高数A(二)试卷
高数A2(A卷)
……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。
高数试题+答案
安徽大学2008--209高等数学A(二)试卷一、填空题(2×5=10分)1. 过点(1,2,3) 且与直线11233-==-z y x2. 设11),(-+=xy xy y x f ,则=→),(lim )0,0(),(y x f y x 2.3. 累次积分4. 已知曲线5. 已知(x f ⎩⎨⎧=x f )(二、选择题(6. 设)(1x y ,21,C C A. 11y C C. 11y C 7. A. 连续, C. 8. 曲线L : A. 10828=--z y x B. 268216=+-z y x C. 14028=--z y x D. 244216=+-z y x 9. 常数0>a , 则第一型曲面积分⎰⎰=++22222a z y x dS x的值为 ( A ).A.434a π B. 234a π C. 44a π D. 24a π 10. 下列级数中, 绝对收敛的是 ( D ).A.∑∞=-1)1(n nn B. ∑∞=-1)1(n nn C.∑∞=++-11)1(n nn n D. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算题(8×8=64分)11. 已知直线41033:1--==-z y x L , 平面522:=++∑z y x , 求直线1L 与平面∑的夹角. 解：设直线1L 的方向向量为l :则(30-4l =，，）平面∑的法向量14. 计算二重积分中⎰⎰-Dy dxdy e22, 其中D 是由直线x=0、y=1及y=x 所围成的区域.15. 计算三重积分⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x , 其中常数R>0.解:⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x=2222222222()x y z R x y z R x y dxdydz xzdxdydz ++≤++≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（对称性）18. 将x f 1)(=展开为(x+2) 的幂级数, 并求该幂级数的收敛域.四、应用题(8分)19. 在椭圆4422=+y x 上求一点, 使该点到直线2x+3y-12=0的距离最短.解：设(,)x y 为椭圆2244x y +=上任一点，则该点到直线23120x y +-=的距离为:n n=⎭⎝0证明：因为{}n a 单调减小，且0n a ≥，即单调减小有下界，故{}n a 收敛。
高数A2练习题
⾼数A2练习题1、选择题：1.⽅程是( )(a)、柱⾯ (b)、椭球⾯ (c)、双曲抛物⾯ (d)、锥⾯2、设平⾯⽅程为，其中A，C，D均不为零，则平⾯（）A．平⾏于x轴 B. 平⾏于y轴 C. 经过x轴， D. 经过y轴。
3．已知向量a ，b的模分别为，则 ( )(a)、2 (b)、 (c)、(d)、14．设平⾯⽅程为，且，则平⾯( )(a)、平⾏于x轴 (b)、平⾏于y轴(c)、经过y轴 (d)、垂直于y轴5.向量为共线的单位向量，则它们的內积 ( )(a)、1 (b)、-1 (c)、0 (d)、(a)、 (b)、(c)、 (d)、以上均不正确7、向量（）是单位向量A：（1，1，1） B：（，，） C：（0，-1，0） D：（，0，）8．双曲线绕z轴旋转⽽成的旋转曲⾯的⽅程为（）(a)、 (b)、(c)、 (d)、9、直线的标准⽅程是（）ABCD10、曲⾯z=xy在M0(1,2,2)处的切平⾯为（）A： 2x+y-z=2 B:2x-y+z=2 C:x+2y-z=2 D:2x+y+z=02．函数11.在点处连续是它在该点偏导数存在的（）(a)、必要⽽⾮充分条件， (b)、充分⽽⾮必要条件，(c)、充分必要条件， (d)、既⾮充分以⾮必要条件。
12.已知为某函数的全微分，则为 ( )(a)、－1 (b) 、0 (c)、1 (d)、2。
13、函数在点(0,0)处： ( )(A)连续但不可导 (B)不连续但可导(C)可导且连续 (D)既不连续⼜不可导14、函数在点可微分且在该点取极值，则在点处必有( )(A) (B)且仅与有关(C)且仅与有关 (D)且与和均有关15．函数在点处偏导数存在，是在该点连续的( )(a)、充分条件，但不是必要条件。
(b)、必要条件，但不是充分条件。
(c)、充分必要条件。
(d)、既⾮充分条件，⼜⾮必要条件。
16、⼆元函数在处关系表述正确的是 ( )A. 可微可偏导连续B. 可微可偏导连续C. 可偏导连续, 但可偏导未必可微D. 可微可偏导,可微连续 ,但可偏导未必连续17．函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处有f x/(x0,y0) =0,f y/(x0,y0)=0 则P0点是( ) A：连续点 B：极⼤值点 C：驻点 D：极⼩值点18. 函数在点（0，0）处【】(a)、连续，偏导数存在 (b)、连续，偏导数不存在(c)、不连续，偏导数存在 (d)、不连续，偏导数不存在19.⼆元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．⽆关条件20.设函数在单连通域D上具有⼀阶连续偏导数，则曲线积分在D域内与路径⽆关的充要条件是( )(a)、 (b)、 (c)、 (d)、21.曲线积分，其中C是圆⼼在原点，关径为的圆周，则积分值为( )(a)、， (b)、， (c)、， (d)、22．设L是圆周，取逆时针⽅向，则曲线积分( )(a)、-1 (b)、1 (c)、0 (d)、223．设，则三重积分等于(a)、0 (b)、 (c)、 (d)、2。
上海大学高等数学
F ( ) 0
（3 分）
（2）又 F ( x) 在 [0, ] 上连续， (0, ) 可导
F (0) 0 F ( ) 0 (0, ) (0,1) F ( ) 0
即： f ( ) 1 （3 分）
25．设 f ( x) ln x ln a
（
）
（A）平行 （B） 直线 L 在平面上
5．三角函数的正交性是指:在三角函数系中 （A） 任意一个函数在 [ , ] 上积分值为零
（B）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值不为零 （C）任意一个函数自身平方在 [ , ] 上积分值为零 （D）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值为零
3
tan x sin x
12．原式 lim
e x ex 2 e x ex e x ex （2分） lim lim 2 x 0 x 0 x0 1 cos x sin x cos x
1 x x （2 分） lim ( ) e x （2 分） x 0 1 x
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恩波—科兴
一、 选择题（每题 2 分，共 10 分）
上大高数试题
上海大学高等数学 A(一)
x 2 sin
1. lim
x 0
sin x
1 x 的值为
B：∞ C：不存在 D：0
（
）
A：1
2.当 x 0 时 f ( x) 1 sin x 1 sin x 与 x 是 A：等价无穷小 B：同阶无穷小
(1)
x 1 x 2x 3
2
dx
2004-2021年专升本高数(二)考试真题及答案
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)
浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级 学号 姓名 一、 选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为 （ ）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝ （ ）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为 （ ）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。
L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（ ）。
(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。
5、 设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （ ）。
(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。
6、下列级数收敛的是 （ ）(A) ∑∞=1sin n n π； （B ）∑∞=1100!n n n ； （C ）∑∞=+12)11ln(n n ； （D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （ ）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。
MK_10-11(2)高数A(二)、B(二)试卷
v ∫
L
+
Pdx + Qdy + Rdz ≤ max
( x , y , z )∈Σ
(Q
x
− Py ) + ( Ry − Qz ) + ( Pz − Rx ) ⋅ S
2 2 2
其中 Σ 为以 L 为边界的某曲面， S 为曲面 Σ 的面积．
第 6 页 共 6 页
(−1) n−1 （2）求级数 ∑ 的和． n n =1 n ⋅ 2
∞
第 3 页 共 6 页
[‰Y'•Q~ÜNf^—
⎧ x = uv ∂u ∂v 5． （1）设 ⎨ ，求 , . ∂x ∂x ⎩ y = sin u + cos v
（2）设 sin z − xyz = 0 ，求
∂2 z ． ∂y 2
安徽大学 2010—2011 学年第二学期
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
f ( x ) 的 Fourier 级数在 x = 4π 处收敛于
．
5．设 f ( x, y ) = xy 2 在点 (2,1) 处沿方向 (4, −3) 的方向导数等于
得 分
．
院/系
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
⎧ x2 y , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 1． 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y , 在点 (0, 0) 处 2 2 ⎪ 0, x +y =0 ⎩ A．不连续 B．可微 C．不可微，且偏导数不存在 D．不可微，但偏导数存在．
(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级 学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．a b0a b += 2a = 2b = a b ⋅= 2、设，则．ln()z x xy =32zx y ∂=∂∂3、曲面在点处的切平面方程为．229x y z ++=(1,2,4)4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数()f x 2π[,)ππ-()f x x =()f x 在处收敛于，在处收敛于．3x =x π=5、设为连接与两点的直线段，则．L (1,0)(0,1)()Lx y ds +=⎰※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0M (1,1,2)-2、求由曲面及所围成的立体体积．2222z x y =+226z x y =--3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？11(1)lnn n n n∞=+-∑4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．(,sin x z f xy y y =+f 2,z zx x y∂∂∂∂∂5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．,dSz ∑⎰⎰∑2222x y z a ++=(0)z h h a =<<三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小22z x y =+1x y z ++=值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰其中为常数，为由点至原点的上半圆周．m L (,0)A a (0,0)O 22(0)x y ax a +=>五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．13nn n x n∞=⋅∑六、（本题满分10分）计算曲面积分，332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰其中为曲面的上侧．∑221(0)z x y z =--≥七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面()f x (0)f a =222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰t Ω与所围成的闭区域，求 ．z =z =30()lim t F t t+→-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；→→不得带走试卷。
高数A(2)综合测试1
高等数学（A2）综合测试（一）(时间：120分钟)一、填空题（24分）1 21. 设442u x y x y =+−，则22________.u x ∂=∂ 2. 设函数在点(1,1,1)沿的方向导数u xyz =(2,1,1)l =G (1,1,1)u l ∂=∂【 】.323. 曲面上点（1,-2,1）处的切平面方程为222321x y z ++=222___________________.u x∂=∂ 4. 若级数收敛，则.1(21)n n u ∞=−∑lim ____________n n u →∞=5. 设曲线L 是沿逆时针方向的圆周 则224,x y +=Lxdy ydx −∫v = 。
6. 下列级数收敛的是【 】.A. n ∞=B. 21(1)5n n n n∞=−+∑ C. n n ∞= D. 111nn n ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑ 7. 已知平面区域D ：,01,a x b y ≤≤≤≤又()1,D yf x d σ=∫∫ 则()b af x dx =∫【 】.A. 1B. 2C. 0D. 0.58. 设L 为圆周则223,x y +=∫v = . 二、解答下列各题（56分）1. 设 求2222,sin ,x y z u e z x y ++==,u u x y ∂∂∂∂. 2. 设函数2ln sin 2yz y u x y e =++，求全微分. du 3. 求由方程33z x 1yz −=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（2,1,1）处的全微分.4. 设,,xy x z f e y −⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ 且f 具有二阶连续偏导数，求22,z z xx ∂∂∂∂. 5. 计算(D,x σ+∫∫其中D: 221x y +≤.6. 计算，其中由zdv Ω∫∫∫Ω2z x 2y =+及平面1z =所围成的闭区域.7. 计算222(1)(2),Lx y dx x x y dy −+++∫L ：从沿上半圆(4,0)A y =的一段圆弧.(0,0)O 8. 计算其中Σ是曲面,zdxdy Σ∫∫22z x 2y =+介于0z =及1z =之间的部分的外侧.三、解答下列各题（20分）1. 判定级数21(1)3nn n n ∞=−∑的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()s x ，并计算和11(3)n n n ∞=−∑. 3. 将函数21()2f x x x =−−展开为x 的幂级数. 4. 设(),0f x x x π=≤≤，将()f x 展开为正弦级数，（1）求的值；（2）记1sin n n b n ∞=∑x 2b 1()sin n n s x b ∞==∑nx ，则()s π= .。
安徽大学高数A(二)期末试卷答案
安徽大学 2009—2010 学年第二学期 《高等数学 A（二）、B（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
题号 一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
学号
姓名
专业
一、填空题（本大题共五小题，每小题 2 分，共 10 分）
1．点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离为
.
2．极限
f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处取极小值的充分条件的是
（）
A.
fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
(
x0
,
y0fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
18．将 f (x) = 1 展开为 (x + 2) 的幂级数，并求该幂级数的收敛域. 1+ 2x
四、应用题（本大题共 8 分）
19. 在椭圆 x2 + 4 y2 = 4 上求一点，使该点到直线 2x + 3y −12 = 0 的距离最短.
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页
_________.
2. 设 f (x, y) = x y ，则 lim f (x, y) =_____________ .
xy +1−1
(x, y)→(0,0)
∫ ∫ 3. 累次积分
高数A(2)习题课(3)向量代数
将 cos 2 2 cos 1代入并整理得
2
cos （ 2 cos 1） 0
2 2
解得
2
或
（ . 不合） 4 4
3
故向量的方向余弦为
0 , 0 1或
1 2
，
1 2
， 0
所求向量为（
0 , 0， 2）或（
2， 2，） 0
三、
典型例题讲析
2 3
即ab=ca.
同理可证ab=bc.
充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面， 于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0 在上式两边与a,b作叉积得 2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0 ∴ 1= 2= 3且非零。于是得a+b+c=0。
1 42
cos
1
（为什么不是
42
1 42
？）
如图，过B作PA的平行向量BD交PC于D，显然 |PB|= |BD|=3.于是PD=PB+BD=PB+3/7PA
而 PD 2 PB cos
6 42
C D
B
故 PC
PC
PD
3 42 6/ 42
P
PD
A
PD
解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程 （除2外）均可表示为 2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1） 显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、 3 属同一平面束。
将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1
2018-2019学年第一学期高数期末参考答案(1)
=
1
ee
+
2
π −2.
天津大学试卷专用纸
学院
专业
班
年级
学号
姓名
共 3页 第2页
四、计算题（共 35 分, 每小题 7 分）
1. 计算定积分
π
3 −π
3
(
x
+ 2)sin cos2 x
x
dx
.
解：
π
3 −π
3
2 sin cos2
x x
dx
=
0,
I
=2
π
3 x d sec x
0
=
x
sec
x
5.
设 I1 =
π 4 0
tan x x
dx,
I2
=
π 4 0
x tan
x
dx
,
则
(
B
).
(A) I1 I2 1; (B) 1 I1 I2 ; (C) I2 I1 1; (D) 1 I2 I1 .
二、填空题（共 15 分, 每小题 3 分）
arcsin x
1. 极限 lim
1− x2 =
(1) D 的面积 S; (2) D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V.
所以对应齐次方程通解 y = C1e2x + C2e3x .
解： A点坐标
2 1
2
,
2
,
直线 oA : y =
2 2x
(1) S =
2
2 0
2 2
x − x2
dx
=
2 4
x2
2 2 0
−
1 3
08高数A(2)A卷答案-5页文档资料
s(x) = ( x ) 1 x
=
1 (1 x)2
， (1
x
1) ．
……10 分
第2页
线
4八．、设（10f
分(x)）是设区可域导D函数{(，x, y且) | 满x2 足 y条2 件1}：，计lim算 x0
f((1x)2
D
fy
(21)dxdxy)
2x4
。
1
，则曲线
f11
xf12
f2
yf 21
xyf 22
f11 x y f12 xyf22 f2
……4 ……6 ……8
专业：
订
学院：
装
第1页
五、（8 分）求曲面 x2 yz 3y2 2xz2 8z 上点 (1, 2, 1) 处的切平面和法线方程．
cos 2
d
1D.2
1f
(c3osesc2x)3dsec
x
)
ln1
3dx
0
2
40
2
4
……6 分 ……8 分
三、计算题（(1共 1)491分 5） .
4 4 16
……10 分
1九．、（解求8：分由lxi）m1z求函23x数xzx02，x211z
y2x在区。域 x2
设 s(x) nxn1 ， x (1,1) ．上式两边从 0 到 x 积分，得 n1
x s(x)dx
x
(
nxn1)dx
x nxn1dx xn
x
， (1 x 1) ，……7 分
0
0
n1
10-11高数二(A卷)期未考答案1 北京信息科技大学
4分
7分 四．7 分*2=14 分
1、计算曲线积分 ∫
L
2 y d s ，其中 L 是抛物线 y = x 上点(0,0)与点(1,1)之间的弧.
2、 用格林公式计算 ∫ ( 2 x − y + 4 )d x + ( 5 y + 3 x − 6 )d y ， 其中 L 为三顶点分别为
L
（ 0， 0） ， （ 3， 0） ， （3，2）的三角形正向边界。
∫∫
D
∂ 2u ∂ 2u ( 2 + ) dxdy ∂x ∂y 2
v 证明：设 n 与 x 轴正方向夹角为 α ，则曲线的切向量与 x 轴正方向夹角为 π ---2 分 θ =α + 2
所以， v =
∂u ∂n
∂u ∂u ∂u ∂u cosα + sinα = sinθ − cosθ ∂y ∂x ∂y ∂x
北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期 《高等数学》176学时课程期末考试试卷标准答案（A卷） 一.7 分*2=14 分 1. 已知函数 z = x 2 y + y 2 , 求全微分 dz 。
解 ：dz =
∂z ∂z dx + dy LLLLL (2) ∂x ∂y
= 2 xydx + (x 2 + 2 y)dy LL (7)
(
3
a,3 a,3 a
)
7分
由于问题的实质是在曲面 xyz = a 位于第一卦限内的部分上求一点，使其到原点 的距离平方为最小，而最小距离是存在的。因此应把 a 分成三个 等的正数，即 x = y = z = 3 a ，这时它们的平方和为最小。 2.设 f ( x, y) 是连续函数，其中 a, m 为常数，且 a > 0. 证明
10-11高数(二)中考本科试卷_A_[1]
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( B) x 2 y 2 z
( D) x 2 y 2 2 z 2 1
(C ) x 2 +2 y 2 z
2.设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续是z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
可微的( C ) 条件.
则: 1) 当 AC B 0 时, 具有极值
2
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B 2 0 时, 没有极值.
AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论. 3) 当
13
★拉格朗日乘数法: 要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的可能极值点, 先构造函数：F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)，
1 lim ( x , y ) (0,0) 2
1 . 2
7
2z 2.设函数 f (u, v )具有二阶连续偏导, z f ( x, xy ), 求 . xy z 解： f1 +yf2 , z , f1 , f 2 x
z ( f1 +yf2 )y xy
2
x
x
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, 可由 f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, 解出 x, y, ， ( x , y ) 0. 则解出的 x, y 就是可能的极值点的坐标.
★有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤： D内的驻点及不可导点. (1)找最值可疑点 边界上的可能极值点. (2)比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所求 的最大(小)值 .
高数A(2)习题课(5)多元函数微分学1
∂u + ∂u + ∂u . 2 2 2 设 三、 u = x + y + z , 求 、 ∂x ∂y ∂z
? f (x, y) ¶y
可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导.
例5（1）设 f ( x, y ) = x , 求 f x ( x, y ), f y ( x, y ). ∂z ∂z 2 2 （2）设 z = sin( x − y ), 求 , . ∂x ∂y 解 （1） f ( x ，y ) = yx y −1 , x
解法2 利用一阶全微分形式的不变性
x y du = f1′d ( ) + f 2′( ) y z 1 x 1 y = f1′( dx − 2 dy ) + f 2′( dy − 2 dz ) y y z z −x 1 1 y = f1′dx + ( 2 ) f1′ + f 2′ dy − 2 f 2′dz y z z y
C.有界闭区域上连续函数的性质 3.偏导数的定义、计算以及几何意义
4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存 在、偏导数连续，连续之间的关系 5.复合函数偏导数的链式法则
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
是否趋于0。
ρ
同理， f y′ ( 0,0 ) = 0
∆f = f ( x, y ) − f (0,0), ∆x = x, ∆y = y, ρ = x 2 + y 2 , 则
lim f ( x, y ) − f (0,0) − f x′(0,0) x − f y′ (0,0) y x2 + y2
高数A(二)复习试卷
上海大学高数A （二）复习试卷一、求下列导数与极限（1）⎰=x x dt t x F cos sin cos )(2π 求：)(x F '（2）⎰=Φ2x x dx x x sin ln )( 求：)(x Φ'（3）设)(x f 为连续的偶函数，且⎰⎰+=-xx dt t f dt t f x g 10)()()( 求：)('x g （4）)cos()ln(lim )sin(x dtt t x x -+⎰>-1120（5）dt t t x x x ⎰+∞→310221lim（6）求：⎰-=201x dt t t x f arctan )()(的极值点（7）利用定积分定义求：)......(lim 22222212111n n n n n n ++++++∞→二、估计积分成立⎰---<<212121222dx e e x三、计算定积分、广义积分：（1）dx x x x )sin cos (++⎰-ππ21（2）⎰-2121dx x x（3）⎰++31022112x x dx)(（4）⎰--212121dx x xx arcsin （5）⎰π06xdx x sin（6）⎰+-10223x x dx（7）⎰∞221dx x x ln（8）⎰+4021πdx x xcos（9）⎰∞++04)(x x dx（10）dx x x ⎰--+11225)( （11）设⎰=21x dt t t x f sin )(，求：⎰10dx x f x )( （12）dx xx x ⎰+π021cos sin （13）已知⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=011011x e x x x f x)( 求：⎰-201dx x f )( （14）dt e t ⎰∞+-0（15）已知：⎩⎨⎧≤<-≤≤=21210x x x x x f )( 求：（1）⎰-=200dx e x f S x )( （2）⎰+--=)()(1222n n x n dx e n x f S （16）求：x d x xf ⎰10)(，其中⎰-=221x t dt e x f )( 四、证明题： 1. 设)(x f 在[]10,上连续，且1<)(x f ，证⎰=-xdt t f x 012)(在[]10,上只有一个解。
1617高等数学A(二)部分试题答案 济南大学20180614
d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y ) d x
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n 1 n 1 2 n 2n
( 1)
n 1
n 1 n
2
n
收敛, 因此
( 1)
n 1
n 1
n 绝对收敛. n 2
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故原级数收敛且绝对收敛.
5. 求幂级数
知识点:收敛半径和收敛域 解: lim u n 1 ( x) lim n u n ( x) n
1 lim sin 2 n n
1 1 lim 2 2 n n n
1 2 1 n
原级数收敛 .
1 ( 1) n1 发散 , 收敛 , n n 1 n n 1
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1 当 p 1时 ,收敛 p n n 0 当 p 1时 ,发散
三重积分计算 先一后二,先二后一
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1.
D f ( x, y ) d
d x
a b
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
D
2 ( x)
1 ( x )
f ( x , y ) d y d y
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三、计算题（每小题5分，共30分）
u
1. 设 z e cos v , u x + y , v xy , z z v 解: 教材P81 x v x
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高等数学A(二)
一、填空题
1. 已知向量}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{-=-==，则=-⋅+)()( .
2. 设L 为单位圆周在第一象限部分，则⎰=L xyds .
3. 设2214x y z z I zdv Ω
Ω+≤≤≤==⎰⎰⎰是及所确定的区域，则 .
4.周期为2π的周期函数)(x f 在一个周期上的表达式为(),f x x x ππ=-≤≤，设它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)2
3(πS . 5. 微分方程y x e y -='2满足条件00==x y 的特解是 .
二、单项选择题
1.xoy 平面上曲线36942
2=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ ）. 222()4()936A x z y +-=. 2222()4()9()36B x z y z +-+=.
222()49()36C x y z -+=. 22()4936D x y -=.
2.下面命题中不正确的是（ ）.
（A ）),(y x f 在点),(00y x 处极限不存在，则在该点处必不连续.
（B ）),(y x f 在点),(00y x 处偏导数存在，但在该点处不一定连续.
( C) ),(y x f 在点),(00y x 处不连续，则在该点处必不可微.
（D ）),(y x f 在点),(00y x 处可微，则在该点处偏导数一定连续.
3.改变积分12
0(,)y I
dy f x y dx -=⎰的次序，则I =（ ）. (A)dy y x f dx x x ⎰
⎰-2210),(. (B)dy y x f dx x x ⎰⎰-2220),(. (C ⎰⎰-2
22
1),(x x dy y x f dx . (D)⎰⎰+⎰⎰-x x dy y x f dx dy y x f dx 20210
10),(),(2
.
4.设∑是平面
1432=++z y x 在第一挂限的有限部分，则曲面积分4(2)3z x y dS ∑
++=⎰⎰（ ）. ()
A ， ()
B ()
C ，
(D . 5. 判别∑∞
=+122n n n 的敛散性，正确方法是（ ）. ()A 因为12
2
lim 22
n n n n n +→∞++12
=＜1，所以此级数收敛. ()B 因为2lim 02
n n n →∞+=，所以此级数收敛. ()C 因为22n n +＞n 21，而∑∞=02
1n n 收敛，所以此级数收敛. ()D 因为22n n +＜)2(+n ，而∑∞=+0
)2(n n 发散，所以此级数发散. 三、计算题
1. 求过点（3，2，-1）且与平面430x z --=及2510x y z ---=平行的直线方程.
2. 设(,,)z f u x y =，y
xe u =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2. 3. 求σd y x D ⎰⎰，其中D 是由抛物线2,x y x y ==
所围成的闭区域.
4. 计算⎰-+Γydz zdy dx x 2；其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上对应θ从0到π的一段弧.
5.利用高斯公式计算xdydz zdxdy ∑
+⎰⎰，其中∑是介于平面0z =和1z =之间的锥面222z x y =+，正侧向下.
6. 将21()32
f x x x =++展开成4x +的幂级数. 7. 求微分方程002301,3x x y y y y y ==''''-+===满足条件的特解.
四、综合应用题
1.设曲线积分
y d y x f dx y e x f L x cos )(sin ))((--⎰
与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，求)(x f .
2. 在曲面22y x z +=上找一点，使它到点)33,2,1(的距离最短，并求最短距离.
五、证明题 1. 已知平面222
2221x y z lx my nz p a b c
++=++=与椭球面相切，证明： 2222222p n c m b l a =++.。