上海实验学校中学2019年高三数学文下学期期末试题

上海实验学校中学2019年高三数学文下学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）下列函数是偶函数的是（）．DB对于A，f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），是奇函数对于B，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），是偶函数对于C，定义域为[0，+∞）不对称，则不是偶函数；对于D，定义域为[0，1]不对称，则不是偶函数故选B．2. 在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（）A. 64B.C. 36D. 16参考答案：C【分析】简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这9个数的和为，得解．【详解】由数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，设，，的公比为，因为，所以，，所以这9个数的和为，即这9个数和的最小值为36，故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法.3. 已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率求法；关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式，利用公式解答．4. 已知i为虚数单位，复数的模（）A．1 B．C．D．3参考答案：A5. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 在同一坐标系中，函数，的图象可能是（）参考答案：D7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于A. B. C. D.参考答案：D解析：由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.8. 已知数列{a n}的首项为1，公差为d（d∈N*）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出a n=1+（n﹣1）d，由题意得n=，由d，n∈N*，能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的首项为1，公差为d（d∈N*）的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）d，∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n﹣1）d，∴n=，∵d，n∈N*，∴d是80的因数，故d不可能是3．故选：B．9. 已知函数是偶函数，且，则A、 B、1 C、 D、5参考答案：D∵为偶函数，∴.10. 已知的概率为参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是．参考答案：12812. 不等式的解为____________.参考答案：略13. 在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________参考答案：2x2+16π14. 已知各项均为整数的数列{a n}中，a1=2，且对任意的n∈N*，满足a n+1﹣a n＜2n+，a n+2﹣a n＞3×2n﹣1，则a2017=．参考答案：22017【考点】数列与不等式的综合．【分析】由满足a n+1﹣a n＜2n+，可得a n+2﹣a n+1＜2n+1+，可得a n+2﹣a n＜3×2n+1．又a n+2﹣a n＞3×2n﹣1．可得a n+2﹣a n=3×2n．利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由满足a n+1﹣a n＜2n+，∴a n+2﹣a n+1＜2n+1+，∴a n+2﹣a n＜3×2n+1．又a n+2﹣a n＞3×2n﹣1．∴a n+2﹣a n=3×2n．∴a2017=（a2017﹣a2015）+（a2015﹣a2013）+…+（a3﹣a1）+a1=3×22015+3×22013+…+3×21+2=3×+2=22017．故答案为：22017．15. 计算__________．参考答案：31原式．16. 已知集合M={f(x)}，有下列命题①若f(x)=，则f(x)M；②若f(x)=2x，则f(x)M；③f(x)M，则y=f(x)的图像关于原点对称；④f(x)M，则对于任意实数x1,x2(x1x2)，总有﹤0成立；其中所有正确命题的序号是_______。

(写出所有正确命题的序号)参考答案：②③17. 已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19. 设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝求数列{b n}的前n项和S n.参考答案：【解】(1)由题设可得f′(x)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1sin x－a n＋2cos x.略20. (本题满分14分)已知抛物线：过点，直线交于，两点，过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点，．(1)求的值；(2)是否存在定点，当直线过点时，△与△的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案：（1）因为在抛物线C上，所以1=2p·，得p=1．……………………3分（2）假设存在定点Q，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y=kx+b．联立得，当时，有．……………………6分所以()()=(*)由题意知，，因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，即，也即……………………10分根据(*)式，得()2=1，解得或．所求的定点Q即为点A，即l过Q(0,0)或Q (2,2)时，满足条件．……………………14分21. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（IⅠ）求椭圆的方程（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A，B两点，与以+=1（a＞b＞0）为直径的圆交于F1，F2两点，且满足D，求直线DF1⊥F1F2的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据椭圆得定义，离心率得定义，构造方程组，解得即可；（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，得到圆心到直线的l的距离为d，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长，即可求出m的值，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆得方程为，（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，∴圆心到直线的l的距离为d=，由d＜1，即＜1，可得|m|＜，∴|CD|=2=2=，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2﹣mx+m2﹣3=0，∴x1+x2=m，x1x2=m2﹣3，∴|AB|=∵=，∴=1，解得m=±，且满足|m|＜，∴直线l的方程为y=x+，或y=﹣x﹣．点评：本题考查了椭圆得标准方程，弦长公式，点到直线距离公式，考查了学生得转化能力，运算能力，属于中档题．22. 如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．（1）证明：B，D，H，E四点共圆；（2）证明：CE平分∠DEF．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（I），要证明B，D，H，E四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可（II）由（I）知B，D，H，E四点共圆可得∠CED=30°，要证CE平分∠DEF，只要证明∠CEF=30°即可【解答】解：（I）在△ABC中，因为∠B=60°所以∠BAC+∠BCA=120°因为AD，CE是角平分线所以∠AHC=120°于是∠EHD=∠AHC=120°因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆（II）连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°由（I）知B，D，H，E四点共圆所以∠CED=∠HBD=30°又∠AHE=∠EBD=60°由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°所以CE平分∠DEF．【点评】本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用，解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理，属于基本定理的简单运用．。