2021年高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课后习题 新人教A版选修2-2
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在几何中的应用》课后训练1
1．7.1 定积分在几何中的应用练习1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.()d baf x x ⎰B ．()d baf x x -⎰C.[()]d ba f x a x -⎰D ．[()]d baf x b x -⎰2．y ＝x 2＋1与两坐标轴及x ＝1所围成的图形的面积为( ) A ．13B ．43C ．53D ．23．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]4．由曲线y ＝x 和y ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为( )A.1300d x x x +⎰⎰B.130d x x x -⎰⎰C.130d x x x -⎰⎰D ．以上都不正确5．(2010山东高考)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7126．若d 1ax x =⎰，则实数a 的值是________．7．曲线y ＝x 2与x ＝y 2所围成的平面图形的面积为________．8．图中阴影部分的面积S ＝________.9．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求：切点A 的坐标以及切线方程．10．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．参考答案1. 答案：B 由定积分的几何意义，易知S ＝()d baf x x -⎰.2. 答案：B S ＝123100114(+1)d 1333x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰. 3. 答案：B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]．故选B.4. 答案：C解方程组3,y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x y =⎧⎨=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩而当0≤x ≤1x 3， ∴曲线yy ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为13)d x x =⎰0x ⎰130d x x -⎰，故选C.5. 答案：A 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组23,,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝1233410011111()d 343412x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 6.2211d 22aax x x a ==⎰， ∴2112a =，即a 2＝2.又a ＞0，∴a7. 答案：13画出曲线y ＝x 2和y 2＝x ，则图中阴影部分的面积即为所求．解方程组22,y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点为O (0,0)，A (1,1)．∴S＝31231200021211d 33333x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰. 8. 答案：163 由图知S ＝322200816[(5)1]d 480333x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 9. 分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 02)，则切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02，可得切线与x 轴的交点坐标为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭.画出草图，得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 02与x 轴所围图形如图中阴影所示，故S ＝S 1＋S 2＝00000222200022d d (2)d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰＝00000333220200022111()331212x x x x x x x x x x x x +--==，解得x 0＝1，所以切点A 坐标为(1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.10．分析：所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝2312100111()d 23236x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.由2,,y kx y x x =⎧⎨=-⎩可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以120()d 2k Sx x kx x -=--⎰ ＝3213011(1)236kk x x k -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝112=-.所以k 的值为12-.。
高中数学 1.7.1定积分在几何中应用 新人教A版选修2-2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用练习(含解析
定积分在几何中的应用（时间：25分，满分50分)班级 姓名 得分1。
用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A ．ʃ错误!f （x )d xB ．|ʃ错误!f （x )d x ｜C ．ʃ错误!f (x )d x ＋ʃ错误!f (x )d xD ．ʃc，b f （x ）d x －ʃ错误!f （x ）d x【答案】 D2．曲线y ＝cos x （0≤x ≤错误!π）与坐标轴所围图形的面积是（ ）A ．2B ．3C 。
错误!D ．4【答案】 B【解析】 S ＝cos x d x －cos x d x ＝sinx|－sin x ｜＝sin 错误!－sin 0－sin 错误!＋sin 错误!＝1－0＋1＋1＝3。
3.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( )A.错误!B 。
错误!C ．1D 。
错误!【答案】 D【解析】 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0），(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为 S ＝2ʃ错误!（1－x 2)d x ＝2（x －错误!x 3）|错误!＝2×错误!＝错误!。
4．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3（c 〉0)围成图形的面积是错误!,则c 等于（ ） 20⎰322⎰20322A 。
错误! B.错误! C ．1 D.错误!【答案】 B【解析】 由错误!得x ＝0或x ＝错误!.∵0〈x <错误!时,x 2>cx 3,∴S ＝（x 2－cx 3）d x ＝（13x 3－错误!cx 4)|＝错误!－错误!＝错误!＝错误!。
∴c 3＝错误!.∴c ＝错误!. 5．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________．【答案】 A6．若两曲线y=x 2与y=cx 3(c>0)围成图形的面积是,则c 等于( ）A.B 。
C 。
1 D. 【答案】 B【解析】 由得交点（0，0)，， 则S=(x 2-cx 3）dx==·-·=,c=。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案
11 ∴12x30＝12，x0＝1.
∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
a
8
∫ ∫ S＝ [f(x)－g(x)]dx S＝ (2 2x－2x＋8)dx
b
0
①
②
4
7
∫ ∫ S＝ f(x)dx－ f(x)dx
0
3
1
3
1
3
1
2
∫( ) ∫( ) ＝ x＋ x dx＋ 2－ x dx
3
3
0
1
23 1
1
( ) ( ) ＝ x ＋ x2 Error!＋ 2x－ x 13
＝ ＋6－ ×9－2＋ ＝ .
63
36
法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
形面积为 S，根据图形可得
2
2
∫ ∫ S＝ －3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝ －3(－x2－x＋6)dx
11
22 27 125
( ) ( ) ＝ － x3－ x2＋6x Error!＝ － － ＝ .
32
3
26
规律方法 不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
c
b
∫ ∫ ∴阴影部分的面积 S＝ f(x)dx－ f(x)dx.
b
a
2．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x＝a，x＝
b 所围成的平面区域的面积为( )
b
∫ A. [f(x)－g(x)]dx a
高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用 新人教A版选修2-2
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割 图形是关键，方法一中的分割是解本题较好的一 种方法．若不能抓住图形的特征，进行合理分割， 则会出现错解．
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1．7.1 定积分在几何中的应用
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研题型 学方 法
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题型一 不分割图形求面积
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规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求 出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3) 用定积分表示图形的面积；(4)求定积分进而得到图 形的面积．
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题型二 分割图形求面积
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规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步 骤是：①画图，确定图形范围；②求交点的横坐标， 确定积分上下限；③写出积分表达式；④用微积分 基本定理计算定积分．
ppt课件
对图形分割不合理致误
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
代抛物线上一点
4, -4入方程，
y
0
4
4
x
(4, -4)
可求得抛物线方程为y - 1 x2 8 4
设抛物线拱的面积为S ,
S
4 -4
-
1 4
x2
-
-4dx
(-
1 12
x3
4x
)
4 -4
64 m2 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
S1
S2
0
4
8
y x-4
S S1 - S2
8 2xdx - 8 x - 4dx
0
4
40 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
返回
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
方法3
y 2x
(8, 4)
S
0
4
8
y x-4
取 y为积分变量，把函数 y x - 4变形
返回
五、总结 1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
定积分 回归
两种思想
两个方法
12、 、S定微转数积积化形ab分分与结 f1的基化合(x)几本归的-何定的思f2 (意理思想x)义。想方dx求方法法。；
一个公式
简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
例3.计算由曲线 y 2x 和
y 2x
(8, 4)
直线 y x - 4以及x轴所围
成图形的面积 S。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用
所以，
S 2＝
?1－
0
k(
x－ x2－kx)d
x
＝
1
－
k
x2
－
1 x
3
2
3
| 1－k 0
＝
1 6(1
－k)
3.
又知
1 S＝6，所以
(1
－
k)
3
＝
1 2，
31
3 4
于是 k＝1－
2＝ 1－ 2 .
1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有 ( )
S＝?abf ( x) － g( x)]d x ①
x
－
x2)d
x＝
(
x 2－
1 x
3)|
3
2 0
8
4
＝
(4
－
) 3
－
0＝
. 3
4．由曲线 y＝ x2＋ 4 与直线 y＝ 5x， x＝0， x＝ 4 所围成平面图形的面积是
________ ．
19
答案
3
解析 由图形可得
S＝
?10(
x2＋
4－
5x)d
x＋
?41(5
x－
x2－
4)d
x＝
(
1 x
3＋
4x－
5 x
x
3
3
＝
(
2 3
x
3 2＋
1 6
x2)|
10＋ (2
x－
1 2
x2＋
1 6x
2)|
3 1
＝
2 ＋
1 ＋
(2
x－
1x2
)|
36
3
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
[学习目标]
．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．
[知识链接]
．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答
求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
．当()<时，()与轴所围图形的面积怎样表示？
答
如图，因为曲边梯形上边界函数为()＝，下边界函数为()，所以＝(－())＝－().
[预习导引]
曲边梯形面积的表达式
()当∈[，]时，若()>，由直线＝，＝(≠)，＝和曲线＝()所围成的曲边梯形的面积＝(). ()当∈[，]时，若()<，由直线＝，＝(≠
)，＝和曲线＝()围成的曲边梯形的面积＝－().
()(如图)当∈[，]时，若()>()>时，由直线＝，＝(≠)和曲线＝()，＝()围成的平面图形的面积＝[()－()].
要点一不分割型图形面积的求解
例求由抛物线＝－与直线＝－＋所围成图形的面积．
解由得
或所以直线＝－＋与抛物线＝－的交点为(－)和()，设所求图形面积为，根据图形可得
＝－[(－＋)－(－)]＝－(－－＋)
＝＝－＝.
规律方法不分割型图形面积的求解步骤：
()准确求出曲线的交点横坐标；
()在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
()根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；
()计算得所求面积．
跟踪演练求由曲线＝－，＝－所围成的图形的面积．。
高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用测试(含解析
定积分在几何中的应用（时间：25分，满分50分）班级姓名得分1.（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )S＝ʃa b[f(x)－g(x)]d x S＝ʃ80(22x－2x＋8)d x①②S＝ʃ41f(x)d x－ʃ74f(x)d x S＝ʃa0[g x－f x]d x＋ʃb a[f x－g x]d x③④A．①③ B．②③ C．①④ D．③④【答案】 D2．（5分）若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )A．∫b a[f(x)－g(x)]d xB．∫b a[g(x)－f(x)]d xC．∫b a|f(x)－g(x)|d x∫b a[f x－g x]d xD.||【答案】 C【解析】当f(x)＞g(x)时，所求面积为∫b a[f(x)－g(x)]d x；当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫b a[g(x)－f(x)]d x.综上，所求面积为∫b a|f(x)－g(x)|d x.3．（5分）由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2【答案】 A.【解析】 画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx =ln2-ln1=ln2.4．（5分）直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 ①f(x)dx ；②f(|x|)dx ；③|f(x)|dx ；④2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C5.（5分）用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)=max{x 2，}，那么由函数y=f(x)的图象、x 轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是( ) A.B.C.D.【答案】A.【解析】由题设知：f(x)=所以S=dx+x 2dx=+x3=.6．（5分）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在【答案】 C【解析】数形结合，如图，ʃ20f(x)d x＝ʃ10x2d x＋ʃ21(2－x)d x＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.7．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________.【答案】8．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【答案】1 3【解析】根据题意得：S阴＝ʃ103x2d x＝x3|10＝1，则点M取自阴影部分的概率为S阴S矩＝13×1＝13.9.（5分）求曲线y＝6－x和y＝8x，y＝0围成图形的面积．【解析】 作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ28x d x ＋ʃ62(6－x )d x ＝8×2332x |20＋(6x －12x 2)|62＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403. 10．（5分）设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0. 因为0<t <2，所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．。
高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课时作业 新人教A版选修22
高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课时作业 新人教A 版选修22课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．1．设由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a <b )及y ＝0所围成的平面图形的面积为S . (1)如果f (x )>0，那么S ＝ʃba f (x )d x ；(2)如果f (x )<0，那么S ＝|ʃba f (x )d x |＝－ʃba f (x )d x ； (3)如果a ≤x ≤c 时，f (x )≤0；c <x ≤b 时，f (x )>0，那么S ＝|ʃc a f (x )d x |＋ʃb c f (x )d x ＝－ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x .2．下面4个图形中阴影的面积用定积分可表示为：(1)________________；(2)________________； (3)________________；(4)________________．一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπcos x d x B ．20π⎰cos x d x ＋|2ππ⎰cos x d x |C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x 2．如图，阴影部分面积为( )A ．ʃca [f (x )－g (x )]d xB ．ʃc a [g (x )－f (x )]d x ＋ʃbc [f (x )－g (x )]d x C ．ʃc a [f (x )－g (x )]d x ＋ʃbc [g (x )－f (x )]d x D ．ʃbc [g (x )－f (x )]d x3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 4．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ．ʃ2－2x 3d x B ．|ʃ2－2x 3d x | C ．ʃ2－2|x 3|d x D ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x5．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12 C ．1 D.23题 号 1 2 3 4 5 答 案6．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 7．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________． 8．设函数f (x )的原函数F (x )是以T 为周期的周期函数，若ʃT a f (x )d x ＝μ，则ʃα＋TT f (x )d x ＝________. 三、解答题9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．10.如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．能力提升11．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71212．在曲线y＝x2 (x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.求切点A的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．已知平面图形的面积，可以确定函数的解析式或讨论函数的某些性质．答案知识梳理2．(1)ʃb a[f(x)－g(x)]d x(2)ʃb a[f(x)－g(x)]d x(3)ʃd c[f(y)－g(y)]d y(4)ʃd c[f(y)－g(y)]d y作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]2．B3．D [所求面积212⎰1xd x＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 4．C5．B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx3，得x ＝0或x ＝1c(c >0)．则围成图形的面积S ＝10c ⎰(x 2－cx 3)d x ＝23，可求得c ＝12.]6.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193.7.342解析 作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 8．－μ解析 ʃa ＋TT f (x )d x ＝F (x )|a ＋TT＝F (a ＋T )－F (T )＝F (a )－F (T )＝－μ. 9.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92.10．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.11．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.] 12．解由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示．故S ＝S 1＋S 2 ＝020x ⎰x 2d x ＋()00002200222x x x x x dx x x x dx --⎰⎰＝13x 3|020x ＋13x 3|002x x －(x 0x 2－x 20x )|002x x ＝x 3012＝112，解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)， 所求切线方程为y ＝2x －1.。
人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：1.7.1 定积分在几何中的应用
第一章 1．7.1 定积分在几何中的应用提能达标过关一、选择题1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：所求图形的面积为答案：D2．直线y ＝x 与曲线y ＝x 2围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝x 2，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， ∴直线y ＝x 与曲线y ＝x 2围成的封闭图形的面积为故选A. 答案：A3．如图，阴影部分的面积为( )A ．9B.13623解析：由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x 2，求得两曲线交点为A (－2，－4)，B (1，－1)，结合图形可知阴影部分的面积为S ＝[－x 2－(x －2)]dx ＝(－x 2－x ＋2)dx ＝答案：C4．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6解析：由x ＝x －2得x ＝4，∴曲线y ＝x 与直线y ＝x －2及y 轴所围成图形的面积 S ＝⎠⎛04[x －(x －2)]d x＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝＝23×8－12×16＋8＝163，故选C. 答案：C5．如图，在矩形OABC 内：记曲线y ＝x 3与直线y ＝x 围成的区域为M (图中阴影部分)．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( )1832C.532D.116解析：阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 3)d x ＋⎠⎛12(x 3－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋(4－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12 ＝52.故所求的概率为P ＝522×8＝532.答案：C 二、填空题6．(2019·宁波镇海中学高二月考)由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1 围成的图形的面积S ＝________.解析：图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 答案：147．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：正方形内空白部分的面积S1＝＝＝23－⎝⎛⎭⎪⎫－23＝43.∴阴影部分的面积S2＝2×2－43＝83，∴所求的概率为834＝23.答案：238．由曲线y＝e x，直线y＝2x，x＝0，x＝1围成的曲边四边形的面积为________．解析：依题意(e－1)－(e0－0)＝e－2.答案：e－2三、解答题9．(2019·陵川中学高二月考)求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x与直线x＝－3π4，x＝5π4围成的图形的面积．解：如图，画出y＝sin x与y＝cos x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π4上的图象，它们共有三个交点，分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－22.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上，cos x >sin x . 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝(cos x －sin x )d x ＋(sin x －cos x )d x＝2 (sin x －co s x )d x＝－2(sin x ＋cos x ) ＝4 2.10．计算由曲线y 2＝2x 和直线y ＝x －4所围成的图形的面积． 解：由⎩⎨⎧ y 2＝2x ，y ＝x －4，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝8，y ＝4，由图象可知，曲边多边形的面积 S ＝2S 1＋S 3＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝163＋643－263＝18.由Ruize收集整理。
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2021年高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升
1.如图,阴影部分的面积为()
A.9
B.
C.
D.
解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).
结合图形可知阴影部分的面积为
S=[-x2-(x-2)]d x=(-x2-x+2)d x=.
答案:B
2.若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积为()
A.[f(x)-g(x)]d x
B.[g(x)-f(x)]d x
C.|f(x)-g(x)|d x
D.
解析:因为f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选C.
答案:C
3.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()
A.3
B.2
C.1
D.
解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为
S=(kx-x2)d x=,则k3=27,解得k=3.
答案:A
4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()
A. B. C. D.
解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.
解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.
因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)d x=.
答案:A
5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,或x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6), 所求的面积为S=(x2+2-3x)d x+(3x-x2-2)d x==1.
答案:D
6.曲线y=e x,y=e-x及x=1所围成的图形的面积为.
解析:
作出图形,如图所示.
S=(e x-e-x)d x
=(e x+e-x)
=e+-(1+1)=e+-2.
答案:e+-2
7.由正弦曲线y=sin x,x∈和直线x=π及x轴所围成的平面图形的面积等于.
解析:如图,
所围成的平面图形(阴影部分)的面积
S=|sin x|d x=sin x d x-sin x d x
=-cos x+cos x=2+1=3.
答案:3
8.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.
解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),
所以S=-(-)]d x+d x
=2d x+d x
=
==10.
解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)d y==10.
9.计算由曲线y=x2+1,直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.
解:
画出两函数的图象,如图所示:
由
又直线x+y=3与x轴交于点(3,0),
∴S=(x2+1)d x+(3-x)d x
=
=+1+.
B组
1.曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积为()
A. B.2-
C.2-
D.
解析:因为曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=的交点的横坐标分别为x=及x=,所以所求图形的面积为d x=.
答案:D
2.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()
A. B. C.2 D.1
解析:如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.
答案:A
3.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.
解析:f'(x)=3x2+2ax+b⇒f'(0)=b⇒b=0,
令f(x)=0⇒x=-a(a<0),
=S=
=⇒a=-3.
答案:-3
4.椭圆=1围成的面积是.
解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1,则由对称性,得椭圆面积S=4S1.
在第一象限内椭圆方程可化为y=,
故S1=d x=d x.
而d x表示以5为半径的圆的面积,如图.
从而d x=π·52=.故S1==5π,从而S=20π.
答案:20π
5.求正弦曲线y=sin x与余弦曲线y=cos x与直线x=-,x=围成的图形的面积.
解:
如图,画出y=sin x与y=cos x在上的图象,它们共有三个交点,分别为.
在上,cos x>sin x,
在上,sin x>cos x.
∴面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=2(sin x-cos x)d x
=-2(sin x+cos x)=4.
6.
求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.
解:由定积分的性质与微积分基本定理,
得S=S1+S2
=(t2-x2)d x+(x2-t2)d x
=
=t3-t3+-t2-t3+t3
=t3-t2+,t∈(0,1),
所以S'=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).
当t变化时,S',S变化情况如下表
所以当t=时,S最小,且S min=.
7.过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36,求l的方程.
解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx,
则由
(1)当k+4>0,即k>-4时,
面积S=(kx-x2+4x)d x
=
=k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2
=(k+4)3=36,
∴k=2,故直线l的方程为y=2x.
(2)当k+4<0,即k<-4时,
S=(kx-x2+4x)d x
=
=-
=-(k+4)3=36,
∴k=-10,
∴直线l的方程为y=-10x.
综上,所求直线l的方程为y=2x或y=-10x.23698 5C92 岒526377 6709 有21297 5331 匱35669 8B55 譕31120 7990 禐30673 77D1 矑V6%29418 72EA 狪G38710 9736 霶'T。