学×思面授班 高三数学 暑假 腾飞计划班 讲义 2013高三文科暑期第3讲 函数的性质 教师版

1．单调性⑴定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <（12()()f x f x >），那么就说()f x 在区间D 上是增函数（减函数）；⑵单调性的运算：增+增＝增；减+减＝减；乘以一个正的常数，单调性不变；乘以一个负的常数，单调性相反； 2．奇偶性⑴定义：如果对于函数()f x 定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数；如果对于函数()f x 定义域内的任意x 都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数．⑵简单性质：①图象的对称性质：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12D D ，，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ⑶单调性与奇偶性综合：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3．对称性：⑴函数的对称性：函数()f x 满足()()2f x f a x =-⇔函数()f x 关于直线x a =成轴对称；知识梳理知识结构图第3讲函数的性质函数()f x 满足()2(2)f x b f a x =--⇔函数()f x 关于点()a b ，成中心对称． ⑵两个函数的对称：函数()y f x =关于直线x a =的对称函数为(2)y f a x =-； 函数()y f x =关于点()a b ，的对称函数为2(2)y b f a x =--． 4．周期性⑴定义：若在整个定义域内有()()()0f x f x T T =+≠，则T 称为函数()f x 的一个周期．⑵周期性的常见表达：若()()f x a f x +=-或1()()f x a f x +=-成立（0a ≠），则2a 为函数()f x 的一个周期； 设函数()f x 的图象有对称轴,x a x b ==，则2a b -是()f x 的一个周期．<教师备案>本讲主要复习函数的三大性质：奇偶性、单调性、对称性与周期性，以及这些性质的简单综合，函数图象的九种基本变换的简单知识我们也放在这一讲，重点是区分：函数解析式满足一个函数方程时表示的是此函数的对称性或周期性，而一个函数经过平移或对称变换会得到一个新的函数．关于函数图象的翻折变换我们会在第5讲重点复习，复合函数的性质问题我们会在第4讲重点复习．考点：函数的单调性【例1】 ⑴（2009朝阳一模文2）下列函数中，在区间()1+∞，上为增函数的是（ ）A ．21x y =-+B ．1x y x =- C ．()21y x =-- D ．()12log 1y x =- ⑵ 已知函数()21log 1f x x x=+-，若()11,2x ∈，()22,x ∈+∞，则（ ）A ．()10f x <，()20f x <B ．()10f x <，()20f x >C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >⑶（2008-2009年北京二中高三期中测试5） 已知在区间(0,)+∞上函数()f x 是减函数，且当0x >时，()0f x >．若0a b <<，则（ ） A ．()()bf a af b < B ．()()af a f b < C ．()()af b bf a < D ．()()bf b f a <【解析】 ⑴ B⑵ B ⑶ C考点：函数的奇偶性经典精讲【例2】 ⑴ 判断下列函数的奇偶性：①()f x =()1lg 1xf x x -=+，③()f x ． ⑵ 若()121x f x a =++在区间[]1,3b b -+上是奇函数，则a b +=____．【解析】 ⑴ ①()f x 为偶函数；②()f x 为奇函数；③()f x 即为奇函数又为偶函数．⑵ 32-尖子班学案1【拓1】 已知()f x 是R 上奇函数，则函数()211y f x =-+的图象必经过点 ． 【解析】 1,12⎛⎫⎪⎝⎭目标班学案1【拓2】 （2007江苏）设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．(),0-∞ D ．()(),01,-∞+∞U【解析】 A【备选】 （北京四中2010-2011学年度第一学期高三期中测试理5）若偶函数()f x 满足当0x ≥时，()24f x x =-，则(){}20x f x ->=（ ）A ．{}24x x x <->或B ．{}06x x x <>或C ．{}04x x x <>或D ．{}22x x x <->或【解析】 C【备选】 已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =_______． 【解析】 26-尖子班学案2【铺1】 （2009辽宁文12）已知偶函数()f x 在区间[)0+∞，单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 A考点：函数单调性与奇偶性综合【例3】 ⑴（2009山东日照）若函数()f x 为奇函数，且在()0+∞，内是增函数，又()20f =，则()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．()()2002-U ，，B ．()()202-∞-U ，，C ．()()22-∞-+∞U ，，D ．()()202-+∞U ，， ⑵已知()f x 为定义在R 上的奇函数，并且当0x ≥时，()22f x x x =+，若()()2320f a f a -+<，则实数a 的取值范围为__________．⑶ 若函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()e x f x g x -=，则有（ ） A ．()()()233f f g << B ．()()()032g f f << C ．()()()203f g f << D ．()()()023g f f <<【解析】 ⑴ A⑵ 31a -<< ⑶ D目标班学案2【拓2】 （2008东城二模文8）已知函数3()f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 【解析】 C<教师备案>周期表达的常见表达：⑴如果括号里面的差为常数，则对应的函数为周期函数．特殊情形：如果()()f x a f x b +=+，则T a b =-为()f x 的一个周期； (推导：令t x a =+，则x b t a b +=-+，故()()f t f t a b =-+，故T a b =-为()f x 的一个周期) ⑵如果()()f x f x a b +=，则2T a =为()f x 的一个周期； (推导：()()()(2)()(2)f x f x a b f x a f x a f x f x a +==++⇒=+) 如果()()f x f x a b ++=，则2T a =为()f x 的一个周期；(推导：()()()(2)()(2)f x f x a b f x a f x a f x f x a ++==+++⇒=+) ⑶如果()()(2)f x f x a f x a =+-+，则6T a =为()f x 的一个周期．(推导：(2)()()f x a f x a f x +=+-，(3)(2)()()f x a f x a f x a f x +=+-+=-，由⑵知，6T a =是()f x 的一个周期)⑷横方向的双对称性具有周期性；①如果x a x b ==，都为()f x 的对称轴，则2T a b =-为()f x 的一个周期； （推导：x a x b ==，为()f x 的对称轴⇒()(2)(2)f x f a x f b x =-=-⇒2T a b =-为()f x 的一个周期）②如果()()a m b m ，，，都为()f x 的对称中心，则2T a b =-为()f x 的一个周期； (推导：()()a m b m ，，，都为()f x 的对称中心()(2)2()(2)2f x f a x m f x f b x m ⇒+-=+-=，， (2)(2)f a x f b x ⇒-=-⇒2T a b =-为()f x 的一个周期)③如果x a =是()f x 的对称轴，()b m ，为()f x 的对称中心，则4T a b =-为()f x 的一个周期；(推导：()(2)()(2)2f x f a x f x f b x m =-+-=，(2)(2)2f a x f b x m ⇒-+-=，令2t a x =-，则()(22)2f t f t a b m +-+=，由⑵知，4T a b =-为()f x 的一个周期)尖子班学案3【铺1】 （2008崇文一模文14改编）定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且1(10)()1(01)x f x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，则(2011)f =______．【解析】 1-考点：函数的周期性【例4】 ⑴（2009浙江温州）函数()f x 对于x ∀∈R 满足条件()()12f x f x +=，若()15f =-，则 ()2009f f =⎡⎤⎣⎦ ． ⑵（2010贵州清华实验学校高三月考）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()31f x f x +=-，又当01x <≤时，()2f x x =，则()17.5f = ．⑶（2009东城一模文14）已知()f x 是奇函数，且对定义域内任意自变量x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(]01x ∈，时，()e x f x =，则当[)10x ∈-，时，()f x =__________；当(]441x k k ∈+，，k *∈N 时，()f x =__________．【解析】 ⑴ 15-⑵ 1⑶ e x --，4e x k -.目标班学案3【拓2】 （2009山东理10）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 10()120x x f x f x f x x ⎧-⎪=⎨--->⎪⎩，≤，，则(2009)f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】 C【备选】 （2009江西文5）已知函数()f x 是()-∞+∞，上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[)02x ∈，时，2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】 C考点：函数的性质综合【例5】 ⑴（2009丰台二模文8）设函数()f x 是以2为周期的奇函数，已知(01)x ∈，，()2x f x =，则()f x 在(12)，上是（ ） A ．增函数且()0f x > B ．减函数且()0f x < C ．增函数且()0f x < D ．减函数且()0f x >⑵（2009崇文一模文6）定义在R 上的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-．若()f x 在区间[01]，上是增函数，则()f x （ ） A ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[56]，上是增函数 B ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[56]，上是减函数 C ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[56]，上是增函数 D ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[56]，上是减函数 【解析】 ⑴ C ⑵ B【备选】 （2009山东文12）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]02，上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<【解析】 D<教师备案>⑴图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式：函数()f x 经过每种变换后对应的解析式如下表： ()()()()()()()()()f x a f x a f x f x x f x y f x f x f ax af x ⎧+⎧⎪⎨+⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎨-⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎪--⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩水平平移：平移垂直平移：上下翻折：翻折左右翻折：图象变换按轴对称：对称按轴对称：按原点对称：横向伸缩：伸缩纵向伸缩：， 一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则： ①所有的变换都只针对x 或y 本体；②x 的变化只影响横方向，y 的变换只影响纵方向． 可以结合一些小例子介绍上面的变换及两个基本原则，如： 2x y =的图象怎样变换得到12x y +=(先平移后翻折）与12x y +=(先翻折后平移)的图象？⑵区分函数()f x 经过平移得到新的函数，与函数()f x 满足一个函数方程表示此函数某种性质的区别。