2019-2020年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教A版必修4(I)

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第三章 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 (二)答案

2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (二)班级_______姓名________座号________一、选择题1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6考点利用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析因为tan α＝3，则sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.故选D. 2．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：显然，函数f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称．答案：B3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan 2α等于( )A.35 B ．－35 C.34 D ．－34考点和、差角公式的综合应用题点和、差角公式与其他知识的综合应用答案 D解析因为a ∥b ，所以3cos α－1×sin α＝0，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34，故选D. 4．函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C5．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72解析：∵cos2αsin （α－π4）＝cos 2α－sin 2α22sin α－22cos α ＝－2(cos α＋sin α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12. 答案：C6．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用降幂公式化简求值答案 C解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2， ∵a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝f (－lg 5)， ∴a ＋b ＝1＋sin (2lg 5)2＋1－sin (2lg 5)2＝1，a －b ＝1＋sin (2lg 5)2－1－sin (2lg 5)2＝sin(2lg 5)．7．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π 考点简单的三角恒等变换的综合应用题点辅助角公式与三角函数的综合应用答案 A解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4. 故选A.二、填空题8．已知关于x 的方程3sin x ＋cos x ＝4－m 有解，则实数m 的取值范围是________．答案 [2,6]解析 ∵3sin x ＋cos x ＝4－m ，∴32sin x ＋12cos x ＝4－m 2， ∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2，∴cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝4－m 2. ∵⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x －π3≤1，∴⎪⎪⎪⎪4－m 2≤1，∴2≤m ≤6. 9．在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，则cos 2A ＝________. 考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 12016910．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)＝________.答案：8解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x ＝2tan x ＋2cot x ＝2(sin x cos x ＋cos x sin x) ＝2sin 2x ＋cos 2x sin x cos x＝2sin x cos x ＝4sin2x， ∴f (π12)＝4sin π6＝8. 11．若3π2<α<2π，则12＋1212＋12cos2α的值为________．答案－cos α2 解析 12＋1212×2cos 2α＝12＋12|cosα|，因为32π<α<2π，所以|cosα|＝cosα. 所以原式＝12＋12cosα＝cos 2α2. 又因为34π<α2<π，所以原式＝－cos α2. 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用简单的三角恒等变换化简求值解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝12－11＋12＝－13. (2)由(1)知，原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12 ＝－13－12＝－56. 13．已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点简单的三角恒等变换的应用题点辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12，即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1. 其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C15．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图3)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．图3解析：由题意有5cos θ－5sin θ＝1，即cos θ－sin θ＝15， ∴sin2θ＝2425，∵0<θ<π4，∴0<2θ<π2， ∴cos2θ＝1－sin 22θ＝725. 答案：725。

课时作业12：3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79D ．－89考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用公式求二倍角的余弦值答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.3．(2018·辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1考点利用二倍角公式化简求值题点综合利用二倍角公式化简求值答案 B解析 cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．(2018·天津和平区高三期末)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用公式求二倍角余弦值答案 D解析由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．－2sin 5°D ．2sin 5°考点利用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案 C解析原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D.112考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．(2018·北京东城区高三期末)若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( )A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.二、填空题8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案116解析原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.9．(2018·广东茂名高三第一次综合测试)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为．考点利用二倍角公式化简求值题点综合利用二倍角公式化简求值答案－74解析 ∵sin α＋cos α＝12，∴1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.又∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，∴sin α－cos α＝72，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为．考点利用二倍角公式化简求值题点综合利用二倍角公式化简求值答案－429解析因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223，故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.11．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝ .考点利用二倍角公式化简求值题点综合利用二倍角公式化简求值答案17250解析 ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45.∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425. cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－725×22＋2425×22＝17250.三、解答题12．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α.考点利用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式证明因为sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 又α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.14．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正切值答案－247解析由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 15．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin 2αsin α－cos α的值．考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解 (1)因为m 与n 为共线向量，所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以(sin α－cos α)2＝2－29＝169.又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教案+习题

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(重点、难点)．预习教材P132－134完成下面问题：知识点二倍角的正弦、余弦、正切公式【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α＝2sin α2cos α2.( )(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin 232α.( )(3)2tanπ41－tan 2π4＝tan π2.( ) 提示 (1)√，在公式sin 2α＝2sin αcos α中，以α代换2α可得sin α＝2sin α2cos α2．(2)√，由cos 2α＝2cos 2α－1和cos 2α＝1－2sin 2α可知其正确． (3)×，公式中所含各角要使三角函数有意义，而tan π2无意义．题型一二倍角公式的正用、逆用【例1】求下列各式的值： (1)cos 2π12－sin 2π12；(2)tan 22.5°1－tan 222.5°；(3)cos 20°cos 40°cos 80°．解 (1)原式＝cos π6＝32．(2)原式＝12tan 45°＝12．(3)原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18．规律方法二倍角公式的关注点(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是α2的二倍角，3α是3α2的二倍角等．(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α． (3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．【训练1】 (1)12－cos 2π8＝________；解析原式＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24．答案－24(2)若sin(π4－α)＝12，则sin 2α＝________．解析 ∵sin(π4－α)＝22cos α－22sin α＝12，∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12，即sin 2α＝12．答案 12【例2】 (1)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425．答案 A(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为________．解析 cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)，∵cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－2425，sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725．∴cos(2α＋π4)＝22(－2425－725)＝－31250．答案－31250(3)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 ∵0<x <π4，sin(π4－x )＝513，∴π4－x ∈(0，π4)，cos(π4－x )＝1213，cos 2x cos (π4＋x )＝cos 2x －sin 2x 22(cos x －sin x ) ＝2(cos x ＋sin x )＝2cos (π4－x )＝2413．【迁移1】若例2(3)的条件不变，则sin 2xsin (π4＋x )的值是什么？解 sin(π4－x )＝22cos x －22sin x ＝513，平方得sin 2x ＝119169，sin(π4＋x )＝cos[π2－(π4＋x )]＝cos(π4－x )＝1213，所以sin 2x sin (π4＋x )＝119169×1312＝119156．【迁移2】若例2(3)的条件变为tan(π4－x )＝512，其他条件不变，结果如何？解因为tan(π4－x )＝512，所以sin(π4－x )＝512cos(π4－x )，又sin 2(π4－x )＋cos 2(π4－x )＝1，故可解得cos(π4－x )＝1213，原式＝2cos(π4－x )＝2413．规律方法解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．题型三三角函数式的化简与证明【例3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ．规律方法三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．【训练2】求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ．证明原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，* 而*式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边， ∴*式成立，即原式得证．课堂达标1．sin 15°sin 75°的值是( ) A ．12B ．32C ．14D ．34解析 sin 15°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14．答案 C2.1＋cos 36°等于( ) A ．2sin 18° B ．2cos 18° C ．cos 18°－sin 18° D ．sin 18°－cos 18°解析 1＋cos 36°＝2cos 218°＝2cos 18°．答案 B3.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1D ．12解析原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α．答案 A 4.tan 150°1－tan 2150°＝________．解析原式＝12×2tan 150°1－tan 2150°＝12tan 300°＝12tan(300°－360°)＝12tan(－60°)＝－12tan 60°＝－32．答案－325．化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ．解方法一原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ) ＝tan θ．方法二原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)] ＝2sin θ2cos θ＝tan θ．课堂小结1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *)． 2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．基础过关1．sin 4π12－cos 4π12的值等于( ) A ．－12B ．－32C ．12D ．32解析原式＝(cos 2π12＋sin 2π12)(cos 2π12－sin 2π12)＝cos π6＝32．答案 D2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34解析原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝54．答案 C3．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D ．答案 D4．若2±3是方程x 2－5x sin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ等于________．解析由题意得5sin θ＝4，即sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×1625＝－725．答案－7255．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________．解析原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116．答案1166．化简下列各式： (1)11－tan θ－11＋tan θ； (2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α．解 (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ．(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1．7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145．能力提升8．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A ．459B ．259C ．－459D ．－259解析设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ． ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23．∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459．答案 A9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5．答案 B10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______ ．解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3．答案 311．如果tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2 016，那么1cos 2α＋tan 2α＝________．解析 tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2 016，1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 016．答案 2 01612．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4．又f (x )的最小正周期为π，ω>0， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1．(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 13．(选做题)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ． (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin 2α．解 (1)f (x )＝12cos 2x －32sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin(2x －π6)． (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝437，∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6·sin π6＝17×32＋437×12＝5314．。

课时作业15：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．sin15°sin75°的值为( )A.12B.14C.32 D.342．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22C ．1D ．－223．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( )A ．－725 B.725 C.325 D ．－3254．化简1－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ的结果为( )A ．2cos2θB ．－cos2θC ．sin2θD ．－sin2θ5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( )A.2cos x B ．－2cos xC.2sin x D ．－2sin x6．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于() A.22 B.33C. 2D.3二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．10．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．【参考答案】一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．B【解析】 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14. 2．B【解析】 cos 4π8－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 3．A【解析】由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725. 4．D【解析】 1－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－⎣⎡⎦⎤1＋cos2⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝－sin2θ. 5．B【解析】 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角．∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝ 2 cos x ＝－2cos x .6． D【解析】 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．－2±5【解析】由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得 tan 2α＋4tan α－1＝0. 解得 tan α＝－2± 5.8．－725【解析】方法一 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725. 方法二 sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 10．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α. 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业(含解析)新人教A版

课时作业27 二倍角的正弦、余弦、正切公式——基础巩固类——一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α等于( A ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1解析：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin2α＝－1，故选A ． 2．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( C ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34解析：利用诱导公式变形产生平方关系式和倍角公式的形式，从而有原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( A ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α) ＝－(cos 2α－sin 2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－35.4．化简tan14°1－tan 214°·cos28°的结果为( A )A ．sin28°2B ．sin28°C ．2sin28°D ．sin14°cos28°解析：tan14°1－tan 214°·cos28°＝12×2tan14°1－tan 214°·cos28°＝12tan28°cos28°＝sin28°2. 5．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝(A) A ．－53B ．－59C ．59 D ．53解析：由sin α＋cos α＝33，平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23.∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴cos α－sin α＝－153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 6．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是(C)A ．1B ．1＋32C ．32D ．1＋ 3解析：∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，且π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56π.从而可得y max ＝1＋12＝32.二、填空题7．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan2x 的值为49 .解析：∵tan(x ＋π4)＝2，∴tan x ＋11－tan x＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x2tan x1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.8．化简：sin 235°－12sin10°cos10°＝－1 .解析：原式＝2sin 235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin (90°－70°)＝－1.9．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π41－cos2α－sin2α＝4.解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝23， ∴sin αcos π4＋cos αsin π4＋sin αcos π4－cos αsin π4＝2sin α＝23，∴sin α＝13.从而sin ⎝⎛⎭⎫α－π41－cos2α－sin2α＝sin αcos π4－cos αsinπ4(1－cos2α)－sin2α＝22(sin α－cos α)2sin 2α－2sin αcos α＝2(sin α－cos α)4sin α(sin α－cos α)＝24sin α＝24×13＝324. 三、解答题10．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2xcos (5π4＋x )sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2x cos (5π4＋x )sin (π＋x )＝cos2x－cos (π4＋x )(－sin x )＝cos 2x －sin 2x (22cos x －22sin x )sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.11．已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. ——能力提升类——12．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值为( B )A ．－65B ．65C ．－45D ．45解析：cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝65.故选B ．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α的值为( C ) A ．12B ．14C ．13D ．13或－7解析：cos 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α－sin2α＝cos 2α－2sin αcos α＝cos 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2α＋1＝310，整理得3tan 2α＋20tan α－7＝0，解得tan α＝13或tan α＝－7.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan α＝13.14．若0<θ<π2，则化简1＋sin θ－1－sin θ的结果是2sin θ2.解析：原式＝sin 2θ2＋cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2－sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2＝⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos θ2>sin θ2>0.所以此时原式＝sin θ2＋cos θ2－cos θ2＋sin θ2＝2sin θ2.15．已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求函数g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4，所以当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.。

高中数学必修四课时作业1：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础过关1．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22 C ．2 D.32 [答案] C[解析] 原式＝3－sin 70°2－12(1＋cos 20°)＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2.3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.79[答案] B[解析] cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12[答案] A[解析] ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是() A.459 B.259C ．－459 D ．－259[答案] A[解析] 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23.∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459. 6．2sin 222.5°－1＝________.[答案] －22[解析] 原式＝－cos 45°＝－22. 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4 ＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－725， ∴f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725. 二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32 C. 3D ．22－1[答案] C[解析] 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．[答案] π[解析] ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. [答案] 3[解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0. ∵α∈(0，π2)，2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°； (2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 三、探究与拓展已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1；当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。

2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式限时规范训练新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式【基础练习】1．(2019年河南安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝( )A ．－1725B ．－3125C ．－53D ．75【答案】B【解析】由三角函数的定义，可得sin α＝35，cos α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcosα＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，sin 2α－cos 2α＝－3125.故选B ．2．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，所以f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．故选B ．3．(2019年安徽马鞍山模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋2α的值为( ) A ．59 B ．19 C ．±459D ．－59【答案】C【解析】因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝±53.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±53×23＝±459.故选C ． 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A ．－13B ．－79C ．79 D ．13【答案】B 【解析】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝29－1＝－79. 5．(2017年福建莆田一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，则cos 2α的值是( )A ．78 B ．－78C ．89D ．－89【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，∴cos α＝14，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.故选B ．6．(2019年广东佛山期末)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋7π12＝________. 【答案】－17【解析】由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2×21－22＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋7π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π4＝－43＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×1＝－17.7．已知sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．【答案】725【解析】由于sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2102＝7210， ∴cos α＝cos(α－45°＋45°)＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝7210×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×22＝45，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.8．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：3sin 2α＝－4cos 2α.【证明】因为1－tan α2＋tan α＝1，所以tan α＝－12.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，即sin 2αcos 2α＝－43，所以3sin 2α＝－4cos 2α.9．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314且0＜β＜α＜π2，求：(1)tan 2α的值； (2)β的大小．【解析】(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.所以tan α＝sin αcos α＝43，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝3314.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝12，所以β＝π3.【能力提升】10．(2018年四川模拟)若1＋sin 2x ＝2cos 2x2，x ∈(0，π)，则tan 2x 的值构成的集合为( )A ．{3}B ．{－3，3}C ．{－3，0，3}D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－33，0，33【答案】C【解析】∵1＋sin 2x ＝2cos 2x2，∴2sin x cos x ＝2cos 2x2－1＝cos x ．∴cos x ＝0或sinx ＝12.又x ∈(0，π)，∴x ＝π2，π6，5π6.∴2x ＝π，π3，5π3.∴tan 2x ＝0或±3，则tan 2x的值构成的集合为{－3，0，3}，故选C ．11．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1【答案】B【解析】sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.12．已知θ∈(0，π)且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________. 【答案】－247【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ－cos θ)＝210，∴sin θ－cos θ＝15.∴1－2sin θcos θ＝125，2sin θcos θ＝2425＞0.依题意知，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝4925，∴sin θ＋cos θ＝75.∴sin θ＝45，cos θ＝35.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝－247.13．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a ＞0)，且函数的最小正周期为π2.(1)求a 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4(a ＞0)，化简可得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋1＝－3cos 2ax ＋sin 2ax ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π3＋1. ∵函数的最小正周期为π2，即T ＝π2，∴T ＝2π2a ＝π2，可得a ＝2.∴a 的值为2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＋1. x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当4x －π3＝－π3时，函数f (x )取得最小值为1－3；当4x －π3＝π2时，函数f (x )取得最大值为2×1＋1＝3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为3，最小值为1－ 3.。

课时作业6：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于( )A.－1213B.1213C.－120169D.1201692.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于( )A.－45B.－15C.15D.453.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )A.724B.－724C.247D.－2474.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.235.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A.－105B.105C.－155D.1556.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于() A.－53 B.－59 C.59 D.537.若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15C.－15D.－725二、填空题8.2sin 222.5°－1＝________.9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 10.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝________. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝________. 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝________. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值.四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________. 15.已知π<α<32π，化简： 1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.答案精析1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.D8.－22 9.116 10.247 11.3412.0解析由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴tan α＝3.∴sin α＝310，cos α＝110 . ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋ 2cos π4cos 2α ＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝⎛⎭⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 13.解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 14.459解析设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.解 ∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2| ＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。

课时作业17： 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

8．若－＝1，则sin 2α＝________.
9．设函数f(x)＝5 cos2x＋ sin2x－4sinxcosx.
(1)求f ；
(2)若f(α)＝5 ，α∈ ，求角α.
10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－ .
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
＝5 －2sin 2x－2 (1－cos 2x)＝3 －2sin 2x＋2 cos 2x
＝3 －4 ＝3 －4 ＝3 －4sin .
(1)f ＝3 －4sin ＝3 －4sin ＝3 －4.
(2)由f(α)＝5 ，得sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝－，
由α∈ ，得2α－ ∈ ，∴2α－＝，∴α＝ .
10．解：(1)由解得 ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－ .
3．B
【解析】∵a＝cos 2x＝1－2sin2x，且x∈ ，∴sinx<0，∴sinx＝－ .故选B.
4．D
【解析】∵cos 2α＝sin ＝sin 2 －α＝2sin cos ，代入原式，得6sin －α·cos ＝sin .∵α∈ ，∴cos ＝，∴sin 2α＝cos ＝2cos2 －1＝－ .故选D.
5．B
【解析】∵ ＝＝，∴tanα＝－3，
∴tan 2α＝＝＝＝ .故选B.
6．－
【解析】由已知，得＝3，解得tanθ＝ .又sin 2θ－2cos2θ＝＝＝＝－ .
7．－
【解析】由sinα＝，且α是第二象限角，可得cosα＝－，所以tanα＝－，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7，所以tan 2β＝＝＝－ .
【参考答案】

2019-2020数学人教A版必修4 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式作业 Word版含解析

整理得sinα＋cosα＝ .
两边平方得
1＋2sinα·cosα＝，
所以sinα·cosα＝－ .
因为α∈(0，π)，所以α∈( ，π)，
所以sinα－cosα
＝＝，
解得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝－，
所以tan2α＝＝ .
(2)2sin2( ＋ )－sin(α＋ )
＝1－cos(α＋ )－sin(α＋ )
＝1－ cosα＋ sinα－ sinα－ cosα＝1－cosα＝ .
6．(选做题)(2015·南昌高一检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
＝sin2α＋ cos2α＋ sinαcosα＋ sin2α－ sinαcosα－ sin2α
＝ sin2α＋ cos2α＝ .
[A.基础达标]
1. 的值为()
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.原式＝cos2 －sin2 ＝cos ＝ .
2．若sinα＝3cosα，则＝()
A．2B．3
C．4D．6
解析：选D. ＝＝＝＝6.
3．已知cos(α＋ )＝，则sin2α的值为()
A. B．－
C. D．－
解析：选A.∵cos(α＋ )＝，
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)请根据②式求出这个常数；

2019-2020年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教A版必修4

2019-2020年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教A 版必修4一、选择题1.1－tan 215°2tan15°等于( ) A ． 3 B ．33C ．1D ．－1[答案] A [解析] 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝ 3.2．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．2425[答案] A[解析] ∵sin θ＝45>0，sin θcos θ<0，∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.3.12－sin 215°的值是( ) A ．64 B ．6－24 C ．32D ．34 [答案] D[解析] 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34.4．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B ．5．(全国高考全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C ．59 D ．53[答案] A[解析] sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin2α＝13⇒sin2α＝－23. α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－cos α－sin α2＝－1＋23＝－153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53. 6．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( )A ．－13B ．－79C ．79D ．13[答案] B [解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝29－1＝－79. 二、填空题7．已知cos α＝45，则cos2α＝________.[答案]725[解析] ∵cos α＝45，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(45)2－1＝725.8.3tan π81－tan2π8＝________. [答案] 32[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan 2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32.三、解答题9．已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin2α、cos2α、tan2α的值． [解析] ∵sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169×169119＝－120119.10．(高考安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．[解析] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin xω·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．一、选择题1．(xx·长沙模拟)若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72[答案] C[解析] cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22. ∴sin α＋cos α＝12.2．(xx·济南模拟)已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318B ．1118C ．79D ．－1[答案] B[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.3．(新课标Ⅱ文)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋cos 2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．4．(浙江理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[答案] C[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．将sin α＋2cos α＝102两边平方可得 sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52.将左边分子分母同除以cos 2α得， 3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝61－9＝－34. 二、填空题5．(xx·山东师大附中模拟)若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．[答案]3[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12， ∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.6．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[答案]725[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有4×⎝⎛⎭⎫12ab ＋1＝25，∴ab ＝12. 又a 2＋b 2＝25，即直角三角形的斜边c ＝5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， ∴cos θ＝45.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝725.三、解答题7．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．[解析] (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2x －π4＝7210，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－452＝－35， sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.8．(xx·广东文)已知tan α＝2. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．[解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222×2－2＝1..。

人教版数学高一课时作业3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．62．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53 3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．434．若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin x D ．－2sin x 5．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255二、填空题6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________. 7．已知sin 2α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________. 三、解答题8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)．9．求证：(1)1sin 10°－3cos 10°＝4；(2)3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝－4 3.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．参考答案一、选择题 1．D【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.2．B【解析】因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫232＝－19. 3．B【解析】因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－（－3）2＝34.4．B【解析】因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0，所以1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝2|cos x |＝－2cos x . 5．A【解析】∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.6．725【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 7．－32【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 三、解答题8．解：原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.9．证明：(1)左边＝1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20°＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4＝右边．所以原等式成立．(2)左边＝3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°（2cos 212°－1）＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin （12°－60°）sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边．所以原等式成立．10．解：(1)由题意知cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－33＋410.。

高中数学必修四课时作业3：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础过关1．若sin α2＝33，则cos α等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23[答案] C[解析] cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C ．2 D.32[答案] C[解析] 原式＝3－sin 70°2－12(1＋cos 20°) ＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79C.13D.79[答案] B[解析] cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12[答案] A[解析] ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是() A.459 B.259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23.∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．2sin 222.5°－1＝ .[答案] －22[解析] 原式＝－cos 45°＝－22. 7．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310. 二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1[答案] C[解析] 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为．[答案] π[解析] ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . [答案] 3[解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.(2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°； (2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 三、探究与拓展13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1；当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。

课时作业3：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础过关1．若sin α2＝33，则cos α等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C ．2 D.32答案 C解析原式＝3－sin 70°2－12(1＋cos 20°) ＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79C.13D.79答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是() A.459 B.259C ．－459D ．－259答案 A解析设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23.∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．2sin 222.5°－1＝ .答案－22解析原式＝－cos 45°＝－22.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310. 二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为．答案 π解析 ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2. (2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10° ＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20° ＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 三、探究与拓展13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1；当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。

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2019-2020年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教A 版必修4(I)一、选择题(每小题6分，共计36分)1．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34解析：利用诱导公式变形产生平方关系式和倍角公式的形式，从而有原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.答案：C2.1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5°D ．2sin5°解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos50°－sin50°) ＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°. 答案：C3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 解析：由sin α＋cos α＝33，平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23.∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴cos α－sin α＝－153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 答案：A4．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32D ．1＋ 3解析：∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，且π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56π. 从而可得y max ＝1＋12＝32.答案： C 5．已知cos2x2x ＋π4＝15，则sin2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C.2425D.255解析：∵cos2x2cox ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin2x ＝125，∴sin2x ＝－2425.答案：A6．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈(0，π2)，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x 的值为________．解析：∵tan(x ＋π4)＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.答案：498．化简：sin 235°－12sin10°cos10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin 90°－70°＝－1.答案：－19．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________.解析：∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425，cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45° ＝－725×22＋2425×22＝17250.答案：17250三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求α＋π4α＋4π的值．解：α＋π4α＋4π＝22α＋sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22·1cos α－sin α. 由已知可得sin α＝1213，∴原式＝22×1513－1213＝－13214. 11．已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值； (2)若f (θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值．解：(1)∵a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，∴f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1.因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋1.(2)∵f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ＝85，∴sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625.∴cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.12．已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1.又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知 g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.2019-2020年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教A 版必修4一、选择题1.1－tan 215°2tan15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1[答案] A [解析] 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝ 3.2．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．2425[答案] A[解析] ∵sin θ＝45>0，sin θcos θ<0，∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425. 3.12－sin 215°的值是( ) A ．64 B ．6－24 C ．32D ．34[答案] D[解析] 原式＝12－1－2＝cos30°2＝34. 4．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B ．5．(全国高考全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C ．59D ．53[答案] A[解析] sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin2α＝13⇒sin2α＝－23. α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1＋23＝－153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53. 6．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( )A ．－13B ．－79C ．79D ．13[答案] B [解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝29－1＝－79.二、填空题7．已知cos α＝45，则cos2α＝________.[答案]725[解析] ∵cos α＝45，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(45)2－1＝725.8.3tanπ81－tan2π8＝________.[答案] 32[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32.三、解答题9．已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin2α、cos2α、tan2α的值． [解析] ∵sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝－120169×169119＝－120119.10．(高考安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．[解析] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin x ω·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．一、选择题 1．(xx·长沙模拟)若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12C ．12D ．72[答案] C [解析]cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22. ∴sin α＋cos α＝12.2．(xx·济南模拟)已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1[答案] B[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.3．(新课标Ⅱ文)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ． 4．(浙江理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[答案] C[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．将sin α＋2cos α＝102两边平方可得 sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 将左边分子分母同除以cos 2α得，3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝61－9＝－34. 二、填空题5．(xx·山东师大附中模拟)若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．[答案] 3[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12， ∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 6．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[答案] 725[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ＋1＝25，∴ab ＝12. 又a 2＋b 2＝25，即直角三角形的斜边c ＝5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝12，a 2＋b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，∴cos θ＝45.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝725. 三、解答题7．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sin x 的值；(2)求sin(2x ＋π3)的值． [解析] (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2x －π4＝7210，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4] ＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－452＝－35，sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425， cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3) ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350. 8．(xx·广东文)已知tan α＝2.(1)求tan(α＋π4)的值； (2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值． [解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2α－－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222×2－2 ＝1.。