一阶微分方程习题课

(03考研 考研) 考研
= g (x) + f (x)
2 2
=[g(x) + f (x)] −2 f (x)g(x)
2
=(2e ) −2F(x)
x 2
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程 满足的一阶线性非齐次微分方程: 所以
F′(x) +2F(x) = 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
1 y 2 =1+C(1− ) . x x
例 3 求方程
dy 2 +x = x + y dx
（3） ）
该方程求解的困难在于右端的根号， 解：该方程求解的困难在于右端的根号， 我们希望去根号，因此， 我们希望去根号，因此，做变化
z =x +y
2 2
因为
代入（ 2zdz = 2xdx+dy, 代入（3） dz 2z − x = z dx dz x + z = , 求解得 这是一个齐次方程： 这是一个齐次方程： dx 2z
可分离变量方程求解
(4) y (x −3y)dx +(1−3xy )dy = 0
2 2
变方程为 y2xdx +dy −3y2(ydx + xdy) = 0 两边乘积分因子 µ = y−2
xdx +y dy −3(ydx + xdy) = 0
用凑微分法得通解: 用凑微分法得通解 1 2 −1 x −y −3xy =C 2
dy xy2 +sin x = , dx 2y
通过引进新的变量 z = y2 ，就将方程变换为 线性方程： 线性方程：
dz = xz+sin x. dx
下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。 下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。 2.4.1 形如 yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0 方程
2 2
解： 令 z = xy, 则 dz = xdy+ ydx, 代入（ 代入（ 1 ） 整理得
z(1+ z)dx +(1− z)(xdz− zdx) = 0
对上式分离变量得： 对上式分离变量得：
2dx 1− z + 2 dz = 0 x z
积分得
1 ln x − −ln z =C z
2
代入原变量得到（2.4.3）的通解为： 代入原变量得到（2.4.3）的通解为：
（2 ）
y dx − ydx+ xdy−dy = 0 x
做变化 y = xz 。因为dy = xdz+ zdx, 代入方程后得： 代入方程后得：
( z − z)dx +(x − x)dz = 0
2
这是一个变量可分离方程， 这是一个变量可分离方程，求解得
1 2 =1+C(1− z) . x
故原方程的通解为
引进变量 z = xy ，则
z xdz− zdx y = , dy = , 2 x x
原方程可化为
z [ f (z) − g(z)]dx + g(z)dz = 0 x
这是一个变量可分离的方程。 这是一个变量可分离的方程。
例 1 求方程 ） (y + xy )dx +(x − x y)dy = 0 （1）
−2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) ＝ － 内满足以下条件: 内满足以下条件 f ′(x) = g(x), g′(x) = f (x), 且f (0) = 0,
f (x) + g(x) = 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) Q F′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
(1 xy′ + y = y(lnx +ln y) )
(2) 2xlnxdy + y(y2 ln x −1)dx = 0 3x2 + y2 −6x +3 (3) y′ = 2xy −2y (4) y2(x −3y)dx +(1−3xy2)dy = 0
提示: 提示 (1) 原方程化为 du u 分离变量方程) 分离变量方程 = lnu (分离变量方程 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 3 dy 1 y −2 − y =− (贝努里方程 令z = y 贝努里方程) 贝努里方程 dx 2xlnx 2x
x 1 ln − =C. y xy
2.4.3 其它变化法 利用变量替换法求解微分方程十分灵活， 利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一 般依赖于方程的形式和求导的经验。 般依赖于方程的形式和求导的经验。 例 2 求方程
y ( − y)dx+(x−1 dy =0 ) x
将此方程改写为： 解：将此方程改写为： 对上式分离变量得： 对上式分离变量得：
3x + y −6x +3 (3) y′ = 2xy −2y
2 2
d y 3(x −1 2 + y2 ) 化方程为 = dx 2y(x −1 )
dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx dt dx dt dy 3t2 + y2 (齐次方程 齐次方程) 齐次方程 = dt 2t y 令y=ut
(x − x + y) (x +2 x + y) =C.
2 2 2
例 4 求方程
(x + y)(xdy+ ydx) = xy(dx +dy)
根据经验，仔细观察该方程的特征： 解：根据经验，仔细观察该方程的特征：
d(x + y) = dx +dy, d(xy) = xdy+ ydx.
故我们做变化
x+ y =u, xy =v.
代人原方程得： 代人原方程得：udv=vdu 因此得到原方程的解： . 因此得到原方程的解：
xy =C(x + y).
例 5 求解方程
dy + x(si 2y − x2 cos2 y) = 0. n dx
解：仔细观察该方程的特征： 仔细观察该方程的特征：
d tan y 1 si 2y = 2si yco y, n n s = . 2 d y co y s
例1. 求下列方程的通解 1 y3+x ′ = x2 − y2 + y ; (1 y′ + 2 e ) = 0; (2) xy y 3 2 1 6x +3xy (3) y′ = ; (4) y′ = − 2 . 2 3 2x − y 3x y +2y 提示: (1) 因 提示 e
y3+x
故为分离变量方程: = e e , 故为分离变量方程
6x3 +3xy2 (4) y′ = − 2 3x y +2y3
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令u = x 方法 2 化为微分形式
(6x3 *y3)dy = 0
∂P ∂Q Q = 6xy = ∂x ∂y
故这是一个全微分方程 .
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解
y3 x
−y e
通解
2 −y3
dy = e dx
x
1 −y3 e = ex +C 3
′ = x2 − y2 + y (2) xy
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 化为分 离变量方程. 离变量方程 y 2 y xu′ = 1−u2 y′ = 1−( ) + x x
y 2 y xu′ = − 1−u2 y′ = − 1−( ) + x < 0时 ， x x 1 (3) y′ = 2x − y2 dx 化为 −2x = −y2, 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
对方程做恒等变形得， 对方程做恒等变形得，
1 dy 2si y n + x( − x2) = 0. cos2 y dx cos y
原方程化为： 自然做变化 z = tan y, 原方程化为：
dz 3 +2xz = x . dx
求解上面的线性方程得： 求解上面的线性方程得：
1 2 −x2 tan y = (x −1 +C . ) e 2
一阶微分方程习题课
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 一阶线性线性方程, 一阶线性线性方程 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换自变量 代换因变量 代换因变量 代换某组合式 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子 解全微分方程 选积分因子, 全微分方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
F(x) = e
−∫2d x
∫2dx dx +C ] [ ∫4e ⋅e
2x
= e−2x[ ∫4e4x d x +C ]
=e2x +C −2x e 将F(0) = f (0)g(0) = 0 代 上 ， C = −1 入 式 得
于是
F(x) = e −e
2x
−2x
变量替换法
前面三节我们介绍了线性方程、 前面三节我们介绍了线性方程、变量可分 离方程和全微分方程的求解问题， 离方程和全微分方程的求解问题，同时还 介绍了一些可以通过适当变化化为这三类 方程的方法。事实上， 方程的方法。事实上，还有许多方程可以 通过变量变化方法化为已知类型来求解。 通过变量变化方法化为已知类型来求解。 例如： 例如： 对微分方程