第五章随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
大学数学概率篇之随机变量的数字特征——协方差与相关系数概要
解得
Cov( X ,Y ) b0 D( X )
a0 E (Y ) b0 E ( X )
特别地， 当 X与 Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0. 完
二、协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov( aX , bY ) ab cov( X ,Y ), 其中 a , b 是 常数； (4) cov(C , X ) 0, C 为任意常数； (5) cov( X1 X 2 ,Y ) cov( X1 ,Y ) cov( X 2 ,Y ); (6) 当 X 与 Y 相互独立， 则 cov( X ,Y ) 0.
X 与 Y 不相关.
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0，
（请课下自行验证）
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
性质3. 若 D( X ) 0, D(Y ) 0, 则
XY 1
i 1 i 1 n n 1 i j n
cov( X , X
i
j
);
② 若 X 1 , X 2 ,, X n 两两独立， 则有
D( X i ) D( X i );
i 1 i 1
n
n
③ 可以证明： 若 X ,Y 的方差存在，则协方差
随机变量的数字特征
例 若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差 二、方差的性质 三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动 员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx
随机变量的数字特征
x 1 1 2 b ab dx x a b-a b-a 2 2
例3 设随机变量X~E(λ),求EX.
e- x , x 0 解 X的概率密度函数 f ( x ) 0 ,x 0
- x 0 0
故,
EX xf ( x)dx xe dx ( x)d(e x )
例7 设(X,Y)的联合概率分布为
X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 X P 3 0 1/8 1 3 Y 0 1 2 3
求EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为 所以 EX=3/2, EY=3/2,
3/4 1/4
P 1/8 3/8 3/8 1/8
据定理2 有
3 3 E ( XY ) (1 0) 0 (1 1) (1 2) (1 3) 0 8 8 1 1 9 (3 0) (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 8 4
则
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
(2) 若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
E[ g ( X,Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例5 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 E (sin X ), E ( X 2 ), E ( X EX )2 解 由定理1，有
八、方差的性质
数字特征的优越性(了解)：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征. 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两 个数字特征完全确定.
5-1数学期望
E( X) = ∑xk pk
k=1
∞
某人有n把钥匙 把钥匙， 例1 某人有 把钥匙，其中只有一把能打开门 他随意地用某一把开门. ，他随意地用某一把开门 若每把钥匙试开一 次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 次后除去，求打开门时试开次数的数学期望
解: 设试开次数为 设试开次数为X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n n 1 1 (1+ n)n n +1 于是 E(X) = ∑k ⋅ = ⋅ = n n 2 k=1 2
因此，在对随机变量的研究中， 因此，在对随机变量的研究中，确定 某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中， 在这些数字特征中，最常用的是 期望和方差 这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望 这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.
5.1、随机变量的数学期望 、
一、离散型随机变量的数学期望
先通过一个实际问题来了解： 先通过一个实际问题来了解： （1）如何定义数学期望？ ）如何定义数学期望？ （2）数学期望的实际含义是什么？ ）数学期望的实际含义是什么？
第 试 成 1 如 i次 验 功 i=1,2，…，n ， ， 若设 Xi = 第 试 失 0 如 i次 验 败
则 X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p E(Xi)= 1⋅ p + 0 ⋅ (1− p)= p 所以 E(X)= ∑E( Xi ) = np
(假定小张每天至多出 假定小张每天至多出 三件废品) n0天没有出废品 天没有出废品; n1天每天出一件废品 天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; 天每天出两件废品 天每天出三件废品. n3天每天出三件废品
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
随机变量分布与数字特征
5. 1 随机变量
(1)离散型随机变量:取有限个或无限可列个值。如例(1)、例(2 ) 。 (2)非离散型随机变量:可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部
值。非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种—连续 型随机变量，如例(3)、例(4)。 例5.1.1设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如 果用X表示取出产品中一级品的个数，求X取不同值时相应的概率。 解:X可取值为{0,1,2}。
分布，分别求(1)每分钟恰好接到3次呼叫的概率;(2)每分钟内接到呼叫次 数不布
在二项分布中，当n很大(n>>10)且P很小(P≤1)时，也可近似用泊松分布 公式计算，其中λ=np。
例5. 2. 7若一年中参加某种寿险的人死亡率为0. 002，现有2 000人参加， 每人交保险费24元，一旦死亡保险公司赔偿5 000元，求(1)保险公司亏 本的概率;(2)保险公司盈利不少于10 000元的概率。
也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但可通过如下示性函数使之
数值化。比如，产品合格与不合格可令 否
,事件A发生与
用
,这些事件数值化后，数量是会变化的，称为变量。
但变量取值机会有大有小，所以叫随机变量。
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5. 1 随机变量
定义5.1.1在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一 个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量。通常用希腊字 母或大写英文字母X, Y, Z等表示随机变量，用小写英文字母xi、yi表示 随机变量相应于某个试验结果所取的值。
例5. 2. 1某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间中，有24 天每天销售汽车是0辆，有38天每天销售为1辆，有20天每天销售为2辆， 有12天每天销售为3辆，有6天每天销售为5辆。定义随机变量X为一天 中售出汽车数取值为{0,1,2,3,5}，概率用P(X)表示，可求出P(X=0)
随机变量的数字特征
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离 型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连 型 续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望 问题的提出： 1. 问题的提出： 设已知随机变量X 的分布， 我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X )也是随机变量， 故应有概率 分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的 一旦我们知道了g(X )的分布， 定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多， 因此乙的平均环数比甲的多， 即乙射手比甲射手的成绩好。 即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望 定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果 则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛， 绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi
2.3随机变量的数字特征
E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代 表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或 低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O
1000 1000
x x
2组
O
随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1
O
X2
1000
Xn
x
E(X)=1000
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称
其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状 态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。 投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为： 房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1
大学文科数学-概率论-随机变量的数字特征
大学文科数学（）第5章 概率论初步第8讲随机变量地数字特征主讲教师 |随机变量地分布函数虽然能完整地描述随机变量地统计规律,但在实际问题,随机变量地分布往往不容易确定,而且有些问题并不需要知道随机变量分布规律地全貌,只需要知道某些特征就够了．例如:（1）考察LED灯管地质量时,随机变量表示灯管地寿命,但我们常常关注地是灯管地平均寿命,这说明随机变量地"平均值" 是一个重要地数量特征;（2）比较两台机床生产质量地高低,不仅要看它们生产地零件地尺寸是否合格（误差范围内）,还需要考察每个零件尺寸与平均尺寸地偏离程度,只有偏离程度较小地才是精度高地,这说明随机变量与其"平均值"地偏离程度也是一个重要地数量特征.这些刻画随机变量某种特征地数量指标称为随机变量地数字特征,它们在理论与实践上都具有重要地意义.01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差Ὅ 定义5.18即简称（常数项）级数,记作如果给定一个数列则表达式叫作（常数项）无穷级数,其叫作级数地项叫作级数地首项,级数地第项叫作级数地通项或一般项．Ὅ 定义5.19级数地前项与叫作级数地部分与,记作,即Ὅ 定义5.20若级数地部分与数列收敛于即则称级数收敛,其与为也称级数收敛于,记为若级数地部分与数列发散,则称级数发散．利用极限地有关性质,可以得到收敛级数地基本性质:性质5.8(级数收敛地必要条件):如果级数 收敛,则．性质5.9:若级数 收敛于与,则级数 也收敛,其与为（为常数）．性质5.10:如果级数 发散,当时,级数 也发散．性质5.11:如果级数 与 分别收敛于与与,则级数 也收敛,且其与为.性质5.12:如果级数 收敛, 发散,级数 发散．性质5.13:在级数去掉,加上或改变有限项,不会改变级数地敛散性．性质5.14:如果级数 收敛,则在不改变其各项次序地情况下,对该级数地项任意添加括号后所形成地级数仍收敛,且其与不变．性质5.15:如果加括号后所形成地级数发散,则原级数也发散．Ὅ 定义5.21若级数地每一项都是非负地,即,则称级数为正项级数．Ὅ 定义5.22数项级数或其,称为交错级数．相应地,正负项可以任意出现地级数称为任意项级数．Ὅ 定义5.23如果级数各项地绝对值所构成地正项级数收敛,则称级数绝对收敛;如果级数收敛,而级数发散,则称级数条件收敛．Ὅ 定理5.8若级数绝对收敛,则级数一定收敛．01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差Ὅ 例1解甲:乙:问:甲,乙两谁地技术好些？甲,乙两工用相同地设备生产同一种产品,设两各生产10组产品,每组出现地废品件数分别记为废品件数与相应地组数记录如下:思路从上面地统计记录很难立即看出结果,我们可以从两地每组平均废品数来评定其技术优劣.解甲地每组平均废品数为:乙地每组平均废品数为故从每组地平均废品数看,乙地技术优于甲.（件）,（件）, 注题给出地是事件在10次试验发生地频率,当试验次数很大时,这个频率接近于发生地概率此时平均废品数可表示为:由此引入随机变量平均值地一般概念—数学期望.Ὅ 定义5.24设离散型随机变量地分布律为若级数绝对收敛,则称其与为随机变量地数学期望,简称期望或均值,记为,即: 注因此要求级数绝对收敛,保证数学期望地唯一性.上述概念可推广至连续性随机变量地情形,有:随机变量地数学期望完全由地分布律确定,不应受地可能取值地排列次序地影响,Ὅ 定义5.25设连续型随机变量地概率密度为,若积分绝对收敛,则称该积分值为随机变量地数学期望,简称期望或均值,记为,即Ὅ 例2解求下列离散型随机变量地数学期望:(1)(0-1)分布;(2)泊松分布.于是(1)设随机变量X 服从（0-1）分布,分布律如下:.于是(2)设随机变量服从参数为地泊松分布,即,则.Ὅ 例3解求下列离散型随机变量地数学期望.(1)指数分布;(2)正态分布.于是(1)设随机变量X服从参数为地指数分布,其概率密度为(2)设随机变量X服从正态分布,其概率密度为于是:Ὅ 例4解一工厂生产地某种设备地寿命X （以年计）服从参数为1/4地指数分布,工厂规定:出售地设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净盈利地数学期望.因为服从参数为地指数分布,故分布函数为使用一年不损坏地概率为则一台设备在一年内损坏地概率为设表示出售一台设备地净盈利,则其分布律为:故(元)01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差在实际问题,常常需要求出随机变量函数地数学期望。
(精品)概率论课件：随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变 量的分布函数外，更关心的是随机变量的 某些特征。
2
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离 程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
第五章随机变量的数字特征与极限定理
2021/2/19
20
❖ 5.1.3 随机变量函数的数学期望
❖ 关于一维随机变量函数的数学期望，有下面的定理 ❖ 定理5.1 设Y=g(X)，g(x)是连续函数. ❖ (ⅰ)若X是离散型随机变量，分布列为P(X=xk)=pk，
k=1,2,…，且
k 1
❖ 绝对收敛，即
| xk | pk
k1
❖ 则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值， 记为EX或E(X)，即
EX xk pk k1
2021/2/19
3
❖当
| xk | pk
k 1
❖ 发散时，则称X的数学期望不存在.
❖ 定义中的绝对收敛条件是为了保证式
xk pk
k 1
❖ 不受求和的次序的改变而影响其和的值.
❖ 这个结果是可以预料的，因为X在[a,b]上服从均匀 分布，它取值的平均值当然应该是[a,b]的中点.
2021/2/19
14
❖ 例5 (指数分布) 设连续型随机变量X的概率密度为
ex,
f(x) 0,
❖ 其中λ是正常数，求EX.
x0, x0.
2021/2/19
15
❖ 解 EX
xf ( x ) dx
2021/2/19
12
❖ 常用的连续型随机变量的数学期望 ❖ 例4 (均匀分布)设连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
1 ba
,
a x b,
0,
其 他.
(a b)
❖ 求EX.
2021/2/19
13
❖ 解
EX xf ( x ) dx
bx
理学席第讲随机变量数字特征
若 g(xi , y j ) pij
i, j
期望存在，而且有
绝对收敛，则Z的数学
E(Z ) E[g( X,Y )] g(xi , y j ) pij
i, j
（2） 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合 密度为 f (x, y), Z= g(X,Y)也是连续型随机变量
若
g( x, y) f ( x, y)dxdy
如果 xk pk 绝对收敛，则称它为X的数学期望 k 1
或均值，记为E(X), 即
E( X ) xk pk
k 1
若
xk pk 发散，则称X 的数学期望
k
不存在。
例2：已知X 的分布如下
X
100 200
P
0.01 0.99
求E(X) 解
E:( X ) 100 0.01 200 0.99
•
测量结•a•• •
甲仪器测量结果
•••• •a•• •••
乙仪器测量结果
••
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
• •
中•心 ••
•
•
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度.
这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差
§4-2 方 差
一. 方差的概念
定义 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 为 E(X), 若 E(XE(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称 X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即
随机变量的数字特征-方差
方差的性质
非负性
方差总是非负的，即Var(X) ≥ 0。
确定性
当随机变量取常数值时，方差为0。
线性性质
如果随机变量X的方差为Var(X)，则aX+b的方差 为a²Var(X)。
方差的意义
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，方差越大，随机变量的取值越分 散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差在统计学中有着广泛的应用，如计算数据的离散程度、评估预测模型 的精度等。
方差分析是统计学的分支之一，用于比较不同总体或样本的方差是否具有 显著差异。
02
方差的计算
离差平方和的分解
实际值与期望值之差的平方的平 均值。
所有这些平方差的加总。
每个随机变量与数学期望的差的 平方。
01
03 02
方差的计算公式
方差计算公式为：$D(X) = E[(X EX)^2]$
其中，$E$表示数学期望，$X$表示随 机变量，$EX$表示随机变量的数学期 望。
03
标准差与方差的关系表明，标 准差越小，随机变量的取值越 集中；标准差越大，随机变量 的取值越离散。
方差与偏态系数的关系
偏态系数是描述随机变量取值分布形态的数字特征，表示随机变量取值的对称性。
如果偏态系数大于0，表示随机变量取值右偏分布；如果偏态系数小于0，表示随机变量取值左偏分布。
方差与偏态系数之间存在一定的关系。对于具有相同方差的两个随机变量，偏态系数越大，表示随机变 量的取值越离散；偏态系数越小，表示随机变量的取值越集中。
随机变量的数字特征-方差
目录
• 引言 • 方差的计算 • 方差与其他数字特征的关系 • 方差的应用场景 • 案例分析
01
引言
第五节随机变量分布的数字特征E(X)
例5
解
1 x 10 P { X 1} e d x 1 e 0.1 0.0952, 0 10
1
1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10
2
e 0.1 e 0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
3
e 0.2 e 0.3 0.0779,
解
设1年中死亡人数为X , 则 X ~ b(10000 ,0.002 )
10000
1000 E ( X ) k 0 k (0.002)k (1 0.002)10000 k k 20(人).
被保险人所得赔偿金的期望值应为
20 2000 40000(元 ).
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p )]n1
=np
则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
例4 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布律为
解
引入随机变量 X i ,
0, 在第 i 站没有人下车, Xi i 1,2,,10. 1, 在第 i 站有人下车 ,
则 X X 1 X 2 X 10 .
9 9 则有 P{ X i 0} , P{ X i 1} 1 , 10 10
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
随机变量的数字特征之方差概率论
方差具有可加性
即对于两个独立的随机变量X和Y， 有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差具有非负性
即对于任意随机变量X，有 Var(X)>=0。
方差的特点
方差反映了随机变量取值 分散的程度
方差越大，说明随机变量的取值越分散；方 差越小，说明随机变量的取值越集中。
方差是衡量随机变量不确 定性的一个指标
利用人口普查数据，如年龄、性 别、收入等各项指标。
结论
通过比较不同指标的方差，可以 了解该指标的分布情况和稳定性 ，为政策制定提供依据。
01
目的
分析人口普查数据的分布情况， 通过计算各项指标的方差来了解 数据的离散程度和稳定性。
02
03
分析
利用方差公式计算各项指标的离 散程度，即方差越大，数据分布 越不稳定。
方差与其他统计量的关系展望
与协方差的关系
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望的程度，与方差在概念上有一定的关联。未来研究可以进一步探 讨方差和协方差之间的关系及其在实际应用中的结合。
与相关性系数的关系
相关性系数是衡量两个变量之间线性关系的强度和方向，而方差则反映单个变量的离散程度。未来研究可以探索 如何利用方差和相关性系数共同分析多维数据。
3
跨学科应用
除了统计学和数据分析领域，方差分析 还可应用于其他学科，如生物学、医学 、经济学等，为跨学科研究提供有力支 持。随着学科交叉融合的深入发展，方 差分析的应用前景将更加广阔。
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THANKS
方差在未来的应用前景
1
大数据处理
随着大数据时代的到来，海量数据的处 理和分析成为重要课题。方差作为衡量 数据分散程度的指标，在大数据分析中 具有广泛应用前景，可用于挖掘数据的 模式和规律。
第五节随机变量分布的数字特征D(x)
1
0
0,
E( X 2 ) 0 x2(1 x)d x 1 x2(1 x)d x
1
0
1, 6
于是
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
1 02 1.
6
6
<四>、矩的概念
定义3 .4 设 X 是随机变量,若E( X k ), k 1, 2,
存在, 称它为 X 的 k 阶原点矩,简称 k 阶矩.
其中 0.
0,
x 0.
则有
E( X )
xf
(x)d x
0 x ex
dx
1/ .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
0 x2 ex d x 1 / 2
2 / 2 1 / 2
1 2
指数分布的期望和方差分别为1/ 和 1/ 2 .
6. 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
E( X 2 4X 4) E( X 2 ) 4E( X ) 4
DX (EX )2 4EX 4
5 32 4 3 4 30.
所以 E( X 2)2 30.
例2 设随机量X 的概率密度为
ax, 0 x 2, p( x) cx b, 2 x 4,
0,
其 它.
且 已知E( X ) 3, P{1 X 3} 4 ,求 : 3
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数 数学期望 方差
0 p1 n 1,
0 p1
0
0 p1
p
p(1 p)
np np(1 p)
1/ p (1 p) / p2
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若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为随机变
k 1
量X的数学期望.记为E(X)．即
E(X)
xk pk
k 1
定义2 连续型随机变量X的概率密度为 f(x), 若积分
x f ( x)dx 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X
的数学期望，记为E(X), 即 E( X )
x f ( x)dx
[注] 数学期望简称为期望，又称为均值.
例1 设X~(), 求 E(X) E(X)=
解 X的分布律为 P{X k} ke ,
k!
k 0,1,2, ,
k e
E(X) k
e
k 1
e e
k0
k!
k1 (k 1)!
例2 设X~U(a, b), 求 E(X)
ab
E(X)=
2
解
X的概率密度为
(令 y g(x))
h( y) 0 :
E(Y ) yf [h( y)]h( y)dy g(x) f (x)dx g(x) f (x)dx
例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨） 是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布．设每售 出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去 而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源 才使国家收益的期望值最大？
f
(
x)
b
1
a
,
a
x
b
0, 其它
E(X) xf ( x)dx b x dx a b
a ba
2
例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式.记使用寿命为X(以年记), 规定:
X1, 一台付款1500元; 1<X 2, 一台付款2000元;
2<X3, 一台付款2500元; X>3, 一台付款3000元.
0 10
P{1 X 2} 2 1 e x 10dx e0.1 e0.2 0.0861,
1 10
P{2 X 3} 3 1 e x /10dx e0.2 e0.3 0.0779,
2 10
P{3 X } 1 e x /10dx e0.3 0.7408,
3 10
E(Y)=2732.15
E( Z ) E[ g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
i1 j1
(4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x,)]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
例7 设(X,Y)的联合分布律为
YX 1 1 0.4
7
10)
1 (10 40 9 30 810 7 20) 100
100.6 90.1 80.2 70.1 10 0.4 9 0.3 8 0.1 7 0.2
9.2 （环）
8.9(环)
由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。
定义1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X xk } pk , k 1, 2,L ,
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
f
(
x)
1
10
e
x 10
,
0,
x0 x 0.
试求该商店一台电器收费Y的数学期望.
解 一台收费Y的分布律
Y
1500 2000
2500
3000
pk P0{.X09512} P{ 10<.0X8612} P{20<.0X7793 } P0{.X74>038}
P{ X 1} 1 1 ex /10dx 1 e0.1 0.0952,
第四章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征
前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道 随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统 计规律。
但在许多实际问题中，人们并不需要去全面 考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数 字特征即可。
a xb 其它.
令 d E(Y) 0
dt
(l s)t (la sb) 0
1 [(l s)t 2 2(la sb)t (l s)a2 ] 得: t la sb
2(b a)
ls
定理推广： 设 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),
(3) 若(X,Y)是离散型，其分布律为
P{X xi , Y y j } pij , i, j 1,2, , 则
g( x) f ( x)dx
绝对收敛，则
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有
Y=g(X) g( x1 )
pk
p1
g(x2 ) g( xk )
p2 pk
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk , k 1
解 设组织货源为t（吨）,由题意a≤t ≤b,
收益Y是X的函数：
sX (t X)l,
Y g(X)
st ,
aXt t Xb
b
E(Y ) E[g( X )] a g( x) f ( x)dx
t
[x (t x)l]
1
b
dx st
1 dx
a
ba t ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
（2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为
f [h( y)]| h( y) |, y ,
fY (y)
0,
其它.
E(Y ) y fY ( y)dy yf [h( y)] | h( y) | dy
h( y) 0 : E(Y ) yf [h( y)]h( y)dy g(x) f (x)dx
随机变量的函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数)
(1) X(离散型)的分布律为：pk P{ X xk }, k 1,2,
若级数
k 1
g(
xk
)
pk
绝对收敛，则
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk ,
k 1
(2)
X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分
2 0.2
2 0.3 0.1 求 Z1 XY 2,Z2 X Y 的数学期望．
§4.1 数学期望
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解
1 100
(10
60
910
8
20