(第一讲附)相似三角形经典模型总结

相似三角形经典模型总结
经典模型
【精选例题】 “平行型”
【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，
则1
11
1
1
1
:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形
M 1F 1E 1M E F A B
C
【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则
_____EF =，_____MN =
M N A B
C
D E F
【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延
长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H
求证：
PE PH
PF PG
=
P
H
G
F
E
D
C
B
A
【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且
2AE
EC
=,BE 、CD 相交于点F ，
求
BF
EF
的值 F
E D
C
B
A
【例5】 已知：在ABC ∆中，12AD AB =
，延长BC 到F ,使1
3
CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =
A
B
C
D
F
E
【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，
::BD DE AB AC =
求证：CEF ∆为等腰三角形
F
E
D
C
B
A
【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111
c a b
=+.
F
E D
C
B
A
【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E C
B
A
【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC
⊥于点F
求证：
1MF ME
AB CD
+= A
B
C
D
E
F M
【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F
求证：AE BF BE CF ⋅=⋅
F
E
D
C B
A
【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形
ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ,
求证：CP CQ =
Q
P
E
D
C B
A
【例12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形
⑵在ABC ∆
中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长
G'
F'
E'D'A
B C
D
E
F
G
“平行旋转型”
图形梳理：
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
B
C
AEF 旋转到
AE‘F’
A
B
C
AEF 旋转到AE‘F’
特殊情况：B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’C
B
A
A
B C
E
F E'
F'
AEF 旋转到AE‘F’
C ，'E ，'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则
①证明：2
2
2
2
AD BC AB CD +=+
O
A
B C
D
【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请
说明理由
D
C
B A
O
【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求
::AG DF CE =_________.
A
B
E
F G
G
F
E
D
C
B
A
“斜交型”
【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2
AD AF AB =⋅，
求证：AEF ACD ∆∆:
F E
D C
B
A
【例17】 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，
求证:EAM ECA ∆∆:
M
E
D
C
B
A
【例18】 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠
O
D
C
B
A
【例19】 如图，设AB BC CA
AD DE EA
==
，则12∠=∠吗？
21A
B
C
D
E
【例20】 在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面积分别
等于18和2，2DE =，求AC 边上的高
A
B
C
D
E
【例21】 如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使2
1
=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。

求证：DBH DAB ∠=∠
【例22】 已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =,直线CD
与AE 相交于点F
求证：①DC AE =,②2
AD DC DF =⋅
A
B C
D
E
F
“斜交特殊型”（隐含三垂直）
【例23】 已知，如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，求证：
AEF B ∠=∠
A
B
C
D
E
F
【例24】 已知：如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG
⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2。

G
P
A
B
C
D
E
【例25】 如图，E 、G 、F 、H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF GH ⊥,若2AB =，3BC =，
则:EF GH 等于（ ）
A. 2:3
B. 3:2
C. 4:9
D.无法确定
A
B
C
D E F
G H
【例26】 如图，已知：正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，且BM BN =，BP MC
⊥于点P
求证：DP NP ⊥
P
A
B C
D
M
N
【例27】 如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==,点D 在BC 上运动（不经过B ,C ），过
点D 作45ADE ∠=︒,DE 交AC 于E
①图中有无与ABD ∆一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明
②设BD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； ③若ADE ∆恰为等腰三角形，求AE 的长
E
D
C
B
A。