20071113高一数学(fx-1模块一基本问题分析)
人教A版数学必修一20072008高一必修1模块测试题答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品秀全中学2007学年第一学期中段考试高一数学试题参考答案 一．选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A C D C D D C ABC 二、 填空题 11．60．7＞0．76＞log 0．76 12. ____1_________13. ]2,(--∞ 14. ①，②，③ 三、解答题：15．解：由{}9A B ⋂=得29a =，所以3a =±……………………5’ 当3a =时，{}3,4,9B =-，此时{}4,9A B ⋂=,与题设矛盾 …………………7’ 当3a =-时，{}9,2,9B =--，满足{}9A B ⋂= …………………9’ 故所求的3a =-，{}9,2,4,9A B ⋃=-- ……………………………………12’16．解（1） 原式＝323log 3lg(254)21+⨯++＝23lg1032++ ＝3132322++= ……………………7’ （2）设1t x =+，则1t ≥，1x t =-，22()(1)2(1)1f t t t t ∴=-+-=-所以2()1(1)f x x x =-≥ （没写 1x ≥扣1分） ………………14’17．解：设0x <时，则－x>0, 22()()2()323f x x x x x -=----=+- 而f(x)为R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)所以当0x <时，2()23f x x x =--+223x x -- （x>0）()f x = 0 (x=0)223x x --+ (x<0) （8分） 简图如右 （14分）18．解：由20.5()log log (2)f x x x =--得：020x x >->且，所以02x << ……………2’ 设()y f x =，则20.5log log (2)y x x =--2log (2)x x =- ……………………6’ 设(2)u x x =-，则2log y u = ……………………7’ 由22(2)2(1)1u x x x x x =-=-+=--+ ……………………8’所以在(0,1],(2)u x x =-单调递减，在[1,2)，(2)u x x =-单调递增 ……………………10’ 由于2log y u =在(0,)+∞单调递增，所以函数f(x)的增区间为：[1,2)；减区间为(0,1] ……………………12’ 19．解 （1）∵3)1(=f ∴23a b+= ① ……………………………2’ 又 ∵29)2(=f ∴4(1)1922a b ++= ② …………………4’ 由①、②解得 a=1,b=1 ∴221()x f x x+= ……………………7’ （2）函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， ……………………8’设211x x >≥，,则222121212121()()x x f x f x x x ++-=- =22211221(21)(21)x x x x x x +-+⋅=211221()(21)x x x x x x --⋅……………………12’ ∵x 1≥1,x 2＞1,∴2x 1x 2－1＞0., x 1x 2＞0.,又∵x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0.∴21()()f x f x -＞0即21()()f x f x >故函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数. ……………………14’20. 解：（Ⅰ）x 的取值范围为10≤x ≤90； ……………2分 （Ⅱ）依题意得221[2010(100)]5y x x =+-…………………………6分 （10≤x ≤90）； ……………7分（III ）由222110040000[2010(100)]6()533y x x x =+-=-+. ……………………11分 则当x ＝1003千米时，y 最小. ……………13分 答：故当核电站建在距A 城1003千米时，才能使供电费用最小. ……………14分。
高一数学第一章难题知识点
高一数学第一章难题知识点数学是一门非常重要的学科，也是高中学习中必修的科目之一。
高一的数学课程中，第一章通常是难题知识点的介绍和讲解。
在本文中，我们将详细讨论高一数学第一章的难题知识点。
一、集合与运算集合是数学中最基本的概念之一，它由若干个元素组成。
在高一数学第一章中，我们学习了集合的表示形式、集合间的关系以及常见的集合运算。
1.1 集合的表示形式集合可以通过列举元素的方式表示，也可以用描述性的方式来表示。
例如，集合A由元素1、2、3组成，可以用列举的方式表示为A = {1, 2, 3}；而集合B由满足某个条件的元素组成，可以用描述性的方式表示为B = {x | x是偶数}。
1.2 集合间的关系在集合的运算中，我们经常会用到集合间的关系，例如相等、包含、交集、并集和补集等。
举个例子，如果集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，我们可以判断出A和B之间存在相等关系，即A = B。
另外，我们还可以通过判断两个集合的元素是否相互包含来确定它们的关系。
1.3 集合运算集合运算包括交集、并集和补集。
交集是指两个集合中共同存在的元素构成的集合，用符号∩表示。
例如，如果集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A和B的交集为A ∩ B = {2, 3}。
并集是指两个集合中所有元素构成的集合，用符号∪表示。
例如，A和B的并集为A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素构成的集合。
例如，如果全集为U，集合A = {1, 2, 3}，则A的补集为A' = U - A。
二、代数式与方程式代数式和方程式是高一数学中的重要内容，代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，而方程式则是含有未知数的等式。
2.1 代数式的定义与性质代数式可以表示数的一般计算规律，常见的代数式包括多项式、分式和根式等。
在高一数学第一章中，我们学习了代数式的基本定义和性质，如多项式的次数、同类项的合并等。
高一数学第一章知识点答案
高一数学第一章知识点答案一、数集和数的分类1. 数集的概念及表示方法数集是由若干个数构成的整体，可以用描述法或列举法表示。
2. 数的分类整数、有理数、无理数和实数是数的分类。
整数包括正整数、负整数和0；有理数包括整数和分数；无理数是不能表示为有理数的数；实数包括有理数和无理数。
二、集合的运算1. 并集、交集、差集和补集两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合；交集是包含两个集合中共有元素的集合；差集是从一个集合中去除另一个集合的元素所构成的新集合；补集是指一个集合在另一个集合中没有出现的元素组成的集合。
2. 集合的运算律集合运算具有交换律、结合律、分配律和对偶律。
三、函数的概念1. 函数的定义及表示方法函数是一个变量的输入与输出之间的关系。
可以用函数符号表示，也可以用表格、图像、文字等形式表示。
2. 定义域、值域和区间函数的定义域是指所有可能输入的集合；值域是函数所有可能输出的集合；区间是由一对实数构成的数的集合。
四、线性方程与一次不等式1. 一次方程的定义及解法一次方程是变量的次数为1的方程，可以通过逆运算来求解。
2. 一次不等式的定义及解法一次不等式是变量的次数为1的不等式，可以通过图像法、代入法等来求解。
五、函数的图像和性质1. 函数的图像函数的图像是函数的输入与输出之间的关系在坐标系中的表示，可以通过绘制函数曲线来得到。
2. 函数的性质函数的奇偶性、单调性、最值、拐点等是函数的性质，可以通过函数的图像来判断。
六、二次函数1. 二次函数的定义及性质二次函数是变量的平方的函数，可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。
二次函数的图像是抛物线，具有顶点、轴对称和开口方向等性质。
2. 二次函数的图像和性质分析通过绘制二次函数的图像和分析其性质，可以求解函数的极值、根、轴对称等问题。
七、指数与对数1. 指数的基本性质指数具有乘法法则、除法法则、幂次法则和负指数法则等基本性质。
高一数学必修1第一章知识点总结
高一数学必修1第一章知识点总结高一数学必修1第一章主要包括三个部分：集合论、函数与映射、数列与数列的极限。
下面将对这三个部分进行总结。
一、集合论1. 集合的概念：集合是由一些确定的事物（称为元素）构成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
3. 集合的运算：并集、交集、补集、差集、元素的判断和包含关系。
4. 集合的性质：幂集、集合的基数和集合的运算律。
二、函数与映射1. 函数的定义与表示：函数是一个对应关系，每个输入都有唯一的输出。
2. 映射的定义与表示：映射是一个集合到另一个集合的对应关系。
3. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、判定性质等。
4. 反函数与复合函数：反函数是一个函数的逆过程，复合函数是两个函数的结合。
三、数列与数列的极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。
2. 等差数列与等比数列：等差数列是指每一项与前一项之差都相等的数列，等比数列是指每一项与前一项之比都相等的数列。
3. 数列的通项公式与递推公式：通项公式是通过数列项的位置计算项的值，递推公式是通过前一项计算后一项的值。
4. 数列的极限：数列极限是数列中项的无限逼近某个数的过程，包括数列的有界性、极限存在与不存在以及数列极限的计算。
综上所述，高一数学必修1第一章主要是基础的数学知识点。
通过学习集合论、函数与映射以及数列与数列的极限，可以奠定后续数学学习的基础。
这些知识点在高中数学中会贯穿始终，为后续的学习打下坚实的基础。
因此，学生应该重视这些知识点的学习，理解其概念、运算法则，尽量多做相关习题，从而提高数学的综合素养和解题能力。
同时，也应注重数学的实际运用，将所学的数学知识应用到现实生活中，培养数学思维和解决问题的能力。
高中数学-模块1-高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题全
可编辑修改精选全文完整版模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析 由题意可得，∁R B ＝{x |x <1}，结合交集的定义可得，A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D. 11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________.答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
高一数学必修一第一章知识点梳理
高一数学必修一第一章知识点梳理
摘要：
1.函数和函数的定义
2.函数的性质
3.函数的图像
4.函数的应用
正文：
高一数学必修一的第一章主要涉及函数的相关知识。
函数是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用都非常广泛。
本章将详细介绍函数的定义、性质、图像以及应用。
首先，我们来了解函数的定义。
函数是一种将一个数集中的数映射到另一个数集中的规则。
在函数中，输入的数被称为自变量，输出的数被称为因变量。
函数的定义可以用解析式、表格或者图像来表示。
接下来，我们学习函数的性质。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。
通过研究函数的性质，我们可以更好地理解函数的图像和解析式，从而为函数的应用打下基础。
然后，我们学习函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地了解函数的性质和特点。
在函数图像中，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
函数图像可以是直线、曲线、折线等。
最后，我们学习函数的应用。
函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理、化学、生物、经济等领域都有重要的应用。
本章将通过具体的例题，介
绍如何运用函数知识解决实际问题。
总之，高一数学必修一第一章的知识点梳理主要包括函数的定义、性质、图像和应用。
高一数学必修一知识点总结及经典例题分析
高一数学必修一知识点总结及经典例题分析高一数学必修1知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义集合是由一些确定的对象所组成的整体。
2.集合的元素的三个特性：1)元素的确定性。
(2)元素的互异性。
(3)元素的无序性。
3.集合的表示：集合可以用大括号{}表示，例如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
2)集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N，正整数集N*或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
3）语言描述法：例如：{不是直角三角形的三角形}。
4）Venn图。
4、集合的分类：1)有限集含有有限个元素的集合。
2)无限集含有无限个元素的集合。
3)空集不含任何元素的集合。
二、集合间的基本关系1.包含关系—子集如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不是集合B 的子集，那么集合A不属于集合B，记作A∉B或B∉A。
2.相等关系：A=B如果集合A和集合B互相包含，那么它们相等，记作A=B。
即任何一个集合是它本身的子集，真子集是指A属于B且A不属于B。
如果A属于B同时B属于C，那么A属于C。
如果A属于B同时B属于A，那么A=B。
3.空集空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算集合的运算有交集和并集。
交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集。
记作A∩B。
并集：由属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作A∪B。
补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。
记作C(A)。
例如，S={1,2,3,4,5}，A={1,2}，则C(A)={3,4,5}。
XXX：用于表示集合之间的关系。
高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理 第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．，而另一解不是x 代入得a =1x =⑶方程有一解为：将x =a =1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.A BBA AB A BA ．B ．C ．D ． 第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}；∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）. 解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的B （读作“B （读作“解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴ ()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C AB =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}AB =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值． 解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-. (i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f(x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f .又 ∵，∴ f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244acb a -；当0a <时，函数取最大值244acba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数2y x =+.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 22y =+，函数的最小值为2.点评：形如y ax b =+±的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.t ，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. ¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x=-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）5．下列表述正确的是 （ ）MNAMNNMMNA.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y = D ．13+=x y12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB 二、13 ［0，43］，（－∞，－43） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x .三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。
高等数学基础模块教材答案
高等数学基础模块教材答案-----------------------------------------------Section 1: 一元函数微分学1. 求下列函数的导数：a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$解：根据导数的定义，我们对每一项进行求导。
由于常数项求导为0，得到：$f'(x) = 2(3x^2)' - (2x)' + (1)'$化简后得到：$f'(x) = 6x - 2$b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$解：使用链式法则，先对内函数进行求导，再乘以外函数的导数。
得到：$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}(2x)$化简后得到：$g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$2. 求下列函数的极限：a) $\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x}$解：使用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：$\lim_{x\to0} \frac{e^x}{1} = 1$b) $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$解：将$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$转化为指数函数的形式，得到：$\lim_{x\to\infty} e^{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x}$进一步化简：$\lim_{x\to\infty} e^{x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$应用极限的性质，得到：$\lim_{x\to\infty} e^{\frac{\ln\left(1 +\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}}$再次使用洛必达法则，对指数函数中的分子和分母同时求导，得到：$\lim_{x\to\infty} e^{\frac{\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}}}$化简后得到：$\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0$Section 2: 一元函数积分学1. 求下列函数的不定积分：a) $\int (2x - 3) dx$解：根据求积分的性质，将每一项求积分后相加得到：$\int 2x dx - \int 3 dx$化简后得到：$x^2 - 3x + C$b) $\int \frac{1}{x^2} dx$解：使用积分的性质，得到：$\int x^{-2} dx$化简后得到：$-\frac{1}{x} + C$2. 求下列函数的定积分：a) $\int_0^1 x^2 dx$解：根据定积分的定义，将被积函数代入求解得到：$\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1$化简后得到：$\frac{1}{3}$b) $\int_1^2 e^x dx$解：根据定积分的定义，将被积函数代入求解得到：$\left[e^x\right]_1^2$化简后得到：$e^2 - e$Section 3: 二元函数微分学1. 求下列函数的偏导数：a) $f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2$解：对$x$进行求导，$y$视为常数，得到：$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y$对$y$进行求导，$x$视为常数，得到：$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 2y$2. 求下列函数的二阶偏导数：a) $g(x, y) = x^3 + 3x^2y^2 + y^3$解：先求一阶偏导数：$\frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 + 6xy^2$ $\frac{\partial g}{\partial y} = 6x^2y + 3y^2$再对一阶偏导数求二阶偏导数：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 6x + 6y^2$ $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 6x^2 + 6y$ $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 12xy$ $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = 12xy$由于混合偏导数相等，该函数是二阶偏导数连续的。
高一数学知识点归纳大全第一章
高一数学知识点归纳大全第一章【(一)、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应当特别注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌控三种表示法——列表法、解析法、图象法，能够根实际问题谋求变量间的函数关系式，特别就是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的通常步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式算出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.特别注意①：对于分段函数的反函数，先分别算出在各段上的反函数，然后再分拆至一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.【(二)、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数源自于一个实际问题，这时自变量x存有实际意义，谋定义域必须结合实际意义考量;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母严禁为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正弦函数y=tanx(x∈r，且k∈z)，余切函数y=cotx(x∈r，x≠kπ，k∈z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)未知一个函数的定义域，谋另一个函数的定义域，主要考量定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式通常存有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设得出函数特征，求函数的解析式，可以使用未定系数法.比如说函数就是一次函数，entitledf(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为未定系数，根据题设条件，列举方程组，算出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若未知f(x)满足用户某个等式，这个等式除f(x)就是未知量外，还发生其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据未知等式，再结构其他等式共同组成方程组，利用求解方程组法求出来f(x)的表达式.【(三)、函数的值域与最值】1、函数的值域依赖于定义域和对应法则，不论使用何种方法求函数值域都应当先考量其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将Rewa的繁杂函数转化成另一种直观函数Ploudalm值域，若函数解析式中所含根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里就是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)分体式方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可以考量用分体式方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”谋值域.其题型特征就是解析式中所含根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所则表示的几何意义，借助几何方法或图象，谋出来函数的值域，即以数形融合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上就是相同的，事实上，如果在函数的值域中存有一个最轻(小)数，这个数就是函数的最轻(小)值.因此求函数的最值与值域，其实质就是相同的，只是回答的角度相同，因而答题的方式就有所雷同.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用领域函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【(四)、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，必须特别注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点等距就是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)就是定义域上的恒等式.(奇偶性就是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
高一数学必修一第一章知识点与习题讲解资料
必修 1 第一章会合与函数基础知识点整理第 1 讲§会合的含义与表示¤学习目标 ：经过实例，认识会合的含义，领会元素与会合的“属于” 关系； 能选择自然语言、 图形语言、会合语言（列举法或描绘法）描绘不一样的详细问题，感觉会合语言的意义和作用；掌握会合的表示方法、常用 数集及其记法、会合元素的三个特点 .¤知识重点 ：1. 把一些元素构成的整体叫作会合（ set ），其元素拥有三个特点，即确立性、互异性、无序性 .2. 会合的表示方法有两种：列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用花括号“ { } ”括起来，基本形式为 { a 1 ,a 2 , a 3 , ,a n } ，合用于有限集或元素间存在规律的无穷集. 描绘法， 即用会合所含元素的共同特点来表示，基本形式为 { x A | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要掌握其属性P( x) ，合用于无穷集 .3. 往常用大写拉丁字母A, B, C ,表示会合 .要记着一些常有数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与会合之间的关系是属于 （ belong to ）与不属于（ not belong to ），分别用符号 、 表示，比如 3N ，2 N .¤例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描绘法表示以下会合：（ 1）由方程 x( x 22x 3) 0 的全部实数根构成的会合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（1）用描绘法表示为：{ x R | x( x 22 x 3)0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（ 2）用描绘法表示为： { xZ | 2x7} ；用列举法表示为{3,4,5,6} .【例 2】用适合的符号填空：已知 A { x | x 3k 2,k Z} ， B{ x | x 6m 1,mZ} ，则有：17A ； － 5 A ； 17 B. 解：由 3k2 17 ，解得 k 5 Z ，所以 17 A ；由 3k 2 57Z ，所以 5A ；，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3Z ，所以 17 B .【例 3】试选择适合的方法表示以下会合： （教材 P 6 练习题 2， P 13 A 组题 4）（ 1）一次函数 y x 3 与 y 2 x 6 的图象的交点构成的会合；（ 2）二次函数 y x 2 4 的函数值构成的会合； （ 3）反比率函数 2y的自变量的值构成的会合 .x解：（1） {( x, y) |y x 3} {(1,4)} .y2 x6（ 2） { y | y x 2 4} { y | y4} .（ 3） { x| y2} { x | x 0} .x评论 ：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不可以把点的坐标混杂为 {1,4} ，也注意对照（ 2）与（ 3）中的两个会合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，剖析时必定要仔细.* 【例 4】已知会合 A{ a | x2 a 1有独一实数解 } ，试用列举法表示会合A ．x 2解：化方程x a 1为： x 2 x (a 2)0 ．应分以下三种状况：x 2 2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解为x2 1 ，合．综上可知， A{ 9, 2, 2} ．4. 注意分式方程易造成增根的现评论 ：运用分类议论思想方法，研究出根的状况，进而列举法表示象 .第 2 讲§ 会合间的基本关系¤学习目标 ：理解会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集；在详细情境中，认识全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达会合间的关系 .¤知识重点 ：1. 一般地，对于两个会合 A 、 B ，假如会合 A 中的随意一个元素都是会合 B 中的元素，则说两个会合有 包含关系，此中会合 A 是会合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包括 A ”） . 2. 假如会合 A 是会合 B 的子集（ AB ），且会合 B 是会合 A 的子集（ B A ），即会合 A 与会合 B 的元素是相同的，所以会合 A 与会合 B 相等，记作 A B .3. 假如会合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称会合 A 是会合 B 的真子集（ proper subset ），记作A B （或 B A ） .4. 不含任何元素的会合叫作空集（ empty set ），记作 ，并规定空集是任何会合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 A C ；若 A BA ，则 AB ；若 AB A ，则 B A .¤例题精讲 ：【例 1】用适合的符号填空：（ 1） { 菱形 } { 平行四边形 } ； { 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（ 2）{ x R| 22 0；}{0} ；{0} ；N{0}.x解：（1） ， ； （ 2） = ， ∈， ， .【例 2】设会合A{ x | xn Z} , B { x | x n1Z } ，则以下图形能表示 A 与 B 关系的是（）., n, n22A B B AABABA ．B ．C ． 1 3D ． 1 1 3解：简单列举两个会合的一些元素，A{ ,3 1} ， B{ ,31,,0,,1, , ,2 ,, , } ，易知 BA ，故答案选 A ．22 2222 2另解 ：由 B{ x | 2n1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．x2 , n【例 3】若会合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，务实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0 x2或3 ，所以， M2, 3 .（ i ）若 a 0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a0 时，得 N { 1} . 若 N M ,知足 12或13 ，解得 a1或 a1 .a a a 23故所务实数a 的值为 0 或 1或1 .23评论 ：在观察“ A B ”这一关系时，不要忘掉“” ，因为 A 时存在 AB . 进而需要分状况讨论 . 题中议论的主线是依照待定的元素进行.【例 4】已知会合 A={ a,a+ b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，务实数 x 的值 .解：若a b axa+ax2-2ax=0,所以 a(x-1) 2 =0，即 a=0 或 x=1. a2b ax2当 a=0 时，会合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，会合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 22ax 2-ax-a=0. a2b ax因为 a≠ 0，所以 2x2 -x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x≠ 1，所以只有x 1 .2经查验，此时 A=B 建立 . 综上所述x 1 .2评论：抓住会合相等的定义，分状况进行议论. 融入方程组思想，联合元素的互异性确立会合.第 3 讲§会合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个会合的并集与交集的含义，会求两个简单会合的并集与交集；理解在给定会合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达会合的关系及运算，领会直观图示对理解抽象观点的作用 .¤知识重点：会合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解观点，并掌握符号等，再联合解题的训练，而达到掌握的层次 .下边以表格的形式概括三种基本运算以下.并集交集补集由全部属于会合 A 或属于集由属于会合 A 且属于会合 B对于会合 A,由全集 U 中不属于观点合 B 的元素所构成的会合，的元素所构成的会合，称为会合 A的全部元素构成的集称为集合 A与 B 的并集集合 A 与 B 的交集合，称为会合 A 相对于全集U （ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“A并B”）A B （读作“A交B”） e U A （读作“A的补集”）符号 A B { x | x A,或 x B} A B { x | x A,且 x B}e U A {x|,}x U且 x A图形U表示A¤例题精讲：【例1】设会合U R,A{ x |1x5}, B{ x | 3 x 9}, 求 A B,e U ( A B) .解：在数轴上表示出会合A、 B，如右图所示：BA B{ x | 3x5} ，AC U ( A B) { x | x1,或x 9} ，-1359x 【例2】设A{ x Z | | x |6} ， B1,2,3 ,C3,4,5,6 ，求：（ 1）A (B C ) ；（2） A e A (B C ) .解：A6, 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6 .（ 1）又B C 3 ，∴ A(B C ) 3 ；（ 2）又B C1,2,3,4,5,6，得 C A (B C)6,5,4,3,2,1,0.∴ A C A ( B C)6,5,4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知会合A{ x |2x4} ， B { x | x m} ，且 A B A ，务实数m的取值范围.解：由 A B A ，可得 A B .在数轴上表示会合 A 与会合 B，如右图所示：B A由图形可知， m 4 .-24m x评论：研究不等式所表示的会合问题，经常由会合之间的关系，获得各端点之间的关系，特别要注意能否含端点的问题 .【例 4】已知全集U{ x | x 10,且 x N * } ， A{2,4,5,8}， B{1,3,5,8} ，求 C U ( A B) ， C U ( A B) ，( C U A) (C U B) ， ( C U A)(C U B) ，并比较它们的关系.解：由 A B {1,2,3,4,5,8} ，则 C U ( A B){6,7,9}.由 A B{5,8} ，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{ 1,3,6,7,9}， C U B{2,4,6,7,9} ，则 ( C U A)(C U B){6,7,9} ，( C U A) (C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果能够知道，(C U A)(C U B)C U ( A B) ，( C U A) (C U B) C U ( A B) .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形能够直接察看出来结果.评论：可用 Venn 图研究(C U A(C U B C U(A B与(C U A) (C U B) C U ( A B)，在理解的基础记着)))此结论，有助于此后快速解决一些会合问题.第 4 讲§会合的基本运算（二）¤学习目标：掌握会合、交集、并集、补集的有关性质，运转性质解决一些简单的问题；掌握会合运算中的一些数学思想方法.¤知识重点：1. 含两个会合的Venn 图有四个地区，分别对应着这两个会合运算的结果. 我们需经过Venn 图理解和掌握各地区的会合运算表示，解决一类可用列举法表示的会合运算. 经过图形，我们还能够发现一些会合性质：C U( A B) (C U A)( C U B) , C U( A B)(C U A)(C U B).2. 会合元素个数公式：n( A B)n( A)n(B)n (A B) .3. 在研究会合问题时，经常用到分类议论思想、数形联合思想等.也常由新的定义观察创新思想.¤例题精讲：【例 1】设会合A4,2a1, a2, B9,a5,1 a ，若A B 9 ，务实数 a 的值.解：因为 A4,2a1, a2, B9,a5,1a ，且 A B9 ，则有：当2a 1＝9时，解得 a＝5 ，此时 A={ －4, 9, 25} ， B={9, 0, －4} ，不合题意，故舍去；当a2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－ 2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9,－8, 4} ，合题意.所以， a＝－ 3 .【例2】设会合 A { x | ( x 3)( x a) 0, a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14 B 组题 2）解： B{1,4} .当 a3时， A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a 1 时， A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a4时， A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1 且 a 4 时， A{3, a} ，则 A B{ 1,3,4, a} ， A B.评论：会合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分状况议论. 排列参数 a 的各样状况时，需依照会合的性质和影响运算结果的可能而进行剖析，不多许多是分类的原则.【例 3】设会合 A ={x | x2 4 x0}， B ={ x | x22( a1)x a 2 10 ， a R }，若A B=B，务实数 a 的值．解：先化简会合A= {4,0} .由A B=B ，则 B A，可知会合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i)若 B= ，则4( a 1)24(a 21) 0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0B，代入得a21=0 a =1或 a = 1 ，当 a =1时，B=A，切合题意；当 a =1时，B={0}A，也切合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a28a 7 0 a =7或 a =1，当a =1时，已经议论，切合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不切合题意．综上可得， a =1或 a ≤ 1 ．评论：本题观察分类议论的思想，以及会合间的关系的应用. 经过深刻理解会合表示法的变换，及会合之间的关系，能够把有关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别简单出现的错误是遗漏了A=B 和 B= 的情况，进而造成错误．这需要在解题过程中要全方向、多角度审视问题 .【例 4 】对集合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A, 且 x*，集合B} ，当集合 A { x | x 8, x N }B { x | x( x2)( x5)( x6)0} 时，有A B=. （由教材P12补集定义“会合 A 相对于全集U 的补集为CU A {|x,且 x} ”而拓展）x A解：依据题意可知，A{1,2,3,4,5,6,7,8} ， B{0,2,5,6}由定义 A B{ x | x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .评论：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思想的训练，重点是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中清除 B 的元素 . 假如再给定全集U ，则A B 也相当于 A (C U B).第 5 讲§函数的观点¤学习目标：经过丰富实例，进一步领会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学惯用会合与对应的语言来刻画函数，领会对应关系在刻画函数观点中的作用；认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识重点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，假如按某个确立的对应关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数x ，在会合B 中都有独一确立的数y 和它对应，那么就称 f ：A→B为从会合A到会合B的一个函数（function），记作y= f (x) ，x A ．此中，x叫自变量，x的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的会合 { f ( x) | x A} 叫值域（range）.2.设 a、 b 是两个实数，且 a<b，则： { x|a≤ x≤ b} ＝ [a,b]叫闭区间；{ x|a<x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a≤ x<b} ＝[ a, b)， { x|a< x≤ b} ＝(a, b]，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无量大” ；“－∞”读“负无量大”；“ +∞ ”读“正无量大”. 则{ x | x a} (a,) ， { x | x a}[ a,) ， { x | x b}(, b) ， { x | x b} (,b] ， R( ,) .3.决定函数的三个因素是定义域、值域和对应法例. 当且仅当函数定义域、对应法例分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求以下函数的定义域：（ 1）y1；（x3. x22）y1 3 x 1 2解：（1）由x210 ，解得 x 1 且 x 3 ，所以原函数定义域为(, 3)( 3,1) (1,) .x 30（ 2）由，解得x 3 且 x 9 ，3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求以下函数的定义域与值域：（ 1）y 解：（1）要使函数存心义，则5 4 x0 ，解得3x 2；（ 2）yx2x 2 .54xx55. 所以原函数的定义域是{ x | x} .443x 21 12x 81 3(4 x 5)23 3 233 3 ，所以值域为3 y5 4x4 5 4 x4{ y | y} .5 4 x 4 5 4 x 444（ 2） yx 2x 2(x1 )2 9 . 所以原函数的定义域是 R ，值域是 (, 9 ] .1 x 244【例 3】已知函数 x . 求：（ 1） f (2) 的值； （ 2） f ( x) 的表达式f ()解：（1）由1x 1 x1 ，所以 f (2)1 .2 ，解得 x1 x33（ 2）设1x t ，解得 x1 t，所以 f (t ) 1 t，即f (x)1 x . 1x1 t 1t1 x评论 ：本题解法中突出了换元法的思想.这种问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要联合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数x 2.f (x) 1 x2 ,xR（ 1）求 f (x)1f (1)f (2)f (3)f (4)1 f ( 1 1) . f ( ) 的值；（ 2）计算： f ( ) )f (x1234222解：（1）由 f (x) f ( 1)x 2xx11 x1 .x 1 x 211 x21 x 21 x 21x 2111 1 7（ 2）原式f (1) ( f (2)( f (3))) ( f (4)f ( ))f (f ( )) 32234 2评论 ：对规律的发现，能使我们实行巧算 . 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的重点 .第 6 讲 § 函数的表示法¤学习目标 ：在本质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数；经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用；认识映照的观点 .¤知识重点 ：1. 函数有三种表示方法：分析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，长处：简洁，给自变量可求函数值） ；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，长处：直观形象，反响变化趋向） ；列表法（列出表 格表示两个变量之间的对应关系，长处：不需计算便可看出函数值） . 2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不一样范围的 x ，对应法例不一样） .3. 一般地，设 A 、 B 是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例f ，使对于会合 A 中的随意一个元 素 x ，在会合 B 中都有独一确立的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照 （ mapping ）．记作“ f : AB ” .鉴别一个对应能否映照的重点： A 中随意， B 中独一；对应法例f.¤例题精讲 ：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，而后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是 _____ ，这个函数的 定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a － 2x)2 .又由 a －2 xa0 ，解得 x.2a} .所以，体积V 以 x 为自变量的函数式是V x( a －2 x) 2 ，定义域为 { x | 0 x23x32x2x( , 1 )【例 2】已知 f(x)=x( 1 , ，求 f[f(0)] 的值 .3x 3)x解：∵ 0 (,1) ， ∴ f(0)=32 .又 ∵32 >1，∴ f( 32 )=(3 2 )3+(3 2 )-3=2+1=5，即f[f(0)]=5 . 222【例 3】画出以下函数的图象：（ 1）y | x 2 |；（教材P26练习题3）（ 2）y | x 1| | 2 x 4 |.解：（ 1）由绝对值的观点，有y| xx2,x2 2 |x,x.22所以，函数y | x 2 | 的图象如右图所示.3x 3, x1（ 2）y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2x 1，3 x 3, x2所以，函数 y | x 1|| 2x 4 | 的图象如右图所示.评论：含有绝对值的函数式，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，而后依据定义域的分段状况，选择相应的分析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超出x 的最大整数，比如[ 3.5] 4 ，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的分析式，并作出函数的图象.3,x22,2x11,1x0解： f ( x) 0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3评论：解题重点是理解符号m 的观点，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§函数的单一性¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 .理解增区间、减区间等观点，掌握增（减）函数的证明和鉴别.¤知识重点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为 I，假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的随意两个自变量x1，x2，当 x1< x2时，都有 f(x1)< f(x2 )，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 模仿增函数的定义可定义减函数 .2.假如函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D 叫 f(x)的单一区间 . 在单一区间上，增函数的图象是从左向右是上涨的（如右图1），减函数的图象从左向右是降落的（如右图 2） . 由此，能够直观察看函数图象上涨与降落的变化趋向，获得函数的单一区间及单一性.3. 判断单一性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且 x 1 <x 2；→计算 f(x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：2x 【例 1】试用函数单一性的定义判断函数 f (x)x 1解：任取 x1 , x2∈(0,1)，且 x1x2.则 f ( x1) f ( x2 )因为 0 x1x2 1 ， x1 1 0 ， x2 1 0 ， x2 x1所以，函数 f (x)2x在（0， 1）上是减函数 .x 1在区间（ 0， 1）上的单一性.2 x12x22( x2x1 )x1.1 x2 1 ( x1 1)(x2 1)0 ，故 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f (x2 ) .【例 2】求二次函数 f (x) ax2bx c (a 0) 的单一区间及单一性.解：设随意 x 1 , x 2R ，且 x 1 x 2 . 则f ( x ) f ( x )( ax 2 bx c) (ax 2 bx 2 c) a( x 2 x 2 ) b( x1211 2 12 1若 a0 ，当 x 1 x 2b时，有 x 1 x 2 0 ， x 1 x 2 b，即 a( x 12aa即 f ( x 1 ) f (x 2 ) ，所以 f (x) 在 (, b ] 上单一递加 . 同理可得f (x) 在 [【例 3】求以下函数的单一区间： 2a（ 1） y | x 1|| 2 x 4 |；（ 2） y x 2 2 | x | 3.3x3, x 1解：（ 1） y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，其图象如右 .x 2 ) ( x 1 x 2 )[ a(x 1 x 2 ) b] .x 2 ) b 0 ，进而 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0 ，b ) 上单一递减 .,2a3x3, x2由图可知，函数在 [ 2,) 上是增函数，在 ( , 2] 上是减函数 .2 2 x 3, x 0（ 2） y22| x |3xx22 x 3, x ，其图象如右 .x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .评论 ：函数式中含有绝对值，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也能够由偶函数的对称性，先作y 轴右边的图象，并把y 轴右边的图象对折到左边，获得f (| x |) 的图象 . 由图象研究单一性，重点在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x1，指出 f ( x) 的单一区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ， x 2 x 2 ∴ 把g (x) 5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，x获得 f ( x) 的图象，以下图 .由图象得 f (x) 在 (, 2) 单一递加，在 ( 2, ) 上单一递加 .评论 ：变形后联合平移知识，由平移变换获得一类分式函数的图象. 需知 f ( x a ) b 平移变换规律 .第 8 讲 § 函数最大（小）值¤学习目标 ：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单一性求函数的最大（小）值 .¤知识重点 ： 1.定义最大值：设函数y f ( x) 的定义域为I ，假如存在实数 M 知足： 对于随意的 ∈ ，都有 f (x) ≤ M ；x I存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最大值（ Maximum Value ）. 模仿最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value ）的定义 .2. 配方法： 研究二次函数y ax 2 bx c (a0) 的最大 （小） 值，先配方成 y a( xb ) 2 4ac b 2 后，b 24ac b 22a 4a当 a0 时，函数取最小值为4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单一法：一些函数的单一性，比较简单察看出来，或许能够先证明出函数的单一性，再利用函数的单一性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，而后察看图象获得函数的最大值或最小值. ¤例题精讲 ：【例 1】求函数 y 26的最大值 .x x 1解：配方为 y6 ，由 (x1 )23 3 ，得 0 68 .11( x2 324 4 ( x 23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人假如将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时， 每日可售出100 件 . 此刻他采纳提升售出价，减少进货量的方法增添收益，已知这种商品每件抬价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每日所赚得的收益最大？并求出最大收益 .解：设他将售出价定为 x 元，则提升了 (x 10) 元，减少了 10 ( x 10) 件，所赚得的收益为y (x 8) [100 10 (x10)] .即 y2280x 160010( x2360 . 当 x 14 时， y max360 .10x14) 所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每日所赚得的收益最大 , 最大收益为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx1 的最小值 .解：此函数的定义域为 1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1 时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为2.评论 ：形如 y axbcx d 的函数最大值或最小值，能够用单一性法研究，也能够用换元法研究 .【另解】令x 1t ，则 t0 ， x t 21 ，所以 y 2t2t2 2(t 1 ) 2 15 ，4 8 在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为2.【例 4】求以下函数的最大值和最小值：（1） y 3 2x x 2, x [5 , 3] ； （2） y | x 1| | x 2 | .2 2解：（ 1）二次函数 y3 2x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a3画出函数的图象，由图可知，当x 1 时， y max 4 ； 当 x9 .时， y min24所以函数 y3 2xx 2 , x[ 5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为 9 .2 2 43 ( x 2) （2） y | x 1| | x 2 |2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.评论 ：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常依据闭区间与对称轴的关系，联合图象进行剖析. 含绝对值的函数，常分零点议论去绝对值，转变为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲 § 函数的奇偶性¤学习目标 ：联合详细函数， 认识奇偶性的含义； 学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟鉴别函数的奇偶性 .¤知识重点 ：1. 定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的随意一个x ，都有 f ( x)f ( x) ，那么函数 f ( x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有 f (x)f (x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 拥有奇偶性的函数其定义域对于原点对称，奇函数的图象对于原点中心对称，偶函数图象对于y 轴轴对称 .3. 鉴别方法：先观察定义域能否对于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等鉴别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲 ：【例 1】鉴别以下函数的奇偶性：（ 1） f (x) x31 ； （ 2） f (x) | x 1| 23| x 1| ；（ 3） f ( x) xx .x解：（1）原函数定义域为 { x | x0} ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x)( 3131f ( x) ， 所认为奇函数 .x)x(x )x（ 2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 || x 1 | x| 1 |x| 1f |，x 所认为偶函数 .（ 3）因为 f ( x) x 2 x 3 f ( x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，且 f (x)g (x)1 ，求 f ( x) 、 g (x) . 1f ( x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，x解：∵∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g (x)1f (x)g (x)1x 1x1则，即.11f ( x)g ( x)f ( x)g (x)1x 1x两式相减，解得 f (x)x ；两式相加，解得g (x)1x21x2.21【例 3】已知 f ( x) 是偶函数， x 0 时， f ( x)4 x ，求 x 0 时 f (x) 的分析式 .2x 解：作出函数 y2 x 24 x2( x1)2 2, x0 的图象，其极点为(1,2) .∵ f (x) 是偶函数， ∴ 其图象对于 y 轴对称 .作出 x 0 时的图象，其极点为 ( 1,2) ，且与右边形状一致，∴ x0 时， f (x)2( x 1)2 22 x 24 x .评论 ：本题中的函数本质就是y2x 24 | x | . 注意两抛物线形状一致， 则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也能够直接由函数奇偶性的定义来求，过程以下.【另解】当 x0 时，x 0 ，又因为 f ( x) 是偶函数，则f ( x)f ( x) ，所以，当 x 0 时， f ( x) f ( x)2( 24( x) 2x) 2 x 4x . 【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 ( ,0) 上是减函数，实数a 知足不等式2 a 3) f (3a2，务实数 a 的取值范围 .f (3a2a)解：∵ f ( x) 在区间 ( ,0) 上是减函数， ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左边递减 .又 ∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象对于原点中心对称，则在 y 轴右边相同递减 .又 f ( 0)f (0) ，解得 f (0) 0 ， 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减 .∵ f (3a 2 a 3) f (3a 22a ) ，∴ 3a 2 a 3 3a 2 2a ，解得 a 1 .评论 ：定义在 R 上的奇函数的图象必定经过原点.由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.会合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求 )1．函数 y ＝＝ x 2－6x ＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（ ）A ．递减函数B ．递加函数C ．先递减再递加D ．选递加再递减．x y 22．方程组 {xy 0的解构成的会合是（）A ． {( 1,1)}B ． {1,1}C ．（ 1， 1）D ． {1}3．已知会合A={ a， b， c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d} 4．以下图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．以下表述正确的选项是（）A.{ 0}B.{ 0}C.{ 0}D.{ 0}6、设会合 A＝{x|x参加自由泳的运动员} ， B＝ {x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为()A.A ∩B B C.A ∪ B B7.会合 A={x x 2k, k Z },B={x x2k 1, k Z },C={ x x4k 1,k Z }又a A,b B, 则有（）A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（）＝－2＋ 2（a－1）x＋ 2 在（－∞， 4）上是增函数，则a的范围是（）x x a a aaA．≥ 5B．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.知足条件 {1,2,3}M{1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C.6 D.510.全集 U = {1，2 ，3 ，4，5 ，6 ，7，8 }， A= {3，4 ，5 }， B= {1，3，6 }，那么会合 { 2 ，7 ，8} 是（）A. A BB. A BC. C U A C U BD. C U A C U B11.以下函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 假如会合 A={ x|ax 2＋ 2 x＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（）A ． 0B ． 0 或 1C．1D．不可以确立二、填空题 (共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上)13．函数f（x）＝ 2× 2－3｜x｜的单一减区间是 ___________．14．函数y＝1的单一区间为 ___________．x＋1{ a,b,1} ，又可表示成{ a2, a b,0}，则 a 200315.含有三个实数的会合既可表示成b2004.a， C U N{ x | 0x2} 那么集合16. 已知集合U{ x |3x3} ， M{ x |1x 1}N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知会合 A { x x240} ，会合 B{ x ax20} ，若 B A ，务实数 a 的取值会合．18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝ 1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞ 1．19. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时， f （ x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f ( x)x22(m 1) x2m m2的图象对于 y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f ( x) 的单一递加区间.必修 1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13 ［ 0，3］，（－∞，－ 3 ）4414 （－∞，－ 1），（－ 1 ，＋∞） 15-116 N { x | 3x 0 或 2 x3} ；M (C U N ) { x | 0 x 1} ；M N { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解： 由条件可得 f （ x ）＋ f （ x －2）＝ f ［ x （ x － 2）］， 1＝ f （ 3）．f x x ff （ xR 上的增函数，所以有x xx所以 ［ （ － 2）］＞ （ 3），又 ）是定义在（ － 2）＞ 3，可解得＞ 3或 x ＜－ 1．答案： x ＞ 3 或 x ＜－ 1．19. ．分析： 本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （ x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ -1 ．当 x ＜ 0 时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－ 1＝－ x 3＋ 2x 2－1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．20. 二次函数 f (x)x 22(m 1) x 2m m 2 的图象对于 y 轴对称，∴ m1，则xx 21f (x),0，函数的单一递加区间为.( )．。
高一数学(fx-1模块一基本问题分析)
问题三:求函数的定义域 问题三 求函数的定义域
求下列函数的定义域: 5 求下列函数的定义域:
8−2 ( ) f (x) = 1 ; lo 2(3x+1 g )
x
1 (− ,0 U(0 ] ) ,3 3
1 (2 f (x) = lo 1 ( − ) −1. ) g 1 x 2
(1,2]
问题四:函数的值域问题 问题四 函数的值域问题
已知全集U={x∈N|x≤8},集合A U={x∈N|x≤8},集合 例2 已知全集U={x∈N|x≤8},集合A、 ={2，4}， ={1， B满足 ={1 ð A={2，4}， AIð B，3，5， U U UB 7}，求集合B. 7}，求集合B.
U 5 7 3 1 A 2 4 0 6 B 8
求下列函数的值域: 例6 求下列函数的值域:
( ) f (x) = x− 1−2x ; 1
x −x (2) f (x) = 2 . x −x+1
2
1 (− , ] ∞ 2
1 [− ,1 ) 3
模块一基本问题分析
第一课时
问题一:集合的基本概念和运算 问题一 集合的基本概念和运算
1 5730 p= 2
t
例1 设U为全集,集合A={0,2,3,4}, 为全集,集合A={0,2,3,4}, B={-1,0,2},若 ð A={-3,-1,1}. B={-1,0,2},若 U ={-3,(1)写出 AIB (1)写出 的所有子集;(2)求 AUð B . 的所有子集;(2)求 ;(2) U (1) {0},{2}.{0,2},Ф; {0},{2}.{0,2},Ф {(2) {-3,0,1,2,3,4}.
问题二:集合语言的运用和转化 问题二 集合语言的运用和转化
高等数学1教材答案解析完整版
高等数学1教材答案解析完整版一、函数与极限在高等数学1教材中，函数与极限是一个重要的章节。
本章主要介绍了函数的定义、性质和分类，以及极限的概念、性质和计算方法。
1. 函数的定义和性质函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的对应关系。
在高等数学1教材中，函数的定义为：设有两个非空数集A和B，如果对于每一个A中的元素x，都有且只有一个B中的元素y与之对应，那么就称这种对应为函数。
函数通常用f(x)表示。
函数还有一些重要的性质，包括定义域、值域和图像。
定义域是指函数的自变量可能取值的集合，值域是指函数的因变量可能取值的集合，图像是指函数在平面上的点的集合。
通过这些性质，我们可以更好地理解函数的特点。
2. 极限的概念和性质在高等数学1教材中，极限是函数与变量之间的重要关系。
极限的概念可以从两个方向进行讨论：自变量趋于某一点时的极限和自变量趋于无穷大时的极限。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限。
极限还具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保号性。
唯一性指的是函数的极限值是唯一确定的；局部有界性指的是在某一点的某一邻域内，函数的值有上界和下界；保号性指的是当函数的极限存在且不为零时，函数在某一点附近总是保持正号或负号。
二、导数与微分导数与微分是高等数学1教材中的另一个重要章节。
本章主要介绍了导数与微分的概念、性质和计算方法。
1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的局部性质。
在高等数学1教材中，导数的定义为：设函数f(x)在点x处有定义，在x处若极限\[f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。
常用的导数符号为f'(x)或$\frac{df}{dx}$。
高一数学fx知识点
高一数学fx知识点数学是一门抽象而又重要的学科，在高中数学学习中，函数是一个非常关键的概念。
函数（Function）是自变量和因变量之间的一种关系，它在数学和其它各种科学中起着重要的作用。
在高一数学教学中，学生们需要掌握与函数相关的fx知识点，本文将详细介绍高一数学fx知识点的相关内容。
1. 函数及其表示方法函数是一种特殊的关系，它将一个集合的数值与另一个集合的数值进行对应。
常用的函数表示方法有以下几种：（1）函数的关系表：用表格的形式将自变量和因变量对应起来，便于观察它们之间的关系。
（2）函数的解析式：用数学式子表示函数关系，通常使用字母表示自变量和因变量，如f(x) = 2x + 1。
（3）函数的图像：将函数关系表示在平面直角坐标系中，自变量作为横坐标，因变量作为纵坐标，通过描绘曲线来显示函数的特性。
2. 函数的概念与性质函数有一些基本的概念和性质，理解它们对于后续的函数运算和应用非常重要。
（1）定义域和值域：函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。
（2）奇偶性：如果对于函数f(x)，对于所有x都有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于所有x都有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x1) <f(x2)，则称函数是增函数；如果对于函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则称函数是减函数。
3. 常见的函数类型在高一数学学习中，学生们会遇到一些常见的函数类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
（1）线性函数：线性函数是函数关系中最简单的一种，表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数，它的图像是一条直线。
（2）二次函数：二次函数是一个抛物线，可以表示为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a决定了抛物线的开口方向和大小。
高一数学模块1试卷及答案
高一年级数学学科模块1试卷一．选择题：本大题共12个小题：每小题5分：共60分。
在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
1. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1： 2)B. (2 ： 3)C. (3： 4)D. (4： 5)2. 已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>：则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x <<3. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，：则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 4.函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ）. A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)：其反函数的图像过点(2,8)：则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66. 下列大小关系正确的是（ ）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<<7. 设1a >：函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12：则a =（ ）.B. 2C. D. 48. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系:t y a =：有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2; ② 第5个月时：浮萍的面积就会超过230m ;③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月;④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（ ）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①②9. 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+：且(2)f p =：(3)f q =：那么(12)f 等于（ ）.A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q + t/月10. 已知函数()f x 是奇函数：当0x >时：()(1)f x x x =-：当0x <时：()f x 等于（ ）.A. (1)x x -+B. (1)x x +C. (1)x x -D. (1)x x --11. 设,a b 满足01a b <<<：下列不等式中正确的是（ ）.A. a b a a <B. a b b b <C. a a a b <D. b b b a <12. 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况：从某码头乘汽艇出发：沿直线方向匀速开往该岛：靠近岛时：绕小岛环行两周后：把汽艇停靠岸边上岸考察：然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t 为出发后的某一时刻：S 为汽艇与码头在时刻t 的距离：下列图象中能大致表示()S f t =的函数关系的为（ ）.C. B. A. S S t t o o oS t 二．填空题：本大题共6小题：每小题5分：共30分。
人教A版数学必修一20072008高一必修1模块测试题答案.docx
秀全中学2007学年第一学期中段考试高一数学试题参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDCDDCABC二、 填空题11．60．7＞0．76＞log 0．76 12. ____1_________ 13. ]2,(--∞ 14. ①，②，③ 三、解答题：15．解：由{}9A B ⋂=得29a =，所以3a =±……………………5’当3a =时，{}3,4,9B =-，此时{}4,9A B ⋂=,与题设矛盾 …………………7’ 当3a =-时，{}9,2,9B =--，满足{}9A B ⋂= …………………9’ 故所求的3a =-，{}9,2,4,9A B ⋃=-- ……………………………………12’ 16．解（1） 原式＝323log 3lg(254)21+⨯++＝23lg1032++ ＝3132322++= ……………………7’（2）设1t x =+，则1t ≥，1x t =-，22()(1)2(1)1f t t t t ∴=-+-=-所以2()1(1)f x x x =-≥ （没写 1x ≥扣1分） ………………14’17．解：设0x <时，则－x>0, 22()()2()323f x x x x x -=----=+- 而f(x)为R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x) 所以当0x <时，2()23f x x x =--+223x x -- （x>0）()f x = 0 (x=0)223x x --+ (x<0) （8分）简图如右 （14分）18．解：由20.5()log log (2)f x x x =--得：020x x >->且，所以02x << ……………2’ 设()y f x =，则20.5log log (2)y x x =--2log (2)x x =- ……………………6’ 设(2)u x x =-，则2log y u = ……………………7’ 由22(2)2(1)1u x x x x x =-=-+=--+ ……………………8’所以在(0,1],(2)u x x =-单调递减，在[1,2)，(2)u x x =-单调递增 ……………………10’ 由于2log y u =在(0,)+∞单调递增，所以函数f(x)的增区间为：[1,2)；减区间为(0,1] ……………………12’19．解 （1）∵3)1(=f ∴23a b+= ① ……………………………2’ 又 ∵29)2(=f ∴4(1)1922a b ++= ② …………………4’由①、②解得 a=1,b=1 ∴221()x f x x+= ……………………7’（2）函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， ……………………8’设211x x >≥，,则222121212121()()x x f x f x x x ++-=-=22211221(21)(21)x x x x x x +-+⋅=211221()(21)x x x x x x --⋅……………………12’∵x 1≥1,x 2＞1,∴2x 1x 2－1＞0., x 1x 2＞0.,又∵x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0.∴21()()f x f x -＞0即21()()f x f x >故函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数. ……………………14’ 20. 解：（Ⅰ）x 的取值范围为10≤x ≤90； ……………2分 （Ⅱ）依题意得221[2010(100)]5y x x =+-…………………………6分（10≤x ≤90）； ……………7分 （III ）由222110040000[2010(100)]6()533y x x x =+-=-+. ……………………11分 则当x ＝1003千米时，y 最小. ……………13分答：故当核电站建在距A 城1003千米时，才能使供电费用最小. ……………14分。