勤径考研智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第六章 数理统计的基本概念)

139第二篇 数 理 统 计第六章 数理统计的基本概念【数学1，3】2009考试内容 (本大纲为数学1，数学3需要根据大纲作部分增删)总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 2c 分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求1． 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--å 2． 了解2c 的分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧a 分位数的概念并会查表计算。

3． 了解正态总体的常用抽样方法。

本章导读 3大分布8类枢轴量。

一、总体和样本实际工程中，常常需要检测产品的某一个（或多个）数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命这一数量指标）。

需要检测产品的全体称为总体（如6000个100瓦的灯泡），一个灯泡的寿命检测数据记为X ；总体中的某一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。

我们不可能把全部6000个灯泡都测试，所以，需要从总体（6000个灯泡）中随机抽取n 个（如取50n =）样品组成样本，称为抽样，n 称为样本容量，并把样本看成是n 个相互独立且具有完全相同分布的随机变量（ 以后简称 “独立同” ），记为()1250, ,, X X X L ，称为简单随即样本。

显然，如果测试还没开始，则()1250, ,, X X X L 就是一个50维随机变量，如果测试已经完成，则()1250, ,, X X X L 就对应有一组具体值()1250, ,, x x x L ，称为样本观察值，即样本值。

样本（12,,,n X X X …）每次测试的所有可能值的全体称样本空间，记为W ，一次测试所得的一组样本观察值()12, ,, n x x x L 是W 中的一个样本点，容量为n 的简单随机样本的数字特征及分布就代表了总体的特性，例如，研究50个灯泡的寿命就能代表6000个灯泡的寿命。

注意，若12, ,, n X X X L 相互独立，则()112, ,, n Y f X X X =L 和()212, ,, n Y g X X X =L 也相互独立。

二、样本函数和样本统计量1．统计量 不含任何未知参数的12(, , )n g X X X …函数形式为样本统计量，12(,,,)n g x x x …为相应样本值；含任何未知参数的12(,,)n g X X X …就称为样本函数。

统计量与样本函数一般在测试前后可以相互转化角色。

如把样本观测值()12, ,, n x x x L 按照顺序排列成()()()()12, ,, n x x x L ，其中()()()12n x x x £££L ，记取值为()k x 的样本分量为()k X ，则称()()()12, ,, n X X X L 为顺序统计量。

如最大顺序统计量与最小顺序统计量为：勤径考研论坛140{}()()()()(){}()()()()()112112, , , , 111nn n U X U X X nn n V X V X X U Max X X X F u F u f u nf u F u V Min X X X F v F v f v nf v F u --=Þ=Þ=éùéùëûëû=Þ=--Þ=-éùéùëûëûK K2． 样本矩（也是一种样本函数，注意n 是变量，X 是随机变量）●原点矩：11n k k i i A X n ==å； ●中心矩：11()n k k i i B X X n ==-å3．常用样本函数① 样本均值 11ni i X X n ==å，为样本一阶原点矩。

② 样本方差 2221111()11n n i i i i S X X X nX n n ==éù=-=-êú--ëûåå 注意区别于数字特征中的方差2s ，2s 只是某一个随机变量i X 的方差，而2S 是n 个i X 的联合分布函数的方差。

另外，严格地说，2S 不是矩。

③ 样本标准差S ==④ 二阶样本中心矩 2222211111()n ni i i i n B X X X nX S n n n ==-éù=-=-=êúëûåå 与样本方差2S 是不同的概念。

相应统计量的观察值形式同上。

⑤ 样本函数中的必需记住的数字特征4． 经验（样本）分布函数设样本()12, ,, n X X X L 是取自总体X ，则经验分布函数定义为 【例1】设从总体X 中取容量为3的样本，样本观察值为1，1，2。

试求样本的经验分布函数()3F x 。

解：由经验分布函数的定义可知()30, 12, 1231, 2x F x x x <ìïï=£<íï³ïî。

一般地()()()()()1510, , 1, k k k x x k F x x x x n x x +<ìïï=£<íï³ïî研论坛141评 注 常用的经验分布函数有()2n c、()t n 和()12, F n n 三种抽样分布。

三、三种抽样分布1． ()2n c分布设{}i X 独立同，~(0,1)i X N ，则 221~()nii Z Xn c ==å。

()1可加性 ()()2221212~()n n n n c c c ++++L L()2期望与方差 ()2;E n n c éù=ëû ()22D n n c éù=ëû证明：由于()()~0,10; 1i i i X N E X DX Þ==()()()2224421 1,2,,3i i i x i EX D X EX i n EX x edx +¥--¥=+====L()()()224222211222113122i i i n n i i i i n n i i i i DX EX EX E n E X EX n D n D X DX nc c =====-=-=æöéù===ç÷ëûèøæöéù===ç÷ëûèøåååå ()4上分位点：()2n a c 定义为()2n c 分布的分位点，则()()()()()2222{}n n P n n f x dx a a c c c c a +¥³==ò。

上分位点的特点是对应分布函数图形()2n a c 点的右边面积，对()t n 和()12, F n n 分布有类似的结论。

2． ()t n 分布设{}i X 独立同分布，2~(0,1), ~();i X N Y n X Y c 和独立，则()1 t 分布密度函数当()()(0,1)t n n f x N ®¥Þ®()2 上分位点：()t n a 定义为()t n 分布的分位点，则()(){()}()t t n P t n t n f x dx a a a +¥³==ò()3 性质：T 分布具有对称性， 1()(); 45t n t n n a a -=->时，()t n Z a a »其中Z a 为标准正态分布的下分位点，即 ()(){}0, 1Z P x Z N dx aa a -¥F £==ò3．(), F m n 分布设X 、Y 相互独立，22~(); ~()X m Y n c c ；则 评 注 特别地， 勤径考研论坛142【例2】假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N s 的一个样本，求()()2122124X X P X X éù+<êú-êúëû。

解：()()()2221212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N s s s Þ+-()()()()2222~0, 1;~0, 1~1; ~1N N c c Þ ()()()()()222412122220121221~1, 14arctan 2.X X X X F P X X X X p éù++Þ=<==êú--êúëûò ① 上分位点 (,)F n m a 定义为(), F m n 分布的分位点，则 (,){(,)}()F F n m P F F n m f x dx a a a +¥³==ò② 性 质● 证明结论 ()()2~1, tn F n 如下~(0,1),U N 2~()V n c ；~()T t n =22;U T V n= 而 22~(1)U c 时()()22~(1, )~1, T F n t n F n ÞÞ● 证明结论 11(, )(, )F n m F m n a a -=如下： (){}()()()()()()()()()1111~, ~, 111111, 11, , 1 , 1111, , , , X F m n Y F n m XP X F m n P P X F m n X F m n P F n m XP P F n m F n m X F m n X F m n a a a a a a a a a a aa ---=--ìüìüïïïï³=-Þ£=-Þ>=íýíýïïïïîþîþìü¾¾¾¾¾¾¾¾®³=íýîþìüïïìü>=³Þ=íýíýîþïïîþ又根据分位数的定义，而连续分布对一点的概率取值为零，则智轩第10技 8大枢轴量贯穿考研数学数理统计的全部考点，务必理解牢记。