+∞），∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值．（2）易知，f（x）在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解，即或f'（1）≤0，解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）设切点（t，t2+at﹣lnt），，∴切线方程为．∵切线过原点（0，0），∴，化简得t2﹣1+lnt=0（※）．设h（t）=t2﹣1+lnt（t＞0），则，所以h（t）在区间（0，+∞）内单调递增．又h（1）=0，故方程（※）有唯一实根t=1，从而满足条件的切线只有一条．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）不妨先证明0＜g（x）＜x （x＞0），即0＜ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，先证ln（e x﹣1）﹣lnx＞0，即e x＞x+1，显然成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）再证ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，只需证，e x﹣1＜xe x设h（x）=xe x﹣e x+1，则h′（x）=e x+xe x﹣e x=xe＞0，即h（x）＞h（0）=0，0＜g（x）＜x得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由当a≤0时，则f（x）在R上单调递增，可知，f（g（x））＜f（x），当0＜a≤1时，lna≤0，又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，f（g（x））＜f（x）当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，f（g（x））＞f（x）与条件不符．综上a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期第五次月考试题(a卷)理
河北冀州中学2015—2016学年度上学期第五次月考高二年级数学试题（理）考试时间150分钟 试题分数120分一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合 {}{}21|,1,|2,23x A y y a y a B y y x -=<>+==≤≤或，若A B =∅ ，则实数a的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B.(,2⎤-∞⎦C. (,2)⎤-∞-⎦ D．⎤⎦2. 命题“存在Z x ∈,使022≤++m x x ”的否定是（ ）A ．存在Z x ∈,使022>++m x xB ．不存在Z x ∈,使022>++m x xC ．对于任意Z x ∈,都有022≤++m x xD ．对于任意Z x ∈,都有022>++m x x3．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，则目标函数23 z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.抛物线22y x =上的两点A,B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.5 B.4 C.3 D.25. 设b a ,R ∈,则()"0"2<∙-a b a 是""b a <的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.下列命题中正确的是（ ）A.1y x x =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.()4230y x x x=-->的最大值是2-D.()4230y x x x =-->的最小值是2-7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．2 C．3D． ） 8.设636e a =，749e b =，864e c =，则a ,b ,c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9. 执行右边的程序框图，如果输入4a =， 那么输出的n 的值为 （ ） A.3 B.4 C.5 D.610．当a > 0时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是 （ ）11 ．已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx,则（ ）A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值12.设双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+ ，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABD ．98第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长 ． 14. 有下列推理：①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________． 15．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝_________．16. 若函数()x f c bx ax x +++=23有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程()()()0232=++b x af x f 的不同实根个数是三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,.,c b a 已知+B A sin sin 12cos sin sin =+B C B 。
河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期第四次月考数学(理)试卷A卷
试卷类型：A卷河北冀州中学 2015—2016学年度上学期第四次月考 高二年级数学试题（理） 考试时间150分钟试题分数120分 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．集合,集合,则（ ） A．B． C． D． “是函数在区间内单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的取值范围是（ ） ．．． D．已知命题,命题,则命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题 命题“若”的逆否命题是（ ） ．若．若．若．若则 6．一个四面体的三视图如图所示， 则该四面体的表面积为( ) A. B. C. D．2 7. 曲线在点处的切线方程为,则点的坐标是（ ） A．B．C．D． 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的值是B．C．D．设函数，，则当时，有 B、 C、 D、 10.已知，且关于的函数在R上有极值，则向量的夹角范围是（） A． B． C． D．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点且, 则此双曲线的离心率为A．B．．D． ，则下列结论正确的是（）A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点B. f(x)在(－1,0)上恰有一个零点C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点D. f(x)在(－1,0)上恰有两个零点 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 设、分别是椭圆的左、右焦点. 若P是该椭圆上的一个动点，的最大值设函数()，若是奇函数，则过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A．B 两点,则的值等于 16.已知函数与图象上存在关于轴对称 的点，则的取值范围是 . 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分1分）和等比数列中，，，的前10项和。
河北衡水冀州中学15-16学年高二上第二次月考试卷--数学理(解析版)
5．为了解2000名学生对学校食堂的意见，准备从中抽取一个样本容量为50的样本．若采用系统抽样，则分段间隔k为（ ）
A．20B．30C．40D．50
6．若A为不等式组 表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A． B．1C． D．2
7．在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（ ）
A．3B．6C．9D．36
8．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A．i≤2013B．i≤2015C．i≤2017D．i≤2019
9．若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+ ＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（ ）
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
3．设 =（sinx，1）， =（ ，cosx），且 ∥ ，则锐角x为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一组数据为0，3，5，x，9，13，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众数为（ ）
（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；
（Ⅱ）设cn= ，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．
2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期期中试卷 理(含解
河北省衡水市冀州中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．∅B．{y|y=x2，x∈R} C．{y|y=2x，x∈R} D．{y|y=log2x，x＞0}2．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2，则其公差d等于（）A．2 B．4 C．±2D．±43．（5分）如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2）4．（5分）已知函数f（x）=，则x=1是f（x）=2成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．07．（5分）若直线过P（2，1）点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（）A．1条B．2 条C．3条D．以上都有可能8．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④9．（5分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，] C．（0，] D．（﹣∞，﹣]10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．2C．2 D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．（5分）椭圆+=1的半焦距是．14．（5分）设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AC=AA1=2，AB=2，M为BB1的中点，则B1与平面ACM的距离为．16．（5分）下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“∃x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）如图，已知直线l1：x+y﹣1=0以及l1上一点P（﹣2，3），直线l2：4x+y=0，求圆心在l2上且与直线l1相切于点P的圆的方程．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+在x∈时恒成立；命题q：方程4x﹣a•2x+1+1=0有解，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和T n．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．20．（1）求角B的大小（2）已知=4，求sinAsinC的值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥A C，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．22．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．河北省衡水市冀州中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．∅B．{y|y=x2，x∈R} C．{y|y=2x，x∈R} D．{y|y=log2x，x＞0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：化简选项B，C，D，然后根据集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q分析可得集合Q不可能是{y|y=log2x，x＞0}．解答：解：∵{y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，{y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，{y|y=log2x，x＞0}=R，且集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，∴集合Q不可能是{y|y=log2x，x＞0}=R．故选：D．点评：本题考查了交集及其运算，考查了函数值域的求法，是基础题．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2，则其公差d等于（）A．2 B．4 C．±2D．±4考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=n2，求出a1，a2，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2，∴a1=1，a2=4﹣1=3，∴d=3﹣1=2．故选：A．点评：本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．（5分）如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2）考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：根据双曲线的标准方程，可得只需2+m与1+m只需异号即可，则解不等式（2+m）（1+m）＜0即可求解．解答：解：由题意知（2+m）（1+m）＜0，解得﹣1＜m＜﹣1．故λ的范围是（﹣2，﹣1）．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．4．（5分）已知函数f（x）=，则x=1是f（x）=2成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据分段函数的表达式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当x=1时，f（x）=2，成立，当x=﹣4时，满足f（﹣4）=2，但x=1不成立，∴x=1是f（x）=2成立的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．解答：解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．6．（5分）函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：利用切线方程，计算f（5）、f′（5）的值，即可求得结论．解答：解：将x=5代入切线方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3∵f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2故选C．点评：本题考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）若直线过P（2，1）点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（）A．1条B．2 条C．3条D．以上都有可能考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线过原点时，方程为 y=x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（2，1）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．解答：解：当直线过原点时，方程为：y=x，即 x﹣2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（2，1）代入直线的方程可得 k=3，故直线方程是 x+y﹣3=0．综上可得所求的直线方程为：x﹣2y=0，或 x+y﹣3=0，故选B．点评：本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意不要漏掉当直线过原点时的情况，属基础题8．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④考点：平行投影及平行投影作图法．专题：空间位置关系与距离．分析：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．解答：解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C点评：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．9．（5分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，] C．（0，] D．（﹣∞，﹣]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．所以﹣≤k≤0．故选A．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b ＞0）的右焦点，可得c=．由于两曲线的交点连线过点F，可得其中一个交点P．因此2，再利用c2﹣a2=b2即可得出．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，∴c=．∵两曲线的交点连线过点F，∴其中一个交点．∴2，∴c2﹣a2=2ac，化为e2﹣2e﹣1=0，解得e=+1．故选：B．点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据，即可求得双曲线离心率的取值范围．解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，∵∴∴双曲线离心率的取值范围为故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．2C．2 D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．解答：解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．（5分）椭圆+=1的半焦距是3．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得椭圆的a，b，由c=，即可求得c，即椭圆的半焦距．解答：解：椭圆+=1的a=5，b=4，c==3，则椭圆+=1的半焦距是3．故答案为：3．点评：本题考查椭圆的方程和性质，掌握椭圆的a，b，c的关系是解题的关键．14．（5分）设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（0，2]．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：先化简p，q，利用p是q的充分不必要条件，建立不等式关系进行求解．解答：解：∵m＞0，∴不等式|2x+1|＜m等价为﹣m＜2x+1＜m，解得，即p：．由，即（x﹣1）（2x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜．即q：x＞1或x＜．∵p是q的充分不必要条件，∴，解得m≤2，∵m＞0，∴0＜m≤2，即实数m的取值范围为（0，2]．故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法注意端点值等号的取舍问题．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AC=AA1=2，AB=2，M为BB1的中点，则B1与平面ACM的距离为1．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据M为BB1的中点，可得B1与平面ACM的距离等于B与平面ACM的距离，由等体积可计算B与平面ACM的距离．解答：解：∵M为BB1的中点，∴B1与平面ACM的距离等于B与平面ACM的距离，∵，∠ABC=90°，AC=2，AB=2，∴BC=2，∵AA1=2，M为BB1的中点，∴AM=BM=，∴AC边上的高为2，∴S△MAC=•2•2=2，S△ABC=•2•2=2，设B与平面ACM的距离为h，则由等体积可得•2•=•2•h，∴h=1．故答案为：1．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查体积计算，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“∃x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有①②③（将你认为正确的序号都填上）．考点：特称命题；命题的否定；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：①先求抛物线是焦点为（1，0），可求圆的半径为r=1，从而可求圆的方程②把m=﹣2代入两直线方程即可检验直线是否垂直③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移，得到的函数为即可判断解答：解：①抛物线是焦点为（1，0），圆的半径为r=1，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，正确；②当m=﹣2，两直线方程为和，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移，得到的函数为，所以不正确．所以正确的命题有①②③．故答案为：①②③点评：本题主要考查了圆的标准方程的求解，直线垂直的条件的应用，命题的否定及函数的图象的平移等知识的综合应用三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）如图，已知直线l1：x+y﹣1=0以及l1上一点P（﹣2，3），直线l2：4x+y=0，求圆心在l2上且与直线l1相切于点P的圆的方程．考点：圆的切线方程．专题：计算题；数形结合；直线与圆．分析：设圆心为C（a，b），根据圆心在直线4x+y=0上可得b=﹣4a以及PC⊥l1可求出圆心坐标．从而得到圆的方程．解答：解：设圆心为C（a，b），半径为r，∵求圆心在直线4x+y=0上，∴b=﹣4a．∵直线l1的斜率为﹣1，PC⊥l1∴k PC=，解得a=﹣1，b=4．∴圆心坐标C（﹣1，4）．半径r=|PC|=．∴所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣4）2=2．点评：本题考查直线与圆相切的性质，两点的距离公式等知识点．属于中档题．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+在x∈时恒成立；命题q：方程4x﹣a•2x+1+1=0有解，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a 的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：分别求得命题p、q为真时a的取值范围，再根据复合命题真值表得：若“p或q”为真命题，“p且q”是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假，q真p假，求出a的范围，再综合．解答：解：∵x∈，2x∈，2x﹣∈，∴sin（2x﹣）≥∴，在x∈时恒成立∴命题p为真时：p：0＜a＜3由方程4x﹣a•2x+1+1=0有解得，令t=2x得在t∈（0，+∞）上有解，∵t∈（0，+∞）时，t+≥2，∴2a≥2，a≥1．∴命题q为真时：a≥1（1）若p真q假时，0＜a＜1；（2）若q真p假时，a≥3；综上：0＜a＜1或a≥3．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了三角函数的值域及基本不等式的应用，本题的关键是求命题p、q为真时a的范围．19．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先求出公比，再求出求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和，即可求{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a2=q，a3=q2，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1解得：q=2或q=﹣1（舍去），…（4分）∴a n=2n﹣1…（5分）（Ⅱ）b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1…（7分）则=+=n2+2n﹣1…（10分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．20．（1）求角B的大小（2）已知=4，求sinAsinC的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据三角形的面积，建立条件关系即可求角B的大小（2）已知=4，根据正弦定理即可求sinAsinC的值．解答：解（1）在三角形ABC中，由已知可得，∴，∴0＜B＜π，∴．（2）∵，∵由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC，∵．点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出=（0，1，1），=（2，0，0），由=0，能证明BE⊥DC．（Ⅱ）由=（0，1，1），能求出BE的长．（Ⅲ）由BF⊥AC，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），=（0，1，1），=（2，0，0），∴=0，∴BE⊥DC．（Ⅱ）解：∵=（0，1，1），∴BE的长为||==．（Ⅲ）解：∵，=（2，2，0），由点F在棱PC上，设==（﹣2λ，﹣2λ，2λ），0≤λ≤1，∴=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），∵BF⊥AC，∴=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得，设平面FBA的法向量为，则，取c=1，得=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角满足：cosα==，∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．22．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由A（a，0）、B（0，b），知，由与共线，知，由此能求出椭圆E的标准方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，故，，△=16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得A（a，0）、B（0，b），∴，∵与共线，∴，又a2﹣b2=1（3分）∴a2=2，b2=1，∴椭圆E的标准方程为（5分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴，（7分）△=16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0（*）（8分）∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴，即x1x2+y1y2＜0（9分）又由得，依题意且满足（*）（11分）故实数m的取值范围是（12分）点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期第一次月考试题A
河北冀州中学2015----2016学年上学期第一次月考高二年级 理科数学试题考试时间：120分钟 试题分数：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、设集合P={x ∈R|x 2+2x ＜0}，Q={x ∈R|＞0}，则P Q I = （ ） A 、（﹣2，1）B 、（﹣1，0）C 、φD 、（﹣2，0）2、已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o，则BD CD ⋅=u u u r u u u r（ ）A 、232a -B 、234a -C 、234aD 、232a 3、若,011<<ba 则下列不等式：（1）b a b a ⋅<+；（2）b a > ；(3) b a <中，正确的不等式有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个 4、已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 （ ） A 、()-10-61-3B 、()-1011-39C 、()-1031-3D 、()-1031+3 5、函数()()2cos sin cos f x x x x =+的最大值和最小正周期分别是 （ ）A ． 2，πB ．21,π+C ． 2，2πD ．21,2π+ 6、若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N 的值为 （ ）A 、5B 、6C 、7D 、87、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该四棱锥的体积等于 （ ）A. 83．3．243D ．4838、函数()cos lg f x x x =-⋅的部分图象是 （ ）A 、B 、C 、D 、9、在ABC ∆中，32=a ，22=b ，︒=45B ，则=A （ ） A 、︒30 B 、︒60 C 、︒30或︒150 D 、︒60或︒12010、把ln(1)y x =+的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是 （ ）A 、ln 3y x =B 、ln3x y = C 、2ln 3x y += D 、ln(32)y x =- 11、C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r 、b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r rr ，则下列结论正确的是 （ ）A 、1b =rB 、a b ⊥r rC 、1a b ⋅=r rD 、()4C a b +⊥B u u u r rr12、若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若x ，y 满足010≤≤≥x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，，则2z x y =+的最大值为 。
高二数学上学期期中试题(A卷)理(2021年整理)
河北省冀州市2016-2017学年高二数学上学期期中试题（A卷）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省冀州市2016-2017学年高二数学上学期期中试题（A卷）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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16—17学年上学期期中考试高二年级数学试题（理）考试时间120分钟 试题分数150分一、选择题：(本题共13小题，每题4分,共52分。
每题的四个选项中只有一个是正确的) 1．已知集合}|,1||{},1,0,1{A a a x x B A ∈-==-=，则B A 中的元素的个数为（ ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)3．已知实数,x y 满足1,1,x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 有 （ ) A ．最大值eB ．最大值eC ．最小值eD ．最小值e4. 某公司的班车在7:30,8：00，8：30发车，小明在7：50至8:30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.错误! B 。
错误!C.错误! D 。
错误!5．如图，给出的是计算1+ 31 + 51 + … + 991+1011的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( ） A ．i ＜101？ B ．i ＞101?C ．i≤101？D ．i≥101?6. 某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x（℃）之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表：月平均气温x ℃ 17 13 8 2 月销售量y （件)24334055由表中数据算出线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为C 6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ) A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件7．已知向量,满足:||1,(1,3)a b ==-，且()+⊥,则与的夹角为( )A ． 60B ． 90C ． 120D ． 1508．下列有关命题:①设R m ∈，命题“若b a >,则22bm am >”的逆否命题为假命题；②命题,,:R p ∈∃βα ()βαβαtan tan tan +=+的否定R p ∈∀⌝βα,:，()βαβαtan tan tan +≠+；③设ba ,为空间任意两条直线，则“b a //”是“a 与b 没有公共点"的充要条件．其中正确的是 （ ) A.①② B 。
河北省冀州市高二第一学期学期期中考试数学试卷1 有答案
河北省冀州市高二第一学期学期期中考试数学试卷1考试时间120分钟 试题分数150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.设集合}1,0{-=M ，}1,0{=N ,则M N =（ ） A.{0} B. {0,1} C. {1,0}- D. {1,0,1}-2.等差数列{}n a 的通项公式12-=n a n ，则其公差d 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±43.命题“若=3πα，则1cos 2α=”的逆否命题是（ ）A.若3πα≠，则1cos 2α≠B.若=3πα，则1cos 2α≠C.若1cos 2α≠，则3πα≠D.若1cos =2α，则=3πα4.已知向量)0,1(),2,3(-=-=，向量b a b a 2-+与λ垂直，则实数λ的值为（ ） A.16 B.17 C.16- D. 17- 5."1""||1"x x >>是的（ ）A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6.设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为 （ ）A. 1，-1B. 1，-2C. 2，-2D. 2，-17.椭圆1162522=+y x 的半焦距是（ ）A ．3B ．9C ．6D ．188.若直线 过)1,2(P 点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）条 A. 1条 B.2 条 C.3条 D.以上都不对9.从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）A.35B.25C.15D.4510.一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．12 C ．23D ．1311. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（ ）A.-1B. 1C. 3D. -312. 曲线01:1=+-y x C 与曲线134;222=+y x C ，的交点有（ ）个 A. 0 B.1 C.2 D.无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
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试卷类型：A 卷 河北冀州中学2015—2016学年度上学期期中考试试题高二年级理科数学试题考试时间150分钟 试题分数120分一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1、命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”的否定为 （ ） A 、对任意x ∈R ，都有2l n 2x < B 、不存在x ∈R ，都有2l n 2x < C ． 存在x ∈R ，使得2l n 2x ≥ D 、存在x ∈R ，使得2l n 2x <2、“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是 ( )A ．B ．C ．D ．4、设a 3(,sin )2α=，b 1(cos ,)3α=，且//a b ，则锐角α为 （ ）A ．030B ．045C ．060D ．0755、已知n 次多项式()1110nn n n f x a x a xa x a --=++++ ，用秦九韶算法求当x=x 0时()0f x的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是 （ ） A 、n ，n B 、2n ，n C 、，n D 、n+1，n+16、现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( ) A ．0.852 B ．0.8192 C ．0.8 D ．0.757、在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x的椭圆的概率为 （ ）A ．12B ．1532C ．1732D ．31328、已知等比数列{a n }中，123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为A 、31n- B 、()331n - C 、D 、（ ）9、对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85； ③平均数为85； ④极差为12。
其中，正确说法的序号是 ( ) A. ①② B.③④ C. ②④ D.①③10、已知函数()()sin cos cos f x x x x =+，则下列说法正确的为 （ ） A ． 函数f （x ）的最小正周期为2π B ． f （x ）的最大值为 C ． f （x ）的图象关于直线x=﹣对称D ． 将f （x ）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象11、利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下表，读出的第3个数是 （ ）A ．841B ．114C ．014D ．14612、设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A 、224412125x y -=B 、224412125x y +=C 、224412521x y -= D 、224412521x y += 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13、如图所示的程序框图，输入98,63m n ==时，程序运行结束后输出的 m 、i 值的和为 ．14、在半径为1的圆周上有一定点A ，以A 为端点任作一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为 ．15、在三角形ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知060A =,1b =，其面积为，则a = ．16、在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点。
则该椭圆离心率的取值范围是 ．三、解答题（本题共6道小题，其中17题10分，其余每题12分） 17、（本小题10分）已知命题P:221210x y t t +=+-方程表示双曲线；命题q ：11m t m -<<+（0m >）, 若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围． 18、（本小题12分）已知0a >，命题p ：0x ∀>，2ax x+≥恒成立，命题q ：k R ∀∈，直线20kx y -+=与椭圆2221y x a+=有公共点，求使得p q ∨为真命题，p q ∧为假命题的实数a 的取值范围．19、（本小题12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()cos ,sin m A A =，向量)sin ,cos n A A =若2m n +=。
（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 外接圆的半径为2，b=2，求边c 的长．20、（本小题12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取 2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的 概率．21、设F 1，F 2分别是椭圆E ：()222101y x b b+=<<的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．22、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =。
直线x=t （t ＞0）与曲线E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABC 的面积的最大值．高二年级理科数学期中考试答案A 卷：1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D 7、B 8、D 9、D 10、D 11、B 12、D B 卷：1、B 2、D 3、D 4、C 5、A 6、A 7、D 8、D 9、C 10、D 11、C 12、A13、11 ；14、23； 15； 16、⎛ ⎝⎭ 17、由命题P 得(2)(10)0t t +-< ∴210t -<< 2分 由命题q 得∴(1,1)t m m ∈-+ 4分 由题意及逆否命题的等价性可知q p ⇒，即(1,1)(2,10)m m -+⊂- 6分∴由12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩（不同时取等号）及0m >得03m <≤ 8分∴所求m 的取值范围为03m <≤ 10分18、解：命题p ：因为a ＞0时，对∀x ＞0，x+，则：2，a ≥1； 2分命题q ：由得：（k 2+a 2）x 2+4kx+4﹣a 2=0 则：△=4a 2（a 2+k 2﹣4）≥0，即a 2≥﹣k 2+4； 而﹣k 2+4在R 上的最大值为4；∴a 2≥4，∵a ＞0，∴解得a ≥2；【也可利用直线过定点（0，2）】 6分 p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题时，p ，q 一真一假； ∴（1）若p 真q 假，则：；∴1≤a ＜2； 8分 （2）若p 假q 真，则：；∴a ∈∅； 10分综上可得，a 的取值范围是1≤a ＜2 12分 19、解：（1）∵=（cosA ，sinA ），=（﹣sinA ，cosA ），∴+=（cosA ﹣sinA+，cosA+sinA ），∵|+|=2，∴（cosA﹣sinA+）2+（cosA+sinA）2=4，化简得：sinA=cosA，即tanA=1，则A=； 6分（2）∵△ABC外接圆的半径为2，b=2，A=，∴在△ABC中，由正弦定理=2R=4，即a=4sinA=2， 8分由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2b•c•cosA，化简得：c2﹣2c﹣4=0，解得：c=+（负值舍去）． 12分19、解：（1）由频率分布直方图知，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030x=0.5，解得x=，∴该组数据的中位数为70+=； 6分（2）第1组的频数为：60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6），第6组的频数为：60×0.1=3人（设为A，B，C）；从这9人中任取2人，共有36个基本事件，满足抽取2人成绩之差的绝对值大于10的基本事件有18个，所以，所求的概率为P==． 12分20、解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得4分（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则． 6分因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得． 12分22、解：∵椭圆的离心率，∴．解得a=2．∴椭圆E的方程为． 4分（2）解：依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得． 6分∴圆C的半径为．∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，∴，即． 8分∴弦长．∴△ABC的面积==．当且仅当，即时，等号成立．∴△ABC的面积的最大值为． 12分。