概率与函数结合题的解法
怎样解概率与函数结合题
（ １ Ａ （ ４ （ ｃ） （ Ｄ）
分析 ： 是一道将概率 与反 比例 函数结合 的小综合题 ． 求 出 这 先
变为÷ ， 的值． 求 和ｙ
维普资讯
分 析 ： 传 统 的 摸 棋 子 与 函 数 、 程 等 知 识 有 机 结 合 ， 成 了 将 方 构
一
道 概 率 与 函数 、 程 的 综 合 题 ． 综 合 运 用 概 率 、 方 要 函数 和 方 程 的
解 ： 于抛物线ｙ － ２４ ， ，１ ， 得 ２ 、 了 ， 对 ＝ ｘ＋ ｘ 当） 时 求 ＝ ＝ ± ／ 显然小 莉
不 可 能 掷 得 这 个 值 ， ， 可 能 取 １ 同 理 可 得） 可 能 取 ２ ５ ６ 即） 不 ； ， 不 、 、．
即 只 能 取 ３ ４ 或 ．
Ｎｙ ３ ， 得 １ ３ ＝时 求 ＝或 ； 当） ４ ， 得 ｘ ２ ， 时 求 ＝ ＝． 点 （ ， ） （ ， ） （ ， ） 在 抛 物 线 ） 一 ４ ． １３ 、３ ３ 和 ２ ４ 落 ， ＋ ｘＬ ＝
小 明掷 曰立 方 体 朝 上 的数 字 为４的概 率 是 ，小 莉 掷Ａ立 方 体
， 一
号和 一）１４ （一； 一 ） ， ；，） ４１（ （ （一和 ，） １ ，
） （ ， ） （ 一 ） （ 一 ）从 这 １个 点 中 随 机 取 两 个 点 和 一 ３ ； ２， ３ 和 ３， ２ ． ０
Ｐ（ ， １ 、 ｘ Ｙ ） 可 组 成 Ｐ、 １Ｙ ） Ｑ（ ２， ２ ， Ｑ的对 数 共 有 （ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ９ ８ ７ ６ ５ ４ ３
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
高三数形结合练习题
高三数形结合练习题一、函数与图形1. 已知函数$f(x) = x^2 4x + 3$，求函数图像的顶点坐标。
2. 画出函数$g(x) = |x 2|$的图像，并求出其与x轴的交点坐标。
3. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$的图像，求出当$x$为何值时，$h(x)$取得最小值。
4. 判断函数$y = 2^x$与$y = \log_2x$的图像是否关于y轴对称。
5. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，求$a$、$b$、$c$的值。
二、方程与图形1. 求解方程$x^2 5x + 6 = 0$，并在坐标系中画出其对应的函数图像。
2. 画出方程$|x| + |y| = 1$表示的图形。
3. 已知方程$y = x^3 3x$，求其图像与x轴的交点坐标。
4. 判断方程$y = x^2$与$y = x^2$的图像是否关于x轴对称。
5. 求解方程组$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5\end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的点。
三、不等式与图形1. 画出不等式$y > x^2 4x + 3$表示的平面区域。
2. 已知不等式$|x| + |y| \leq 1$，求其表示的平面区域的面积。
3. 求解不等式组$\begin{cases} x y \geq 1 \\ 2x + y \leq4 \end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的区域。
4. 判断不等式$x^2 + y^2 \leq 1$表示的图形是否为圆形。
5. 已知不等式$y \geq x$，求其与直线$y = x + 2$围成的三角形面积。
四、数列与图形1. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2$，求出数列的前5项，并在坐标系中画出其对应的点。
2. 画出数列$\{b_n\}$的前5项，其中$b_n = 2^n$。
高考重要数学答题技巧归纳
高考重要数学答题技巧归纳高中数学常考题型答题技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。
品味概率与函数的交汇性问题
一
） ≠０
（１ ｆ－ ） （
：
砒 （ 砒 ） ）
） Ｘ（ ＝ａｇ
＋
１
寻 有数｛ ）＝２－）， ， 穷 歹 告（１，１中 在 Ⅱ ｎ，－ 任 －０ ，
Ｉｏ
意 取正整数 （ ≤ ≤１ ） 则前 ｋ 和大于 的概率是 １ ０ ， 项
Ａ． １
５ Ｂ ｃ Ｄ 号 ． ３ ５ ． ４ ５
故 选 Ｄ ．
区域 Ａ ｃ 其中点 ｃ的坐标是 （ ， ） ０（ 了 中的概率 故所求 ８）
，
概率是 Ｐ ｘ ｘ ： ２— ３ ８ 本题新颖别致 ， 点在 同一反 比例 函数 图象 两
一
点评
不 少．
１
：
．
上的验 证是求 解 的关键． 另外 ， 函数 的参与 给本题 增 色 例 ２ 若从数字 ０ １ ２ ３ ４ ５中任 取三个不 同的数 ，，， ，， 作为二次 函数 ） ａ ＋ ， ｘ ＋ ｃ的系数 ， 与 轴 有公 共 点 ＝ 则 的二次函数的概率是
【Ｏ ｂ． ＞
＋ 。 上是增 函数 的概率是—— ｏ） 解 由题 意 得 ， 次 函 数 二 厂 ） ｘ 一 ｂ ＋ （ ＝ａ ４ｘ １在 ［ ， １ ＋∞ ）
， ’Ｌ
寺 Ｂ Ｃ ５ Ｄ１ 。 亩 ‘ － ３ ２
解
一
上单调递增 的充 要条件是 ≤
“
任取 两 个 点 有 Ｃ ＝３ ： ６种 取 法 ， 个 点 （ ４ 九 一 ，
则函数 Ｙ 厂 在区间［ ， ＝（） １
例 １ 已知函数 ｙ ｘ １ 令 ＝－ ， ３ 一 ， １０ １ ＝一 ， ４ 一 ，２ 一 ，，， ２ ３４ 可得函数图象上 的九个 点 ， 这九个 点 中随机取 ，， ， 在 出 两个 点 Ｐ ， ， ： ：Ｙ ） 则 Ｐ ， 点 在 同 一 反 （ Ｙ ） Ｐ （ ， ， Ｐ 两 比例 函数 图象 上的概 率是
2024年新课标全国Ⅱ卷数学高考真题(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ） A ．0B ．1CD ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b -⊥，则b =（ ） A．12BC D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并整理如下表根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A BC 的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个 11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF ，使得PC =．(1)证明：EF PD ⊥；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立． (1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . (1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z =故选：C. 2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 3．B【分析】由()2b a b -⊥得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥，所以()20b a b -⋅=，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=， 所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选：B. 4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误； 对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+， 所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误； 对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误. 故选；C. 5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ， 又P 在圆2216(0)x y y +=>上， 所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>， 即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上， 可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =， 若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立， 可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=， 则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0， 即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立， 即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意； 故选：D. 7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM 111ABC A BC 补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11333AD ,A D ，可知1111316693,23222ABCA B C SS =⨯⨯⨯==⨯⨯= 设正三棱台111ABC A BC 的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h = 如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则22211163AA AM A M x ，23DNAD AM MN x ，可得1DD = 结合等腰梯形11BCC B 可得22211622BB DD -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得x =所以1A A 与平面ABC 所成角的正切值为11tan 1A MA ADAM；解法二：将正三棱台111ABC A BC 补成正三棱锥-P ABC ，则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABC V V --=，可知1112652273ABC A B C P ABC V V --==，则18P ABC V -=， 设正三棱锥-P ABC 的高为d ，则11661832P ABC Vd -=⨯⨯⨯=，解得d =，取底面ABC的中心为O ，则PO ⊥底面ABC ，且AO = 所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1POPAOAO∠==. 故选：B. 8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-； 若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意； 综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥； 故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点， 令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ， ()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ， 显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ==B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244PP y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -， 当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--， 不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--， 不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题， (0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=， 2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴， 即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案为：95. 13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈， 又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 15．(1)π6A =(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A ===+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )ab A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==， 根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a ba b =⇔=，此时,0a b =，即,a b 同向共线， 根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅⇔ 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t AA t ==+， 整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-， 解得tan22A t ==22tan 1t At ==-又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B=⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B π4B =，于是7ππ12C A B =--=， sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---= (2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-x f x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-， 可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=. （2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ， 若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a+'=>， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =， 不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,∞+；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ， 若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点， 令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =， 可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =， 不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,∞+.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=，则AE EF⊥，即EF AD⊥，所以,EF PE EF DE⊥⊥，又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD︒∠===，则22236CE ED CD=+=，在PEC中，6PC PE EC===，得222EC PE PC+=，所以PE EC⊥，由（1）知PE EF⊥，又,EC EF E EC EF=⊂、平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD，所以PE ED⊥，则,,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz-，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D CF A-，由F是AB的中点，得(4,B，所以(3,33,23),(0,33,23),(4,23,23),(2,0, PC PD PB PF=-=-=-=-，设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y zm x y z==，则111113330nPC xn PD⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB xm PF x⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x=11220,3,1,1x z y z===-=，所以(0,2,3),(3,1,1)n m==-，所以1cos,5m nm nm n⋅===⋅设平面PCD和平面PBF所成角为θ，则sinθ=即平面PCD和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q <<，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->， P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，()()()3213511C 1P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p =-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+--- 15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<， 则()(3)0p q pq p q -+->， ∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 19．(1)23x =，20y = (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=. 当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-. 所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n n n x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭. 这就得到21221n n nn x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-. 所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=--- ()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----. 再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k+-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =，(),UW c d =，则12UVWSad bc =-.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：211sin ,1cos ,22UVWS UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅- ()222211122UV UW UV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅⎪=⋅-=⋅-⋅ ⎪⋅⎭12ad bc=-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n nnx k x kyxk++-=-，21221n n nny k y kxyk++-=-，故()()22211222221211111n n n n n nn n n n n n x k x ky y k y kx k k k x y x y x yk k k k +++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y-=，就知道11x y+≠，所以数列{}n nx y+是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m，都有n n m n n mx y y x++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n mx x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n mx y x y x y x y++++=-+-+-()()()()11112121m mn n n n n n n nk kx y x y x y x yk k-+⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211m mn nk kx yk k⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=--⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211m mk kk k⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n nP P x x y y+++=----，()122121,n n n n n nP P x x y y++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n nn P P P n n n n n n n nS S x x y y y y x x++++++++==---+--()()()()12112112n n n n n n n nx x y y y y x x++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n nx y y x x y y x x y y x++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k kk k k k k k⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S的取值是与n无关的定值，所以1n nS S+=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n nnx k x kyxk++-=-，21221n n nny k y kxyk++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11k k-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--. 所以3n n P P +和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P SS+++++=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
高中数学试题函数与概率统计的综合应用与解题技巧
高中数学试题函数与概率统计的综合应用与解题技巧高中数学试题：函数与概率统计的综合应用与解题技巧在高中数学学科中，函数与概率统计是两个重要的内容模块，而将它们综合应用起来解决实际问题更是提高数学能力的关键。
本文将重点介绍函数与概率统计的综合应用，并分享一些解题技巧。
一、函数与概率统计的综合应用1. 函数与数据处理函数与数据处理是将函数概念与实际数据相结合的一种应用方式。
例如，假设某地每天的平均气温可以表示为T= f(t)，其中T表示温度，t表示时间。
通过分析已有的气温数据，我们可以建立一个函数模型，进而预测未来的气温变化趋势。
2. 函数与图像分析函数与图像分析是通过给定的函数表达式，进行图像绘制和分析的一种应用方式。
例如，对于一元二次函数y= ax^2 + bx + c，我们可以绘制其对应的图像，并通过图像来判断它的开口方向、顶点坐标等重要特征。
3. 概率统计与调查概率统计与调查是将概率与统计方法应用于实际问题的一种方式。
通过对大量的数据进行收集和整理，并运用统计学方法进行分析，我们可以对某种情况或现象的发生概率进行预测。
例如，通过调查全国高中生的身高情况，并进行统计分析，我们可以得出某个身高区间的高中生人数占比。
二、解题技巧1. 理解问题背景在应用函数与概率统计解题时，首先要充分理解问题背景，明确问题所涉及的数学概念和方法。
然后，有针对性地选择与问题相关的数学工具和解题思路。
2. 建立数学模型根据问题描述，需要将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型。
这要求我们将问题抽象化，使用变量或函数来表示问题中的各个要素，从而建立起数学关系式。
3. 运用函数性质在解决函数与概率统计综合应用题时，灵活运用函数的性质是非常重要的。
如对于函数的奇偶性、周期性、单调性等特点的分析，可以帮助我们更好地理解函数图像和解题过程。
4. 运用概率统计方法在处理概率统计相关问题时，我们需要掌握一些常见的概率统计方法，如排列组合、贝叶斯定理、期望值等。
高考数学复习考点题型专题讲解50 概率与数列、函数及概率中的证明问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题50 概率与数列、函数及概率中的证明问题概率与数列、函数的结合题以及概率中的证明问题，是近几年高考出现的热点题型，其中，概率与数列、函数的结合题主要考查概率背景下数列及函数(导数、不等式)知识的应用，而概率证明题主要考查对概率知识的理解和灵活应用.类型一概率与数列利用概率知识建立关于概率数列{P n}的递推式(多为P n＝aP n－1＋b型)，再利用数列知识求P n.例1 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行(达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周)，并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是13，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是23，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是12.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A 航线的第n 次航班被熔断的概率为P n . (1)求P 2；(2)证明：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫P n －35为等比数列；(3)求数列{P n }的前n 项和T n ，并说明T n 的实际意义. (1)解 由题意得P 2＝13×23＋23×12＝59.(2)证明 由题意得P n ＝23P n －1＋12(1－P n －1)＝16P n －1＋12(n ≥2)，所以P n －35＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫P n －1－35，又P 1－35＝13－35＝－415≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫P n －35是以－415为首项，16为公比的等比数列.(3)解 由(2)知P n －35＝－415×⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －1，所以P n ＝－415×⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －1＋35， 从而T n ＝35n －415×1－16n 1－16＝35n －825⎝⎛⎭⎪⎫1－16n .由于P n 可以理解为第n 次航班平均被熔断的次数，所以T n 表示前n 次航班一共被熔断的次数.训练1(2022·淮安模拟)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，易知p 1＝1，p 2＝0.①试证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫p n －14为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为q n ，比较p 10与q 10的大小. (1)解 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为p ＝13×13×3×12＝16，门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3， 易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫16k×⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k，k ＝0，1，2，3.X 的分布列为期望E (X )＝3×16＝12.(2)①证明 第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n －1次传球之前球在甲脚下的概率为p n －1，第n －1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－p n －1， 则p n ＝p n －1·0＋(1－p n －1)·13＝－13p n －1＋13，从而p n －14＝－13⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－14，又p 1－14＝34，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫p n －14是以34为首项，－13为公比的等比数列.②解由①可知p n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋14， 所以p 10＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－139＋14<14，q 10＝13(1－p 10)>14，故p 10<q 10. 类型二 概率与函数导数写出关于概率的目标函数，利用函数及导数(或不等式)求解问题.例2 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若P (X ＝3)＝P (X ＝97)，求数学期望E (X )；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数θ(0<θ<1)的取值有关.团队A 提出函数模型为p ＝ln(1＋θ)－23θ，团队B提出函数模型为p ＝12(1－e －θ).现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量X i (i ＝1，2，…，10)表示第i 组被感染的白鼠数，现将随机变量X i (i ＝1，2，…，10)的实验结果x i (i ＝1，2，…，10)绘制成频数分布图，如图所示.①试写出事件“X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10”发生的概率表达式(用p 表示，组合数不必计算)；②在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率P (X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10)最大，称θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出估计值. 参考数据：ln 32≈0.406 5.解 (1)由题知，随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，由P (X ＝3)＝P (X ＝97)， 得n ＝100，E (X )＝50.(2)①设事件A 为“X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10”，P (A )＝[C 110p (1－p )9]3·[C 210p 2(1－p )8]3·[C 310p 3(1－p )7]2·[C 410p 4(1－p )6][C 610p 6(1－p )4]，P (A )＝(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2p 25(1－p )75.②记g (p )＝ln[(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2]＋25ln p ＋75ln(1－p )， 则g ′(p )＝25p －751－p ＝25－100pp （1－p ），当0<p <14时，g ′(p )>0，g (p )单调递增；当14<p <1时，g ′(p )<0，g (p )单调递减. 当p ＝14时，g (p )取得最大值，即P (A )取得最大值.在团队A 提出的函数模型p ＝ln(1＋θ)－23θ中， 记函数f 1(x )＝ln(1＋x )－23x ，所以f ′1(x )＝11＋x －23＝1－2x 3（1＋x ）， 当0<x <12时，f ′1(x )>0，f 1(x )单调递增；当12<x <1时，f ′1(x )<0，f 1(x )单调递减. 所以当x ＝12时，f 1(x )取得最大值ln 32－13<14，则θ不可以估计.在团队B 提出的函数模型p ＝12(1－e －θ)中，记函数f 2(x )＝12(1－e －x)，f 2(x )单调递增，令f 2(x )＝14，解得x ＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计.训练2(2022·海安模拟)我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p (0<p <1)，且各个芯片的生产互不影响.(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，p 1＝133，p 2＝134. ①求p ；②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品(注：合格品不会被误检成次品)的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检.已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率；(2)视p 为概率，记从试产的芯片中随机抽取n 个恰含m (n >m )个次品的概率为f (p )，求证：f (p )在p ＝mn时取得最大值. (1)解 ①因为两道生产工序互不影响，所以p ＝1－(1－p 1)(1－p 2)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝117.②记该款芯片自动智能检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ， 且P (A )＝96%，P (AB )＝1－p ＝1617. 则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝161796%＝5051.(2)证明 因为各个芯片的生产互不影响，所以f (p )＝C m n p m (1－p )n －m(0<p <1)， 所以f ′(p )＝C m n [mp m －1(1－p )n －m －(n －m )p m (1－p )n －m －1]＝C m n pm －1(1－p )n －m －1·(m －np ). 令f ′(p )＝0，得p ＝mn.所以当0<p <m n 时，f ′(p )>0，f (p )在⎝⎛⎭⎪⎫0，m n 上单调递增；当m n <p <1时，f ′(p )<0，f (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ，1上单调递减. 所以，当p ＝mn时，f (p )取得最大值. 类型三 概率中的证明问题关于概率等式的证明是2022年高考出现的新题型，只要理解题意，熟悉有关概率公式，再运用等式证明的一般方法即可推证.例3(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P （B |A ）P （B －|A ）与P （B |A －）P （B －|A －）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R .①证明：R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）；②利用该调查数据，给出P (A |B )，P (A |B －)的估计值，并利用①的结果给出R 的估计值.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.(1)解K2＝200×（40×90－60×10）2 50×150×100×100＝24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)①证明R＝P(B|A) P（B－|A）P（B|A－）P（B－|A－）＝P（B|A）·P（B－|A－）P（B－|A）·P（B|A－），由题意知，只需证明P（B|A）·P（B－|A－）P（B－|A）·P（B|A－）＝P（A|B）·P（A－|B－）P（A－|B）·P（A|B－）即可，上式左边＝P(AB)P(A)·P（A－B－）P（A－）P（AB－）P（A）·P（A－B）P（A－）＝P（AB）·P（A－B－）P（AB－）·P（A－B），右边＝P(AB)P(B)·P（A－B－）P（B－）P（A－B）P（B）·P（AB－）P（B－）＝P（AB）·P（A－B－）P（A－B）·P（AB－）.左边＝右边，故R＝P（A|B）P（A－|B）·P（A－|B－）P（A|B－）.②解 由调查数据可知，P (A |B )＝40100＝25，P (A |B －)＝10100＝110，且P (A －|B )＝1－P (A |B )＝35，P (A －|B －)＝1－P (A |B －)＝910， 所以R ＝2535×910110＝6.训练3(2022·重庆八中调研)已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中p i (i ＝0，1，2，…，n )满足：p i ∈[0，1]，且p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 定义由ξ生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋…＋p n x n ，令g (x )＝f ′(x ). (1)若由ξ生成的函数f (x )＝14x ＋12x 2＋14x 3，求P (ξ＝2)的值；(2)求证：随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝g (1)，ξ的方差D (ξ)＝g ′(1)＋g (1)－(g (1))2；(D (ξ)＝∑ni ＝0(i －E (ξ))2·p i ). (3)现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为h (x )，求h (2)的值.(1)解 由ξ生成的函数f (x )＝14x ＋12x 2＋14x 3，∴P (ξ＝2)＝p 2＝12.(2)证明 由于E (ξ)＝0·p 0＋1·p 1＋2·p 2＋…＋n ·p n ，g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x ＋…＋np n x n －1，所以E (ξ)＝g (1). 由ξ的方差定义可知，D (ξ)＝∑ni ＝0(i －E (ξ))2·p i ＝∑ni ＝0i 2·p i ＋∑ni ＝0E 2(ξ)·p i －2E (ξ)∑ni ＝0i ·p i ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋∑ni ＝0i ·p i ＋∑ni ＝0E 2(ξ)·p i －2E (ξ)∑ni ＝0i ·p i ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋E (ξ)－E 2(ξ) ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋g (1)－g 2(1). 由于g (x )＝p 1＋2p 2x ＋…＋np n x n －1，所以有g ′(x )＝2p 2＋3×2p 3·x ＋…＋n (n －1)p n ·x n －2，这样g ′(1)＝2p 2＋3×2p 3＋…＋n (n －1)p n ＝∑ni ＝2i (i －1)p i ， 所以有D (ξ)＝g ′(1)＋g (1)－(g (1))2.(3)解 法一 投掷一枚骰子一次，随机变量ξ生成的函数为f (x )＝16(x ＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)，投掷骰子两次对应的生成函数为：h (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（x ＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6）2，所以h (2)＝212＝441.法二 ξ的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， 则ξ的分布列为则h (x )＝136x 2＋236x 3＋336x 4＋436x 5＋536x 6＋636x 7＋536x 8＋436x 9＋336x 10＋236x 11＋136x 12，则h (2)＝436×(1＋4＋12＋32＋80＋192＋320＋512＋768＋1 024＋1 024)＝441.一、基本技能练1.全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下，每轮甲、乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；(2)若经过n 轮投球，用P i 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求P 1，P 2，P 3；②规定P 0＝0，经过计算机计算可估计得P i ＝aP i ＋1＋bP i ＋cP i －1(b ≠1)，请根据①中P 1，P 2，P 3的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{P n }的通项公式. 解 (1)X 的可能取值为－1，0，1. P (X ＝－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＝13，P (X ＝0)＝12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝12， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝16.∴X 的分布列为(2)①由(1)知，P 1＝16，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分；二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴P 2＝16×16＋C 12·12×16＝736，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是一轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，一轮得－1分，∴P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫16⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝43216. ②由P i ＝aP i ＋1＋bP i ＋cP i －1(b ≠1)， 知P i ＝a 1－b P i ＋1＋c1－bP i －1， 将P 0＝0，P 1＝16，P 2＝736，P 3＝43216代入，求得a 1－b ＝67，c 1－b ＝17，∴a ＝67(1－b )，c ＝17(1－b )，∴P i ＝67P i ＋1＋17P i －1，∴P i ＋1＝76P i －16P i －1.∴P i ＋1－P i ＝16(P i －P i －1)，又P 1－P 0＝16，∴{P n －P n －1}是首项和公比都为16的等比数列.∴P n －P n －1＝16n ，∴P n ＝P 0＋(P 1－P 0)＋(P 2－P 1)＋…＋(P n －P n －1)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n 1－16＝15⎝⎛⎭⎪⎫1－16n . 2.(2022·宁波调研)近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲、乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立. (1)若参加的车主有3人，记总得分为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)若有n (n ∈N *)位车主，记总得分恰好为n 分的概率为a n ，求数列{a n }的通项公式； (3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得分为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理. 解 (1)由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6. P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝4)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝5)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.∴随机变量X 的分布列如下表所示：∴E (X )＝3×18＋4×38＋5×38＋6×18＝92.(2)依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得(n －1)分，再得2分，概率为12a n －1，∴1－a n ＝12a n －1，即a n －23＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－23.又a 1＝12，a 1－23＝－16，∴a n －23＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，即a n ＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(3)因为a 99＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1298<23，a 100＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1299>23，∴a 100>a 99，∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.3.(2022·扬州模拟)新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.252.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：(1)是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？(2)假设潜伏期X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性； ②以题目中的样本频率估计概率，设1 000个病例中恰有k (k ∈N *)个属于“长期潜伏”的概率是p (k )，当k 为何值时，p (k )取得最大值？附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3. 解 (1)依题意有χ2＝400×（60×80－220×40）2280×120×100×300≈6.35>3.841＝x 0.05，故有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关. (2)①若潜伏期X ～N (7.2，2.252)，由P (X ≥13.95)＝P (X ≥7.2＋3×2.25)＝1－0.997 32＝0.001 35，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的. ②由于400个病例中有100个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是14，于是p (k )＝C k 1 000·⎝ ⎛⎭⎪⎫14k·⎝ ⎛⎭⎪⎫34 1 000－k，则p（k）p（k－1）＝C k1 000·⎝⎛⎭⎪⎫14k·⎝⎛⎭⎪⎫341 000－kC k－11 000·⎝⎛⎭⎪⎫14k－1·⎝⎛⎭⎪⎫341 001－k，＝C k1 0003C k－11 000＝13·（k－1）！（1 001－k）！k！（1 000－k）！＝13·⎝⎛⎭⎪⎫1 001k－1，当0<k<1 0014时，p（k）p（k－1）>1.当1 0014<k≤1 000时，p（k）p（k－1）<1.∴p(1)<p(2)<…<p(250)，p(250)>p(251)>…>p(1 000).故当k＝250时，p(k)取得最大值.二、创新拓展练4.(2022·重庆质检)在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4 335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手.奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树.尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X(单位：mm)的大小分级，其中X∈(70，90]为一级果，X∈(90，110]为特级果，一级果与特级果统称为优品.现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1 000个测量果径，得到频率分布直方图如下：(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ近似为样本标准差s ，已知样本的方差的近似值为100.若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n (n ≥2，且n ∈N *)个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场.质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”. ①试用含n 的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p ；②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为f (p )，求函数f (p )的最大值，及取最大值时n 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <u ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≈0.997 3. 解 (1)由频率分布直方图得，x －＝(61×0.01＋71×0.02＋81×0.045＋91×0.02＋101×0.005)×10＝80， 则X ～N (80，100)，在(70，110]内为优品，则P (μ－σ<X <μ＋3σ)＝12×0.682 7＋12×0.997 3＝0.84.(2)①p ＝1－C 22＋C 2n C 2n ＋2＝1－n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2＝4nn 2＋3n ＋2.②f (p )＝C 35p 3(1－p )2，且p ＝4nn 2＋3n ＋2＝4n ＋3＋2n，因为n ≥2，且n ∈N *，由对勾函数性质可知：p ＝4n ＋3＋2n在[2，＋∞)上单调递减，当n ＝2时，p ＝23，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，因为f ′(p )＝10p 2(1－p )(3－5p )，且 当p ＝35时，f ′(p )＝0，当0<p <35时，f ′(p )>0，当35<p <1时，f ′(p )<0， ∴f (p )最大值在p ＝35时取得，可求得n ＝3或23，因为n ∈N *，所以n ＝3，求得f (p )max ＝216625.。
高考数学8大模块考试答题思路与模版
高考数学8大模块考试答题思路与模版1500字高考数学考试通常涉及的8大模块包括：函数、数列与数学归纳法、平面向量与空间向量、三角函数、立体几何、解析几何、数与代数、概率与统计。
对于每个模块，以下是相应的答题思路与模板。
1. 函数：答题思路：(1) 确定函数的定义域和值域；(2) 判断函数的奇偶性、周期性等特性；(3) 分析函数的图像特点，包括单调性、极值、拐点、渐近线等；(4) 运用函数的性质解题，如函数的合成、反函数、复合函数等；(5) 注意解题中需要使用函数的定理和公式。
模版：(1) 函数的定义域为：[ ], 值域为：[ ]；(2) 函数为 [ ] 函数，具有 [ ] 特性；(3) 函数的图像 [ ] ，单调递增/递减，存在极值点 [ ];(4) [ ] 是 [ ] 的反函数， [ ] 是 [ ] 的一个零点；(5) 根据函数的性质，得出 [ ] 结果。
2. 数列与数学归纳法：答题思路：(1) 确定数列的通项公式或递推关系；(2) 运用数列的性质解题，如和的计算、前n项和的公式、等差/等比数列的性质等；(3) 运用数学归纳法进行证明。
模版：(1) 数列的通项公式为：[ ]，递推关系为：[ ]；(2) 数列的和为：[ ]，前n项和的公式为：[ ]；(3) 数列满足数学归纳法的条件，使用数学归纳法可证明 [ ]。
3. 平面向量与空间向量：答题思路：(1) 运用向量的基本运算，如向量的加减、数量积、向量积等；(2) 运用向量的坐标表示和向量的模、方向等性质；(3) 解决几何问题时，注意运用向量的共线性、垂直性等条件；(4) 注意解题中需要使用向量的定理和公式。
模版：(1) 向量的坐标分别为：[ ]，向量的模为 [ ]；(2) 向量的数量积为：[ ]，向量的夹角为：[ ]；(3) 由向量的共线性可得 [ ] 结论；(4) 由向量的垂直性可得 [ ] 结论；(5) 根据向量的性质，得出 [ ] 结果。
概率与统计中的分布函数练习题及解析
概率与统计中的分布函数练习题及解析Introduction:概率与统计是数学中非常重要的分支，它研究了事件发生的可能性以及数据的收集、分析和解释方法。
在概率与统计中，分布函数是一个关键概念，它描述了随机变量取值的概率分布。
在本文中，我们将介绍一些与分布函数相关的练习题，并给出解析。
Exercise 1:假设随机变量X服从正态分布N(1,4)，计算P(X > 3)。
Solution 1:正态分布的分布函数可以用标准正态分布的累积分布函数来表示。
由于X服从N(1,4)，我们可以将其标准化为Z=(X-μ)/σ，其中μ为均值，σ为标准差。
对于本题，μ=1，σ=2。
现在我们需要计算P(X > 3)，即计算Z > (3-1)/2=1 的概率。
根据标准正态分布表，我们可以得到P(Z > 1)≈0.1587。
因此，P(X > 3)≈0.1587。
Exercise 2:某商店销售的某种商品的重量服从均值为10千克，标准差为0.5千克的正态分布。
如果从该商店购买一件此商品，求它重量大于10.5千克的概率。
Solution 2:根据题意，我们可以将问题转化为计算随机变量X大于10.5千克的概率，其中X服从N(10, 0.5^2)。
再次利用标准化方法，我们得到Z=(X-μ)/σ=(X-10)/0.5。
现在需要计算P(Z > (10.5-10)/0.5)=P(Z > 1)。
根据标准正态分布表，P(Z > 1)≈0.1587。
因此，购买的商品重量大于10.5千克的概率约为0.1587。
Exercise 3:随机变量X服从指数分布Exp(2)，计算P(X > 3)。
Solution 3:指数分布的分布函数为F(x)=1-exp(-λx)，其中λ=1/均值。
由于X服从Exp(2)，均值为1/2。
现在我们需要计算P(X > 3)，即计算1-F(3)。
代入公式，我们得到1-(1-exp(-1.5))≈0.2231。
解函数方程的几种方法
绪论在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国内外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程.其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略.最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的.1函数方程的一些相关概念1.1函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程.如()()f x f x-=，=-，()()f x f x+=等，其中()f x即是未知函数.f x f x(1)()1.2函数方程的解设某一函数()f x对自变量在其定义域内的所有值均满足某已知方程，那么把()f x就叫做函数方程f x就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的()的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、()1=-分别是上述各方程的解.f x x1.3解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.2函数方程的常见解法由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.2.1换元法（代换法）换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数.但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性.例 2.1已知2-=,求()f x x(1cos)sinf x.分析此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数()f x的表达式，就需要将1cos xsin x进行转化.当然，我们可以先用换元法把x,y用t代替，消+和2去x,y，就得到一个关于t的解析式，再用x替代t，于是得解.但这里我们还给出了另外的解法，就是用()=的参数表达式进行求解.y f x解法一令1cos x t-=,所以c o s1=-，x t因为-≤≤,1cos1x所以x≤-≤,01cos2即t≤≤.02又因为22-==-,f x x x(1cos)sin1cos所以22=--=-+，(02)f t t t t()1(1)2t≤≤，故2=-+，(02)f x x x()2≤≤.x解法二设所求函数()=的参数表达式y f x=-，x t1c o s2y t=，sin即得=-，（1）c o s1t x2s i n t y=. （2）2+，消去参数t，得(1)(2)2-+=，(1)1x y整理，得22y x x =-+，[0x ∈,2]，即2()2f x x x =-+,[0x ∈,2].在本题中，由于三角函数可以相互转化，很容易看出1cos x -与2sin x 之间的联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到x （或t ）的定义域，这个环节一般容易出错.故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了.2.2 赋值法赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域内赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解.例 2.2.1 函数:f N N +→（N +为非负整数），满足：（i ） 对任意非负整数n ，有(1)()f n f n +>；（ii ） 对任意,m n N +∈，有(())()1f n f m f n m +=++.求(2001)f 的值.分析 本题欲求(2001)f 的值，则须了解()f n 有什么性质.由条件（i ）、（ii ）可以联想到(0)f 的取值是本题的关键，而分别利用条件（i ）、（ii ）进行推导，并结合反证法推出矛盾，得到(0)f 的唯一值，进而得解.解 令(0)f k =，其中k 为非负整数.由(ii)得()()1f n k f n +=+. （1）若0k =，则()()1f n f n =+，矛盾.故0k ≠，由（i ）有(1)()()1f n k f n k f n +-<+=+. （2） 若1k >，则11n k n +-≥+，于是由（i ），得(1)(1)()1f n k f n f n +-≥+≥+， （3） 但（2）与（3）矛盾，故1k =是惟一解.当1k =时，式（1）为(1)()1f n f n +=+，此函数满足条件（i ）、（ii ），所以得惟一解(2001)2002f =.例 2.2.2 解函数方程()()2()cos f x y f x y f x y ++-=.分析 此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到.本题中方程含有,x y 两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数cos y 的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换,x y ，再求得()f x 的表达式.解 在原方程中令0x =,y t =得()()2(0)cos f t f t f t +-=， （1） 再令2x t π=+,2y π=得()()0f t f t π++=， （2） 又再令2x π=,2y t π=+得()()2()sin 2f t f t f t ππ++-=-， （3） （1）+（2）-（3）得()(0)cos ()sin 2f t f t f t π=+. 令(0)a f =，()2b f π=并将t 换成x 得 ()cos sin f x a x b x =+,（a ,b 均为任意常数）.代入（1）式验证()()f x y f x y ++-cos()sin()cos()sin()a x y b x y a x y b x y =++++-+-2cos cos 2sin cos a x y b x y =+2cos (cos sin )y a x b x =+2()cos f x y =.所以()f x 是函数方程（1）的解.赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换法、消元法结合的典型.2.3迭代周期法（递推法）函数迭代是一类特殊的函数复合形式.一般由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法.例 2.3.1 对任意正整数k ，令()f k 定义为k 的各位数字和的平方，求2001(11)f .分析 本题是迭代的简单运用题，由“()f k 定义为k 的各位数字和的平方”入手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过n 次迭代从而求解.解 由已知有 12(11)(11)4f =+=，2(11)((11))(4)16f f f f ===，322(11)((11))(16)(16)49f f f f ===+=，432(11)((11))(49)(49)169f f f f ===+=，542(11)((11))(169)(169)256f f f f ===++=，652(11)((11))(256)(256)169f f f f ===++=，…从而当n 为大于3的奇数时，(11)256n f =，当n 为大于3的偶数时，(11)169n f =，故2001(11)256f =.例 2.3.2 设()f x 定义在自然数集N 上，且对任意,x y N ∈，都满足(1)1f =,()()()f x y f x f y xy +=++，求()f x . 解 令1y =,得(1)()1f x f x x +=++，再依次令1x =,2…, 1n -,有(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+，…(1)(2)(1f n f n n -=-+-，()(1)f n f nn =-+， 依次代入，得()(1)23f n f =+++…(1)(1)2n n n n ++-+=， 所以(1)()2x x f x +=，()x N +∈. 前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过n 次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解.如例4.2就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解.2.4待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，使问题得以解决.例 2.4.1 已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-,求()f x .解 因为()f x 是一次函数，不妨设()(0)f x ax b a =+≠，又因为[()]41f f x x =-，所以()()41f ax b a ax b b x +=++=-,即241a x ab b x ++=-，于是有24a =，1a b b +=-. 解这个方程组得2a =，或者 2a =-，13b =-， 1b =. 所以1()23f x x =-或()21f x x =-+. 本题考虑到()f x 是一次函数，故可设出()f x 的一般形式，再由条件[()]41f f x x =-代入()f x 进而对应求出a ,b .这属于较简单的待定系数法应用，而对于关系f 有很多次的就另当别论了.例 2.4.2 已知()f x 是一次函数，且10次迭代{[(f f f …())]}10241023f x x =+，求()f x .分析 观察本题，()f x 是一次函数且函数方程是一个10次迭代的方程，要怎样进行思考呢？只能依据题中最基本的条件进行解决，故而给出如下解法：解 设()(0)f x ax b a =+≠，则(2)2()[()]()()(1)f x f f x f ax b a ax b b a x a b ==+=++=++，(3)(2)232()(()){[()]}[(1)](1)f x f f x f f f x f a x a b a x a a b ===++=+++， …(9)1098(())(f f x a x a a =+++…1)a b ++.因为(10)()10241023f x x =+，所以10101024(2)a ==±，98(a a ++…1011)10231a a b b a -++==-. 解方程组得2a =，1b =或2a =-,3b =-.故所求的一次函数为()21f x x =+或()23f x x =--.观察题中条件，问题的难度比例2.4.1的增加了许多，这又怎么做呢？万变不离其宗，仍采用待定系数法进而找出规律，并结合等比数列相关性质而求得a ,b ，但要注意解决这类问题时千万不要漏根.2.5 数学归纳法数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对(1)f ,(2)f ,(3)f ,…的具体计算，加以概括抽象，提出对()f n 的解析式的一个猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证明.根据已知条件，首先运用赋值法求出函数()f x 在某些点的特殊值，再猜想()f x 的表达式，最后用数学归纳法证明此猜想.例 2.5.1 函数()f n 的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数m ,n 满足()()()0f m n f m f n +--=或1; (2)0f =,(3)0f >,(9999)3333f = ,求(1982)f .解 由(11)(1)(1)0f f f +--=或1，而0(2)2(1)f f =≥，所以(1)0f =，由(21)(2)(1)0f f f +--=或1，得(3)0f =或1，因为(3)0f >，所以(3)1f =，同理，可推得(32)2f ⨯≥，(33)3f ⨯≥…已知(9999)(33333)3333f f =⨯=，猜想(3)f k k ≥,(3333)k <.下面用数学归纳法证明.（1）由上可知，1k =,2,3时，结论成立.（2）假设对小于k 的一切自然数，结论成立.则(3)[3(1)3]f k f k k =-+[3(1)](3)f k f ≥-+11k ≥-+k =，即(3)(3333)f k k k ≥<，如果(3)1f k k ≥+，则(9999)(99993)(3)f f k f k ≥-+33331k k ≥-++3333>，与题设矛盾，所以(3)f k k =，显然，有660(1982)661f ≤≤.若(1982)661f =，则(9999)(5198289)f f =⨯+5(1982)(89)f f ≥+5661(89)f ≥⨯+330529≥+3333>，与题设矛盾.所以(1982)660f =.例 2.5.2 已知2()2f x x x =+，求()n f x .解 由2()(1)1f x x =+-，因此有22242()(())((1)1)(1)1(1)1f x f f x f x x x ==+-=+-=+-，233222()(())((1)1)(1)1f x f f x f x x ==+-=+-， 猜想2()(1)1nn f x x =+-.下面用归纳法证明.（1）显然2n =时，猜想成立.（2）假设对n 成立，即 2()(1)1nn f x x =+-，则 (1)()(())n n f x f f x +=2((1)1)n f x =+- 22((1)11)1n x =+-+-12(1)n x +=+.综合（1）、（2），对任意n N ∈，有2()(1)1n n f x x =+-.数学归纳法一般适用于证明题，但有时候不排除这类找规律、猜想进而证明猜想的问题.遇到这种问题的时候，首先要找准规律，证明起来也就会很轻松了.2.6数列法利用等比、等差数列相关知识（通项公式、求和求积公式），求定义在N 上的函数()f x .例 2.6 已知(1)1f =，且对任意正整数n 都有(1)3()2f n f n +=+，求()f n . 解 在已知等式两边都加上1，得(1)12f +=，(1)13()213[()1]f n f n f n ++=++=+，所以(1)13()1f n f n ++=+. 因此，数列{()1}f n +是首项为(1)12f +=，公比为3的等比数列，它的第n 项为1()123n f n -+=⋅，故1()231n f n -=⋅-.熟悉等差、等比数列的相关性质如公差（比）、求和公式等，运用起来解决本题就会感到得心应手.2.7 反证法反证法在数学上使用得相当普遍，即一些问题从正面直接证明有困难，而它的结论的相反结论比原结论更具体，更明确，易于导出矛盾，这时一般采用反证法.先从已知条件中得出满足函数方程的一些特殊解，然后再用反证法证明除了这些解以外无其他解.例 2.7 设f :(0,)(0+∞→,)+∞是连续函数，若对x ∀，(0y ∈,)+∞,有 ()(())f x f xf y y=. （1） 证明此函数方程无解.证明 在（1）中取1x y ==，得((1))(1)f f f =， 取(1)y f =，得()(((1)))(1)f x f xf f f =， 再取1y =，得((1))()f xf f x =.从而有()()((1))(((1)))(1)f x f x f xf f xf f f ===， 即(1)1f =.在（1）中取1x =，得(1)1(())f f f y y y==， 联立（1）推出()((()))()()f x x f xf f y f f y y==，即()()()x f x f y f y=. 取x st =，y t =,s ∀,(0t ∈,)+∞,有()()()f s t f t f s =，s ∀,(0t ∈,)+∞， （2） 我们知道满足上面函数方程的连续函数为()a f x x =，(ln ())a f e =. 由1(())f f y y=，知 21a y y -=，即21a =-.矛盾，所以（1）没有连续解. 2.8不等式法在推导过程中，主要利用不等式02a b a +≥≥,0)b ≥的等式成立的充要条件a b =.例 2.8 设()f x 的定义域为（0，1），且()(1)2()(1)f x f x f y f y -+=-,x ∀,(0y ∈,1). （1） 若()0f x >，(0x ∀∈,1)且1()12f =，求f x (). 分析 本题给出了函数()f x 的一系列成立的条件，只要依据条件进行思考就很容易解决了.首先我们知道函数()f x 有一个特殊值1()12f =，而函数方程（1）中有,x y 两个未知量，故而解决问题时考虑到消元，并尽量结合1()2f 的值来使问题简化.解 在（1）式中取12y =，得 ()(1)2()(1)11()(1)22f x f x f x f x f f -=+=+--， （2） 再在（1）式中取12x =，y x =得11()()11222()(1)()(1)f f f x f x f x f x =+=+--， （3） 把（2）和（3）相加得 411()(1)()(1)f x f x f x f x =++-+-≥4=， 所以1()()f x f x =， 即2(())1f x =，因为()f x 是正的，故()1f x ≡,(0x ∀∈,1).3 其它方法前面介绍的几种方法在中学数学中比较常见，应用起来也得心应手.但初等问题何其繁多，解决的途径也就形式多样.还有很多其它的方式，由于本文篇幅有限，在此仅给出方法及其概念.如：参数法、配凑法、通解问题、多项式法以及柯西法等.参数法即先设参数再消去参数得出函数的对应关系，而求出()f x .前面在例2.1.1的解法二已经就参数法进行作答，在此我们就不再讲解了.配凑法是根据函数的概念、对应法则并结合配方法求解函数方程的一种基本方法.当我们不能利用设元法求解时，配凑法不失为一种有效的方法，也是应用定义的一种方法.前面已经介绍了很多求解函数方程的方法.然而，求一个或若干个解也许容易，如果要求出一个函数方程的所有解常常遇到困难.这时就是所谓的通解问题.我们知道，只要给出函数在一个周期内的函数值，则需要将定义域延拓到整个实数域R 上，从而求得的()f x 就是相应函数方程的解.例如函数方程()()f x T f x +=，x R ∈，对以[0,]T 为定义域的任意函数()g x ，都可以得到函数方程的解()g x ， 当0x T ≤≤时；()f x =()g x nT -， 当(1)nT x n T ≤≤+时.其中n为整数.当函数方程中的未知函数是多项式时，就称为多项式函数方程.这是函数方程中较为常见、也较简单的一类.多项式法就是利用多项式相等的原理，通过比较等式两边的次数、系数，或通过比较方程的根的个数来求出多项式函数方程的解的方法.方程()()()+=称之为Cauchy方程，是法国数学家Cauchy最早研f x y f x f y究并解决的.他的解法是一种逐步扩充其定义域的推理方法，即先在自然数集上，求其函数方程应具有的形式，然后逐步证明这种解的定义域可扩充到整数、有理数、无理数直到实数.这种解题方法后人称之为Cauchy方法.在()f x单调（或连续）的条件下，先将自变量考虑成自然数求出函数方的解，然后证明该解的表达式当其自变量取成整数、有理数及实数时仍然满足该函数方程，从而获得函数方程的解.但它受函数连续性要求的限制.柯西法在高等数学中的使用频率极高，故在中学里只需了解就可.结论由于函数方程的形式相当多，解决的方式也就相对的丰富.尤其是在高等数学中，运用微积分解决函数方程问题就显得非常简单了；但在初等解法里，方式方法丰富多样：换元法（代换法）、赋值法、待定系数法、迭代周期法（迭代法）、数学归纳法、数列法、反证法及不等式法等，都是常见而且易懂的初等解法.但在解决很多问题时，不仅仅使用一种方法，也有几种方式相结合而进行的，如：例2.2.2就是换元法与赋值法的结合，例2.7是赋值法与反证法的结合.在求解某些问题时，通过构造函数方程，也可以将问题转化为函数方程分解，从而使问题比较简化、明了.参考文献[1] 张伟年、杨地莲、邓圣福.函数方程[M].成都：四川教育出版社，2002,36-72.[2] 陈刚、陈凌云.函数方程的初等解法[J].绥化师专学报.1996，第1期：120.[3] 黄洪琴.函数方程[J].成都教育学院报.2005，第19卷（6）：117-118.[4] 毕唐书.全线突破.高考总复习·数学（理科版）[M].北京：中国社会出版社，2005,13.[5] 陈传理、张同君.竞赛数学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2005,170-170.[6] 聂锡军.函数方程的解法及应用[J].丹东师专学报.1997，总第68期：20.[7] 姚开成.函数方程的几种解法[J].新疆石油教育学院学报.2000，第5卷（5）：46-47.[8] 张同君、陈传理.竞赛数学解题研究[M].北京：高等教育出版社，2000（2005重印）,72-75.[9] 余元希.初等代数研究（下册）[M].北京：高等教育出版社，1988（2004重印）,344-345.[10] 蒋国宝.函数方程的解法[J].宁德师专学报（自然科学版）.1998，第10卷（1）：37-38.[11] 赵伟.解函数方程的若干初等方法[J].中学数学月刊.2004，第6期：30-31.致谢在本篇论文的选题，以及写作过程中，承蒙指导教师代泽明副教授的悉心指导，多次修改终于完成了本篇论文.在此我向代老师致以诚挚的感谢：通过这次论文的编写我感受到了学术编写的困难和乐趣，深省数学知识在各学科中的重要作用.同时，也感谢同组的所有同学，他们在我写作此篇论文的过程中也给予了我很多帮助.大学四年转瞬即逝,作为一名即将毕业的学生,我感谢绵阳师范学院的所有老师,感谢你们在这四年里对我的谆谆教导；感谢你们在这四年里对我的培养；感谢你们在这四年里对我的关怀；感谢你们为祖国培养了一批又一批优秀的人民教师.最后祝愿绵阳师范学院的明天更美好！祝愿数学与信息科学系前程似锦！祝愿所有老师身体健康，工作顺利！范臣菊 2007年5月30日。
积分的概率随机模拟求解过程__解释说明
积分的概率随机模拟求解过程解释说明1. 引言1.1 概述积分是数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在实际问题中，经常需要求解复杂的积分问题，传统的解法往往需要耗费大量的时间和计算资源。
为了提高效率和准确性，我们可以运用概率随机模拟方法来求解积分问题。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对积分的概率随机模拟求解过程进行详细说明。
首先，我们会介绍积分的定义、性质以及在实际应用中的作用。
然后，我们会简要介绍概率随机模拟方法及其基本概念，并探讨其在数学问题中的应用。
接着，我们将重点讨论积分问题的概率随机模拟求解过程，包括数值积分方法的综述、求解积分的基本步骤以及实例分析及结果讨论。
最后，在结论部分我们将总结研究成果，并提出未来研究方向与意义。
1.3 目的本文旨在通过对积分概念与应用、概率随机模拟方法及其在数学问题中的应用的介绍，深入分析积分问题的概率随机模拟求解过程，并通过实例分析来验证该方法的有效性。
通过本文的阐述，读者可以更全面地理解积分问题的求解方法，了解概率随机模拟在数学领域中的重要性和应用前景。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 积分的概念与应用：2.1 积分的定义:积分是微积分的一个基本概念，用于计算曲线下面的面积或者函数的累积变化。
在数学中，积分可以被理解为求和过程的逆操作。
对于一个函数$f(x)$而言，在区间$[a, b]$上的定积分$\int_{a}^{b} f(x)dx$表示在该区间上函数$f(x)$下方图像与x轴之间所围成的面积。
2.2 积分的性质:- 线性性质：对于任意实数$k$和函数$f(x)$,$g(x)$，有$\int (k \cdot f(x) + g(x))dx = k \cdot \int f(x)dx + \int g(x)dx$- 区间可加性：对于任意两个不相交区间$[a, c]$和$[c, b]$以及函数$f(x)$，有$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$- 常数移位性：对于常数$k$和函数$f(x)$，有$\int (f(x)+k)dx = \int f{x}dx + kx$- 分部积分法：给定两个具有连续导数的函数$u(v)$和$v(u)$，则有$\int u(v)dv = u(x)v(x) - \int v(u)du$2.3 积分的应用领域:积分在数学中具有广泛的应用，特别是在以下几个领域：- 几何学：积分可用于计算曲线、曲面和立体图形的面积与体积。
概率论练习题与解析.
十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853163315131)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A 的概率)(B A P = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P所求概率为 75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P 6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
看完你就及格啦(概率论与数理统计大题攻略)
一、全概率与贝叶斯公式例：某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%，80%，5%，其次品率分别为0.02，0.01，0.03. （1）取一件产品，是次品的概率（2）现从这批产品中任取一件发现是次品，试求该次品是由乙厂生产的概率.学会读题：此类题目中涉及的情景有明显的分类与先后关系，如本题，要确定某产品为次品，我们第一步必须先确定它是哪一厂生产的，第二步再看次品率，才能确定是不是次品。
一般会作为大题第一或第二题出现 路线图：0.020.010.0315%80%5%⎧−−−−→⎪−−−−→⎨⎪−−−−→⎩次品率次品率次品率甲厂生产（）次品某产品乙厂生产（）次品丙厂生产（）次品 这时我们就可以确定这是要用全概率和贝叶斯公式来解题。
第一问问我们“取一件产品，是次品的概率”，在路线图中是从左边推到右边，要用全概率公式第二问是先知道某产品是次品，让我们倒推此产品是乙厂生产的概率，在路线图中表现为从右至左，要用贝叶斯公式解 （1）记123,,A A A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂；B =“所取的产品是次品”. 则123,,A A A 构成样本空间Ω的一个划分，且依题意可知123()=0.15, ()=0.8 , ()=0.05P A P A P A ,123()=0.02, ()=0.01 , ()=0.03P B A P B A P B A .由全概率公式可得，31()()()0.150.020.80.010.050.030.0125i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑.（2）再由贝叶斯公式可得，2()P A B 22()()0.80.010.64()0.0125P A P B A P B ⨯===.解析：全概率公式比较简单，只要把每条路线上的概率分别相乘，再加起来就可以了=所求概率所属路线的概率贝叶斯公式：所求概率已知条件的概率“已知条件的概率”一般都是第一问用全概率公式算出来的答案，比如本题第二问已知某产品为次品，概率正好是第一问算出来的总的次品率0.0125。
《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)
《概率论与数理统计》习题及答案之袁州冬雪创作习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 暗示在三次中出现正面的次数，以YX 和Y 的结合分布律.【解】X 和Y 的结合分布律如表：111222⨯⨯=23111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 暗示取到黑球的只数，以YX 和Y 的结合分布律.【解】X 和Y 的结合分布律如表：223247C 3C 35= 313247C 2C 35=11232247C C 6C 35= 21132247C C 12C 35=313247C 2C 35=2427C /C =12132247C C 6C 35=223247C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的结合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤,020sin πx 求二维随机变量（X ，Y内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率. 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1） 常数A ；（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A =12（2）由定义，有 (3) {01,02}P X Y ≤<≤<5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1） 确定常数k ；（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有故18R =（2）13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x-∞-∞<<=⎰⎰(3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=⎰⎰⎰⎰如图(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b题5图X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从平均分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的结合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从平均分布，所以X 的密度函数为而 所以(2)5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=⎰⎰⎰⎰如图7.设二维随机变量（X ，Y ）的结合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的结合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边沿概率密度.【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰题8图 题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边沿概率密度.【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1） 试确定常数c ； （2） 求边沿概率密度.【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y . （1） 求X 与Y 的结合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的结合分布律如下表3 4 5{}i P X x =1 3511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10= 3522C 10= 310 32511C 10= 110{}i P Y y =110 310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的结合分布律为2 5 8（1）求关于X 和关于Y 的边沿分布；YXXY（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边沿分布如下表2 5 8 P {Y=y i }{}i P X x =(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠===故X 与Y 不独立.X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从平均分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的结合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他;21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：X 和Y 分别暗示两个分歧电子器件的寿命（以小时计），并XY设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z(1) 当z≤0（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y(如图a)题15图(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）Array即故16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4)，则X i~N（160，202），从而X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有能够值都是非负整数，所以于是X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，pZ=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y能够取值为0，1，2，…，2n.方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.19.设随机变量（X，Y）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1（2所以V 的分布律为于是(4)近似上述过程，有R ，设方针出现点（X ，Y ）在屏幕上服从平均分布.（1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的结合概率密度为（1D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从平均分布，求（X ，Y ）关于X 的边沿概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为X ,Y ）的结合密度函数为（X ，Y ）关于X 的边沿密度函数为X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）结合分布律及关于X 和Y 的边沿分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空缺处.而X 与Y从而 故X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 暗示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为由于X 和Y 独立，可见 由此，得U 的概率密度为25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的平均分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的平均分布，于是有因为X ，Y 相互独立，所以 推得1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为-1 0 1-1 0 1a0.1 b0 0.1 c其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )=0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，X Ya+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由{0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的能够取值为2，1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z-2 -1 0 1 2 P(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.。
微专题34 概率统计与函数、数列的交汇问题
微专题34 概率统计与函数、数列的交汇问题一、单项选择题在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为( ) A ． 255B ． 455 C.655D ．855设三位数n ＝abc ，以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋10>0成立的事件发生的概率等于( )A ．5281B ． 5981 C. 6081D ．6181(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，此事引起了国际数学界的轰动，许多专家认为这是数论研究中的一项重大突破．世界主流媒体都对这项重要成果作了报道，并给予了高度评价，印度媒体甚至称赞张益唐为“中国的拉成努金”．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A ．445B ．115C ．328D ．17(2020·大同调研)我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图所示是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2，设其中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134二、多项选择题已知随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则下列结论正确的是( ) A ．P (|ξ|＝1)＝13B ．P (|ξ|＝1)＝23C ．公差d 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，13D ．公差d 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，23 (2020·福州模拟改编)某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课程，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同的课程，则以下说法正确的是( )A ．丙有可能没有选素描B ．丁有可能没有选素描C ．乙、丁可能两门课程都相同D ．这4个人里恰有2个人选了素描 三、填空题某情报站有A ，B ，C ，D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A 密码，那么第7周也使用A 密码的概率为________．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n ，则算过关．某人在这项游戏中最多能过________关，他连过前三关的概率是________．四、解答题某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图如图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1 000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分[30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]男性40 90 120 130 110 60 30人数女性20 50 80 110 100 40 20人数(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n(n∈N*)名男性调查员一起组成3个环保宣传队．若从这n＋10人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数ξ的期望不小于2，求n的最小值．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），(n＝a＋b＋c＋d). 临界值表：。