不等式(组)中参数范围的求法

不等式（组）中参数范围的求法

一. 利用不等式的性质求解

例1 已知关于x 的不等式5)1(>-x a 的解集为a

x -<15，则a 的取值范围为（ ） （A ）0>a （B ） 1>a （C ） 0

解析：对照已知解集，发现不等式的两边同除以a -1以后，不等号的方向改变了 由此可知01<-a 即1>a 故选（B ）

例2 如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<

107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。

解析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107

，可知： 2a －b<0，且

51027b a a b -=-，得b=35

a 。 结合2a －b<0，b=35

a ，可知b<0，a<0。 则ax>

b 的解集为x<35。 评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。

例3若满足不等式513)2(3≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，则a 的取值范围是 （ ）

（A ）2>a （B ） 2

⎨⎧+≤-+≥-63)2(43)2(a x a a x a 当2>a 时，

2

63243-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52

632433≤-+≤≤-+≤a a x a a 解之，得8≥a

当2=a 时，不等式无解

当2

43263-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52432633≤-+≤≤-+≤a a x a a ， 此不等式无解 8≥a 故选（C ）

二、根据解集的特性求解

例3已知不等式03≥+ax 的正整数解为1、2、3试求a 的取值范围解。

解：ⅰ若0>a ，则a

x 3-≥，其正整数显然不止1、2、3 ⅱ若0=a ，则030≥+•x 恒成立，亦不合题意

ⅲ若0

411->≥-a 分别由341,11->-≤a a ，得43,1-<-≥a a 即4

31-<≤-a

例4已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+32

)2(352x a x x a x 有解，且每一解x 均不在41≤≤-x 的范围内，则a 的取值范围是 （ ）

（A ）32<-≤a a 或

（C ） 31

-≤a （D ）323

1<<-≤a a 或 解：原不等式组可化为⎩

⎨⎧<-≥a x a x 365 ∴a x a 365<≤-∴3

当1-

1-

≤a 当4>x 时，654-a 综上所述，31-≤a 或32<

例5关于x

的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋152＞x －32x ＋23＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是

（ ） A. －5≤a ≤－143 B. －5≤a ＜－143 C . －5＜a ≤－143 D. －5＜a ＜－143

解析：解不等式组⎩⎨⎧x ＋

152＞x －32x ＋23＜x ＋a ，得2123x x a <⎧⎨>-⎩

.其解集为2321a x -<<.由于解集中只有4个整数解.所以这4个整数解只能是20，19，18，17.表示在数轴上，如图1：

图1

由图1可知，23a -应在16（包括16）到17（不包括17）之间，即162317a ≤-<，

解得－5＜a ≤－143

.故选C. 点评：此类题目，应以所有的整数解作为突破口

三、逆用不等式组的求解方法求解

例6不等式组 3(2)4,23

x x a x x --⎧⎪+⎨>⎪⎩≤ 无解，则a 的取值范围是（ ） A.a <1 B.a ≤1 C.a >1 D.a ≥1

解：由原不等式组，得.

x x a ⎧⎨<⎩≥1, 根据口诀“大大小小无解了”，当a ≤1时才无解，故应选

B.

点评：1a =是容易漏掉的一个解，同学们要引起足够的重视．

例7 已知不等式组2113x x a -⎧⎪⎨⎪⎩，，

的解集为x ＞2，则（ ）

A ．a ＜2 B.a ＝2 C.a ＞2 D.a ≤2

解析:这是一道由已知结论探求未知系数的取值范围(值)的题,显然要先求出不等式①的解集,再结合不等式组的解集x ＞2,利用同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小找不着的口诀来求出a 的取值范围.过程如下：

由①得x ＞2.

由②得x ＞a.

因为不等式组的解集为x ＞2,根据同大取大的原则，所以2≥a 即a ≤2 故选项（D ） 点评：:本例属执果索因型问题,可根据其解出过程,巧妙利用口诀进行求解,注意不能漏掉等号这一关键点.

四、巧妙转化，构造求解

例8已知方程组 213,21x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩

的解x ，y 满足x y +<0，则（ ） A. m >-1 B. m >1 C. m <-1 D. m <1

分析：此题的解法不唯一，可先解方程组，用含m 的式子表示x ,y ，再代入x y +<0中，转化为关于m 的不等式；也可应用整体思想，将方程组中的两个方程相加，直接得到x y +与m 的关系式，再由x y +<0转化为关于m 的不等式．

解法一： 解已知方程组得 17,3153m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

. 因为x y +<0，所以171533m m +-+<0，即223

m +<0.解得m <-1.故应选C. 解法二： 方程组中的两个方程相加，得3()22x y m +=+，即223

m x y ++=.下同解法点评：比较两种解法，运用整体思想来解显然要简单得多，希望同学们平时作业时要善于观察，灵活运用这一方法