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二重积分的简单计算
探秘二重积分的计算方法
二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。
下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。
首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：
∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA
接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。
当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：
1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy
其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。
2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx
其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。
3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：
∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy
其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。
以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。
文档：二重积分的计算
1、试将二重积分(),Df x y d σ⎰⎰化为两种不同的二次积分,其中区域D 分别为：1） 由直线,3y x x ==及双曲线1xy =所围成的区域。
()()311,,xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰()()()13331113,,,yyDf x y d dy f x y dx dy f x y dx σ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2） 环形闭区域：2214x y ≤+≤()()()1121,,,Df x y d dx f x y dy dx f x y dy σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dx f x y dy dx f x y dy -+++⎰⎰()()()1121,,,Df x y d dy f x y dx dy f x y dx σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dy f x y dx dy f x y dx -+++⎰⎰()()221,cos ,cos Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰2、改变下列二次积分的次序 1）()10,y dy f x y dx =⎰()210,xx dx f x y dy ⎰⎰。
2）()ln 10,exdx f x y dy =⎰⎰()1,y ee dyf x y dx⎰⎰。
3）()()1233001,,yy dy f x y dx dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()2302,xxdx f x y dy -⎰⎰。
3、画出积分区域，并计算二重积分 1）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域。
解：原式01111101x x x y x y x x dx e dy dx e dy +-+++----=+⎰⎰⎰⎰()()01211211x x e e dx e e dx +---=-+-⎰⎰121121101122x x e e x ex e +---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11131112222e e e e e e e--=-+-+=- 2）计算()⎰⎰-Dd y x σ22，其中D 是由不等式π≤≤≤≤x x y 0,sin 0围成的闭区域。
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x y g x h y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()bd b dDa c a c f x y d g x h y dy dx g x dx h y dy σ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰，这是二重积分计算中最简单的情况。
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等。
理解和掌握二重积分的计算方法对于解决相关的实际问题和理论研究都至关重要。
二重积分的定义是在平面区域上对函数进行积分。
直观地说，它可以用来计算平面区域上某个量的总和，比如平面薄片的质量、平面区域的面积等。
那么，如何计算二重积分呢？常见的计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法是我们最常接触的方法之一。
当积分区域是由直线边界围成的矩形、三角形或者其他简单形状时，直角坐标法往往比较适用。
我们先来看 X 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（a\leq x\leqb\），＼（＼varphi_1(x)＼leq y\leq ＼varphi_2(x)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{a}＾｛b}dx ＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) dy＼这里要先对＼（y\）积分，再对＼（x\）积分。
再来看 Y 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{c}＾｛d}dy ＼int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y) dx＼在使用直角坐标法计算二重积分时，关键是要正确确定积分区域的类型，以及积分的上下限。
接下来我们说一说极坐标法。
当积分区域具有圆形、扇形或者是与圆相关的形状时，极坐标法通常会更加简便。
在极坐标系中，点用＼（（＼rho,＼theta)＼）表示，其中＼（＼rho\）表示点到原点的距离，＼（＼theta\）表示极角。
如果积分区域可以表示为＼（＼alpha\leq\theta\leq\beta\），＼（＼varphi_1(＼theta)＼leq\rho\leq\varphi_2(＼theta)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}d\theta ＼int_{＼varphi_1(＼theta)｝＾｛＼varphi_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta,＼rho\sin\theta)＼rho d\rho＼在极坐标法中，要注意＼（＼rho\）的积分上下限以及函数在极坐标下的表达式。
92(2)二重积分的计算法(2)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
4.区域旳对称性,和被积函数旳奇偶性.
区域有关y轴对称即边界线方程用-x代x后 不变,同步被积函数有关x是奇函数即
f(-x,y)=-f(x,y),则积分为零;
被积函数有关x是偶函数即
f(-x,y)=f(x,y),则积分等于在二分之一区域 上积分旳两倍.区域有关其他坐标轴,被积函 数有关相应变量旳对称有一样旳性质.
2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1 2
2
0 (e
e1 )vdv
e
e 1 .
高等数学（下）
例2
计算
D
1
x2 a2
y2 b2 dxdy,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x
y
ar cos,J
br sin ,
r ( )
,
D
0 r ( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
高等数学（下）
二重积分化为二次积分旳公式（３） r ( )
区域特征如图
D
0 2, 0 r ( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
y
解
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
第92节二重积分的计算方法
e 1 y2 y2dy2
1(1 2).
0
3
0
6
6e
二、在极坐标下二重积分的计算
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
ri (ri2ri)rii
rri ri r ri
i i
f(x,y)d的值D 等 为于 底以 ， zf以 (x,y)曲 为
D
曲顶的柱体的体积．
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
z
zf(x,y)
y
A(x0 )
y2(x)
a x0
bx
y1(x)
得
Df(x ,y )da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y )d y .
x
例3 求 （ x2y)dxdy， 其 D 是中 由y 抛 x2和 x 物 y2 线
D
所 围 成. 的 平 面 区 xy2(0,0) ,(1,1),
(x2
y)dxdy
1
dx
x(x2y)dy
0
x2
D
1 [x 2(xx 2)1(xx 4)d ]x 33 .
0
2
140
y x2
x
例4 求x2ey2dxdy,其D 中 是(0 以 ,0)(,1,1),(0,1)为顶点
D
三角形 . 区域
解 因为ey2dy无法用初等函数表示y
考虑改变积分次序
x2ey2dxdy
1
dy
yx2ey2dx
00
x
D
e1 y2
y3 dy
i
ririi,
高数92二重积分的计算精品文档
2
1
1 2
x
2
y
2dy 2
y
1
2y1 2y3 dy
9 8
作草图、选择类型、确定上下限------ 后积先定限、限内化条线
例2. 计算
xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
D
yx2所围成的闭区域.
y
解1:
y2 x
D1:
0x1
1x4 D 2 :
则D
:
1x2 1yx
y
I
2
d
1
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
1212x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2 yx2
o
1
2x
2
I d y
1
y2x y d x
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
Mlim 0 k 1
(k,k, k) v k
(k,k,k)
定义. 设 f(x ,y ,z ),(x ,y ,z ) ,若对 作任意分割:
v k(k 1 ,2 , ,n )任,意取点 (k ,k ,k) v k ,下列
z1 S2
zz1(x,y)
S1
D
(x, y)
y
yy2(x)
yy1(x)
简 单 区 域 ： 平 行 于 z轴 且 穿 过 闭 区 域 内 部 的 直 线 与 闭 区 域 的 边 界 曲 面 S相 交 不 多 于 两 点 情 形 ．
【2019年整理】D92二重积分的计算
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
x
若D为Y
–型区域D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
c
1(y)
d
xd
y
令 x a r cos , y b r sin , 则D 的原象为
D : r 1 , 0 2
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
a r sin b r cos a b r
V 2cD 1 r 2 a b r d r d
2
1
2 abc d
0
0
1
r2
r
d
r
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
d
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4 2 0
d
2sind 1
4.
9
例5. 求球体
被圆柱面 x2y22ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 由对称性可知
z
V4 4a2x2y2dxdy D
o
4D 4a22dd
2a
2acos 4a22d x 0
32a3(2)
3 23
y
10
例 6 求x 球 2y2 体 z2R 2 与 x2y2z22Rz
公 共 部 分 体 积 z R2x2y2 解 : 求两球交线的投影
由xx22
y2 y2
z2 z2
R2 消 2Rz
去 z
x2 y2 3R2
4
投影域 x2 y2 3R2
4
D
zR R2x2y2
投影柱面方程
V [R 2 x 2 y 2 (R R 2 x 2 y 2)d ]
D
2d 23R(2R22R)d 5 R 3
D ： 0 a ， 0 2 .
ex2y2dxdy 2d ae2d
0
0
D
(1ea2).
6
例2. 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
解: 利用极坐标
D
:
2 2
0Rcos
原式
y o D Rx
2R3
2(1si3n)d
30
7
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02
3
x2y24y 4sin
x
3y01
6
x2y22y2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sin2d 15(
3).
D
6
2sin
4
8
例 4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ，
D1
D4D1
注 意 ： 被 积 函 数 也 要 有 对 称 性 .
sin( x2 y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
区域特征如图
()
D
02, 0(). o
A
f(co,ssin)dd
D
0 2 d 0 ()f(c o ,s i)n d .
极坐标系下区域的面积 dd.
D
5
例 1 计 算ex2y2dx， d其 y中 D是 由 中 心 在
D
原 点 ， 半 径 为 a的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .
解 在 极 坐 标 系 下
f
(x,
y)dxd y 2d
1
1
f(co ,ssi)n d.
D
0 sin co s
12
例 8 改变坐标系
1
1x2
(1) dx f(x,y)dy
0
1x2
2
d01 f(co , ssin )d
2
2 4 x x 2
4 4 x x 2
(2 )Idx f(x ,y )d ydx f(x ,y )dy
2
区域特征如图
,
1()
D 2()
1()2().o
A
f(co,ssin)dd
Dd2()f(co ,ssi)n d. 1()
3
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
()
D
0().
o
A
f(co,ssin)dd
D
d 0 ()f(c o ,s i)n d .
4
二重积分化为二次积分的公式（３）
0 2 x x 2
20
4cos
0d 2 2cosf(co ,s sin )d
13
习1题 02 P155
10,12(1)(2), 14(1)(2),15(1)(4)
14
谢谢！
15
16
直角坐标系下 极坐标系下
d dxdy
d?
D
o
d
Ao
d A
ddd
f(x ,y )dx d f( y c o ,s s i) n d d .
D
D
1
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图 1()
,
2()
D
1()2().
o
A
f(co,ssin)dd
Dd2()f(co ,ssi)n d. 1()
0
0
12
11
例 7 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在 极 坐 标 系 下 xy
cos sin
所以圆方程 1,
直 线 方 程 为 sin 1co ,s
x2 y2 1 xy1