电磁感应动力学问题归纳.doc
专题二十一 电磁感应中的动力学、能量和动量问题
第十二章 电磁感应专题二十一 电磁感应中的动力学、能量和动量问题核心考点五年考情命题分析预测电磁感应中的动力学问题2023：北京T18，浙江6月T19；2022：海南T18，浙江6月T21； 2021：全国甲T21，湖北T16 高考中常通过导体棒＋导轨、导体框等模型考查电磁感应中力与运动、功与能、动量等力电综合问题，选择题和计算题都有考查，近年主要为计算题形式，试题综合性较强，难度较大.预计2025年高考可能会出现导体棒的受力及运动分析、电磁感应与动量定理和动量守恒定律相结合的综合性试题.电磁感应中的能量问题2023：北京T9，上海T19； 2022：全国乙T24； 2021：北京T7； 2019：北京T22电磁感应中的动量问题2023：全国甲T25，湖南T14； 2022：辽宁T15； 2019：全国ⅢT19题型1 电磁感应中的动力学问题1.导体受力与运动的动态关系2.两种运动状态状态特征处理方法平衡态 加速度为零根据平衡条件列式分析非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析3.“四步法”分析电磁感应中的动力学问题命题点1“单棒＋导轨”模型1.如图所示，水平面（纸面）内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上.t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动.t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动.杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为g.求：（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；（2）电阻的阻值.答案（1）Blt0（Fm －μg）（2）B2l2t0m解析（1）设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0当金属杆以速度v在磁场中匀速运动时，由法拉第电磁感应定律得杆中的电动势为E＝Blv 联立解得E＝Blt0（Fm－μg）（2）设金属杆在磁场中匀速运动时，杆中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得I＝ER式中R为电阻的阻值金属杆所受的安培力为F安＝BIl因金属杆做匀速运动，由平衡条件得F－μmg－F安＝0联立解得R＝B 2l2t0 m.2.如图，两条平行导轨所在平面与水平面的夹角为θ，平行导轨间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并接触良好.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.金属棒和导轨的电阻可忽略不计.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系.答案（1）Q＝CBLv（2）v＝m（sinθ－μcosθ）m＋B2L2Cgt解析（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则产生的感应电动势为E＝BLv平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝QU联立解得Q＝CBLv（2）设经过时间t金属棒的速度大小为v，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为f1＝BLi设在时间间隔t～t＋Δt内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝ΔQΔtΔQ也是平行板电容器在时间间隔t～t＋Δt内增加的电荷量，由（1）中结果可知ΔQ＝CBLΔv式中，Δv为金属棒的速度变化量，按定义有a＝ΔvΔt金属棒受到的摩擦力方向沿导轨向上，大小为f2＝μN式中，N是金属棒对导轨的正压力的大小，有N＝mg cosθ金属棒在t时刻的加速度方向沿导轨向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mg sinθ－f1－f2＝ma联立解得a＝m（sinθ－μcosθ）m＋B2L2Cg可知金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为v＝m（sinθ－μcosθ）m＋B2L2Cgt.方法点拨单棒＋电阻模型物理模型水平拉力F恒定，金属棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计动态分析设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为a＝Fm－B2L2vmR，a、v同向，随v的增大，a减小，当a＝0时，v最大，I恒定最终状态运动形式匀速直线运动力学特征a＝0，v最大，v m＝FRB2L2电学特征I＝BLv mR恒定单棒＋电容器模型金属棒的初速度为零，水平拉力F恒定，棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计↓运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流，有F－BIL＝ma，I＝ΔQΔt ，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BLΔv，联立可得F－CB2L2ΔvΔt＝ma，其中ΔvΔt＝a，则可得a＝Fm＋CB2L2↓金属棒做加速度恒定的匀加速直线运动.功能关系：W F＝12mv2＋E电命题点2线圈模型3.[矩形线圈]如图所示，水平匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，线圈平面始终与磁场方向垂直.如果线圈受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度大小关系为（B）A.a1＞a2＞a3＞a4B.a1＝a3＞a2＞a4C.a1＝a3＞a4＞a2D.a4＝a2＞a3＞a1解析线圈在位置3时，线圈中没有感应电流，因此只受重力作用，故a1＝a3＝g.线圈在位置2和位置4时都有感应电流，但在位置4时的感应电流I4大于在位置2时的感应电流I2，则F安2＜F安4，而安培力均为阻力，故a4＜a2＜g，B正确.4.[正方形单匝线圈]如图所示，电阻为0.1Ω的正方形单匝线圈abcd的边长为0.2m，bc边与匀强磁场左边界重合.磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5T.在水平拉力作用下，线圈以8m/s的速度向右匀速穿过磁场区域.求在上述过程中（1）线圈中感应电动势的大小E；（2）线圈所受拉力的大小F；（3）线圈中产生的热量Q.答案（1）E＝0.8V（2）F＝0.8N（3）Q＝0.32J解析（1）感应电动势E＝Blv代入数据得E＝0.8V（2）感应电流I＝ER拉力的大小等于线圈受到的安培力F＝BIl解得F＝B 2l2vR，代入数据得F＝0.8N（3）运动时间t＝2lv 由焦耳定律得Q＝I2Rt解得Q＝2B 2l3vR，代入数据得Q＝0.32J.题型2电磁感应中的能量问题1.电磁感应中的能量转化闭合电路中产生感应电流的过程，是其他形式的能转化为电能的过程.电磁感应中能量问题的实质是电能的转化问题，桥梁是安培力.2.求解焦耳热的三种方法能量转化问题的分析程序：先电后力再能量命题点1 功能关系的应用5.[多选]如图，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R 的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d 、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场.质量为m 、电阻也为R 的金属棒从高度为h 处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g ，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中（ BD ）A.通过金属棒的最大电流为Bd √2gℎ2RB.通过金属棒的电荷量为BdL 2RC.克服安培力所做的功为mghD.金属棒上产生的焦耳热为12mg （h －μd ）解析 金属棒由静止释放下滑到弯曲部分底端，根据动能定理有mgh ＝12m v 02，金属棒在磁场中运动时产生的感应电动势E ＝BLv ，当金属棒刚进入磁场时，产生的感应电动势最大，感应电流最大，I max ＝BLv 02R＝BL √2gℎ2R，A 错误；金属棒穿过磁场区域的过程中通过金属棒的电荷量q ＝I t ＝E2R t ＝ΔΦ2R ＝BdL2R ，B 正确；对整个过程由动能定理得mgh －W 克安－μmgd ＝0，金属棒克服安培力做的功W 克安＝mgh －μmgd ，C 错误；由功能关系可得，金属棒上产生的焦耳热Q ＝12W 克安＝12mg (h －μd )，D 正确.方法点拨常见的功能关系做功情况能量变化重力做功重力势能发生变化弹簧弹力做功弹性势能发生变化合外力做功动能发生变化做功情况能量变化除重力和系统内弹力以外的其他力做功机械能发生变化滑动摩擦力做功有内能产生静电力做功电势能发生变化安培力做正功电能转化为其他形式的能克服安培力做功（动生型电磁感应）其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能命题点2能量守恒定律的应用6.[多选]如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（BCD）A.导体棒受到的最大安培力为B2l2vRB.导体棒损失的机械能为12mv2－mgx sinθC.导体棒运动的时间为2mvR－B2l2x2mgR（sinθ＋μcosθ）D.整个电路产生的焦耳热为12mv2－mgx（sinθ＋μcosθ）解析根据E＝Blv，可以知道速度最大时感应电动势最大，电流和安培力也最大，所以初始时刻导体棒受到的安培力最大，根据F＝BIl，I＝Blv2R ，可得F＝B2l2v2R，故A错误；从初始位置到滑行最远时，损失的机械能为ΔE＝12mv2－mgx sin θ，故B正确；导体棒向上滑动的过程，由动量定理可得B I lt＋(mg sin θ＋μmg cos θ)t＝mv，而I t＝ER t＝ΔΦR＝Blx2R，联立解得t＝2mvR−B2l2x2mgR(sinθ＋μcosθ)，故C正确；导体棒上滑过程中克服重力、滑动摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律可得整个电路产生的焦耳热 为Q ＝12mv 2－mgx ( sin θ＋μ cos θ)，故D 正确. 命题拓展命题情境不变，命题角度变化若导轨光滑，导体棒受到一个平行于导轨向上的拉力作用，以初速度v 0沿导轨向上开始运动，可达到的最大速度为v 1.运动过程中拉力的功率恒定不变，其他条件不变，求拉力的功率.答案 P ＝mgv 1sinθ＋B 2L 2v 122R解析 在导体棒运动过程中，拉力功率恒定，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F ，安培力大小为F A ，有F －mg sin θ－F A ＝0.此时导体棒产生的感应电动势为E ＝BLv 1，回路中的感应电流为I ＝E2R ，导体棒受到的安培力F A ＝BIL ，拉力的功率P ＝Fv 1，联立上述各式解得P ＝mgv 1 sin θ＋B 2L 2v 122R.7.[2023浙江6月]如图所示，质量为M 、电阻为R 、长为L 的导体棒，通过两根长均为l 、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L .细杆通过开关S 可与直流电源E 0或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关S 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角θ＝π4；然后开关S 接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（ C ）A.电源电动势E 0＝√2Mg 2BLRB.棒产生的焦耳热Q ＝（1－√22）MglC.从左向右运动时，最大摆角小于π4D.棒两次过最低点时感应电动势大小相等解析 作出静止时导体棒的受力图如图所示，由于θ＝π4，故安培力F ＝Mg ，又F ＝BIL ，电流I ＝E 0R ，解得E 0＝MgR BL，A 错误；开关S 接2，导体棒先向左运动，回路中有电流，棒会产生焦耳热，然后由于重力的作用，棒向右运动，由于二极管的作用，此过程回路中无电流，棒不会产生焦耳热，故导体棒向右通过最低点时速度不为0，即E k ＞0，由能量守恒定律可知，棒完成一次振动的过程产生的焦耳热满足Q ＋E k ＝Mgl (1－ cos θ)，所以Q ＜Mgl (1－ cos θ)＝(1－√22)Mgl ，B 错误；导体棒从右向左摆动，会产生焦耳热，故由能量守恒定律可知，其从右向左运动到最左侧时摆角小于π4，由对称性可知导体棒从左向右摆动时，最大摆角也小于π4，C 正确；导体棒第二次通过最低点的速度小于第一次通过最低点的速度，故两次通过最低点的速度大小不等，由E ＝BLv 可知，产生的感应电动势大小也不相等，D 错误.题型3 电磁感应中的动量问题1.动量定理在电磁感应中的应用导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动，当题目中涉及速度v 、电荷量q 、运动时间t 、运动位移x 时常用动量定理求解.（1）单棒＋水平导轨情境示例1水平放置的平行光滑导轨，间距为L ，左侧接有电阻R ，导体棒初速度为v 0，质量为m ，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B ，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来求电荷量q－B I L Δt ＝0－mv 0，q ＝I Δt ，联立解得q ＝mv 0BL求位移x －B 2L 2v RΔt ＝0－mv 0，x ＝v Δt ＝mv 0R B 2L 2应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q ＝I Δt ，x ＝v Δt ；若已知q 或x 也可求末速度或初速度 （2）单棒＋倾斜导轨情境示例2间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m 、接入电路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷量为q 或下滑位移为x 时，速度达到v求运动时间－B I L Δt ＋mg sinθ·Δt ＝mv －0，q ＝I Δt ，－B 2L 2v RΔt ＋mg sinθ·Δt ＝mv －0，x＝v Δt应用技巧用动量定理求时间需有其他恒力参与.若已知运动时间，也可求q 、x 、v中的任一个物理量2.动量守恒定律在电磁感应中的应用在两等长金属棒切割磁感线的系统中，两金属棒和水平平行金属导轨构成闭合回路，它们受到的安培力的合力为0，如果不计摩擦，它们受到的合力为0，满足动量守恒的条件，运用动量守恒定律解题比较方便.命题点1 动量定理在电磁感应中的应用8.[“单棒＋电阻”模型]如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨范围内存在磁场，其磁感应强度大小为B，方向竖直向下，导轨一端连接阻值为R的电阻.在导轨上垂直于导轨放一长度等于导轨间距L、质量为m的金属棒，其电阻为r.金属棒在水平向右的恒力F作用下从静止开始运动，经过时间t后开始匀速运动.金属棒与导轨接触良好，导轨的电阻不计.（1）求金属棒匀速运动时回路中的电流；（2）求金属棒匀速运动的速度大小以及在时间t内通过回路的电荷量；（3）若在时间t内金属棒运动的位移为x，求电阻R上产生的热量.答案（1）FBL （2）F（R＋r）B2L2FtBL－mF（R＋r）B3L3（3）[Fx－mF2（R＋r）22B4L4]RR＋r解析（1）金属棒匀速运动时，由平衡条件得F＝BI m L，解得I m＝FBL（2）根据闭合电路的欧姆定律得I m＝BLvR＋r解得v＝F（R＋r）B2L2通过回路的电荷量q＝I t由动量定理得Ft－B I Lt＝mv解得q＝FtBL －mF（R＋r）B3L3（3）由功能关系得Fx＝Q＋12mv2Q R＝RR＋rQ解得Q R＝[Fx－mF2（R＋r）22B4L4]R R＋r.9.[不等间距上的双棒模型/多选]如图所示，光滑水平导轨置于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B.左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长.质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态.现瞬间给导体棒cd一水平向右的初速度v0，在此后的运动过程中，两棒始终在对应的导轨部分运动，始终与导轨垂直且接触良好.已知导体棒ab的电阻为R，cd的电阻为2R，导轨电阻不计.下列说法正确的是（AC）A.导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒B.两棒最终以相同的速度做匀速直线运动C.导体棒ab最终的速度为23v0D.从导体棒cd 获得初速度到二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为89m v 02解析 导体棒cd 获得速度后，回路中产生感应电流，根据左手定则知导体棒cd 减速，导体棒ab 加速，当BLv ab ＝2BLv cd 时，回路中磁通量不变，没有感应电流，最终两棒做匀速直线运动，分别对两棒运用动量定理得－2B I Lt ＝2mv cd －2mv 0，B I Lt ＝mv ab ，联立解得v ab ＝23v 0，v cd ＝13v 0，故B 错误，C 正确；两导体棒受到的安培力大小不相等，系统受到的合力不为零，动量不守恒，A 正确；从导体棒cd 获得初速度到二者稳定运动的过程中，系统产生的焦耳热为Q ＝12·2m v 02－12m v ab 2－12·2m v cd 2，解得Q ＝23m v 02，故D 错误.10.[“电容器”模型/2024广东广州开学考试]如图所示，在水平面内固定着间距为L 的两根光滑平行金属导轨（导轨足够长且电阻忽略不计），导轨上M 、N 两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中.在导轨的左端接入电动势为E 、内阻不计的电源和电容为C 的电容器.先将金属棒a 静置在导轨上，闭合开关S 1、S 3，让a 运动速度达到v 0时断开S 1，同时将金属棒b 静置在导轨上，经过一段时间后，流经a 的电流为零.已知a 、b 的长度均为L ，电阻均为R ，质量均为m ，在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触.（1）求开关S 1、S 3闭合，a 运动速度达到v 0时a 的加速度大小；（2）求b 产生的焦耳热；（3）若将棒a 、b 均静置在水平导轨上，闭合开关S 1、S 2，稍后再断开S 1同时闭合S 3，求两棒最终的速度大小.答案 （1）BL （E －BLv 0）mR（2）18m v 02（3）BLCE2m ＋B 2L 2C解析 （1）a 切割磁感线产生的电动势E 1＝BLv 0由牛顿第二定律得B E －E 1RL ＝ma解得a ＝BL （E －BLv 0）mR（2）对a 、b 系统，由动量守恒定律得mv 0＝2mv 1解得v 1＝v2由能量守恒定律得系统产生的焦耳热Q ＝12m v 02－12·2m v 12解得Q ＝14m v 02b 产生的焦耳热Q b ＝12Q ＝18m v 02（3）闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，两棒同时加速，直到匀速运动.对电容器，放电量q＝C（E－BLv）对a，某时刻经极短时间Δt，由动量定理得BILΔt＝mΔv整个过程有∑BLΔq＝∑mΔv即BL q2＝mv解得两棒最终的速度v＝BLCE2m＋B2L2C.方法点拨无外力充电式基本模型（导体棒电阻为R，电容器电容为C，导轨光滑且电阻不计）电路特点导体棒相当于电源，电容器充电电流特点安培力为阻力，导体棒减速，E减小，有I＝BLv－U CR，电容器充电U C变大，当BLv＝U C时，I＝0，F安＝0，导体棒匀速运动运动特点和最终特征导体棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零最终速度电容器充电电荷量：q＝CU C最终电容器两端电压：U C＝BLv对棒应用动量定理：mv－mv0＝－B I L·Δt＝－BLq，v＝mv0m＋CB2L2v－t图像无外力放电式基本模型（电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，导轨光滑且电阻不计）电路特点电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动电流特点电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时U C＝BLv m运动特点和最终特征导体棒做加速度a 减小的加速运动，最终做匀速运动，此时I ＝0最大速度v m电容器充电电荷量：Q 0＝CE放电结束时电荷量：Q ＝CU C ＝CBLv m电容器放电电荷量：ΔQ ＝Q 0－Q ＝CE －CBLv m对棒应用动量定理：mv m －0＝B I L ·Δt ＝BL ΔQ ，v m ＝BLCE m ＋CB 2L 2v －t 图像命题点2 动量守恒定律在电磁感应中的应用11.[双棒模型——无外力/2021福建/多选]如图，P 、Q 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L ，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中EFHG 矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场.在t ＝t 1时刻，两均匀金属棒a 、b 分别从磁场边界EF 、GH 进入磁场，速度大小均为v 0；一段时间后，流经a 棒的电流为0，此时t ＝t 2，b 棒仍位于磁场区域内.已知金属棒a 、b 由相同材料制成，长度均为L ，电阻分别为R 和2R ，a 棒的质量为m .在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a 、b 棒没有相碰，则（ AD ）A.t 1时刻a 棒的加速度大小为2B 2L 2v 03mRB.t 2时刻b 棒的速度为0C.t 1～t 2时间内，通过a 棒横截面的电荷量是b 棒的2倍D.t 1～t 2时间内，a 棒产生的焦耳热为29m v 02解析 在t ＝t 1时刻，两均匀金属棒a 、b 分别从磁场边界EF 、GH 进入磁场，速度大小均为v 0，由右手定则可判断出两金属棒产生的感应电流方向都是逆时针方向，产生的感应电动势都是BLv 0，由闭合电路欧姆定律可得，t 1时刻a 金属棒中的感应电流I ＝2BLvR+2R ＝2BLv 03R，受到的安培力F ＝BIL ＝2B 2L 2v 03R，由牛顿第二定律F ＝ma 可得，t 1时刻a 棒的加速度大小为a ＝2B 2L 2v 03mR，选项A 正确；由于金属棒a 、b 串联构成回路，所以在t 1～t 2时间内，通过a 棒横截面的电荷量与b 棒的相同，选项C 错误；由于金属棒a 、b 电阻分别为R 和2R ，金属棒a 、b 串联构成回路，二者电流相等，由焦耳定律可知金属棒a 、b 产生的焦耳热之比为1∶2，设t 1～t 2时间内，a 棒产生的焦耳热为Q ，则b 棒产生的焦耳热为2Q ，又两者材料相同，由电阻定律可知，金属棒a 的横截面积为b 的2倍，故体积为b 的2倍，质量为b 的2倍，即b 的质量为0.5m ，t ＝t 2时刻流经a 棒的电流为0，且b 棒仍位于磁场区域内，说明金属棒a 、b 具有共同速度，由动量守恒定律有mv 0－0.5mv 0＝1.5mv ，解得v ＝v03，由能量守恒定律有12m v 02＋12×0.5m v 02＝Q ＋2Q ＋12×1.5m v 2，解得Q ＝29m v 02，选项B 错误，D正确.12.[双棒模型——有外力]如图所示，MN 、PQ 为水平放置的足够长平行光滑导轨，导轨间距L ＝1m ，导轨上放置两根垂直导轨的导体棒ab 和cd ，并与导轨接触良好，每根导体棒的质量均为m ＝2kg ，接入导轨间的部分电阻R ＝2Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小B ＝2T ，现对导体棒ab 施加向右的F ＝10N 的水平恒力，经过一段时间两导体棒达到恒定的速度差，若某时刻导体棒ab 的速度为10m/s ，且两导体棒距离d ＝2m ，此时撤去外力，最终两导体棒达到稳定状态，导轨电阻不计，试求：（1）两导体棒达到恒定的速度差时，其加速度大小；（2）撤去外力后回路中产生的热量；（3）最终达到稳定状态时两导体棒间的距离.答案 （1）2.5m/s 2 （2）12.5J （3）7m解析 （1）对两导体棒的运动状态进行分析，导体棒ab 做加速度减小、速度增大的变加速运动，导体棒cd 做加速度增大、速度增大的变加速运动，最终两导体棒达到相同加速度，有恒定的速度差.由牛顿第二定律可知，对导体棒ab 有F －F 安＝ma对导体棒cd 有F 安＝ma联立解得a ＝F2m ＝2.5m/s 2.（2）当导体棒ab 的速度v 1＝10m/s 时，设此时导体棒cd 的速度为v 2，对导体棒cd 由牛顿第二定律有BBL （v 1－v 2）2RL ＝ma得v 2＝5m/s撤去外力后，两导体棒在安培力作用下最终达到共同速度v ，由动量守恒定律可知mv 1＋mv 2＝2mv得v ＝7.5m/s此过程回路产生的热量Q ＝12m v 12＋12m v 22－12×2mv 2得Q ＝12.5J.（3）设达到稳定状态时两导体棒间的距离为x ，对导体棒ab ，由动量定理有－B I Lt ＝m （v －v 1）此过程中通过回路的电荷量q ＝I t ＝BL （x －d ）2R联立解得x ＝7m.方法点拨双棒无外力双棒有外力示意图F 为恒力动力学观点导体棒1受安培力的作用做加速度逐渐减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度逐渐减小的加速运动，最终两棒以相同的速度做匀速直线运动导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动动量观点系统动量守恒系统动量不守恒能量观点 棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热力F 做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热1.[电磁感应中的动力学＋能量＋动量/2023北京]如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是（ D ）A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等解析线框进入磁场→线框右侧切割磁感线电流方向为逆时针方向，A 错线框进、出磁场的过程中，F 安为阻力→v ↓→F 安↓→线框进、出磁场的过程均为加速度减小的减速运动，B 错线框进、出磁场的两过程中ΔΦ相同，q 相同，D 对安培力的冲量I 安＝BI l ·Δt I 安＝Blq线框进入磁场瞬间速度为v 1，完全进入磁场速度为v 2{动量定理：－Blq ＝mv 2－mv 1＝m （v 2－v 1）能量守恒定律：Q 1＝12mv 12－12mv 22＝12m （v 1＋v 2)(v 1－v 2）线框离开磁场瞬间速度为v 3{ 动量定理：－Blq ＝mv 3－mv 2＝m （v 3－v 2）能量守恒定律：Q 2＝12mv 22－12mv 32＝12m （v 2＋v 3)(v 2－v 3）v 1＋v 2＞v 2＋v 3且v 1－v 2＝v 2－v 3，则Q 1＞Q 2，C 错一题多解 由楞次定律可知线框进磁场的过程中电流方向为逆时针方向，出磁场的过程中电流方向为顺时针方向，A 错；对线框进行受力分析，线框在进、出磁场时会受到安培力的作用，安培力均为阻力，线框全部在磁场中时不受安培力的作用，故线框在进、出磁场的过程中会做减速运动，全部在磁场的过程中做匀速运动，又F 安＝BIl ，I ＝E R 总，E ＝Blv ，则F 安＝B 2l 2v R 总，故线框进、出磁场的过程中所受安培力在减小，做加速度减小的减速运动，B 错；Q ＝F —安·l ＝B 2l 3v —R 总，且结合B 项的分析可知v —进＞v —出，故线框在进磁场的过程中产生的热量大于在出磁场的过程中产生的热量，C 错；结合公式q ＝I —Δt 、I —＝E—R 总、E —＝Bl v —可得q ＝Blv —Δt R 总，又线框进、出磁场过程中的位移v —Δt 均为线框边长l ，故线框进、出磁场过程中通过导线横截面的电荷量相等，D 对.2.[电磁感应中的动力学＋图像理解＋能量/2023上海]如图（a ），单匝矩形线框cdef 位于倾角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为D 的匀强磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小为B ＝0.5T ，已知线框边长cd ＝D ＝0.4m ，质量m ＝0.1kg ，总电阻R ＝0.25Ω.现对线框施加一沿斜面向上的恒力F 使之向上运动，运动一段时间后，撤去外力F .线框与斜面间的动摩擦因数μ＝√33，线框速度随时间变化的图像如图（b ）所示.求：（重力加速度g 取9.8m/s 2）图（a ） 图（b ）（1）外力F 的大小；（2）cf 的长度L ；。
电磁感应中的动力学问题
能 承 受 的 最大 拉 ￣Ｔ ２ ｇ 求 从ｔＯｆ ＝ｍ ， ＝ ｔ 刻起 ， ｔ 经 过 多 长 时 间细 线 会 被 拉 断 。
×
占
Ｘ
【 析与解 】 穿过线框 的磁通量增加一感应
电动势Ｅ ：
２
： 旦）： ： （ ｓ 常量—感应
△ｔ ２
△ｔ
Ｆ １， Ｔ
滑力反向的Ｆ ； ｂ 寄 随ａ棒下滑速度ｖ —Ｅ 一Ｉ 一Ｆ 一ａ Ｔ １ １ １ ｌ一导体棒ａ作变加速运动 ， ｂ 直到ａ ０ ｖ ＝ 、达到最大 为止 ， 此时Ｆ
Ｂｌ Ｂｌ ｖ ：ｍｇ ｉ０， ：— Ｒｓｎ ｓｎ ｖ ｍｇ ｉ ０
： —
— —
。
闭合 回路 置 于磁 场 中 ， 中 部分 导体 可移 动 ， 导 体 在 磁 其 则 场 力 的作 用 下 而 运 动 ．因此 在 运 动 图景 中构 成 电 磁 感 应 与 动 力 学 自然 结 合 的 问题 ， 究方 法 与 动 力 学相 同 。 抓 好 受 力 情 研 要 况 、 动 情况 的 动 态 分 析 ， 考 方 向 是 因动 而 电 或 因 电 而 动 ， 运 思 即导 体受 力 运 动 一 Ｅ 一 ｌ 一 电流 受 Ｆ 一 Ｆ 变 化一 ａ 化一 ｖ 变 变 化一 Ｅ 变 化一 … …周 而 复 始 ， 环 结束 时 ，＝ ， 体 达 到 稳 定 循 ａＯ导
、 Ｒ 。 ｉ ‘ ｎＲ
基 于 力 的 平衡 条 件 解题 问 题 １ 如 图 ３ 示 ， 边 长 为 Ｌ 正 方 形 金 属 框 ， 量 为 ： 所 一 的 质 Ｉ， ｎ 电阻 为 Ｒ， 细 线 把 它 悬 挂 在 一 个 有 界 磁 用 场 边 缘 ． 属 框 的 上 半 部 处 于 磁 场 内 ， 场 随 金 磁 时 间 均 匀 变 化 且 满 足Ｂ ｋ规 律 。 已 知 细 线 所 ＝ｔ
电磁感应中的动力学和能量问题
(2)设 MN 最大速度为 v1m，M′N′最大速度为 v2m，此时 两导体棒均受力平衡，对 M′N′有 2mg－BIl＝0 Bl v1m＋v2m I＝ R v1m 又 ＝2 v2m ① ② ③
由①②③联立解得 4mgR v1m＝ 2 2 3B l 2mgR v2m＝ 2 2 3B l
4mgR [答案] (1)2 (2) 2 2 3B l
初速不为零，不受其他水平外力作用 光滑平行导轨 光滑不等距导轨
示 意 图 质量m1＝m2，电阻r1＝ 质量m1＝m2，电阻r1 r2，长度L1＝L2 ＝r2，长度L1＝2L2
初速不为零，不受其他水平外力作用
光滑平行导轨
规 律 杆MN做减速运动，杆PQ做 分 变加速运动，稳定时，两杆 析 的加速度为零，以相等的速 度匀速运动
导轨电阻可忽略，重力加速度为 g. 在 t ＝ 0 时刻将细线烧
断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好．求： (1)细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比； (2)两杆分别达到的最大速度．
[解析] (1)设 MN 任意时刻速度为 v1，M′N′任意时刻 速度为 v2，据动量守恒定律有 mv1－2mv2＝0 v1 解得 ＝2. v2
他形式能和电能之间的转化． 3．热量的计算：电流做功产生的热量用焦耳定律计算， 公式为Q＝ I2Rt .
1.力学对象 和电学
对象的
相互关系
2．动态分析的基本思路
E＝Blv 导体受外力运动 ――→ 感应电动势
F＝BIl 感应电流 ――→ 导体受安培
合＝ma 力―→合力变化F ――→ 加速度变化―→速度变化―→临界状态．
(2)设导体杆在磁场中运动的时间为 t，产生的感应电动势
的平均值为 E 平均 ，则由法拉第电磁感应定律有 E 平均 ＝ ΔΦ/t ＝ Bld/t 通过电阻R的感应电流的平均值I平均＝E平均/(R＋r) 通过电阻R的电荷量q＝I平均t＝0.512 C(或0.51 C)．
电磁感应中的动力学问题(上)
02
电磁感应基础
法拉第电磁感应定律
总结词
法拉第电磁感应定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的物理现象。
详细描述
法拉第通过实验发现，当磁场相对于导体发生变化时，会在导体中产生电动势， 进一步导致电流的产生。这个定律是电磁感应现象的基本规律，为电磁感应中 的动力学问题提供了理论基础。
楞次定律
总结词
04
电磁感应中的动力学问题
电磁力对物体运动的影响
80%
洛伦兹力
在电磁场中，带电粒子受到的力 称为洛伦兹力，它对物体的运动 轨迹和速度产生影响。
100%
电磁阻尼
当物体在变化的磁场中运动时， 会受到电磁阻尼作用，使物体的 速度逐渐减小。
80%
电磁驱动
当变化的磁场作用于导体时，会 在导体中产生感应电流，这个电 流又会受到磁场的作用力，从而 使物体运动。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
能量守恒定律
总结词
能量守恒定律是描述自然界中能量不会 消失也不会凭空产生的规律。
VS
详细描述
能量守恒定律表述为能量既不会凭空产生 ，也不会凭空消失，它只会从一种形式转 化为另一种形式，或者从一个物体转移到 另一个物体，而能量的总量保持不变。这 个定律是自然界中最基本的定律之一，适 用于任何形式的能量转换和转移过程。
电磁炮的应用包括军事打击、 反导系统和太空探索等，其发 展对于提高武器性能和战略威 慑力具有重要意义。
电磁悬浮的应用与原理
电磁悬浮是一种利用电磁感应原理实 现物体悬浮的技术，具有无接触、低 磨损、高稳定性和长寿命等优点。
电磁悬浮的应用包括磁悬浮列车、磁 悬浮轴承、磁悬浮陀螺仪等，对于提 高运输效率、减小机械磨损和实现高 精度测量具有重要意义。
高中物理新高考考点复习40 电磁感应中的动力学、能量与动量问题
考点规范练40电磁感应中的动力学、能量与动量问题一、单项选择题1.如图所示,在光滑绝缘水平面上,有一矩形线圈以一定的初速度进入匀强磁场区域,线圈全部进入匀强磁场区域时,其动能恰好等于它在磁场外面时的一半,磁场区域宽度大于线圈宽度,则( )A.线圈恰好在完全离开磁场时停下B.线圈在未完全离开磁场时即已停下C.线圈在磁场中某个位置停下D.线圈能通过场区不会停下2.如图所示,两光滑平行金属导轨间距为l ,直导线MN 垂直跨在导轨上,且与导轨接触良好,整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B 。
电容器的电容为C ,除电阻R 外,导轨和导线的电阻均不计。
现给导线MN 一初速度,使导线MN 向右运动,当电路稳定后,MN 以速度v 向右做匀速运动时( )A.电容器两端的电压为零B.电阻两端的电压为BlvC.电容器所带电荷量为CBlvD.为保持MN 匀速运动,需对其施加的拉力大小为B 2l 2vR3.(2021·辽宁模拟)如图所示,间距l=1 m 的两平行光滑金属导轨固定在水平面上,两端分别连接有阻值均为2 Ω的电阻R 1、R 2,轨道有部分处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B=1 T 的有界匀强磁场中,磁场两平行边界与导轨垂直,且磁场区域的宽度为d=2 m 。
一电阻r=1 Ω、质量m=0.5 kg 的导体棒ab 垂直置于导轨上,导体棒现以方向平行于导轨、大小v 0=5 m/s 的初速度沿导轨从磁场左侧边界进入磁场并通过磁场区域,若导轨电阻不计,则下列说法正确的是( )A.导体棒通过磁场的整个过程中,流过电阻R 1的电荷量为1 CB.导体棒离开磁场时的速度大小为2 m/sC.导体棒运动到磁场区域中间位置时的速度大小为3 m/sD.导体棒通过磁场的整个过程中,电阻R 2产生的电热为1 J4.如图所示,条形磁体位于固定的半圆光滑轨道的圆心位置,一半径为R 、质量为m 的金属球从半圆轨道的一端沿半圆轨道由静止下滑,重力加速度大小为g 。
电磁感应中的动力学问题分析
电磁感应中的动力学问题分析学荥阳市第二高级中电磁感应与力学综合问题中的运动的动态分析和能量转化的特点1．两种状态处理(1)导体处于平衡态：静止或匀速直线运动状态．处理方法：根据平衡条件合外力为零列式分析．(2)导体处于非平衡态：加速度不为零．根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．2．运动的动态分析3．能量转化特点【例1】如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为l。
M、P两点间接有阻值为R的电阻。
一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直。
整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向下。
导轨和金属杆的电阻可忽略。
让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦。
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图。
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流及其加速度的大小。
(3)求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度最大值。
【例2】如图所示,两根足够长的固定的平行金属导轨位于倾角θ=30°的斜面上,导轨上、下端各接有阻值R=10 Ω的电阻,导轨自身电阻忽略不计,导轨宽度l=2 m,在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度B=0.5 T。
质量为m=0.1 kg、电阻r=5 Ω的金属棒ab在较高处由静止释放,金属棒ab在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。
当金属棒ab下滑高度h=3 m时,速度恰好达到最大值v=2 m/s。
求:(1)金属棒ab在以上运动过程中机械能的减少量;(2)金属棒ab在以上运动过程中导轨下端电阻R中产生的热量。
(取g=10 m/s2)【例3】如下图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50 m，轨道的MM′端接一阻值R＝0.40 Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0＝0.50 m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B＝0.64 T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d＝0.80 m，且其右边界与NN′重合．现有一质量m＝0.20 kg、电阻r＝0.10 Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界x＝2.0 m处．在与杆垂直的水平恒力F＝2.0 N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP′.已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道的电阻可忽略不计，g取10 m/s2，求：(1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向．(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量．(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．1.如右图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于()A．棒的机械能增加量B．棒的动能增加量C．棒的重力势能增加量D．电阻R上放出的热量2、.矩形线圈abcd，长ab＝20 cm，宽bc＝10 cm，匝数n＝200，线圈回路总电阻R＝5 Ω.整个线圈平面内均有垂直于线圈平面的匀强磁场穿过．若匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如右图所示，则()A．线圈回路中感应电动势随时间均匀变化B．线圈回路中产生的感应电流为0.4 AC．当t＝0.3 s时，线圈的ab边所受的安培力大小为0.016 ND．在1 min内线圈回路产生的焦耳热为48 J3、如右图所示，光滑金属导轨AC、AD固定在水平面内，并处在方向竖直向下、大小为B的匀强磁场中．有一质量为m的导体棒以初速度v0从某位置开始在导轨上水平向右运动，最终恰好静止在A点．在运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边三角形回路，且通过A点的总电荷量为Q.已知导体棒与导轨间的接触电阻阻值为R，其余电阻不计，则()A ．该过程中导体棒做匀减速运动B ．该过程中接触电阻产生的热量为18mv 02 C ．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为QR BD ．当导体棒的速度为12v0时，回路中感应电流大小为初始时的一半 4、如下图所示，电阻不计的平行金属导轨MN 和OP 放置在水平面内．MO 间接有阻值为R ＝3 Ω的电阻．导轨相距d ＝1 m ，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5 T ．质量为m ＝0.1 kg ，电阻为r ＝1 Ω的导体棒CD 垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于MN 的恒力F ＝1 N 向右拉动CD .CD 受摩擦阻力Ff 恒为0.5 N ．求：(1)CD 运动的最大速度是多少？(2)当CD 到最大速度后，电阻R 消耗的电功率是多少？(3)当CD 的速度为最大速度的一半时，CD 的加速度是多少？5.如右图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，一个磁感应强度B ＝0.50 T 的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 间连接阻值为R ＝0.30 Ω的电阻，长为L ＝0.40 m 、电阻为r ＝0.20 Ω的金属棒ab 紧贴在导轨上．现使金属棒ab 由静止开始下滑，通过传感器记录金属(g ＝10 m/s2)求：(2)金属棒的质量；(3)在前0.7 s 的时间内，电阻R 上产生的热量．6、如图甲所示,水平面上两根足够长的光滑金属导轨平行固定放置,间距为L=0.5 m,一端通过导线与阻值为R=0.5 Ω的电阻连接;导轨上放一质量为m=0.5 kg 的导体棒,导体棒与导轨的电阻忽略不计;导轨所在位置有磁感应强度为B=1 T 的匀强磁场,磁场的方向垂直导轨平面向上,现在给导体棒施加一水平向右的恒定拉力F,并每隔0.2 s 测量一次导体棒的速度,图乙是根据所测数据描绘出导体棒的v-t 图象.求:(1)力F 的大小;(2)t=2 s 时导体棒的加速度;(3)估算3.2 s 内电阻上产生的热量.7、如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为0.5 m l ,其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角.完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02 kg,电阻均为R=0.1 Ω,整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2 T,棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止.取g=10 m/s2,(1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？(2)棒ab 受到的力F 多大？(3)棒cd 每产生Q=0.1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？。
高考物理复习：电磁感应中的动力学与能量问题
为h。初始时刻,磁场的下边缘和线框上边缘的高度差为2h,将重物从静止
开始释放,线框上边缘刚进磁场时,恰好做匀速直线运动,滑轮质量、摩擦
阻力均不计。下列说法正确的是(ABD)
A.线框进入磁场时的速度为 2ℎ
2
2
B.线框的电阻为2
2ℎ
C.线框通过磁场的过程中产生的热量 Q=2mgh
D.线框通过磁场的过程中产生的热量 Q=4mgh
热量等于系统重力势能的减少量,即 Q=3mg×2h-mg×2h=4mgh,C 错误, D 正
确。
能力形成点3
整合构建
电磁感应中的动量综合问题——规范训练
电磁感应中的有些题目可以从动量角度着手,运用动量定理或动量守恒
定律解决。
(1)应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量。如在导体棒做非
匀变速运动的问题中,应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问
解析:(1)由ab、cd棒被平行于斜面的导线相连,故ab、cd速度大小总是相
等,cd也做匀速直线运动。设导线的拉力的大小为FT,右斜面对ab棒的支持
力的大小为FN1,作用在ab棒上的安培力的大小为F,左斜面对cd棒的支持力
大小为FN2,对于ab棒,受力分析如图甲所示。
由力的平衡条件得2mgsin θ=μFN1+FT+F ①
电动势,该导体或回路就相当于电源。
(2)分析清楚有哪些力做功,就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。
(3)根据能量守恒列方程求解。
训练突破
2.(多选)如图所示,质量为3m的重物与一质量为m的线框用一根绝缘细线
连接起来,挂在两个高度相同的定滑轮上。已知线框的横边边长为l,水平
方向匀强磁场的磁感应强度为B,磁场上下边界的距离、线框竖直边长均
10.3 电磁感应中的动力学和能量问题
10.3 电磁感应中的动力学和能量问题考点一电磁感应中的动力学问题【例1】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L. M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．【练习】如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和R x分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．(1)调节R x＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导体棒的速率v.(2)改变R x，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x.【练习】如图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求：(1)导轨对杆ab的阻力大小F f.(2)杆ab中通过的电流及其方向．(3)导轨左端所接电阻的阻值R.考点二电磁感应中的能量问题(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．【例1】如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是()A．作用在金属棒上各力的合力做功为零B．重力做的功等于系统产生的电能C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热【练习】如图所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L ，导轨间接有一定值电阻R ，质量为m ，电阻为r 的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h 时开始做匀速运动，在此过程中( )A ．导体棒的最大速度为2ghB ．通过电阻R 的电荷量为BLh R ＋rC ．导体棒克服安培力做的功等于电阻R 上产生的热量D ．重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量【例2】如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，其宽度L ＝1 m ，一 匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 之间连接阻值为R ＝0.40 Ω的电阻，质量为m ＝0.01 kg 、电阻为r ＝0.30 Ω的金属棒ab 紧贴在导轨上．现使金属棒ab 由静止开始下滑， 下滑过程中ab 始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x 与时间t 的关系如图乙所 示，图象中的OA 段为曲线，AB 段为直线，导轨电阻不计，g ＝10 m/s 2(忽略ab 棒运动过程 中对原磁场的影响)，求：(1)磁感应强度B 的大小；(2)金属棒ab 在开始运动的1.5 s 内，通过电阻R 的电荷量；(3)金属棒ab 在开始运动的1.5 s 内，电阻R 上产生的热量．甲 乙【练习】如图所示，倾角为θ＝30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2.(1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．(2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度．(3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．。
法拉第电磁感应定律应用
F
f2
f
B
如图所示，在水平面内固定着足够长且光滑 的平行金属轨道，轨道间距L=0.40m，轨道左 侧连接一定值电阻R=0.80Ω。将一金属直导线 ab垂直放置在轨道上形成闭合回路，导线ab 的质量m=0.10k g、电阻r=0.20Ω，回路中其 余电阻不计。整个电路处在磁感应强度 B=0.50T的匀强磁场中，B的方向与轨道平面 垂直。 d
B 2l 2vm mg 此时满足 R
F
a mg b
如图甲所示，不计电阻的平行金属导轨竖直 放置，导轨间距为L＝1m，上 端 接有电阻R ＝3Ω，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀 强磁场。现将质量 m＝0.1kg、电阻r＝1Ω的 金属杆ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释 放，杆下落过程中始终与导轨保持良好接触， 杆下落过程中的v－t图象如图乙所示。
(1)磁感应强度B； (2)杆在磁场中下落0.1s过程中电阻R产生的热 量。
1.如图所示，沿水平面放G一宽50cm的U形光 滑金属框架．电路中电阻 R=2.0Ω，其余电阻 不计，匀强磁场B=0.8T，方向垂直于框架平 面向上，金属棒MN质量为30g，它与框架两 边垂直，MN的中点O用水平的绳跨过定滑轮 系一个质量为20g的砝码，自静止释放砝码后， 试求电阻R能得到的最大功率．
电磁感应综合问题
一、电磁感应中的动力学问题
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上， 有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静 止开始运动，回路总电阻为R，分析ab 的运 动情况，并求ab的最大速度。 分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割 磁感应线，产生感应电流，感应电流又受 到磁场的作用力f，画出受力图：
3．图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金 属导轨，间距l为0.40m，电阻不计。导轨所 在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂 直。质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金 属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接 触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为 3.0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速 率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为 0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和 滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。
电磁感应中动力学、能量转化综合问题[论文]
![电磁感应中动力学、能量转化综合问题[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/67fab87802768e9950e73806.png)
电磁感应中动力学、能量转化的综合问题摘要：电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程，弄清楚物体的受力情况和运动状态情况，对解决这类问题至关重要。
本文主要通过几道典型性的例题来说明这个问题。
关键词：导体切割；能量与做功；问题解答定西市教育科学规划课题研究成果（课题编号dx﹝2012﹞ghb94）在电磁感应中由于导体切割磁感线，闭合回路中就会产生的感应电流i，i在磁场中就会受到安培力f的作用，因此，力学知识和运动学知识对解决这类电磁感应问题是很重要的。
所以学好力学知识对电磁学问题的解决很有帮助。
具体主要有以下两种情况。
一、电磁感应现象中的动态分析要把力学知识应用在电磁感应现象中，我们的具体思路是：电源→电路→受力情况→功、能问题。
例1.有一个间距为l的导轨，是金属制成的，固定在地面上，金属导轨接有一个电阻，它的阻值是r。
有一个匀强磁场，其磁感强度的大小是b，方向与导轨垂直，有一个导体棒质量大小是m，在其左侧连有一个弹簧，刚开始，弹簧没有伸长也没有缩短，它以v0的速度朝右滑动，这个导体棒一会儿朝右运动，一会儿朝左运动，但它们的接触很好。
求：1.刚开始时导体棒由于产生电流而在磁场中受到的力。
2.导体棒在运动的过程中，有一时刻速度为零，设这时它的势能为ep，在这一过程中，由于导体中有了电流，故而做功，求它的功w1和产生的热量q1各是多少？3.这个棒来回运动，它最后还是要停下来，问它将停在什么地方？在整个过程中，产生了多少的热量q？【解题分析】这个题考查电磁感应中的有关能量的问题，解答本题的关键是：1.受力分析→确定安培力的大小和方向→确定电流的方向；2.两个棒受到安培力的关系→受力分析→力f的大小；3.产生的热量→电动势→速度→位移。
【解析】1.在刚开始时由于棒切割磁感线，故产生了一个电动势，由于这个电动势而回路中有了电流，对棒分析，可知它受到一个磁场力，对以上各式解方程可得：，由右手定则和左手定则判断可知，安培力方向向左。
专题10电磁感应中的动力学问题和能量问题
电磁感应现象的定义
电磁感应现象的发现
电磁感应现象的应用
动力学问题的基本原理
电磁感应定律：法拉第电磁感应定律是电磁感应中的基本原理，它描述了磁场变化时在导体中产生感应电动势的现象。
动力学方程：在电磁感应中，由于磁场的变化，导体中的电荷会受到洛伦兹力的作用，从而产生加速度。因此，需要建立动力学方程来描述电荷的运动。
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测量仪器误差
减小误差的方法
环境因素误差 减小误差的方法
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选择高精度测量仪器
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多次测量求平均值
阻尼效应：在电磁感应中，由于导体的电阻和电感的存在，电荷的运动会受到阻尼效应的影响。阻尼效应会导致电荷的运动逐渐减慢，直至停止。
能量转换：在电磁感应中，磁场能会转化为电能，而电能又会通过电阻和电感等元件转化为热能或其他形式的能量。因此，电磁感应中的动力学问题也涉及到能量转换的问题。
电磁感应与动力学问题的关系
解题思路和方法总结：总结典型例题的解题思路和方法，提炼出一般性的规律和技巧，帮助学生更好地理解和掌握电磁感应中的动力学问题。
实际应用举例：介绍电磁感应中的动力学问题在现实生活中的应用，如发电机、变压器等，增强学生对知识的理解和应用能力。
03
电磁感应中的能量问题
电磁感应中的能量转化
电磁感应中的能量损失与效率问题
电磁感应中的能量损失：主要来源于电阻发热、涡流损耗和磁滞损耗。
电磁感应中的效率问题：主要取决于电路的阻抗匹配和能量转换效率。
电磁感应中的能量损失与效率问题在现实生活中的应用：例如变压器、电动机等设备的效率问题，可以通过优化设计、选用合适的材料和改进工艺等方法来提高设备的效率和减少能量损失。
电磁感应中的动力学与能量问题
• (2012·广东高考)如图所示，质量为M的导
体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导 轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于 磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向 上的匀强磁场中，左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板．R和Rx分别表示定值电阻和滑 动变阻器的阻值，不计其他电阻．
Hale Waihona Puke 非 平 衡加速度 不为零
根据牛顿第二定律进行动 态分析或结合功能关系进
• 2.力学对象和电学对象的相互关系
3．动态分析的基本思路
导体受外力运动E―＝―B→lv感应电动势
感应电流
F―＝―B→Il导体受安培力合力变化F―合＝―→ma加速度变化速度变化
临界状态．
• 4．电磁感应中的动力学临界问题
• (1)解决这类问题的关键是通过运动状态的分 析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度 求最大值或最小值的条件．
过程分 析
感应电动势 E＝Blv↑→与电源 电动势反接使电流 I↓→安培 力 F＝BIl↓→加速度 a↓，当 安培力 F＝0(a＝0)时，v 最大， 最后匀速运动
流
I
＝
E R
↑→
安
培
力
F＝
BIl↑→加速度 a↓，当安培
力 F＝mgsin α(a＝0)时，v
最大，最后匀速运动
• 1．如图所示，ab和cd是位于水平面内的平行 金属轨道，轨道间距为l，其电阻可忽略不 计．ac之间连接一阻值为R的电阻，ef为一垂 直于ab和cd的金属杆，它与ab和cd接触良好并
• (1)调节Rx＝R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速 下滑时，求通过棒的电流I及棒的速率v；
• (2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质 量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属 板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.
电磁感应的动力学和能量问题
)
解析：金属杆从轨道上由静止滑下，经 足够长时间后，速度达最大值vm，此后金属 杆做匀速运动。杆受重力、轨道的支持力和 BLvm 安培力如图所示。安培力F＝ R LB，对金属杆列平衡方 B2L2vm mgsinα· R 程式：mgsin α＝ R ，则vm＝ 。由此式可知， B2L2 B增大，vm减小；α增大，vm增大；R变小，vm变小；m变 小，vm变小。因此A、C、D选项错，B选项正确。
其它形式的能
。
2．实质 电磁感应现象的能量转化，实质是其它形式的能和
电能
之间的转化
1．能量转化分析
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能 量的转化过程。 (2)当磁场不动、导体做切割磁感线的运动时，导体所 受安培力与导体运动方向相反，此即电磁阻尼。在这种情
况下，安培力对导体做负功，即导体克服安培力做功，将
1.如图9－4－1所示，金属棒AB垂直跨搁在位 于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，棒
与导轨接触良好，棒AB和导轨的电阻均忽略
图9－4－1
不计，导轨左端接有电阻R，垂直于导轨平面的匀强磁场 向下穿过平面，现以水平向右的恒力F拉着棒AB向右移动， t秒末棒AB的速度为v，移动距离为x，且在t秒内速度大小 一 直在变化，则下列判断正确的是 ( )
(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2； (3)外力做的功WF。
[解析] (1)设棒匀加速运动的时间为 Δt，回路的磁通
量变化量为 ΔΦ， 回路中的平均感应电动势为 E ， 由法拉第 ΔΦ 电磁感应定律得 E ＝ Δt 其中 ΔΦ＝Blx ① ②
设回路中的平均电流为 I ，由闭合电路的欧姆定律得 E I＝ R＋ r 则通过电阻 R 的电荷量为 q＝ I Δt 联立①②③④式，代入数据得 q＝4.5 C ③ ④ ⑤
电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的动力学问题概述：当穿过电路磁通量发生变化时，闭合电路中产生感应电流，同时电流处于原磁场中，受到了磁场的力的作用，根据楞次定律，这个力应是阻碍磁通量变化的。
由此引出了电磁感应中的一系列动力学问题，如速度变化、能量转化、动量变化等。
例1：如图, 电源的电动势为U, 电动器的电容为C,K 是单刀双掷开关.MN,PQ 是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨, 它们的电阻可以忽略不计. 两导轨间距为L, 导轨处磁感应强度为 B 的均匀磁场中, 磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向.l1 和l2 是两根横放在导轨上的导体小棒, 它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好,不计摩擦.两小棒的电阻相同,质量分别为m1和m2,且m1<m2, 开始时两根小棒均静止在导轨上, 现将开关K 先合向1, 然后合向2. 求:1. 两根小棒最终速度大小;2. 在整个过程中的焦耳热损耗.( 当回路中有电流时, 该电流所产生的磁场可以忽略不计)例2：圆柱形区域有磁场B=B0sinωt，光滑绝缘细管MN=2R固定在x轴上并相对y 轴对称。
MO’与OO’之间的夹角为θ0。
质量m、电量q的正点电荷t=0时位于M点。
发现点电荷q在MN间以O为中心作简谐振动。
试求：点电荷的振动频率ω球与B0、θ0、q、m的关系；练习1、两光滑平行金属导轨水平放置,轨道足够长,轨道间距为L,置于一足够大的磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面竖直向下，导轨左侧联一电容C，一导体棒水平置于平行导轨上，且棒与导轨垂直，棒ab质量为m0与导轨接触良好。
t=0时给ab一个水平向右冲量，使之瞬间获得v0初速，求m最终稳定速度及该过程中回路产生焦耳热。
2、一个电子感应加速器的简化模型如图。
半径为r0的圆形区域中的磁感应强度为B1，在r＞r0的环形区域中的磁感应强度为B2.欲使带点荷q的粒子能在环形区域内沿半径r=r0的圆形轨道上不断被加速。
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电磁感应动力学问题归纳重、难点解析：（一）电磁感应中的动力学问题电磁感应和力学问题的综合，其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力，因为感应电流与导体运动的加速度有相互制约的关系，这类问题中的导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态，故解这类问题时正确进行动态分析确定最终状态是解题的关键。
1.动态分析：求解电磁感应中的力学问题时，要抓好受力分析和运动情况的动态分析，导体在拉力作用下运动，切割磁感线产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化，周而复始地循环，当循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。
此时 a=0，而速度 v 通过加速达到最大值，做匀速直线运动；或通过减速达到稳定值，做匀速直线运动 .2.两种状态的处理：当导体处于平衡态——静止状态或匀速直线运动状态时，处理的途径是：根据合外力等于零分析。
当导体处于非平衡态——变速运动时，处理的途径是：根据牛顿第二定律进行动态分析，或者结合动量的观点分析 .3.常见的力学模型分析：类型“电—动—电”型示意图棒 ab 长为 L，质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计BLEFS 闭合，棒 ab 受安培力R ，此时BLE“动—电—动”型棒 ab 长 L ，质量 m，电阻 R；导轨光滑，电阻不计棒 ab 释放后下滑，此时a g sin，棒ab 速度 v↑→感应电动势E=BLv ↑→电分 amR ，棒ab速度v↑→感应电动势I E析BLv ↑→电流 I ↓→安培力 F=BIL ↓→加速度 a↓，当安培力F=0 时， a=0， v最大。
运动变加速运动形式最终v mE状态BL匀速运动流 R ↑→安培力F=BIL↑→加速度a↓，当安培力F mg sin时， a=0， v 最大。
变加速运动mgR sinv m2 L2匀速运动 B4.解决此类问题的基本步骤：（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向（2）依据全电路欧姆定律，求出回路中的电流强度.（ 3）分析导体的受力情况（包含安培力，可利用左手定则确定所受安培力的方向）.（ 4）依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，以及运动学方程，联立求解。
问题 1、电磁感应现象中的动态与终态分析问题： 例：如图甲所示， 两根足够长的直金属导轨 MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L. M 、 P 两点间接有阻值为 R 的电阻 . 一根质量为 m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中， 磁场方向垂直斜面向下， 导轨和金属杆的电阻可忽略。
让 ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.（ 1）由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；（ 2）在加速下滑过程中，当 ab 杆的速度大小为 v 时，求此时 ab 杆中的电流及其加速度的大小；（ 3）求在下滑过程中， ab 杆可以达到的速度的最大值。
【解析】（1）重力 mg ，竖直向下；支持力N ，垂直斜面向上；安培力F ，沿斜面向上，如图所示；E BlvIR 。
（ 2）当 ab 杆速度为 v 时，感应电动势 E Blv ，此时电路中电流RF BILB 2 L 2 vR，ab 杆受到安培力 根据牛顿运动定律，有B 2 L 2 v a B 2 L 2 vma mg sing sinRmRB 2 L 2 vmgR sin（ 3）当 mg sin时， ab 杆达到最大速度 vmv mRB 2 L 2变式 1、【针对训练 1】如图甲所示， CD 、EF 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 l ，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B ，在导轨的 C 、E 端连接一个阻值为 R 的电阻。
一根垂直于导轨放置的金属棒 ab ，质量为 m ，从静止开始沿导轨下滑，求 ab 棒的最大速度。
（要求画出 ab 棒的受力图，已知 ab 与导轨间的动摩擦因数μ，导轨和金属棒的电阻都不计）【解析】金属棒 ab 下滑时电流方向及所受力如图乙所示，其中安培力加速度mg sin ( mg cos B 2 l 2 v / R)a m棒由静止下滑，当v 变大时，有下述过程发生；vF合a时速度达到最大值，以后棒匀速运动。
当平衡时有：mg sin mg cos B 2l 2 v m / R 0∴ v m mg(sin cos )R / B 2 l 2 .F IlB B 2l 2 v / R ，棒下滑的v，可知 a 越来越小，当a=0变式 2、【针对训练2】如图所示，两根平滑的平行金属导轨与水平面成θ角放置。
导轨间距为L ，导轨上端接有阻值为 R 的电阻，导轨电阻不计，整个电阻处在竖直向上，磁感应强度为 B 的匀强磁场中，把一根质量为 m、电阻也为 R 的金属圆杆 MN ，垂直于两根导轨放在导轨上，从静止开始释放，求：（ 1）金属杆 MN 运动的最大速度vm 的大小，1（ 2）金属杆 MN 达到最大速度的 3 时的加速度 a 的大小。
【解析】金属杆 MN 由静止释放后，沿导轨加速下滑时，切割磁感线产生感应电动势为 E BLv cos ，由 MN 与电阻 R 组成的闭合电路中感应电流为：I E Blv cosR 2R ①由右手定则可知金属杆中电流方向是从N 到 M ，此时金属杆除受重力mg、支持力 N 外，还受到磁场F BIL 2 2 cos力，即：B L v2R ②金属杆受力示意图如图所示，金属杆沿斜面方向的合外力为：F合mg sin F cos mg sin B2 L2 v 2cos2R根据牛顿第二定律有：mg sin B 2 L2 v cos2 ma2R ③由③式可知，当 a=0 时，金属杆上滑的速度达最大值，由③式解得：v m 2mgR tanB 2L 2 cos2mgR tan v1v m（ 2）将3B 2 L2 cos 代入③得：3F合mg sin B 2L2 2 1v m mg sin1 2cos3mg sin mg sin，而F合ma 有：2R 3 32a g sin32mgR tan 2g sin【答案】① B 2 L2 cos② 3规律方法总结：对于滑棒类问题的动态分析问题，抓住受力情况，进行运动过程的动态分析是关键，既要注意感应电流的方向及安培力大小、方向的判断，又要善于运用牛顿运动定律与电磁学中有关力的知识综合运用。
问题 2、双棒类运动模型问题分析：例：如图所示，质量都为m 的导线 a 和 b 静止放在光滑的无限长水平导轨上，两导轨间宽度为L ，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感强度为 B ，现对导线 b 施以水平向右的恒力F，求回路中的最大电流 .【剖析】开始时导线 b 做加速运动，回路中很快产生感应电流，根据右手定则与左手定则得出导线 a 也将做加速运动，但此时 b 的加速度大于 a 的加速度，因此 a 与 b 的速度差将增大，据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大， b 的加速度减小，但只要 b 的加速度仍大于 a 的加速度， a、 b 的速度差就会继续增大，所以当 a 与 b 的加速度相等时，速度差最大，回路中产生相应的感应电流也最大，设此时导线 a 与 b的共同加速度为a 共，回路中电流强度为I m，F安 ma共 F 2ma共F安BI m L I mF对导线 a 有对导线 a 与 b 系统有又可解得2BL变式 3、【针对训练3】如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL 、 PQ 固定于同一水平面内，它们之间的距离为 l ，电阻可忽略不计；ab 和 cd 是两个质量皆为m 的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦的滑动，两杆的电阻皆为R. 杆 cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻质定滑轮悬挂一质量为 M 的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行. 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为 B. 现两杆与悬挂物都从静止开始运动，当ab 杆和 cd 杆的速度分别达到 v1和 v2时，两杆加速度大小各为多少？【解析】重物 M 下落使杆cd 做切割磁感线运动，产生感应电动势，同时在abdc回路中形成感应电流，则 ab 杆受安培力作用而向右做切割磁感线运动， ab 杆也产生感应电动势 . 用 E 和 I 分别表示 adbc 回路的感应电动势和感应电流的大小 . 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知E Bl ( v 2v1 )I E /(2R)令 a 12分别表示 ab 杆、 cd 杆和物体 M 加速度的大小， T 表示绳中张力的大小 .和 a由牛顿定律可知Fma 1Mg T Ma 2 T F ma 2由以上各式解得a 1 B 2 l 2 (v 2 v 1 ) /( 2Rm ) a 2 [ 2MgR B 2 l 2 (v 2v 1 )] /[ 2(M m)R]变式 4、【针对训练 4】（ 15 分）如图，在水平面上有两条平行导电导轨 MN 、 PQ,导轨间距离为 l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为 B ，两根金属杆 1、 2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m 1、 m 2 和 R 1、 R 2 ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度v0 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率。
解法一： 设杆 2 的运动速度为 v ，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势Bl (v 0v)①IR 1 R 2感应电流②杆 2 做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，BlIm 2 g ③以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率Pm 2 gv④P m g[ vm 2g( RR2)]解得 2B 2l 21⑤解法二： 以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆 1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时， 对杆1有Fm 1g BIl 0 ①对杆 2有BIlm 2 g 0 ② 外力 F 的功率P F Fv 0③以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有P P I 2( R1R )m g v0④F21Pm 2 g[v 0m 2 g(R 1R 2)]由以上各式得B 2l 2⑤变式 5、【针对训练5】如图所示，两根完全相同的“V”字形导轨OPQ 与 KMN 倒放在绝缘水平面上，两导轨都在竖直平面内且正对平行放置，其间距为L ，电阻不计，两条导轨足够长，所形成的两个斜面与水平面的夹角都是. 两个金属棒ab 和a b的质量都是m，电阻都是R，与导轨垂直放置且接触良好. 空间有分别垂直于两个斜面的匀强磁场，磁感应强度均为 B.如果两条导轨皆光滑，让 a b 固定不动，将ab 释放，则 ab 达到的最大速度是多少？【解析】 ab 运动后切割磁感线，产生感应电流，而后受到安培力，当受力平衡时，加速度为0，速度达到最大。