高考数学二轮复习专题八鸭部分课时作业二十二不等式选讲理61(1)
高考数学二轮复习专题八选考4系列选讲8.2不等式选讲课件理
2021/12/11
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考点三 不等式的证明 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等 号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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考点二 含绝对值不等式的综合问题 1．定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 2．定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－ c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
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角度 2：含绝对值不等式的恒成立问题
2021/12/11
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[解] (1)由题意得，当 a＝2018 时，
f(x)＝220x－182，01x<8，20x1≥8，2018， 因为 f(x)在[2018，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的值域为[2018， ＋∞)． (2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1| ＋|x－a|>2 恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2. 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|， 所以|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3.
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(2)f(x)＝|x＋4|＝x0＋x＝4x－>－ 4，4， －4－xx<－4，
∴不等式 f(x)>1－12x 等价于
高考数学二轮复习第1部分专题八鸭系列1_8_2不等式选讲课件文
类型二 不等式的证明 [典例 2] 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1a＋1b，证明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
解：证明：由 a＋b＝1a＋1b＝a＋ abb，a＞0，b＞0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2. (2)假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，则由 a2＋a＜2 及 a ＞0 得 0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾．故 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
专题八 选考系列(4－4、4－5)
பைடு நூலகம்题必备 解题方略 走进高考 限时规范训练
考点二 不等式选讲
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号 成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
(1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当
且仅当 ad＝bc 时等号成立．
n
n
n
(2)若 ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝∑1a2i )(i＝∑1b2i )≥(i＝∑1aibi)2，当
2019版高考数学总复习专题八选考内容8.2不等式选讲课件理
>5 .
������ ������ < 或 1 < ������ < 3 或������ > 5 .
-11-
新题演练提能· 刷高分 1.(2018安徽淮南一模)设函数f(x)=|2x-4|+1.
(1)画出函数y=f(x)的图象; (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.
-12-
解(1)由于 f(x)=
解(1)当 a=1 时,不等式 f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. 当 x<-1 时,①式化为 x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1 时,①式化为 x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当 x>1 时,①式化为 x2+x-4≤0,从而 1<x≤ 的解集为 ������ -1 ≤ ������ ≤
-10-
(2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)=1 时, 可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=5, 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1 的解集为 ������ ������ < 所以|f(x)|>1 的解集为
1 3 1 或������ 3 1 x=3或
-2������ + 5,������ < 2, 则 y=f(x)的图象如图所示: 2������-3,������ ≥ 2,
时,函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象有交点,故不等式 f(x)≤ax 的解集 非空时,a 的取值范围是(-∞,-2)∪
1 ,+∞ 2
1 (2)由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a≥2或 a<-2
2021-2022年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题八鸭部分二十不等式选讲课时作业文
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4.解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x－1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得 ≤x≤ .
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．
当－ <x< 时，f(x)<2；
当x≥ 时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.
因此|a＋b|<|1＋ab|.
所以 ∴a＝3.
6．(xx·河北质检)设函数f(x)＝ ＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a来自取值范围．解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝ ＋|x－a|≥ ＝ ＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝ ＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋ ，由f(3)<5得3<a< .
＝－ 2＋ ≤ ，
且当x＝ 时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝ ，
故m的取值范围为 .
4．(xx·全国卷甲)已知函数f(x)＝x－ ＋x＋ ，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
【精选】高考数学二轮复习专题八鸭部分8.2不等式选讲课件理
2019/8/7
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
1．(2016·全国丙卷)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值 范围．
解析：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当 x∈R 时， f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋ a， 当 x＝12时等号成立，所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1 －a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a>1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2.
高考数学二轮复习专题八鸭部分课时作业二十二不等式选讲理61
因此 | a＋ b|<|1 ＋ ab|.
5． (2017·江苏三校联考 )已知函数 f(x)＝ | x－ a| ，其中 a>1. (1)当 a＝ 2 时，求不等式 f(x)≥ 4－ | x－ 4| 的解集；
(2)已知关于 x 的不等式 | f(2x＋ a)－ 2f(x)| ≤ 2 的解集为 { x|1 ≤ x≤ 2} ，求 a 的值． 解析： (1)当 a＝ 2 时， f (x)＋ | x－ 4| ＝
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1 － 2x， x≤－ ，
2
11
解析： (1)f (x)＝
1，－
< 2
x<
2，
1 2x， x≥ .
2
1 当 x≤－ 2时，由 f(x)<2 得－ 2x<2 ，解得 x> － 1；
11
当－
< 2
x<
2时，
f
(x)<2
所以
a－1 2 ＝1，
a＋1 2 ＝2，
∴ a＝ 3.
1 6． (2017·河北质检 )设函数 f(x)＝ x＋ a ＋ | x－ a|( a>0) ．
(1)证明： f (x)≥2；
(2)若 f(3)<5 ，求 a 的取值范围．
1
1
1
解析：(1)证明：由 a>0 ，有 f (x)＝ x＋ a ＋ | x－ a| ≥ x＋ a－ x－ a ＝ a＋ a≥ 2.所以 f(x)
≥2.
1 (2)f(3)＝ 3＋ a ＋ |3 － a|.
1
5＋ 21
当 a>3 时， f (3)＝ a＋ a，由 f(3)<5 得 3< a< 2 .
(统考版)高考数学二轮专题复习 课时作业22 不等式选讲 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
课时作业22 不等式选讲[A·基础达标]1．[2020·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)若f (x )≥4，求a 的取值X 围．2．[2020·某某市第一学期监测考试]已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －24＋⎪⎪⎪⎪x ＋24，M 为不等式f (x )<22的解集．(1)求集合M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时|2(a ＋b )|<|ab ＋2|.3．[2020·某某市统一模拟考试]已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x －5|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4.4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |(m ∈R )．(1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,4]，求m 的取值X 围．课时作业22 不等式选讲[A·基础达标][B·素养提升]1．已知函数f(x)＝|x|＋|x＋1|.(1)若任意x∈R，恒有f(x)≥λ成立，某某数λ的取值X围．(2)若存在m∈R，使得m2＋2m＋f(t)＝0成立，某某数t的取值X围．2．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，某某数m 的取值X围．。
2019年高考数学二轮复习 专题突破课时作业22 不等式选讲 理
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．
解析：(1)f(x)＝|x|＋2|x－1|＝
当x<0时，2－3x≤4，得－ ≤x<0；
当0≤x≤1时，1≤2－x≤2，得0≤x≤1；
(1)当a＝0时，不等式f(x)≥g(x)；
(2)若对任意的x∈R，都有f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x－1|，
两边平方，整理得x2＋2x≥0，解得x≥0或x≤－2，
所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．
(2)由f(x)≥g(x)得a≤|2x＋1|－|x－1|，
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)<m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．
解：(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，
则 或
或
解得x≥ 或－ ≤x< ，即x≥－ ，
所以原不等式的解集为 .
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|<m有解，
解：(1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2，
当x≤－ 时，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－ ，故x＝－ ；
当－ <x< 时，得(2x＋1)－(2x－1)≤2，即2≤2，故－ <x< ；
当x≥ 时，得(2x＋1)＋(2x－1)≤2，解得x≤ ，故x＝ .
所以不等式f(x)≤2的解集M＝ .
解法二 当a，b∈M时，－ ≤a≤ ，－ ≤b≤ ，得|a|≤ ，|b|≤ .
2019-2020年高考数学总复习鸭部分不等式选讲62不等式的证明课时作业文
1. (xx •云南大理一模)已知函数f(x) = |x| + |x —3|.(1)解关于x的不等式f(x) —5> x；⑵设m n €{ y| y= f (x)}，试比较mn+ 4与2( m+ n)的大小”3 —2x,x<0,解析：(1) f(x) = | x| + | x—3| = j3, 0< x<3,2x—3, x>3.x<0,f(x) —5> x,即3 —2x > x+ 50< x< 3, x>3,或或3> x + 5 2x —3> x+ 5,2解得x<—3或x€ ?或x>8,3所以不等式的解集为i — g,—3 U [8 ,+8).⑵由(1)易知f(x) >3,所以m>3, n>3.由于2( n u n) —( mn^ 4)=2m- mr U 2n —4= ( m- 2)(2 —n) 且m>3, n》3,所以m-2>0,2 —n<0, 即(m- 2)(2 —n)<0，所以2( m U n)<mr U 4.4 2 2 4 2 2 2. (xx •南京二模)设b,求证：a + 6a b + b >4ab( a + b). 证明：因为a4+ 6a1 2 3b2+ b2—4ab( a2+ b2)=(a + b) —4ab( a + b) + 4a b4=(a + b —2ab) = (a—b).又a^b,所以(a—b)4>0,所以a4+ 6a2b2+ b4>4ab(a2+ b2).3. (xx •武汉调研)(1)求不等式|x —5| —|2x+ 3| >1的解集；1⑵若正实数a, b满足a+ b= ?,求证：.a+ ；b w 1.3解析：(1)当x<—2时，—x + 5+ 2x + 3> 1,3解得x>—7,「. —7W x w—2；3当—2<x<5 时，—x + 5 —2x —3> 1,1 3 1解得x w 3,-—2<x w 3；当x>5 时，x —5—(2x + 3) > 1,解得x W —9,舍去.1 综上，—7W x W 3.3故原不等式的解集为x —7W x W 3 .⑵证明：要证a+ . b w 1,只需证a+ b+ 2 , ab w 1,—1 _ 1 即证 2、：ab w 2,即证* ■ ab w 4.1 1而 a + b = 2:ab , • .ab w 厶成立. •••原不等式成立.4. (xx •河北质检)设函数f (x )=1 Ix + 1 + | x — a |( a >0). (1)证明：f (x ) >2;⑵若f (3)<5 ,求a 的取值范围.+ |3 — a |.综上，a 的取值范围是1 ；「5,二；21 .5. (xx •贵州省适应性考试 )已知函数f (x ) = | x — 1| + | x — 5| , g (x ) =■ ' 1 + x 2. (1)求f (x )的最小值；⑵ 记f (x )的最小值为 m 已知实数a , b 满足a 2+ b 2= 6,求证：g (a ) + g ( b ) w m 解析：(1) ••• f (x )= | x — 1| + |x — 5| ,・• f ( x ) min = 4. ⑵证明：由(1)知m = 4.由柯西不等式得 2 2 2 2 2[1 x g (a ) + 1X g (b )] w (1 +1 )[ g (a )+ g (b )],即[g (a ) + g (b )] w 2 (a + b + 2), 又 g (x ) = x 2+1>0 , a 2+ b 2= 6 ,• g ( a ) + g (b ) w 4(当且仅当a = b = 3时取等号). 即 g (a ) + g (b ) w m[能力挑战]6. (xx •武汉市武昌调研考试 )设函数f ( x ) = | x — 2| + 2x — 3，记f (x ) <— 1的解集为 M (1) 求 M(2) 求 x € M 时，证明：x [f (x )]2— x 2f (x ) w 0.x — 1, x W23x — 5, x >2当 x W2 时，由 f (x ) = x — 1W — 1，解得 x w 0,此时 x w 0；4当x >2时，由f (x ) = 3x — 5W — 1，解得x w 3，显然不成立.故 f (x ) w — 1 的解集为 M = {x | x < 0}. (2)证明：当 x € M 时，f (x ) = x — 1,解析：⑴证明: 由 a >0,有 f (x )=以 f (x ) > 2.1x +a + |x — a|》x +N —当a >3时,当 0<a w3得3<a <5 +汽1 +黒a w 3.1 丄f (3) = a + ,由 f (3)<5 a1时，f (3) = 6 — a + ,由 f (3)<5 得解析：⑴由已知，得f (x )=• • f (x ) = | x — 1| + | x —! 2・71_ 2 2 2 2 2于是 x [f (x )] — x f (x ) = x (x — 1) — x (x — 1) =- x + x =- 令g (x )=— (x +着+4,则函数g (x )在(—s, o]上是增函数,• g ( x ) W g (0) = 0.故 x [f (x )] 2— x 2f (x ) W 0.2019-2020年高考数学总复习鸭部分坐标系与参数方程59坐标系课时作因此椭圆x + y 2= 1经伸缩变换后得到的曲线方程是42. (xx •邯郸调研)在极坐标系中，已知直线 l 过点n正方向所成的最小正角为 §,求：(1) 直线的极坐标方程；(2) 极点到该直线的距离. 解析：(1)如图，由正弦定理得 p1n :sin 一3⑵作OH L l ，垂足为H, 在厶 OHA K OA= 1，/ OHA F 则屮 O£in23,1x '= 2x ,解析：由$y2x o 将①代入4 + y = 1,22x 21 .求椭圆4 + y =1,得到2x ，i y = y ，.得4^-+y ' 2= 1,即后的曲线方程.2= 1.即 p sin3- 9 = sin；.'3 2，•••所求直线的极坐标方程为 p sin1 2 1 x― 2 + 4.2 2“x + y = 1.A (1,0)，且其向上的方向与极轴的3，/OAHk 3 ,即极点到该直线的距离等于申.3. (xx •沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系xOy中，直线l : y = x，圆C：x= —1 + cos $c( $为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.y=—2 + sin $(1) 求直线I与圆C的极坐标方程；(2) 设直线I与圆C的交点为M N求厶CMN勺面积.解析：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x+ 1)2+ (y + 2)2= 1,••• x= p cos 0 , y= p sin 0，二直线I 的极坐标方程为0 =n( p € R),4圆C的极坐标方程为p 2+ 2 p cos 0 + 4p sin 0 + 4 = 0.(2)将0 = 4 代入p 2+ 2 p cos 0 + 4 p sin 0 + 4 = 0,得p 2+ 3 / 2 p + 4 = 0,解得p 1 =—2 2, p 2=—2, | MN = | p 1 — p 2| = 2,, 1 厂% 1•.•圆C的半径为1 ,—△ CMN勺面积为2^ 2 X 1 x sin 4 = 24. (xx •成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x —1)2+ y2= 1(0 < y w 1).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；•/ 0 €解析：法一：⑴ 设所求圆上任意一点 M P , 0)，如图,(2)直线l 的极坐标方程是p (sin 0 + (3cos 0 )=时3,射线 OM 0 =交点为O, P,与直线l 的交点为Q 求线段PQ 的长. 解析：(1)由x = p cos 0 , y = p sin 0，所以半圆 C 的极坐标方程是 p 0 € .0,孕p 1 = 2cos 0 1,p 1 = 1,⑵设(p 1, 0 1)为点P 的极坐标，则有( n解得( nI 0 1右, I 0 1=E ,0 2)为点Q 的极坐标， p 2 sin 0 2+ £cos 0 2 =5 3, 则有冗I 0 2=F,与半圆C 的=2cos 0 ,设(p 2,p 解得2= 5,7t3 ,由于0 1 = 0 2,所以| PQ = | p 1— p 2| = 4，所以线段PQ 的长为4. 5. (xx •广州五校联考)在极坐标系中，圆 C 是以点C 2,— 为圆心, 2为半径的圆.(1)求圆C 的极坐标方程;5 n⑵ 求圆C 被直线l : 0 =— 12 ( p € R)所截得的弦长.在 Rt △ OAM 中, Z 0M = 2，jrZ AOM 2n — 0 — = , I OA = 4・6 因为 cos Z AO = I OM , 所以 |OM =1 OA • cos Z AOM 即 p = 4cos |2 n— 0 — 6 = 4cos i 0 +6丿=4cos \ 0 + 为所求.5 n、,⑵设I : 0 =— 12 ( p € R)交圆C 于点P,在 Rt △ OAP 中, Z OPA= 2 ,n(1)圆C 是将圆P = 4cos 0绕极点按顺时针方向旋转 6而得到的圆,以坐标原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 不同于极点的点 代且点A 的极坐标为(2 .. 3, 0 )，其中0 € f ：(1) 求0的值；(2) 若射线0A 与直线I 相交于点B,求|AE |的值.解析：(1)由题意知，曲线 C 的普通方程为x 2+ (y — 2) 2= 4,2 2■/ x = p cos 0 , y = p sin 0 , •'•曲线 C 的极坐标方程为(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4, 即 p = 4sin 0 .由 p = 2,3，得 sin 0 = 2,2 n2 ,n ,A 0= 3 .n验证可知，极点 0与A 4，—:的极坐标也满足方程,易得Z AOP=4所以 | OP = | OA cos Z AO = 2 2・ 法二：所以圆C 的极坐标方程是 P = 4cos i 0 + —0 =—5 n 代入圆c 的极坐标方程12 得 p = 2 2,5 n所以圆C 被直线I : 0 =— 12 (p = 4cos 0 +-6 ,R)所截得的弦长为2 9.6. (xx •成都市第二次诊断性检测［能力挑战］ )在直角坐标系X = 2C0S axOy 中，曲线 C 的参数方程为 x=伍-乎tj y = 2+ 2sin a ( a为参数)，直线1的参数方程为」(t 为参数).在O 的射线与曲线C 相交于 n'兀 ・=0, •直线I 的极坐标方程为 p cos 0由题，易知直线I的普通方程为x++ ；3 p sin 0 —4、:3= 0.2 n又射线OA的极坐标方程为0=可(P > 0),、、0=~V— p孔厂联立，得，解得p = 4-3.p cos 0 + ；3 p sin 0 —4 '3 = 02•••点B 的极坐标为(4 '3, 3 )，「j AE| = | p B— p A| = 4 3 —2 3= 2 ' 3.•/ 0 €。
2019年高考数学二轮复习专题突破课时作业22不等式选讲理word版本
(2)若关于x的不等式f(x)<m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．
解：(1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，
则 或
或
解得x≥ 或－ ≤x< ，即x≥－ ，
所以原不等式的解集为 .
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|<m有解，
解法二 当a，b∈M时，－ ≤a≤ ，－ ≤b≤ ，得|a|≤ ，|b|≤ .
(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a2－b2|
＝
因为a2≤ ，b2≤ ，所以4a2≤1,4b2≤1.
故(|a＋b|＋|a－b|)2≤1，
所以|a＋b|＋|a－b|≤1.
(2)设a，b均为正数，h＝max ，证明：h≥2.
解：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ －2<x<1，
由－2<－2x－1<0，解得－ <x< ，则不等式的解集为 .
(2)h≥ ，h≥ ，h≥ ，h3≥ ≥ ＝8，当且仅当a＝b时取等号，∴h≥2.
4．[2018·合肥市高三第一次质量检测]已知函数f(x)＝|2x－1|.
则m>(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，
当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈ 时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．
5．[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x－1|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第三讲 不等式选讲 理
高考数学二轮复习专题8 选修专题第三讲不等式选讲理第三讲不等式选讲1．绝对值三角不等式．(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋B|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法．(1)不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0 a＝0 a<0|x|<a {x|－a<x<a} ∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．柯西不等式的二维形式．(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 4．柯西不等式的一般形式．柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.5．基本不等式的一般形式．a ＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1，a 2，…，a n ∈R ＋)．1．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为(A ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．6解析：y ＝|x －1|＋|x －6|≥|x－4＋6－x|＝2. 2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(D )A ．[－2，1)∪[4，7)B ．(－2，1]∪(4，7]C ．(－2，－1]∪[4，7)D ．(－2，1]∪[4，7)解析：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x≤1，得(－2，1]∪[4，7)． 3．(2015·皖南八校联考)不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为(A )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2，5]D ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)解析：由绝对值的几何意义易知|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a ≤4.4．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x≥0)的最小值为(B )A ．6B ．7 C.7 D ．9解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2＋1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2≥6.所以y≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．一、选择题1．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(D ) A ．[－5，7] B ．[－4，6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：当x≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x ≤－4.当－3<x<5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.2．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x≥0)的最小值为(B )A ．6B ．7 C.7 D ．9解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2＋1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2≥6.所以y≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．3．若x ，y ∈R 且满足x ＋3y ＝2，则3x＋27y＋1的最小值是(D ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7解析：3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝23x ＋3y ＋1＝7.当且仅当3x ＝33y时，即x ＝3y ＝1时取等号．4．设x>0，y>0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则A ，B 的大小关系是(B )A ．A ＝B B ．A<BC ．A ≤BD ．A>B解析：B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋y ＋x ＝x ＋y1＋x ＋y＝A ，即A<B.5．设a ，b ，c 为正数且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为(C ) A.1693 B.133 C.1333D.13 解析：(a ＋2b ＋3c)⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3a ＋2b ＋c)2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c)2≤1693.∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．∵a＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333.二、填空题6．不等式1<|x ＋1|<3的解集为(－4，－2)∪(0，2)． 7．不等式|x －8|－|x －4|>2的解集为{x|x<5}．解析：令f(x)＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，－4，x>8，4<x ≤8，当x≤4时，f(x)＝4>2；当4<x≤8，时f(x)＝－2x ＋12>2，得x<5，∴4<x<5；当x>8时，f(x)＝－4>2不成立．故原不等式的解集为{x|x<5}．8．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，则实数k 的取值范围是k<1． 解析：∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，故k<1.三、解答题9．(2015·柳州一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a(其中a>0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝4时，不等式即|2x ＋1|－|x －1|≤2. 当x<－12时，不等式为－x －2≤2，解得－4≤x<－12.当－12≤x ≤1时，不等式为3x≤2，解得－12≤x ≤23.当x>1时，不等式为x ＋2≤2，此时x 不存在．综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－4≤x≤23.(2)设f(x)＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x<－12，3x ，－12≤x≤1，x ＋2，x>1.故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，＋∞，即f(x)的最小值为－32.所以当f(x)≤log 2a 有解，则有log 2a≥－32，解得a≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.10．(2014·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x 2－8x ＋1.记f(x)≤1的解集为M ，g (x)≤4的解集为N.(1)求M ；(2)当x∈M∩N 时，求证：x 2f(x)＋x[f(x)]2≤14.解析：(1)由f(x)＝2|x －1|＋x －1≤1可得⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，3x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x<1，1－x≤1.解⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1得1≤x≤43，解⎩⎪⎨⎪⎧x<1，1－x≤1得0≤x<1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43. (2)由g(x)＝16x 2－8x ＋1≤4，得－14≤x ≤34，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.∵当x∈M∩N 时，f(x)＝1－x ，∴x 2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x ＋f(x)]＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，故要证的不等式成立．11．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z)2.∴x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号．则|a －2|≤611.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.。
(新课标通用)高考数学二轮复习方案专题课件：第22讲 不等式选讲
a 的值；
(2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x
命 题
恒成立，求实数 m 的取值范围．
考
向
探
究
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第22讲 不等式选讲
解：(1)由 f(x)≤3 得|x－a|≤3，解得 a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以aa－ ＋33＝ ＝－ 5，1，解得 a＝2.
号成立，如⑧.
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第22讲 不等式选讲
—— 基础知识必备 ——
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第22讲 不等式选讲
► 考向一 含绝对值的不等式的解法
考向：求绝对值不等式的解集，根据绝对值不等式求
解参数范围等．
命 题
考例：2011 年 T24、2012 年 T24，近五年新课标全国
考 卷共考查了 2 次．
向 探
例 1 设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．
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第22讲 不等式选讲
(2)关于 x 的不等式 f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于
命 题
(f(x)＋4)max≥|1－2m|. 由(1)可知 f(x)max＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤
考
|(x＋2)－(x－1)|＝3，得 f(x)max＝3)，
向
于是|1－2m|≤7，解得 m∈[－3，4]．
当－2<x≤0 时，不等式化为 x＋2＋x≤1，解得 x≤－12， 所以不等式的解集是x－2<x≤－12；
当 x>0 时，不等式化为 x＋2－x≤1，即 2≤1，此时解 集为空集．综上可知，不等式的解集为xx≤－12.
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高考数学复习 专题八 选考内容 8.2 不等式选讲(二选一)课件 文
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价(děngjià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
-1+ 17
8.2
不等式选讲(二选一)
2021/12/11
第一页，共四十六页。
高考命题规律
1.每年必考考题,二选一选作题中的第2个(2017年以前为三选一).
2.解答题,选作题,10分,中低档难度(nádù).
3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.
2015 年 2016 年
2020 年高考必备
2017 年
2018 年
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立(chénglì),求a的取值范围.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
-2, ≤ -1,
即 f(x)= 2,-1 < < 1,
2, ≥ 1.
1
故不等式 f(x)>1 的解集为 > .
2019 年
Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ
卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷
命题
角度 1
命题
角度 2
命题
角度 3
含绝对值不
等式的图象
与解法
绝对值不等
式中的最值
与参数范围
问题
不等式的证
(通用版)2020版高考数学复习专题八选考内容8.2不等式选讲(二选一)练习(文)
8.2 不等式选讲(二选一)高考命题规律1.每年必考考题,二选一选作题中的第2个(2017年以前为三选一).2.解答题,选作题,10分,中低档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.命题角度1含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f (x )的图像;(2)当x ∈[0,+∞)时,f (x )≤ax+b ,求a+b 的最小值.f (x )={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y=f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 2.(2017全国Ⅰ·23)已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172-1+√17}.2(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].3.(2016全国Ⅰ·24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时, 可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.典题演练提能·刷高分1.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f (x )的图象;(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.由于f (x )={-2x +5,x <2,2x -3,x ≥2,则y=f (x )的图象如图所示:(2)由函数y=f (x )与函数y=ax 的图象可知,当且仅当a ≥12或a<-2时,函数y=f (x )与函数y=ax的图象有交点,故不等式f (x )≤ax 的解集非空时,a 的取值范围是(-∞,-2)∪12,+∞.2.已知函数f (x )=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f (x )≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f (x )的图象有公共点,求k 的取值范围.由f (x )≤2,得{x ≤1,2-2x ≤2或{1<x <4,0≤2或{x ≥4,2x -8≤2,解得0≤x ≤5,故不等式f (x )≤2的解集为[0,5].(2)f (x )=|x-4|+|x-1|-3={2-2x ,x ≤1,0,1<x <4,2x -8,x ≥4,作出函数f (x )的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C (0,-2),当此直线经过点B (4,0)时,k=12;当此直线与直线AD 平行时,k=-2.故由图可知,k ∈(-∞,-2)∪12,+∞.3.已知函数f (x )=|x+1|-2|x|. (1)求不等式f (x )≤-6的解集;(2)若f (x )的图象与直线y=a 围成的图形的面积不小于14,求实数a 的取值范围.f (x )=|x+1|-2|x|={x -1,x <-1,3x +1,-1≤x ≤0,1-x ,x >0.则不等式f (x )≤-6等价于{x <-1,x -1≤-6或{-1≤x ≤0,3x +1≤-6或{x >0,1-x ≤-6,解得x ≤-5或x ≥7.故不等式f (x )≤-6的解集为{x|x ≤-5或x ≥7}.(2)作出函数f (x )的图象,如图.若f (x )的图象与直线y=a 围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC 的面积取得最大值12×4×3=6,∴f (x )的图象与直线y=a 围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC 的面积是6,∴梯形ABED 的面积不小于8. ∵AB=4,D (1+a ,a ),E (1-a ,a ),DE=-2a ,∴12×(4-2a )×(-2-a )≥14-6=8,a 2≥12.又a<-2,则a ≤-2√3,故实数a 的取值范围是(-∞,-2√3]. 4.已知函数f (x )=|2x-1|+2|x+2|. (1)求函数f (x )的最小值; (2)解不等式f (x )<8.因为f (x )=|2x-1|+2|x+2|≥|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f (x )={-4x -3,x <-2,5,-2≤x ≤12,4x +3,x >12,(2)当x<-2时,由-4x-3<8,解得x>-114,即-114<x<-2;当-2≤x ≤12时,5<8恒成立,即-2≤x ≤12;当x>12时,由4x+3<8,解得x<54,即12<x<54,所以原不等式的解集为(-114,54).5.已知函数f (x )=|2x|-|x+3|.(1)若对于任意的实数x ,都有f (x )≥2m 2-7m 成立,求m 的取值范围; (2)若g (x )=ax ,方程f (x )=g (x )有两个不同的实数解,求a 的取值范围.由于f (x )=|2x|-|x+3|={3-x ,x <-3,-3x -3,-3≤x ≤0,x -3,x >0,所以f (x )的最小值为f (0)=-3.又因为对任意的实数x ,都有f (x )≥2m 2-7m 成立,只需2m 2-7m ≤-3,即2m 2-7m+3≤0,解得12≤m ≤3,故m 的取值范围为12,3.(2)方程f (x )=g (x )有两个不同的实数解,即函数y=f (x )与y=g (x )的图象有两个不同的交点, 作出这两个函数图象,由图象可知,a 的取值范围是[-1,1)∪{-2}.6.已知关于x 的不等式4x +95-x ≥m 在x ∈(0,5)时恒成立. (1)求m 的最大值;(2)当m 取得最大值时,求不等式|x-m|+|x+2|≤9的解集.解 (1)4x+95-x=15[x+(5-x )](4x+95-x)=154+9+9x 5-x +4(5-x )x≥15(13+12)=5,当且仅当9x 5-x =4(5-x )x⇒x=2时取等号,因为4x +95-x ≥m 在x ∈(0,5)时恒成立,所以m 的最大值为5.(2)根据(1)可知m的最大值为5,所以不等式左边可以化为|x-5|+|x+2|={3-2x,x<-2, 7,-2≤x≤5, 2x-3,x>5,由|x-5|+|x+2|≤9可以得到所求不等式的解集为{x|-3≤x≤6}.命题角度2绝对值不等式中的最值与参数范围问题高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).2.(2018全国Ⅰ·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2x,所以2x ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].3.(2018全国Ⅱ·23)设函数f (x )=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥0的解集; (2)若f (x )≤1,求a 的取值范围.当a=1时,f (x )={2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f (x )≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f (x )≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 4.(2017全国Ⅲ·23)已知函数f (x )=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1, 解得1≤x ≤2;当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54.故m 的取值范围为(-∞,54]. 典题演练提能·刷高分1.(2019山东烟台、菏泽高三5月高考适应性练习)已知函数f (x )=|2x+m-1|+|2x-3|. (1)当m=2时,求不等式f (x )≤6的解集;(2)若f (x )≤|2x-6|的解集包含区间-12,32,求m 的取值范围.当m=2时,只需解不等式|2x+1|+|2x-3|≤6.当x<-12时,不等式化为-(2x+1)-(2x-3)≤6,解得-1≤x<-12;当-12≤x ≤32时,不等式化为(2x+1)-(2x-3)≤6,恒成立,解得-12≤x ≤32;当x>32时,不等式等价于(2x+1)+(2x-3)≤6,解得32<x ≤2,综上,不等式的解集为{x|-1≤x ≤2}.(2)因为|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|的解集包含区间-12,32,所以当x ∈-12,32时,|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|成立,也就是|2x+m-1|-(2x-3)≤-(2x-6),即|2x+m-1|≤3成立.解上述不等式得-3≤2x+m-1≤3,即-1-x2≤x ≤2-x2.由已知条件-12,32⊆-1-x 2,2-x2, 所以{-12≥-1-x2,32≤2-x2, 解得-1≤m ≤1.所以m 的取值范围是{x |-1≤x ≤1}.2.(2019安徽定远中学预测卷一)已知函数f (x )=|x|+|x-a|. (1)当a=2时,求不等式f (x )<4的解集;(2)若f (x )≥1对任意x ∈R 成立,求实数a 的取值范围.当a=2时,不等式f (x )<4可化为|x|+|x-2|<4.讨论:①当x<0时,-x-(x-2)<4,所以x>-1,所以-1<x<0;②当0≤x≤2时,x-(x-2)<4,所以2<4,所以0≤x≤2;③当x>2时,x+(x-2)<4,所以x<3,所以2<x<3.综上,当a=2时,不等式f(x)<4的解集为{x|-1<x<3}.(2)因为|x-(x-a)|≤|x|+|x-a|,所以|x|+|x-a|≥|a|.又因为f(x)=|x|+|x-a|,f(x)≥1对任意x∈R成立, 所以1≤|a|.所以a≤-1或a≥1.故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).3.已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3,解得a≤-3,即a max=-3;(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意,当a<-1时,g(x)={(x -1)+2(x +x ),x ≥-x ,(x -1)-2(x +x ),1≤x <-x ,-(x -1)-2(x +x ),x <1,即g (x )={3x -1+2x ,x ≥-x ,-x -1-2x ,1≤x <-x ,-3x +1-2x ,x <1,所以g (x )min =g (-a )=-a-1=3,解得a=-4,当a>-1时,同法可知g (x )min =g (-a )=a+1=3,解得a=2. 综上,a=2或-4.4.设函数f (x )=|ax+1|+|x-a|(a>0),g (x )=x 2+x. (1)当a=1时,求不等式g (x )≥f (x )的解集;(2)已知f (x )≥32,求a 的取值范围.当a=1时,不等式g (x )≥f (x ),即x 2+x ≥|x+1|+|x-1|, 当x<-1时,x 2+x ≥-2x ,x 2+3x ≥0,∴x ≥0或x ≤-3, ∴此时,x ≤-3,当-1≤x ≤1时,x 2+x ≥2,x 2+x-2≥0,∴x ≥1或x ≤-2, ∴此时x=1,当x>1时,x 2+x ≥2x ,x 2-x ≥0,∴x ≥1或x ≤0,∴此时,x>1,∴不等式的解集为{x|x ≤-3或x ≥1}.(2)f (x )=|ax+1|+|x-a|={-(x +1)x +x -1,x <-1x ,(x -1)x +x +1,-1x ≤x ≤x ,(x +1)x -x +1,x >x .若0<a ≤1,则f (x )min =f (a )=a 2+1,∴a 2+1≥32,解得a ≥√22或a ≤-√22,∴√22≤a ≤1,若a>1,则f (x )min =f (-1x )=a+1x >2>32,∴a>1.综上所述,a ≥√22.5.已知函数f (x )=|x-2|,g (x )=-|x+3|+m (m ∈R ). (1)解关于x 的不等式f (x )+a-2>0(a ∈R );(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方,求m 的取值范围.由f (x )+a-2>0(a ∈R ),得|x-2|>2-a.当2-a<0,即a>2时,不等式的解集为x ∈R ; 当2-a ≥0,即a ≤2时,得x-2>2-a 或x-2<-(2-a ),即x>4-a 或x<a ,故原不等式的解集为x ∈(-∞,a )∪(4-a ,+∞).综上,当a>2时,原不等式的解集为x ∈R ;当a ≤2时,原不等式的解集为x ∈(-∞,a )∪(4-a ,+∞). (2)函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方, 即|x-2|>-|x+3|+m (m ∈R )对任意实数x 恒成立; 即|x-2|+|x+3|>m (m ∈R )对任意实数x 恒成立;∵|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,当(x-2)(x+3)≤0时取等号;∴m<5.故m<5时,函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方.命题角度3不等式的证明高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·23)设x ,y ,z ∈R ,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥13成立,证明:a ≤-3或a ≥-1.[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+x )23,当且仅当x=4-x 3,y=1-x 3,z=2x -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+x )23.由题设知(2+x )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.2.(2019全国Ⅰ·23)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc=1.证明:(1)1x +1x +1x ≤a 2+b 2+c 2; (2)(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥24.因为a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac ,又abc=1,故有a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca=xx +xx +xxxxx=1x +1x +1x .所以1x +1x +1x ≤a 2+b 2+c 2. (2)因为a ,b ,c 为正数且abc=1, 故有(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥3√(x +x )3(x +x )3(x +x )33=3(a+b )(b+c )(a+c )≥3×(2√ab )×(2√bc )×(2√ac )=24. 所以(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥24. 典题演练提能·刷高分1.(2019山东安丘、诸城、五莲高三5月校级联合考试)设函数f (x )=|x-m|+|x+n|,其中m>0,n>0. (1)当m=1,n=1时,求关于x 的不等式f (x )≥4的解集; (2)若m+n=mn ,证明:f (x )≥4.m=1,n=1,得f (x )=|x-1|+|x+1|={-2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1,由f (x )≥4,得{x <-1,-2x ≥4,或{-1≤x ≤1,2≥4,或{x >1,2x ≥4,所以f (x )≥4的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞).m+n=mn ,可得1x +1x =1,f (x )=|x-m|+|x+n|≥|m+n|,因为m>0,n>0,所以f (x )≥m+n=1x+1x(m+n )=2+xx +x x≥4,当且仅当m=n=2时等号成立. 所以f (x )≥4.2.已知函数f (x )=|x+2|+|2x+a|,a ∈R . (1)当a=1时,解不等式f (x )≥2;(2)求证:f (x )≥|a-2|-12|a|.a=1时,f (x )=|x+2|+|2x+1|≥2⇔{x ≤-2,-3x -3≥2或{-2<x <-12,-x +1≥2或{x ≥-12,3x +3≥2⇔x ≤-2或-2<x ≤-1或x ≥-13⇔x ≤-1或x ≥-13,所以不等式的解集为{x |x ≤-1或x ≥-13}.(x )=|x+2|+|2x+a|=|x+2|+|x +x 2|+|x +x 2|≥|2-x 2|+|x +x 2|≥|2-x 2|=|x2-2|=|(x -2)-12x |≥|a-2|-|12x |=|a-2|-12|a|. 3.已知函数f (x )=|2x-3|+|3x-6|. (1)求f (x )<2的解集;(2)若f (x )的最小值为T ,正数a ,b 满足a+b=12,求证:√x +√x ≤T. (x )=|2x-3|+|3x-6|={ 3-2x +6-3x (x <32),2x -3+6-3x (32≤x ≤2),2x -3+3x -6(x >2) ={ -5x +9(x <32),-x +3(32≤x ≤2),5x -9(x >2).由图象可知:f (x )<2的解集为(75,115).f (x )的最小值为1,由均值不等式可知√x +√x2≤√x +x 2=√14=12,当且仅当a=b 时,“=”成立,即√x +√x ≤1=T.4.已知函数f (x )=|x-1|. (1)解不等式f (2x )+f (x+4)≥6;(2)若a ,b ∈R ,|a|<1,|b|<1,证明:f (ab )>f (a-b+1).f (2x )+f (x+4)≥6得|2x-1|+|x+3|≥6,当x<-3时,-2x+1-x-3≥6,解得x<-3;当-3≤x ≤12时,-2x+1+x+3≥6, 解得-3≤x ≤-2;当x>12时,2x-1+x+3≥6,解得x ≥43.综上,不等式的解集为{x |x ≤-2或x ≥43}.(ab )>f (a-b+1)⇔|ab-1|>|a-b|,因为|a|<1,|b|<1,即a 2<1,b 2<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=a 2b 2-2ab+1-a 2+2ab-b 2=a 2b 2-a 2-b 2+1=(a 2-1)(b 2-1)>0, 所以|ab-1|2>|a-b|2,即|ab-1|>|a-b|,所以原不等式成立. 5.设函数f (x )=|2x-1|.(1)设f (x )+f (x+1)<5的解集为集合A ,求集合A ;21 (2)已知m 为集合A 中的最大自然数,且a+b+c=m (其中a ,b ,c 为正实数),设M=1-x x ·1-x x ·1-x x .求证:M ≥8.(x )+f (x+1)<5,即|2x-1|+|2x+1|<5. 当x<-12时,不等式化为1-2x-2x-1<5,∴-54<x<-12;当-12≤x ≤12时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立; 当x>12时,不等式化为2x-1+2x+1<5,∴12<x<54.综上,集合A={x |-54<x <54}.(1)知m=1,则a+b+c=1.则1-x x =x +x x ≥2√xxx ,同理1-x x ≥2√xx x ,1-x x ≥2√xx x ,则1-x x ·1-x x ·1-x x ≥2√xx x ·2√xx x ·2√xxx =8,即M ≥8.。
高考数学压轴专题莆田备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附答案
【高中数学】高中数学《不等式选讲》期末考知识点一、141．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
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课时作业(二十二)不等式选讲
1．(2016·全国卷乙)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解析：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当－ <x< 时，f(x)<2；
当x≥ 时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.
因此|a＋b|<|1＋ab|.
当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋ ，由f(3)<5得 <a≤3.
综上，a的取值范围是 .
敬请批评指正
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
因此ac＋bd≤8.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4.解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x－1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得 ≤x≤ .
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．
当f(x)＝－1时，可得x＝ 或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，
f(x)<－1的解集为 .
所以|f(x)|>1的解集为xx< 或1<x<3或x>5.
2．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
且当x＝ 时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝ ，
故m的取值范围为 .
4．(2016·全国卷甲)已知函数f(x)＝x－ ＋x＋ ，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
解析：(1)f(x)＝
当x≤－ 时，由2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－ 2＋ ≤ ，
所以 ∴a＝3.
6．(2017·河北质检)设函数f(x)＝ ＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝ ＋|x－a|≥ ＝ ＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝ ＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋ ，由f(3)<5得3<a< .
5．(2017·江苏三校联考)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，