高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理新人教B版选修2_2
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教B版选修2_2
3．推理的分类 推理一般分为__________推理与__________推理． 4．合情推理 前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．
【答案】 1.判断 2.前提 结论 3.合情 演绎 4．可能
如图 211 所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端 点)有 n(n>1， n∈N＋)个点， 每个图形总的点数记为 an， 则 a6＝_________________， an＝________(n>1，n∈N＋)．
[ 基础· 初探] 教材整理 1 推理与合情推理 阅读教材 P53，完成下列问题． 1．推理的定义 根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________， 这种思维方式叫做推理． 2．推理的结构 推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做__________； 一部分是由已知推出的判断，叫做__________．
(2)归纳推理的一般步骤 ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 【答案】 1.(1)归纳推理 归纳
2．类比推理 (1)定义：根据__________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物 具 有 与 另 一 类 事 物 类 似 ( 或 相 同 ) 的 性 质 的 推 理 ， 叫 做 ________( 简 称 __________)．它属于合情推理． (2)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ( 猜 想)．
(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中 的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中 第二个加数从 1 开始，逐项加 1 递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成 以 1 为首项，2 为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第 n 个等式可为(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)． x x (3)∵f(x)＝ ，∴f1(x)＝ . 1－x 1－x 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， x 1－x x ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝ x ＝1－2x， 1－ 1－x
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件1新人教B版选修22
奇数的是第 2n 1 行;
3.三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和 是（180×2）度，凸五边形的内角和是 （180×3）度，
推断：凸n边形的内角和是180(n-2)度
（1）以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理
这种前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情
推理 铜能导电 铝能导电 部金分能导电
一切金属都
能导整电. 体
2.1.1 合 情 推 理
－－归纳推理
少辽沈人良年的是包特蹲点起青：来蹲天喝起水.来，b喝h手水d臂，有手刺臂青有狼刺头青狼头
由此包公判断沈良是辽人
生活中经常看到一些现象
1.当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等 现象时， 我们会想到什么？
2.河面冰块融化，柳树发芽，草地泛青。我们又 会想到什么？
a3
2 3
,
a4
1 2
.由此猜想an
2. 观察如图所示的“三角数阵” 1…………第1行
2 2…………第2行 3 4 3…………第3行 4 7 7 4…………第4行 5 11 14 11 5…………第5行
…………
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细 观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
什么叫推理？
已知 判断
新的 判断
推理的定义
前提
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断
的思维过程（或是思维方式）叫做推理
下列哪些是推理
1. 5班共有40名同学，抽取10名同学的成绩考察 得知10名都及格了，所以这次考试中5班所有同 学全部及格 .
2.铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则所有 金属都导电.
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课件1 新人教B版选修2-2
大前提错误
(1)自然数是整数，
(2)整数是自然数，
3是自然数，
-3是整数，
3是整数. (3)自然数是整数， 小前提错误-3是自然数，
-3是自然数.
(4)自然数是整数， －3是整数，推理形式错误
-3是整数.
－3是自然数.
小结：三段论推理中，（1）大、小前提的判断必须是真实的； （2）推理过程必须符合正确的逻辑形式和规则.
巩固深化
关系推理,也是演绎推理的一种模式,在不等式的证明中 经常用到。
K12课件
15
概念应用 巩固深化
例3 : 证明函数 f (x) x6 x3 x2 x 1的值恒为正数
完全归纳推理，也是演绎推理的一种常见模式。把某类 事物所包含的每一对象一一列举出来，逐一分析论证， 进而做出关于这一类事物的一般性结论。分类讨论的思想 就是这一推理形式的具体应用。
P BA
若集合A的所有元素都具有性质P， B是A的一个子集，那么B中所有 元素也都具有性质P.
演绎推理的特征：当前提为真，推理形式正确时，结论必然为真
K12课件
7
延伸课堂 丰富学识
“三段论”是由古希腊的亚里 士多德创立的，亚里士多德在西 方哲学史，逻辑学史上占有很重 要的地位，是古典形式逻辑的创 始人，在西方被称为“逻辑学之父 ”，亚里士多德提出用演绎推理的 方法来建立各门学科的体系。
10
概念辨析 思维升华
练习：将下列演绎推理写成三段论形式，并指出大，小前提及结论
1. 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是
太阳大系前中题 的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,
小前题
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件5 新人教B版选修2-2
类ห้องสมุดไป่ตู้推理
由两类对象具有某些类似特征和其 中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理.
探究
试将平面上的圆与空间的球进行类比.
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：空间中到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
=641 6700417
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”也就是说在不引起混淆的情况下一 张地图只需四种颜色来标记就行。
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半 径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B版选修22
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理预习导航新人教B版选修1-2
高中数学第二章推理与证明 2。
1.1 合情推理预习导航新人教B版选修1-21．合情推理前提为真时,结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．思考1你能举出日常生活中应用合情推理的例子吗？提示：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断--天要下雨了;张三今天没来上课，我们会推断-—张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”等．特别提醒（1）合情推理的根据是已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．（2)合情推理的结论具有偶然性，既可能为真，也可能为假．（3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向,对于数学的创新和发现十分有用．2．归纳推理(1）概念根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．特别提醒(1）归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．(2）归纳是依据若干已知的现象推断未知的现象,因而结论具有猜测性．(3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论．思考2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：其中（1）中的数称为三角形数,(2）中的数称为正方形数，你能举出一个既是三角形数，又是正方形数的数吗？提示:可先归纳出通项公式，（1）中a n＝错误!，(2)中b m＝m2，令m2＝错误!（n＋1)，其中m,n∈N＋，可探索出m＝35，n＝49能满足，此时对应的数为 1 225，当然这样的数不唯一．3．类比推理(1）概念:根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．（2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想)．特别提醒 (1)如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．(2)类比的结论具有偶然性，既可能真，也可能假．思考3归纳推理和类比推理有何区别与联系？提示：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．两种推理在探索未知数学领域都具有重要作用．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
2018年高中数学_第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课件2 新人教B版选修2-2
这种推理规则叫做传递性关系推理
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的
形式 别到一般的推理 推理 区
推理
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
答案： 〔0，+∞)
练习2：如果A,I是互斥事件，那么 （A）A∪ I是必然事件 （B）Ā与 Ī不是互斥事件 （C） Ā 与 Ī是互斥事件 （D） Ā ∪ Ī 是必然事件
答案：D
例3：函数f(x)＝ |x+1/a|＋|x－a|(a＞0)． 证明：f(x)≥2；
证明：由a>0，有f(x)＝ |x+1/a| ＋|x－a|≥
案例分析2：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
三、建构数学
从具体问题出发――观察、分析 比较、联想――归纳。
类比推理： 从特殊到特殊
类比――提出猜想
案例：
（1）观察 1+3=4=22 , 1+3+5=9=32 , 1+3+5+7=16=42 , 1+3+5+7+9=25=52 , …… 由上述具体事实能 得到怎样的结论？
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：错误!→错误!→错误!类比推理的思维过程大致如下:错误!→错误!→错误!2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：（1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2,2cos错误!＝错误!，2cos错误!＝错误!.证明:2cos错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下：2cos错误!＝错误! (n∈N＋，n≥1）．【例2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线错误!－错误!＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解:类似的性质为:若M,N是双曲线错误!－错误!＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标为(m,n），(x，y），则N（－m，－n）．因为点M(m,n)在已知双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝错误!x2－b2.因为k PM·k PN＝错误!·错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!（定值），所以k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．专题二直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．综合法与分析法的区别与联系:分析法的特点是:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是:从“已知”看“可知”，逐步推向“未知",其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
括出__一__般__结__论___的推理，称为 归纳推理(简称归纳)
象也具有这些特征的推理， 称为类比推理(简称类比)
归纳推理
类比推理
特 归纳推理是由个__别__到__一__般__，由 类比推理是由_特__殊__到__特__殊__
征 __部__分__到__整__体____的推理
的推理
2.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 _观__察__、_分__析___、_比__较___、__联__想__，再进行_归__纳___、
含义 _类__比___，然后提出_猜__想___的推理，我们把它们统称为 合情推理
过程
重点难点突破
解剖难点 探究提高
归纳推理具有以下特点：(1)归纳是由特殊现象推出一般现 象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归 纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象， 因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特 殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础上的，归 纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)， 一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真．
[名 师 点 拨] 类比推理时，要注意比较两个对象的相似之处和不同之处， 找到可以类比的两个量，然后加以推测，最好能加以证明，以 确保类比的准确性．一般地平面图形与空间图形类比如下：
平面图形 点 线 圆
三角形 线线角 边长 周长 面积
…
空间图形 线 面 球
四面体 二面角 面积 表面积 体积
…
(2019·杭州二中高二月考)可以运用下 面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平 行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为 k，那 么甲的面积是乙的面积的 k 倍．你可以从给出的简单图形①、 ②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是ax22＋by22 ＝1(a>b>0)与 x2＋y2＝a2，运用上面的原理，③中椭圆的面积为 ________．
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件3 新
2
1
3
解:设an表示移动n块金属片时的移动次数.
当n=1时,a1=1
当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7
猜想 an= 2n -1
当n=4时,a4= 15
2
1
3
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想;四色
•
3 4 5 6 7 25
4 5 6 7 8 9 10 49
照此规律第n个式子为
n (n 1) (n 2) (3n 2) (2n 1)2
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7 ，
3+17=20， 20=3+17，
根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对 数学的普遍印象吗?
已知 判断
前提
新的 判断
结论
1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
合 情 推
猜想:一切金属都能导电.
归
2.由三角形内角和为 18,凸0 四边形内角和为
凸五36边0 形内角和为
540
,
纳 推
理
理 猜想:凸n边形内角和为 (n 2) 180 .
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数
猜想：22n 1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
225 1 4294967297 6416700417
后来人们发现 226 1,227 1,228 1都是合数.
新的猜想：形如 22n 1（ n 5 ）的数都是合数.
整体
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课堂探究
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课堂探究 新人教B版选修1-2探究一 归纳推理归纳推理是发现新事物的推理方法，归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳推理，通过观察、试验、从特例中归纳出一般结论，哥德巴赫猜想就是典型归纳推理的应用，它能在某种程度上推动数学的发展．【典型例题1】 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．a 100＝－b ，S 100＝2b －aC ．a 100＝－b ，S 100＝b －aD ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝a 3－a 2＝－a ，a 5＝a 4－a 3＝－b ，a 6＝a 5－a 4＝a －b ，a 7＝a ，a 8＝b ，……可得数列具有周期性，每连续6项为一个周期．∴a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A点评 解答选择题时，根据题干提供的条件，用演绎推理或计算很难确定选项时，我们可以通过考查符合条件的某个(或某些)特殊情形，并归纳猜想出一般性结论的选项，从而否定另一些结论的选项，轻松确定正确选项．探究二 类比推理进行类比推理，关键是明确出两类事物在某些方面的类似特征，类比推理也是获得数学结论的一条重要途径，尤其在学习过程中，学习新知识，要充分联系以前学过的旧知识，具有共性的知识是一脉相承的，这其实就是类比推理在实践中的运用．【典型例题2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．思路分析：充分运用类比推理可知在双曲线中k PM ·k PN 为定值，然后利用解析法证明即可．解：类似的性质为：若M 1，N 1是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 1是双曲线上任意一点，当直线P 1M 1，P 1N 1的斜率都存在，并记为kP 1M 1，kP 1N 1时，那么kP 1M 1与kP 1N 1之积是与点P 1的位置无关的定值．设点M 1，P 1的坐标为(m ，n )，(x ，y )，则N 1(－m ，－n )． 因为点M 1(m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则kP 1M 1·kP 1N 1＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．点评 在学习双曲线这节内容时，要注意与椭圆的知识进行类比，以便找出它们之间的共性．探究三 推理的综合应用合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．当然对于结论正确与否，要进行严格证明才行．【典型例题3】 有一个雪花曲线序列，如图：其产生规则是：将正三角形P 0的每一边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条线段，便得到第1条雪花曲线P 1；再将P 1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第2条雪花曲线P 2；……；把P n －1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第n 条雪花曲线P n (n ＝1,2,3,4，…)．(1)设P 0的周长为L 0，求P n 的周长； (2)设P 0的面积为S 0，求P n 的面积．解：(1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得L n ＝43L n －1，n ∈N ＋，所以L n ＝43L n －1＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43nL 0，n ∈N ＋.(2)由雪花曲线的构造规则比较P 0和P 1，易得P 1是P 0在每条边增加了一个小等边三角形，其面积为S 032，而P 0有3条边，故有S 1＝S 0＋3·S 032＝S 0＋S 03.再比较P 2与P 1，可知P 2是P 1在每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为132·S 032，而P 1有3×4条边，故有S 2＝S 1＋3×4×S 034＝S 0＋S 03＋4S 033.类似地，有S 3＝S 2＋3×42×S 036＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035，故可猜想S n ＝S 0＋S 03＋4S 033＋42S 035＋43S 037＋…＋4n －1S 032n －1＝S 0＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n 1－49S 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤85－35⎝ ⎛⎭⎪⎫49n S 0.探究四 易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误．解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．【典型例题4】 请用类比推理完成下表：错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的3.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.错因分析：错解一“三角形周长”的类比错误，错解二“12”的类比错误．三角形的周长“a ＋b ＋c ”应类比为三棱锥各面面积的和“S 1＋S 2＋S 3＋S 4”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.点评 进行类比推理时，需根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，我们可以从不同的角度出发确定类比对象，如围成几何体的几何元素的数目、位置关系等．。
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第 3 个数为 n＋1.
解析
答案
x (2)已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且 n∈N＋)，则 1－x x x n－1 1 － 2 x 1－4x ，猜想 fn(x)(n∈N＋)的表达式为______________. f3(x)的表达式为_______
解析
答案
引申探究
„，
π －2 2π － 2 3π － 2 照 此 规 律 ， sin 2n＋1 ＋ sin 2n＋1 ＋ sin 2n＋1 ＋„＋ 2nπ －2 4×n×(n＋1) sin ＝____________. 3 2n＋1
解析
4 观察等式右边的规律：第 1 个数都是3，第 2 个数对应行数 n，
在本例 (2) 中，若把 “fn(x) ＝ fn － 1(fn － 1(x))” 改为 “fn(x) ＝ f(fn － 1(x))” ，
其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式.
解答
反思与感悟
(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式 (或不等式) 中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式 ( 或不等式) 中结构形成的特征；③提炼出等 式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通 项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或 前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公 式或前n项和公式.
答案
梳理
类比推理 (1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中 一类事物具有与另一类事物 类似(或相同) 的性质的推理，叫做类比推 理(简称类比). (2)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的 相似性 或 一致性 ； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 明确 的命 题(猜想).
知识点二
归纳推理
思考
(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都 能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征.
答案
梳理
归纳推理
(1) 定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的 所有对象 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是 从 特殊 到 一般 的过程.
解析 交错，
等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负
1 1 1 1 1 故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－ ＋ － ＋„＋ ； － 2 3 4 2n－1 2n
等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，
故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右 1 1 1 边应为 ＋ ＋„＋2n . n＋1 n＋2
跟踪训练 1 以推广为 n A.x ＋ x>n
n
1 2 3 2 3 (1)已知 x>1，由不等式 x＋ x>2；x ＋ x>3；x ＋x >4；„，可
n B.x ＋ x>n＋1
n
n ＋1 C.x ＋ x >n＋1
n
n＋1 D.x ＋ x >n
n
解析
答案
(2)观察下列等式：
sin sin sin sin π 2π 4 －2 －2 ＋sin 3 ＝3×1×2； 3 π 2π 3π 4π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin 5 ＋sin 5 ＋sin 5 ＝3×2×3； 5 π 2π 3π 6π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin ＋sin ＋„＋sin ＝ × 3 ×4 ； 7 7 7 7 3 π 2π 3π 8π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin 9 ＋sin 9 ＋„＋sin 9 ＝3×4×5； 9
题型探究
类型一 命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1 1 1－2＝2，
1 1 1 1 1 1－2＋3－4＝3＋4， 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6， „，
归纳推理
据此规律，第n个等式可为
1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ －2n＝ ＋ ＋„＋2n 2n－1 n＋1 n＋2 ________________________________________________.
第二章 §2.1
合情推理与演绎推理
2.1.1
合情推理
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的
推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 1.推理的概念与分类
推理
(1)根据一个或几个 已知事实(或假设) 得出一个判断，这种思维方式就是 叫做 前提 ； 一部分是由已知推出的判断，叫做 结论 . (3)推理一般分为 合情推理与 演绎推理 . 2.合理推理 前提为真时，结论 可能为真 的推理，叫做合情推理.常用的合情推理有 归纳推理和 类比推理 .
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些 相同性质 ；
②从已知的 相同性质 中推出一个明确表述的 一般性 命题(猜想).
知识点三
类比推理
思考
由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角 1 形面积等于高与底乘积的 . 2 可推测出四面体具有如下性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 1 . 3 该推理属于什么推理？ 答案 类比推理.