重点高中生数学建模

重点高中生数学建模

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关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速

的关系的研究

1.问题的提出

水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产。相传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史。

现代，水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生活中，人们在惊异古老智慧的同时，是否想过它身上所蕴含的数学问题？

图1

比如：水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系？

由图1 可知，水车的高度具有一定的周期性，故，此模型应为研究周期现象的模型。在研究过程中，不考虑其他影响水车转速或水流速的因素。

为了更好地学习数学知识，并将它充分运用到实际生活中，我对此问题想做进一步的研究。

2.问题的分析

问题的条件有两点：

1.题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与水流速的关系，属于周期现象。

2.研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。

3.模型的假设与符号说明

假设水流速为恒定值。

符号说明

h 水车上一点距离水面的高度

v 水流速

w 水车的角速度

r 水车的半径

t 时间

b 水车圆心与水面的距离

α水车上一点转过的角度

4.模型建立

图2

如图2，水车半径为r，其中心O距离水面距离为b，规定水流速为v，向左为正方向，任意一点P点距离水面的高度为h。

求h与v的函数解析式。

5.模型求解

水流速即可看为水车的线速度，则由已知可得水车的角速度

w=v/r.

为了方便，不妨从当OP与水面平行时开始计时，即从ON处开始计时，在t时刻水车转动的角度α=wt=vt/r ③

如图2所示，过点P向水面作垂线，交ON于点Q，交水面于点A，PA即为点P距离水面的高度。

h=PA=PQ+QA=PQ+OM ①

PQ=OP·sinα②

把②式，③式代入①式得：

h=r·sin（t·v/r）+b

这就是水车上任意一点距离水面高度h与水流速v的函数解析式。

6.结果分析

研究函数h= r·sin（t·v/r）+b 的性质

（1）：确定周期

T=2π/w=2π/（t/r）=2πr/t

（2）：确定频率

f=1/T=t/2πr

（3）：讨论性质

当vt/r∈【2kπ-π/2,2kπ+π/2】（k∈Z），

即v∈【2kπr/t-πr/2t，2kπr/t+πr/2t】（k∈Z）时，函数递增。

当vt/r∈【2kπ+π/2，2kπ+3π/2】（k∈Z），

即v∈【2kπr/t+πr/2t，2kπr/t+3πr/2t】（k∈Z）时，函数递减。

7.研究拓展

如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化。水面上涨时参数b减小，水面回落时参数b增大。如果水流速度加快，将使周期T减小，转速减慢时则使周期T增大。

8.方案评价

(1).本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题，建立模型思路清晰合理。

(2).简化了水车模型，计算起来更加简便。

(3).将研究结果进行拓展，增强了实用价值

（4）.但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响，根据实际情况进行灵活改变。

（5）.面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能，通过这个问题的研究，我更加熟练的掌握了把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”。