不等式(组)中参数范围的求法
不等式中参数范围的求法
不等式中参数范围的求法不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或几何图形大小关系。
参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取值范围的确定。
一、一元一次不等式的参数范围求法对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体实数。
二、一元二次不等式的参数范围求法对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。
三、多元一次不等式的参数范围求法对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。
以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制；2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制。
不等式(组)中的参数问题
不等式(组)中的参数问题作者：***
来源：《初中生世界·七年级》2020年第08期
不等式（组）是中考的必考知识点，不等式与参数的完美结合是一种常见的题型，而且常与方程知识结合综合考查。
解决该类问题常常会用到多种数学思想，如转化思想、数形结合、分类讨论思想等。
下面对不等式中含参数问题的几类考点进行说明。
一、已知不等式的解集情况，求参数的值
例1若关于x的不等式ax<a的解集是x<1，则a满足的条件是。
【解析】利用不等式的性质2，将不等式两边都除以a，而不等号方向不变，故a>0。
【点评】本题考查利用不等式性质2对不等式进行变形，要关注不等式变形前后的不等号方向是否改变。
变式1若x<1是不等式3x<a的解，则a满足的条件是。
变式2若关于x的不等式3x<a的解集是x<1，则a满足的条件是。
二、已知不等式组的解集情况，求参数的值
【解析】根据不等式组无解，得到两个不等式的解集无公共部分，借助数轴初步判断边界值a>3。
当a=3时，原不等式组为{x>3，显然也无解，符合题
【点评】本题主要考查不等式组解集问题，根据解集情况，借助数轴初步判断两个不等式边界值之间的关系，再单独考虑边界值相等情形是否符合题意。
三、已知方程組的解的情况，求参数的值
【点评】本题主要根据方程组解的情况，转化为不等式（组）来解决。
（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）。
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
已知不等式的解集求参数值(或范围)问题的解决办法
④ 一③ ，得 ３ｙ：３，Ｙ＝１． 将 Ｙ Ｗ－．１代入④ ，得 ＝２．
· ．．
原方程组的解为｛ 一：’
猫 惑蚴掰翁露参数值 或澎 》 雹蚴鳓凌办
◎ 刘 玉芬 （河 北武 邑 中学 ０５３４００）
第 一 类 已知 有 理 不 等 式 的解 集 时常 利 用 解 集 端 点 是 相
应 方 程 的 根 （注 意 检 验 ）．
求 ｎ和 ｍ 的值． 思路 １ ‘．’４和 ｍ 不是 、／， ＝０的根 ．可以利用解 集
端点 是 相 应 方 程 的 根解 决 ．
解 由题 意 知 ４和 ｍ 是 方 程 、／一 ＝ｏ，ａ７＋ 的两 根 ．
２＝ ４。
＿
３
解 得 ｎ １
－·
，
·
由、／ ＝ １ ＋手两边平方，得 ２一 ＋ ９＝０．③
·
．
．
原方程组的解为｛ 一
ｌｙ 厶
例 ３ 解方程组『５（
Ｌ３（ ｙ－
１）＋２．
分 析 方程① 中左边 为 ５（ ＋１），而方程② 中右边 也含 有 ５（ ＋１）这 一项 ，故 用 “整 体 代 入 消元 法 ”．
解 将①代入② ，得 ３（ｙ一１）＝５＋Ｙ＋２．
解 得 Ｙ＝５．
将 Ｙ：５代入① ，得 ５（ ＋１）＝５＋５，
解 得 ＝１．
．·． 原方程组的解为｛：
例 ４ 解 方 程 组
± ＝ ±
３
４
±！ ： １
３
。
分析 本例虽具有例 ３的特征 ，但将方程② 代入① 达不
到 消 元 的 目的 ，故 不 能 用 整 体 代 人 消 元 法 ，应 先 将 它 化 简 再
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题：（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a<b）①若，则x>b（大大取大大）；②若，则x<a（小小取小小）③若，则a<x<b（大小小大取中间）④若，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立。
一、用不等式的基本性质求例1、不等式ax>b的解集是，则a的取值范围是（）A.B. a<0C.D. a>0分析：由不等式的基本性质知a<0，故选B。
二、用等值代换法求例2、如果关于x的不等式和2x<4的解集相同，则a的值为____________。
分析：由2x<4得x<2由得所以例3、关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。
解：将原不等式组化简后，得即所以解方程组得a＝－2，三、用不等式组的解集情况求例4、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是____________。
分析：由原不等式组得，因为不等式组无解，所以由“大大小小落空了”得。
例5、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是（）A.B.C.D. m>1分析：由原不等式组得，因为不等式组的解集是x>2，所以由“大大取大大”得，，故选C。
例6、若不等式组的解集为，求a 的取值范围。
解：由原不等式组得以下两个不等式组和，因为原不等式组的解集为，所以由“大大取大大”和“小小取小小”得即，得又有，得a>1所以例7、若不等式组解集为x>－1，则m的值为___________。
分析：这里是“大大取大大”，若，则m＝－1；若m＋2＝－1，则m＝－3因为当m＝－1时原不等式组就是，解集为x>1不合题意；当m＝－3时原不等式组就是，解集为x>－1，所以m＝－3。
求不等式(组)中参数的取值范围
求不等式(组)中参数的取值范围不等式组参数的取值范围需要通过解不等式来确定。
首先，将不等式组简化为单个不等式，然后使用数学方法求解，得到参数的取值范围。
如果不等式组包含多个参数，则需要对每个参数进行分别求解，并将结果合并，获得最终的参数取值范围。
需要注意的是，不等式组的解法和形式与方程组不同，需要灵活运用不等式的性质和规律。
不等式组参数的取值范围是数学中重要的研究内容，可以应用于许多实际问题，如优化问题、最优化问题等。
在求解参数取值范围时，需要考虑到实际问题中的约束条件和限制条件，将问题转化为数学模型，并通过不等式组的求解来获得最优解或可行解。
因此，不等式组的研究在数学中具有广泛的应用前景。
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的两种途径
思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
八年级下册 第二章 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)(解析版)
第04讲解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)目录【考点一根据一元一次不等式的定义求参数的值】 (1)【考点二根据一元一次不等式的解集求参数】 (2)【考点三利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 (4)【考点四利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 (6)【考点五根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 (10)【考点六整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 (12)【考点七整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 (15)【考点一根据一元一次不等式的定义求参数的值】故答案为：1 ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式训练】【考点二根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若关于x 的不等式 11m x m 的解集为1x ，则m 的取值范围是（）A ．m >0B ．1m C ．1m D ．0m 【答案】C【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．m ，【详解】解：根据题意得10m ，∴1故选C．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．【变式训练】【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，【考点三利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】【变式训练】的取值范围是解题的关键．【考点四利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】解得610a ，故答案为：610a ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）对x ，y 定义一种新运算M ，规定： ,M x y mx ny （其中m ，n 均为非零常数）．例如： 1,1M m n ，已知 1,19M ， 3,17M ．(1)求m ，n 的值；(2)若关于t 的不等式组 ,2216,2,232M t t M t t a恰好有3个整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)4m ，5n (2)21a 【分析】（1）根据题意得关于m ，n 二元一次方程组，解之即可；（2）根据题中新定义得不等式组45(22)16425(2)32t t t t a ①②，解不等式组后再根据不等式组恰好有3个整数解，求出a 的范围即可．【详解】（1）解：由题意得937m n m n ，解得45m n，4m ，5n ；（2）由（1）知 ,45M x y x y ，由题意得，45(22)16425(2)32t t t t a①②，解不等式①得，1t ，解不等式②得，4t a ，不等式组的解集为14t a ，∵恰好有3个整数解，，a243解得21．a【点睛】本题考查二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解决本题的关键．【考点五根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】【考点六整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】①-②，得21x y k ，∵3x y ，∴213k ，解得2k ，故答案为：2k ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．【考点七整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】。
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围的一般方法
2
7
2 2 x 1 2 x 1 0
1 解得： 2
x
1 3 2
四、利用集合与集合间的关系
• 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变 量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解， 1 m, n f a , g a f x m 即： ，则 且 g x n ，不等式的 2 解即为实数的取值范围。
例4、若不等式 2 x 1 m x 2 1 对满足 m 2 的所有m 都成立,求 x 的取值范围。 解：设 f x m x 1 2 x 1 ，对满足 m 2的 m, f m 0 f 2 0 2 x 1 2 x 1 0 恒成立 f x 0
f x
1 2
1 2 ax 2a 1 x 2 ln x, g x x 2 2 x, 2
题1按a与0的关系讨论，结果是a=4;题2先求出导数， 再按a与0及数 1/2的关系讨论，最后得a的取值范围 是 ln 2 1, .
三、确定主元
• 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元 （未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题 过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围 的变量看作参数，则可简化解题过程。注意在一个含多个变量的数 学问题中，需要确定合适的变量和参数从而构造适当的函数，利用 函数的图象和性质解决问题，使问题更加明朗化，一般地，已知存 在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.
min
（ 2 ） 当 2 2 2 即 4a4 时 f x 6 a 2 又 4 a 4 4 a 2
一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法
２０２２年８月下半月㊀学习交流㊀㊀㊀㊀一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法◉白银区武川新村学校㊀刘振琴㊀㊀摘要:一元一次不等式组是学生在学完一元一次不等式㊁一元一次方程和二元一次方程组基础上接触到的新知识,该知识点本身难度不大．但是,如果一元一次不等式组中出现了另一个参数,那么这对学生求出解集和确定参数取值范围带来了很大困扰．如果借助数形结合与分类讨论的方法,采用 解㊁画㊁移㊁比 四个步骤,可顺利解决一元一次不等式组中关于参数取值范围的确定问题．关键词:一元一次不等式组;数形结合;分类讨论;参数;取值范围１引言含参数的一元一次不等式组中参数取值范围的确定是 一元一次不等组 这一节的重难点内容．从课堂教学情况来看,学生在该知识点上存在很大问题,出现了诸多错误．所以,笔者对一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法进行了研究,希望对学生有更多帮助．２例题分析例１㊀若不等式组x＜m,x＞３{无解,则m的取值范围是．分析:本题中的不等式组无需进一步求解,只需在数轴上将x＜m和x＞３表示出来．然而,由于m是除未知数x之外的又一个字母,且m的值题中未给出,这就给在数轴上的表示解集增加了难度．所以,根据题意应该采用数形结合和分类讨论的方法,分析如下．第一步,画出数轴,在数轴上表示出x＞３的解集,将x＜m的解集表示图如图１所示画出;第二步,将x＜m的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第三步,观察符合题意的x＜m解集表示图所在的位置,比较m与３的大小．解:首先,将x＜m和x＞３在数轴上表示出来,如下图１所示．㊀图１然后,分析x＜m的解集表示图有三个不同的位置可以放置,分别是数轴上３的左边㊁３的上面和３的右边,如图２所示．㊀图２再者,根据 无解 这一题意,可以确定(１)(２)两种情况符合．很明显,(１)中m＜３,(２)中m＝３．最后,综上分析可得出m的取值范围为mɤ３．例２㊀若不等式组x＋１＞a,xɤ２{有３个整数解,则a的取值范围是．分析:本题与例１的不同点在于本题中不等式组需要求解及不等式组有解集两个方面,同样用数形结合和分类讨论的方法分析如下．第一步,解出不等式的解集,分别是x＞a－１和xɤ２;第二步,画出数轴,在数轴上表示出xɤ２的解集,将x＞a－１的解集表示图如图３所示画出;第三步,将x＞a－１的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第四步,观察符合题意情况下的x＞a－１解集表示图所在的位置,比较a－１与２的大小．３４Copyright博看网. All Rights Reserved.学习交流２０２２年８月下半月㊀㊀㊀解:解不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２,{得x ＞a －１,x ɤ２．{将不等式组的解集在数轴上表示,如图３所示:㊀图３因为原不等式组有３个整数解,所以a －１一定小于２．因为x ɤ２确定了原不等式组中的一个解,又由于x ＞a －１,a －１处是空心,所以在满足原不等式组有三个解的前提下,a －１一定要在０的左边㊁－１的右边,即－１ɤa －１＜０,如图４所示．㊀图４所以,a 的取值范围是０ɤa ＜１．３解法总结通过以上两道例题的分析可以发现,一元一次不等式组中参数取值范围的确定,不仅要利用数形结合的方法将之直观地在数轴上表示出来,还需要借助分类讨论思想,对符合题意的几种情况逐个分析[１]．对于这类问题,大致可采用以下思路解决:第一步,解．解出不等式的解集．第二步,画．画出数轴,在数轴上分别表示出不等式组的解集．对于含参数的解集,可像例１,２中一样先画出其形状待用．第三步,移．将含参数的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况．第四步,比．观察符合题意情况下含参数的解集表示图所在的位置,比较对应数字的大小[２]．另外,在操作第三步和第四步时,需注意以下几个方面的问题:首先,为了让学生有更直观的移动体验,教师可以利用多媒体画图工具,先用一种颜色将不含参数的解集在数轴上画好,然后用另一种颜色将含参数的解集在数轴以外的地方画好,然后利用 平移 或 移动 工具移动该解集的表示图,让学生经历解集表示图移动的过程,更直观地感受符合题意的几种情况．这样操作,比教师包办效果更好．其次,在移动到相应位置取值时,一定要注意 空心 和 实心 的区别[３]．空心 意味着取不到该点对应的数值,需继续移动． 实心 意味着可以取到该点对应的数值,移动时需结合题意谨慎进行．例如,在例２中a －１处是空心 ,那么在 不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２{有３个整数解 的条件下,a －１不能放在０上,因为这样不等式解集无法取到０,那么原不等式组只有１和２两个整数解,与题意矛盾,所以应将a －１处是 空心 移向－１的左边．但是,a －１处是 空心 可以放在－１处,因为即使a －１处是 空心 可以放在－１处时原不等式组也取不到－１这个整数解,原不等式组仍只有３个整数解,符合题意．最后,解㊁画㊁移㊁比是解这类问题的通用步骤,学生不仅要对这些步骤进行常规化练习,而且要进行变式训练,以不断激发思维和拓展解题思路[４]．４结语综上所述,虽然含有参数的一元一次不等式组会给人以疑惑感,但如果能在 解 的基础上一步步尝试探究和深入,学生可能会获得不一样的学习心得．这种心得不仅体现在学习本身,更体现在与学生全面发展有关的诸多素养方面．所以,作为一线教师不仅要重视解㊁画㊁移㊁比这四个步骤的不断训练,更要借助变式练习激发学生的思维,培养学生更好的学习品质,为学生更全面的发展奠定基础．参考文献:[１]李进,王磊．解决含参数一元一次不等式问题 数形结合与分类讨论在解题中的运用[J ]．初中生世界,２０１７(Z ３):２８Ｇ２９．[２]钮丹媛．数学思想方法在课堂教学中的应用 以 一元一次不等式 教学为例[J ]．成长,２０２１(１０):１０１Ｇ１０２．[３]曹元军．例谈一元一次不等式组中参数取值问题[J ]．初中数学教与学,２０１７(５):１３Ｇ１４．[４]马永刚．用 三定法 解决一类一元一次不等式组中参数取值范围的问题[J ]．中小学数学,２０２２(Z １):６９Ｇ７０．Z４４Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的“妙招”
思路探寻思路探寻式恒成立问题中参数的取值范围时，可将“数”与“形”结合起来，根据代数式的几何意义画出几何图形，借助图形来讨论不等式成立的条件，从而达到解题的目的.在研究图形时，要关注一些极端情形，以及临界的情形，如相交、相切等.例4.设x ∈[-4,0]，若不等式x (-4-x )<43x +1-a 恒成立，求a 的取值范围.解：设y 1=x (-4-x )，则(x +2)2+y 21=4(y 1≥0)，该式可表示是如图所示的上半圆.设y 2=43x +1-a ，其图象为直线.由图可知，要使不等式恒成立，需使半圆始终在直线的下方，即使圆心(-2,0)到直线4x -3y +3-3a =0的距离d =|-8+3-3a|5>2，且1-a >0，可得a <-5，即a 的取值范围为()-∞,-5.我们将y 1=x (-4-x )看作上半圆，将y 2=43x +1-a 看作一条直线，将问题转化为求使半圆恒在直线下方时的a 的取值范围.根据图形找出临界情形：圆与直线相切，求得此时a 的取值范围，即可解题.借助图象分析问题，不仅可以使解题变得更加简单，还会使解题思路更加明朗.四、分类讨论在求不等式恒成立问题中参数的取值范围时，经常要用到分类讨论法对参数进行分类讨论.在解题时，要首先明确参数对不等式的影响，确定分类的标准；然后分几类情况对问题进行讨论，求得每种情况下的结果；最后汇总所得的结果.例5.当x ∈[2,8]时，不等式log 2a -1x >-1恒成立，求a 的取值范围.解：（1）当2a 2-1>1时，由题意知12a 2-1<x 恒成立，即12a 2-1<x min ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1<2，解得a ∈(-∞,-1)⋃(1,+∞)；（2）当0<2a 2-1<1时，由题意知12a 2-1>x 恒成立，即12a 2-1>x max ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1>8，解得a ∈(-34,-)⋃(34)；故a∈(-∞,-1)⋃(-34,-)⋃(34)⋃(1,+∞).根据对数函数的性质，可知需分2a 2-1>1和0<2a 2-1<1两种情况进行讨论，才能求得参数a 的取值范围.在进行分类讨论时，要有明确的讨论思路，逐层逐级进行讨论，避免出现遗漏或重复讨论某种情况.五、利用判别式在求二次不等式恒成立问题中参数的取值范围时，可把问题化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，用判别式法求解.一般地，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 恒大于0⇔ìíîa >0,Δ<0,f (x )=ax 2+bx +c 恒小于0⇔{a <0,Δ<0.据此建立关于参数的不等式，解该不等式即可求得参数的取值范围.例6.若不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解：因为4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0在R 上恒成立，所以2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3⇔f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m >0；要使得f (x )恒大于0，需使Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0，解得1<m <3，故实数m 的取值范围为m ∈(1,3).由于4x 2+6x +3>0在R 上恒成立，于是原问题可转化为一元二次函数f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m 在R 恒大于0的问题，由二次函数的图象可知当a >0时，Δ<0，用判别式法即可解题.虽然由恒成立的不等式求参数的取值范围问题较为复杂，但是同学们只要熟练掌握上述五种求解思路，明确其适用条件，根据解题需求选用合适的方法、思路进行求解，就能有效地提升解题的效率.本文系2021年度云南省教育科学规划单位资助课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题批准号:BE21028）阶段性研究成果.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）53。
确定不等式(组)中参数的取值范围
确定不等式(组)中参数的取值范围知识回顾:不等式的性质1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变； 不等式的性质2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等式的方向不变；不等式的性质3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等式的方向改变。
类型一：根据不等式的性质确定参数的取值范围1.若不等式(a-5)x<1的解集是x>51-a ，则a 的取值范围是（ ）A.a>5B.a<5C.5≠aD.以上都不对2.若关于x 的不等式(a-2)x<2-a 的解集是x>-1,则a 的取值范围是（ ）A.a>0B.a>2C.a<0D.a<2小结:①如果ax>b(a ≠0)的解集为x<a b,那么a<0；如果ax<b(a ≠0的解集为x>a b,那么a<0.②如果ax>b(a ≠0)的解集为x>a b,那么a>0；如果ax<b(a ≠0)的解集为x<a b,那么a>0.类型二：已知不等式(组〕的解集确定参数的值或取值范围3.如果关于x 的不等式x<a+5和2x<4的解集相同,那么a 的值为( )A.3B.－3C.2D.－24.已知x=4是不等式mx-3m+2≤0的解,且x=2不是这个不等式的解,则实数m 的取值范围为（） A.m ≤－2 B.m<2 C.-4<m ≤-2 D.-2≤m<2关键词：x=2不是不等式mx-3m+2≤0的解，相当于x=2是不等式mx-3m+2＞0的解。
类型三：已知不等式(组)的特殊解个数确定参数的取值范围5.关于ⅹ的不等式组⎩⎨⎧++ax x x 63)4(2，若不等式组解集中只有一个整数解,则a 的取值范围是（） A ．3＜a ＜4 B ．3＜a ≤4 C ．3≤a ＜4 D ．3≤a ≤46.如果关于 x 的不等式 x ＞2a －1 的最小整数解为 x ＝3，则 a 的取值范围是( )A ．1.5＜a ＜2B ．a ＜2 C.1.5≤a ＜2 D ．a ≤27．不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤----)(2)1(412131a x x x x 有 3 个整数解，则 a 的取值范围是( ) A ．－6≤a ＜－5 B ．－6＜a ≤－5 C ．－6＜a ＜－5 D ．－6≤a ≤－5 小结：1.当x>a 有最小整数解为m 时,则m-1≤a<m ；当x ≥a 有最小整数解为m 时,则m-1<a ≤m ； 当x<a 有最大整数解为m 时,则m<a ≤m+1；当x ≤a 有最大整数解为m 时,则m ≤a<m+1.(其中a 为参数,m 为常数）2.已知不等式(组)有最大（小）整数解或有n 个整数解，确定参数的取值范围，则参数a 的取值范围是n<a ≤m 或n ≤a<m 两种形式（有且只有一个不等号含等号）。
不等式中的取值范围求法
不等式中的取值范围求法不等式是高中数学的重要内容， 与各部分联系密切，是历年高考的命题要点，在考察不等式的命题中以求取值范围问题居多， 解决此类问题的方法表现了等价变换、函数与方程、分类议论、数形联合等数学思想。
1、 不等式的性质法利用不等式的基天性质，注意性质运用的前提条件。
例 1：已知 f (x) ax 2c ，且4 f (1) 1， 1 f ( 2)5 ，试求 f (3) 的取值范围。
解：由f (1) a cf (2) 4a ca1 f (2) f (1) 解得31cf (2) 4 f (1)3f (3)9a c 8 f (2) 5f (1)331 f (2)，58 8 f (2) 403 33 4 f (1)，15 5 f (1) 203338 5 8 f (2) 5 f (1) 40 20 ， 3 3 3 33 3即 1 f (3) 20评：解此类题常有的错误是：依题意得4 a c 1 （ ）11 4a c 5（2）用（ 1）（2）进行加减消元，得0 a 3，1 c 7 （3）由 f ( 3) 9a c 得 7f ( 3) 27其错误原由在于由（ 1）（2）得（ 3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 变换主元法确立题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法往常化为一次函数。
例 2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对知足－ 2 m 2 的全部 m 都建立，求 x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0记 f(m)= (x 2－1)m －(2x － 1) (－2 m 2)f(-2) -2(x 2 -1) - (2x - 1) 0 2x 2 2x - 3 0依据题意有：2(x 2 - 1) - (2x -1)即：22x - 1 0f(2)2x解得1 7 x 1 322因此 x 的取值范围为 (17,1 3)223、化归二次函数法依据题目要求， 结构二次函数，联合二次函数实根散布等有关知识，求出参数取值范围。
[知识]不等式中的取值范围求法
![[知识]不等式中的取值范围求法](https://img.taocdn.com/s3/m/e3db6fd90408763231126edb6f1aff00bed570d2.png)
不等式中的取值范围求法不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。
1、 不等式的性质法利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。
例1：已知f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。
解：由(1)(2)4f a c f a c=-⎧⎨=-⎩解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴=-=⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()39832531125838324034115353120383538325314032031320 ，，，即评：解此类题常见的错误是：依题意得-≤-≤--≤-≤4111452a c a c （）（）用（1）（2）进行加减消元，得03173≤≤≤≤a c ，（）由f a c f ()()397327=--≤≤得其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22解得231x 271+<<+-所以x的取值范围为11(22-+3、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
一次不等式中参数取值范围求解技巧
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧已知一次不等式（组）的解集（特解），求此中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混淆组中参变量（参数）取值范围，最近几年在各地中考卷中都有出现。
求解这种问题综合性强，灵巧性大，包含着许多的技术技巧。
下边举例介绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解例 1．若不等式的解集为，求k值。
解：化简不等式，得x≤ 5k，比较已知解集，得，∴。
例 2．（2001 年山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>3，则 m 的取值范围是（）。
A、 m≥3B、 m=3C、 m<3D、 m≤ 3解：化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得 3≥m, ∴选 D。
例 3（． 2001 年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于 _____。
解：化简不等式组，得∵它的解集是 -1<x<1 ，∴也为其解集，比较得∴(a+1)(b-1)=-6.评论：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确立参数范围是一种常用的基本技巧。
二、联合性质、比较求解例 4．（2000年江苏盐城市中考题）已知对于x 的不等式(1-a)x>2的解集为，则 a 的取值范围是（）。
A、 a>0B、 a>1C、 a<0D、 a<1解：比较已知解集，联合不等式性质 3 得： 1-a<0,即 a>1，选B。
例 5．（2001 年湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>a，则 a 的取值范围是（）。
A、 a<3B、 a=3C、 a>3D、 a≥ 3解：根确立不等式组解集法例：“大大取较大” ，比较已知解集x>a,得a≥ 3,∴选D。
变式（ 2001 年重庆市初数赛题）对于x 的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，则对于x 的不等式ax+b<0 的解集为______。
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不等式（组）中参数范围的求法
一. 利用不等式的性质求解
例1 已知关于x 的不等式5)1(>-x a 的解集为a
x -<15，则a 的取值范围为（ ） （A ）0>a （B ） 1>a （C ） 0<a （D ）1<a
解析：对照已知解集，发现不等式的两边同除以a -1以后，不等号的方向改变了 由此可知01<-a 即1>a 故选（B ）
例2 如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<
107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。
解析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107
，可知： 2a －b<0，且
51027b a a b -=-，得b=35
a 。
结合2a －b<0，b=35
a ，可知b<0，a<0。
则ax>
b 的解集为x<35。
评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。
例3若满足不等式513)2(3≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，则a 的取值范围是 （ ）
（A ）2>a （B ） 2<a （C ） 8≥a （D ）8≤a 解：原不等式可化为⎩
⎨⎧+≤-+≥-63)2(43)2(a x a a x a 当2>a 时，
2
63243-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52
632433≤-+≤≤-+≤a a x a a 解之，得8≥a
当2=a 时，不等式无解
当2<a 时，2
43263-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52432633≤-+≤≤-+≤a a x a a ， 此不等式无解 8≥a 故选（C ）
二、根据解集的特性求解
例3已知不等式03≥+ax 的正整数解为1、2、3试求a 的取值范围解。
解：ⅰ若0>a ，则a
x 3-≥，其正整数显然不止1、2、3 ⅱ若0=a ，则030≥+•x 恒成立，亦不合题意
ⅲ若0<a ，则a x 3-≤，433<-≤a ，3
411->≥-a 分别由341,11->-≤a a ，得43,1-<-≥a a 即4
31-<≤-a
例4已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+32
)2(352x a x x a x 有解，且每一解x 均不在41≤≤-x 的范围内，则a 的取值范围是 （ ）
（A ）32<<a （B ） 231>-≤a a 或
（C ） 31
-≤a （D ）323
1<<-≤a a 或 解：原不等式组可化为⎩
⎨⎧<-≥a x a x 365 ∴a x a 365<≤-∴3<a
当1-<x 时，13-≤a ，∴3
1-
≤a 当4>x 时，654-<a ，∴2>a 综上所述，31-≤a 或32<<a 故选（D ）
例5关于x
的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋152＞x －32x ＋23＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是
（ ） A. －5≤a ≤－143 B. －5≤a ＜－143 C . －5＜a ≤－143 D. －5＜a ＜－143
解析：解不等式组⎩⎨⎧x ＋
152＞x －32x ＋23＜x ＋a ，得2123x x a <⎧⎨>-⎩
.其解集为2321a x -<<.由于解集中只有4个整数解.所以这4个整数解只能是20，19，18，17.表示在数轴上，如图1：
图1
由图1可知，23a -应在16（包括16）到17（不包括17）之间，即162317a ≤-<，
解得－5＜a ≤－143
.故选C. 点评：此类题目，应以所有的整数解作为突破口
三、逆用不等式组的求解方法求解
例6不等式组 3(2)4,23
x x a x x --⎧⎪+⎨>⎪⎩≤ 无解，则a 的取值范围是（ ） A.a <1 B.a ≤1 C.a >1 D.a ≥1
解：由原不等式组，得.
x x a ⎧⎨<⎩≥1, 根据口诀“大大小小无解了”，当a ≤1时才无解，故应选
B.
点评：1a =是容易漏掉的一个解，同学们要引起足够的重视．
例7 已知不等式组2113x x a -⎧⎪⎨⎪⎩，，
的解集为x ＞2，则（ ）
A ．a ＜2 B.a ＝2 C.a ＞2 D.a ≤2
解析:这是一道由已知结论探求未知系数的取值范围(值)的题,显然要先求出不等式①的解集,再结合不等式组的解集x ＞2,利用同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小找不着的口诀来求出a 的取值范围.过程如下：
由①得x ＞2.
由②得x ＞a.
因为不等式组的解集为x ＞2,根据同大取大的原则，所以2≥a 即a ≤2 故选项（D ） 点评：:本例属执果索因型问题,可根据其解出过程,巧妙利用口诀进行求解,注意不能漏掉等号这一关键点.
四、巧妙转化，构造求解
例8已知方程组 213,21x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩
的解x ，y 满足x y +<0，则（ ） A. m >-1 B. m >1 C. m <-1 D. m <1
分析：此题的解法不唯一，可先解方程组，用含m 的式子表示x ,y ，再代入x y +<0中，转化为关于m 的不等式；也可应用整体思想，将方程组中的两个方程相加，直接得到x y +与m 的关系式，再由x y +<0转化为关于m 的不等式．
解法一： 解已知方程组得 17,3153m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
. 因为x y +<0，所以171533m m +-+<0，即223
m +<0.解得m <-1.故应选C. 解法二： 方程组中的两个方程相加，得3()22x y m +=+，即223
m x y ++=.下同解法点评：比较两种解法，运用整体思想来解显然要简单得多，希望同学们平时作业时要善于观察，灵活运用这一方法。