高考理科数学一轮复习分层练习第十章离散型随机变量的均值与方差、正态分布

[基础题组练]1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2解析：选A.由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称，则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13 B ．23C ．2D ．83解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2，3，所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23，所以EX ＝2×13＋3×23＝83. 3．(2020·河南焦作一模)设X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD 中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587解析：选D.因为X ～N (1，1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P (0<X ≤2)≈0.682 7，则P (1<X ≤2)≈0.341 35，所以阴影部分的面积为1－0.341 35＝0.658 65，所以从正方形ABCD 中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587.4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则Eη，D η分别是( )A ．6，2.4B ．2，2.4C ．2，5.6D ．6，5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X . 因此，求得Eη＝8－EX ＝8－10×0.6＝2， D η＝(－1)2DX ＝10×0.6×0.4＝2.4.5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3B ．83C ．2D ．53解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫193＝1729，P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫891×⎝⎛⎭⎫192＝24729＝8243， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫892×⎝⎛⎭⎫191＝192729＝64243，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫893＝512729. 所以随机变量X 的分布列为数学期望EX ＝0×1729＋1×8243＋2×64243＋3×512729＝83. 6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E ξ＝1.6，则a －b ＝________．解析：易知a ，b ∈[0，1]，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.答案：－0.27．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ＝0.954 5) 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8186(件)．答案：8 1868．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝________．解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3. P (ξ＝0)＝12×12×23＝212，P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝412，P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.所以Eξ＝0×212＋1×512＋2×412＋3×112＝43.答案：439．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为η10 18 24 30 36 P1616161613所以Eη＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．10．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．注：尺寸数据在[63.0，64.5)内的零件为合格品，频率作为概率．(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望； (2)从产品中随机抽取n 个，全是合格品的概率不小于0.3，求n 的最大值；(3)为了提高产品合格率，现提出A ，B 两种不同的改进方案进行试验．若按A 方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X 的期望是2；若按B 方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y 的期望是4.你会选择哪种改进方案？解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为45，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫154＝1625， P (ξ＝1)＝C 14×45×⎝⎛⎭⎫153＝16625， P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫152＝96625， P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫453×15＝256625， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫454＝256625. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ＝4×45＝165.(2)从产品中随机抽取n 个产品，全是合格品的概率为⎝⎛⎭⎫45n，依题意得⎝⎛⎭⎫45n≥0.3，故n 的最大值为5.(3)设按A 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a ，则随机抽取15个产品，不合格品个数X ～B (15，a )；设按B 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b ，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y ～B (25，b )．依题意得EX ＝15a ＝2，EY ＝25b ＝4，所以a ＝215，b ＝425.因为215＜425，所以应选择方案A .[综合题组练]1．(2020·河南部分省级示范性高中联考)2018年是中国改革开放40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)现从年龄在[20，30)[30，40)[40，50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用ξ表示年龄在[30，40)内的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[30，50)的概率为P (X ＝k )(k ＝0，1，2，…，20)．当P (X ＝k )最大时，求k 的值．解：(1)按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[20，30)内的人数为0.0050.005＋0.010＋0.025×8＝1，年龄在[30，40)内的人数为0.0100.005＋0.010＋0.025×8＝2，年龄在[40，50)内的人数为0.0250.005＋0.010＋0.025×8＝5.所以X 的可能取值为0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 36C 02C 38＝514，P (X ＝1)＝C 26C 12C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 16C 22C 38＝328，所以X 的分布列为X 0 1 2 P5141528328EX ＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.(2)设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50)内的人数为X ，X 服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30，50)内的频率为(0.010＋0.025)×10＝0.35，所以X ～B (20，0.35)．所以P (X ＝k )＝C k 20(0.35)k (1－0.35)20－k (k ＝0，1，2，…，20)． 设t ＝P （X ＝k ）P （X ＝k －1）＝C k 20（0.35）k （1－0.35）20－k C k －120（0.35）k －1（1－0.35）21－k＝7（21－k ）13k (k ＝1，2，…，20)， 若t >1，则k <7.35，P (X ＝k －1)<P (X ＝k )；若t <1，则k >7.35，P (X ＝k －1)>P (X ＝k )． 所以当k ＝7时，P (X ＝k )最大，即当P (X ＝k )最大时，k ＝7.2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及EX；(2)将(1)中的EX取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C12×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C12×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，P(X＝3)＝0.8p2.X的分布列为(2)当p＝0.9时，E X取得最大值．①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E Y＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E Y－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i ＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－1 3p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。