分段函数在分段点可导性的判别法
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
． ．
【 考文献 】 参
［ ］同 济 大 学 应 用 数 学 系． 等 数 学 （ 册 ） Ｍ ］ 北 １ 高 上 ［ ．
京 ： 等 教 育 出版 社 ，０ ６ 高 ２０ ．
（ ０）＝ （ 厂． ０）＝１ ． 函数
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分析
错 解 产 生 的 根 本 原 因 是 对 导 函 数 的定 义 理 解 不
［ ］赵 邦杰 ， 瑞 海 ． 分 段 函 数 在 分 段 点 的 极 限 、 ２ 郭 对 连 续 、 导 性 的研 究 ［ ］ 西 南 民 族 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） 可 Ｊ． ，
２ ０ （ ９ ４：０ ０ ３ ２ ） ４ ２—４ ５ ０．
透 彻 ， 函数 左 、 导 数 同 函 数 左 、 极 限 混 为 一 谈 ． 实 将 右 右 事
判 定 函数 在 分 段 点 导 数 是 否 存 在 的 方 法 ， 得 出 一 般 性 并
结论．
二 、 果 函数 在 给 定 点 连 续 。 ０ 该 点 处 的 可 导 性 需 要 如 贝在 进 一 步 讨 论
＞。’
【 键 词 】 段 函数 ； 续 ； 导 关 分 连 可
函 数 的 可 导性 与 连 续 性 之 间 的关 系 ， 高 等 数 学 中 必 是 须 掌 握 的 知 识 点 ， 入 理 解 二 者 之 间 的 关 系 ， 学 习 高 等 数 深 对
定 义 ， 点 的 左 、 极 限存 在 又 相 等 ， 极 限 等 于 函 数 在 该 该 右 且
点 的 函数 值 （（ ）： （ ）＝ （ ） ； 数 ｆ ） 点 ＝０ ｆ ０一 ， ０ ，０ ）函 （ 在 处 可 导 ， 求 函 数 在 点 ＝０ 处 的 左 、 导 数 存 在 且 相 等 要 右
分段函数分段点可导性的判定
分段函数分段点可导性的判定1.若f(x)在x0不连续，则f(x)在x0不可导.(连续是可导的必要条件)但在这种情况下经常会讨论f-(x0 )，f'+(x0)的存在性，常常出现下面的情况:若f(x)在x0不连续，且f(x)=h(x)x<x0g(x)x>x0，则(1)当f(x0-0)=f(x0)，且limxxx-0h(x)存在，则f'-(x0)存在，f'+(x0)不存在:(2)当f(x0+0)=f(x0)，且limxx0+q(x)存在，则f'+(x0)存在，f'(x0)不存在(3)当f(x)在既非左连续又非右连续，则f'+(x0)与f'(x0)都不存在.2.若f(x)在x0连续，且f(x)=h(x)x<x0g(x)x>x0，(1)当limxx-0h(x)，limxx0+g(x)都存在，a.limxxx-0h(x)=limxx0+q(x)，则f(x)在x0可导，且f'(x)=limxxx-0h (x).b.limxxx-0h(x)≠limxx0+g(x)，则f(x)在x0不可导(2)当limxxx-0h(x)，limxx0+g(x)中至少有一个不存在，用导数定义来判断.步骤：第一步：在要判断可导性的点的左右两端分别计算x趋向于这个点时函数的极限值，判定两个极限值是否存在且相等，若两个极限值不相等、其中有一个不存在或两个都不存在，则函数在该点处不连续，也就一定不可导；若两个极限值存在且相等，就进行下一步。
第二步：用导数的定义式，分别计算x从左和从右两个方向趋向于该点的极限值，若两个极限值都存在且相等，则判断为函数在该点处可导，且导数就等于该极限值；若两个极限值不相等、两个极限值中有一个不存在或两个极限值均不存在，则函数在该点处不可导。
对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。
它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
f ( 0+ ) = li m sinx = 0 , 由于 f ( 0- ) ( f ( 0+ ), 则函数 f ( x )在点
x∀ 0 +
x = 0 处不连续 , 故必不可导 .
数学学习与研究
2010 19
s inx, x > 0 , ex , x % 0, cosx, x > 0 , ex , x% 0,
讨 论函数 f ( x ) 在点 x = 0
f# m e = 1, f # m cosx = 1, - ( 0 ) = li + ( 0 ) = li
x ∀ 0+
∋ f# . - ( 0) = f# + ( 0) = 1 ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 分析 错解产生的根本原因 是对导函 数的定义 理解不 透彻 , 将函数左、 右导 数 同函 数 左、 右 极 限混 为 一谈 . 事实 上 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处是不可导的 . 根据 函 数 左、 右 极 限 的 定 义 : & f ( 0- ) = li m ex = 1,
x∀ 0
二、 如果函数在给定点 连续 , 则在 该点处的 可导性 需要 进一步讨论 讨论函数 f (x )在点 ex , x% 0, x= 0 处的连续性及可导性 . 分析 该题的解答需要深入了 解函数的连 续与可 导的 定义 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处连续 , 要求函数在 点 x = 0 处的 极限存在且等于它在该点的函数值 , 即 函数在 点 x = 0 处有 定义 , 该点的左、 右极 限存 在又相 等 , 且极 限等 于函 数在 该 点的函数值 ( f ( 0 - ) = f ( 0+ ) = f ( 0 ) ); 函数 f ( x ) 在点 x = 0 处可导 , 要 求函 数 在 点 x = 0 处 的 左、 右 导数 存 在 且 相 等 ( f# - ( 0) = f# + ( 0 ) ), 其前提是函数在该点连续 . 解 先讨论函数的连续性 . & f ( 0 - ) = li m f ( x ) = li m ex = 1,
分段函数连续性及可导笥的判定方法
分段函数连续性及可导笥的判定方法首先，我们来介绍分段函数的连续性的判定方法。
对于一个分段函数，要判断其是否连续，需要检查它在每个分段上的连续性。
具体方法如下：1.检查每个分段函数的定义域是否有间断点。
如果定义域中存在间断点，那么在该点处就无法进行连续性的判定。
2.检查每个分段函数的定义域上是否有左极限和右极限，并且它们是否等于分段函数在该点的函数值。
如果等于，说明分段函数在该点连续。
3.如果分段函数在每个分段上都满足以上两个条件，那么该分段函数就是连续的。
下面我们来介绍分段函数的可导性的判定方法。
要判断一个分段函数是否可导，需要满足以下条件：1.分段函数的每个分段都需要是可导的。
这意味着在每个分段上，分段函数的导数都存在。
2.分段函数的每个分段上的导数需要连续。
也就是说，在每个分段的内部，函数的导数存在且连续。
如果一个分段函数满足以上两个条件，那么它就是可导的。
注意，一个函数在一些点可导，意味着在该点的左极限和右极限都存在，且相等。
因此，一个分段函数在一些点可导，也需要满足这个条件。
在判定分段函数可导性时，我们还可以使用以下方法：1.如果分段函数在一些点处定义域的两边的导数不相等，或者其中一个导数不存在，那么该点不可导。
2.如果分段函数在一些点的左极限和右极限的导数不相等，或者其中一个极限的导数不存在，那么该点不可导。
总结起来，判断分段函数的连续性和可导性时，都需要分别对每个分段进行判定，然后再考察各个分段之间的连接处。
除了上述的方法，还有一些常见的特殊类型的分段函数的连续性和可导性判定方法，如绝对值函数、符号函数、阶梯函数等。
这些特殊函数的判定方法可以根据其定义和性质进行判定。
综上所述，分段函数的连续性和可导性的判定方法需要分别对每个分段进行判断，并且考虑各个分段之间的连接处。
不同类型的分段函数可能需要采用不同的方法进行判定。
通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用分段函数的连续性和可导性的概念。
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。
导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。
函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。
对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。
分段函数分界点处的可导性问题
分段函数分界点处的可导性问题分段函数分界点处的可导性问题分段函数是一种在定义域上有一定的段落的函数，每个段落上的函数都是连续的，这个函数也可以称之为“分段连续函数”。
在分段函数中，分界点（也称之为终点）是一个重要的概念，它标识着每个段落的开始和结束。
分界点处的可导性问题是一个研究分段函数的重要方面，也是本文要讨论的话题。
一、分段函数的定义在数学中，分段函数是一种有限个连续函数组成的函数，它可以用一个参数来描述。
它的表达式可以写成f(x)=f1(x) if x∈[a,b]，f2(x) if x∈[b,c]...fn(x) if x∈[n-1, n]，其中f1(x),f2(x)...fn(x)分别是定义域上的连续函数。
分段函数的参数a，b，c...n-1，n称之为分界点，分界点是分段函数的终点，也是分段函数的“节点”；这些终点之间的函数表达式是相互连续的。
二、分段函数的性质1、分段函数的定义域是有限的，它的参数可以在有限的范围内取值，这也是分段函数的一个特点。
2、在分段函数中，每个段落上的函数都是连续的，但是分界点处的函数可能不连续，而且可能不存在导数。
3、分段函数的最大特点在于它可以将一个复杂的函数拆分成多个简单的函数，从而更容易研究和理解。
三、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
一般来说，分段函数在分界点处是不可导的。
这是因为在分界点处，函数的值发生了改变，函数变得不连续，从而不能求导。
因此，分段函数分界点处的可导性问题是一个值得深入研究的重要方面，它对于研究分段函数的性质有着重要的意义。
1、分段函数分界点处的函数值要研究分段函数分界点处的可导性，首先要考虑分界点处的函数值。
一般来说，分段函数在分界点处的值是不连续的，也就是说，函数的值在分界点处发生了改变，这也是分段函数分界点处不可导的一个原因。
2、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导The discussion of the derivate of piecewise function on piecewise pointAbstract:Piecewise function is one of the most important function of higher mathematics. This paper discussed the derivate of piecewise function on piecewise point, and gave several methods of derivative for piecewise function on piecewise point.Key words:piecewise function piecewise point derivation函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法
分段函数在分段点处的可导性研究
分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。
在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下可导性的定义。
在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。
导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。
如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。
接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。
为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。
对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。
一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。
这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。
左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。
如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。
然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。
这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。
在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。
除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。
例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。
间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。
另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。
这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。
分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定
这也就说明了讨论分段函数在连续的分界点是否可导 1 可以采取下述方法 / 具体步骤为 = 说明 ! 在% $ ’ $ ’ & 的邻域内连续 H % 除去分界点后分段求导 $ ’ I
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分段函数可导性的判别方法
0在点 x 0 =
0处
xsin x , x ! 0
是否可导。
显然此函数 满 足定 理 的条 件( 1) 和 ( 2), 而 f 1 ( x ) =
2x sin
1 x
-
cos
1 x
, 由于极限 lim f
x0
1 (x ) 不 存在, 所以不能
用定理来判断此函数在点 x0 = 0 处是否可导。事实上不难
[ 摘 要] 提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法。
[ 关键词] 分段函数; 连续; 导数
[ 中图分类号] O 174
[ 文献标识码] A
[ 文章编号] 1009- 2323( 2008) 04- 0111- 01
在高等数学中, 如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导, 则 它在点 x0 处一定连 续; 反 之, 不一定成 立。我们 常常需 要 判断函数在点 x0 处是否可导。如果函数 y = f (x) 是初等 函数, 要判 断函数在 点 x0 处是否可导 比较容易; 如果 函数 y = f ( x) 是分段函数, x0 是它的分段点, 要判断函数 在点 x0 处是否可导一般用导数的定义来 判断, 这种方法不 仅繁 琐效率底, 而且给初 学者造成 一定的 困难。下 面笔者提 出 一个判断这类问题的一个简便方法。
x x0
x
x
+ 0
f ( x ) 在点 x 0 处可导且 f '( x 0) = B
证明 在 点 x 0 的某 个去 心 邻域 内 当 x < x 0 时, 函 数
f (x ) 在区间[ x, x0] 上满足拉格朗日中值定理, 则存在一点
! ( x , x 0 ) , 使得
f
分段函数在分段点求导
分段函数在分段点求导
先看这个分段函数在分段点是否连续。
也就是先求函数在分段点的左右极限，左极限用左边的函数式求，右极限用右边的函数式求。
如果函数在分段点连续，就分别求分段点的左右导数，左导数用左边的函数式求，右导数用右边的函数式求。
如果左右导数相等，则在分段点可导，导数就是左右导数值。
如果左右导数不相等，或至少其中一个不存在（含导数为无穷大的情况），则函数在分段点不可导。
可导函数的凹凸性：
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
分段函数的可导性
分段函数的可导性
第一步：在要判断可导性的点的左右两端分别计算x趋向于这个点时函数的极限值，判定两个极限值是否存在且相等，若两个极限值不相等、其中有一个不存在或两个都不存在，则函数在该点处不连续，也就一定不可导；若两个极限值存在且相等，就进行下一步。
第二步：用导数的定义式，分别计算x从左和从右两个方向趋向于该点的极限值，若两个极限值都存在且相等，则判断为函数在该点处可导，且导数就等于该极限值；若两个极限值不相等、两个极限值中有一个不存在或两个极限值均不存在，则函数在该点处不可导。
对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。
它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
分段函数可导性的判别方法
f 1( x), x < x0 定理 设有分段函数 f ( x ) = A , x = x 0 如果函
f 2( x), x > x0
数 f ( x ) 满足: ( 1) 在 点 x 0 处连续; ( 2) 在 点 x 0 的某个 去心
邻域内 可导; ( 3) lim f 1 ( x ) = lim f 2 ( x ) = B . 则 函 数
x x0
x
x
+ 0
f ( x ) 在点 x 0 处可导且 f '( x 0) = B
证明 在 点 x 0 的某 个去 心 邻域 内 当 x < x 0 时, 函 数
f (x ) 在区间[ x, x0] 上满足拉格朗日中值定理, 则存在一点
! ( x , x 0 ) , 使得
f
( )=
f ( x) - f (x0) 即 x- x0
在高等数学中, 如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导, 则 它在点 x0 处一定连 续; 反 之, 不一定成 立。我们 常常需 要 判断函数在点 x0 处是否可导。如果函数 y = f (x) 是初等 函数, 要判 断函数在 点 x0 处是否可导 比较容易; 如果 函数 y = f ( x) 是分段函数, x0 是它的分段点, 要判断函数 在点 x0 处是否可导一般用导数的定义来 判断, 这种方法不 仅繁 琐效率底, 而且给初 学者造成 一定的 困难。下 面笔者提 出 一个判断这类问题的一个简便方法。
(1)
又因为函数在点 x 0 = 2 可导, 所以
lim f 1 ( x ) = lim f 2( x )
x2
x 2+
即 a= 4
(2)
联立( 1) 、( 2) 解得
分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法
分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法
姚克俭
【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》
【年(卷),期】2015(15)4
【摘要】连续性与可导性的判定是高职学院高等数学课程非常重要的一部分内容,分段函数作为一类比较常见的函数,对学生后续专业课程及岗位实践工作都有着非常重要的作用.分段函数可导性与连续性的学习是高等数学课程教学的重点,也是难点所在.通过两种类型的分段函数的连续性与可导性的讨论方法,给出高职学院学生在这部分内容的学习中应掌握的方法,连续性与可导性的应用可以解决高职学院高等数学很多相关问题,有比较高的实用价值.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】姚克俭
【作者单位】黑龙江建筑职业技术学院,黑龙江哈尔滨150025
【正文语种】中文
【中图分类】G718.5
【相关文献】
1.判断分段函数在分段点处可导性的简便方法 [J], 许燕;张永明
2.分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨 [J], 欧阳伟华
3.分段函数连续性及可导性的判定方法 [J], 张静平
4.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟;
5.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟
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分段函数的可导性
分段函数的可导性要讨论一个分段函数的可导性，首先需要明确什么是分段函数。
分段函数是指定义在一些区间上的函数，其定义域可以分成几个不同的区间，每个区间上有不同的函数表达式。
对于分段函数的可导性，有以下几种情况需要考虑。
1.分段函数的定义域内不存在分段点：如果一个分段函数的定义域内不存在分段点，即所有的定义域区间都是连续的，那么我们只需要分别讨论每个区间上函数的可导性。
如果每个区间上的函数都是可导的，则整个定义域上的函数也是可导的。
2.分段函数的定义域内存在分段点：如果一个分段函数的定义域内存在分段点，即定义域区间不是连续的，那么我们需要考虑该分段点处的左极限和右极限是否存在，并且是否相等。
如果左极限和右极限都存在，并且相等，则该分段点处的函数是可导的。
3.分段函数的定义域内存在间断点：如果一个分段函数的定义域内存在间断点，即定义域区间不是连续的，并且该间断点是一种不可解决的间断点，比如跳跃间断点、震荡间断点等，那么该间断点处的函数是不可导的。
对于分段函数的求导，可以根据以上讨论的情况采取不同的方法。
1.对于连续的区间上的函数，使用普通的求导方法即可。
2.对于分段点处的函数，我们需要分别求取左极限和右极限的导数，并判断它们是否相等。
如果左极限和右极限的导数相等，则该分段点处的导数就是它们的共同值。
否则，该分段点处的函数不可导。
在求取分段函数的导数时，需要注意以下几点：1.分段函数的导数只在各个定义域区间内可导，而在分界点处可能不可导。
2.切记求极限时要分别对左右求取极限，不可混淆。
3.在求取导数时，要注意每个分段区间的表达式是什么，并注意区间的连续性和不连续性。
需要注意的是，上述讨论针对的是一般的分段函数。
特定类型的分段函数，比如绝对值函数、阶梯函数、取整函数等，可能有特殊的求导规则或特点，我们需要具体分析具体问题。
总结起来，分段函数的可导性需要根据分段点处的左极限和右极限是否存在、是否相等来判断。
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例２ 设， （ ） ＝｛ Ｉ
时出错 ， 尤 其是在分段函数在分界 点处不可 导 ， 但 在 分 界 点
处左导数 、 右 导 数存 在 性 的 讨 论 问题 中 更 容 易 出 错 ． 通 过 多 年的教学 ， 总结 以 下 的 简 单 判 别 法 ， 这 种 方 法 可 以 简 化 计 算 过程 ， 学 生 比较 容 易 接 受 ．
＊ 鞯 穗
解 题 技 巧 与方 法
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◎ 汪 爱 红 （ 甘 肃 民族 师 范 学 院数 学 系， 甘肃合作 ７ ４ ７ ０ ０ ０ ）
ｂ ．１ ｉ ｍ ｈ （ ） ≠ ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） ， 则， （ ） 在 。 不 可导 （ ２ ） 当 ｌ ｉ ａ ｒ ｈ （ ） ，ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 中至少 有一个 不存在 ， 用 导 数定 义 来 判 断 ．
二、 应 用 举 例
别 函数 在 分 界 点 处 的连 续 性 ， 否 则 容 易 出错 ．
【 参 考文献】
（ １ ） 赵 华 文． 可导性 判定 的新定理． 济源 职业技 术学 院
学， ２ ０ １ ４ ， １ ３ （ ３ ） ．
设 厂（ ）： ， 则 ， （ ） 在 点 ：１
ｒ １＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判 别 方 法
１ ． 若， （ ） 在 。不 连 续 ， 则ｆ （ ） 在 ‰ 不 可导． （ 连 续 是
例 ３ 设， （ ） ＝ ｛ １
解 显 然 函数
３ ｘ一１
， 求厂（ １ ） ．
可导的必 要 条 件 ） 但 在 这 种 情 况 下经 常 会 讨 论 ，一（ 。 ） ，
（ ２ ） 当， （ 。 ＋ ０ ） ＝ ， （ 。 ） ， 且 ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 存在， 则厂 ＋ （ ‰）
存 在 一 （ 。 ） 不存 在 ；
例 ４ 设 ， （ ） ｛ ｌ ＋ 十 Ｃ ０ Ｓ 一 ＞ Ｕ ， 求 厂 （ ０ ） ・
厂＋ （ ‰） 的存 在 性 ， 常 常 出现 下 面 的情 况 ：
ｒ ｈ （ ）
：
） 在 ＝１处 连 续 ，
厂（ １ —０ ）＝ ｌ ｉ ｍ厂（ ）＝ ｌ ｉ ｍ ２ ｘ＝２ ，
＜ ０
￣ ｆ （ ｘ ） ｑ ￣ Ａ ｘ ｏ 不 连 续 ， 且 ’ ｛ ｇ （ ） ＞ 。 ’ 贝
，
ｌ ｉ ｍｆ（ ） 不存 在 ，
ｚ ． 若 八 ， 在 ‰ 连 续 ， 且 厂 ｃ ＝ ｆ ； ，
（ １ ） 当ｌ ｉ ｍ ｈ （ ） ，ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 都存在 ， ａ ．１ ｉ ｍ ｈ （ ）＝ ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） ， 则， （ ） 在 。 可导 ， 且＿ 厂（ ）：
处（
） ．
Ａ ． 左， 右 导 数 都 存 在 Ｂ ． 左导数存在 ， 右 导 数 不存 在 ｃ ． 左导数不存在 ， 右 导 数存 在
Ｄ ． 左， 右 导 数 都 不 存 在
【 关键词 】 分 段函数 ； 连续 ； 可导性
在微分学 中 ， 分 段 函数 是 一 类 非段 上 有 不 同 的 对 应 法 则 的 函数 ， 在 一 元 函 数 微 分 学 的学习 中， 学 生 往 往 会 在 分 段 函 数 在 分 界 点 处 可 导 性 讨 论
解 显然厂 （ ） 在 ＝ １ 处左连续， 且ｌ ｉ ｍ ｆ ＇ （ ） ＝ ÷， 故
厂一 （ １ ）＝ ０ ， 而＿ 厂 ＋ （ １ ） 不存在 ， 应选 Ｂ ．
一
２ ｘ
， 求厂（ １ ） ．
解 显 然 函 数 ｌ 厂 （ ） 在 ＝ １处 连 续 ， 厂（ １ —０ ）＝ ｌ ｉ ｍｆ（ ）＝ ｌ ｉ ａ ｒ ２ ｘ ＝２ ， 厂（ １＋ ０ ）＝ ｌ ｉ ｍ＿ 厂（ ）＝２ ｘ＝２＝ 尸（ ＿ １
—
０ ） ， 则 八 ） 在 。 可导 ， 且 厂（ １ ）＝ ２ ．
ｌ ｉ ｍ ｈ （ ） ．
＋ ２ ｃ０ｓ
则＿ 厂（ ０十 ０ ）＝ ｌ ｉ ａ ｒ 又 厂（ ０— ０ ）： ｌ ｉ ｍ 厂（ ）＝１＝ 厂（ ０＋ ０ ） ，
—
’０ 一
则 厂（ ０ ） 存在 ， 且 厂（ ０ ）＝１ ．
注 ： 应 用 以 上 方 法 讨 论 分 段 函数 的 可 导 性 时 ， 一 定 要 判
（ １ ） 当厂 （ 。 一 ０ ）＝ ， （ ‰） ， 且 ｌ ｉ ｍ ｈ （ ） 存在， 则 厂一 （ ‰）
厂（ １ ＋ ０ ）＝ ｌ ｉ ｍｆ（ ）：３ ≠ 厂（ １—０ ） ， 则 厂（ １ ） 不存在 ，
即厂 （ ） 在 。 不可导．
，
ｓ ｉ ｎ ２ｘ
≤０
存 在 ＋ （ ‰） 不存 在 ；
解 显然 函数 ｆ （ ） 在 ＝０处 连 续 ， 且 ｌ ｉ ｍ＿ 厂（ ）＝
（ ３ ） 当ｆ （ ） 在 既 非 左连 续 又非 右 连 续 ， 则 ，＋（ 。 ） 与
厂一 （ 。 ） 都不存在．
ｌ ｉ ｍ ２ ｃ ｏ ｓ ２ １ ， ｌ ｉ ｍ （ ）：ｌ ｉ ｍ（ １＋２ ｃ 。 ｓ — 一 十ｓ ｌ ｉ — ＿） 故 ｌ
【 摘要 】 本文主要介 绍 了对满足 一定条 件 的分段 函数 ，
先 求 出 函数 在 分 段 点 左 、 右两侧 的导函数 ， 再 通 过 导 函数 在 分 段点的左、 右 极 限来 判 断 分 段 函 数 在 分 段 点 处 的 可 导 性
的方法 ， 并 通 过 具 体 的 实 例 说 明 了此 方 法 的简 单 性 ．