线性代数第四章齐次线性方程组

0
1
x1 2x2 3x3 0
例
3 2
x1 x1
6 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 2x2 4 x3 0
解：
1
A
3
2
1
2 6 5 2
3
10
7
4
1 0
0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
r A 3 n, 所以只有零解。
第五节齐次线性方程组
• 齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件
• 齐次线性方程组解的性 质
• 基础解系 • 解的结构 • 练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 ………………………………… …as1x1 as2 x2 asn xn 0.
行的非零首元分别位于1、2、3、列，故对x4 , x5的
任
意
值
，
都
能
解
出x1
,
x
2
,
x
。
3
将
方
程
组
移
项
，
x1 x4 20 x5 得 x2 x4 5x5 ，
x3 2 x5
令x4 1, x5 0，得解X1 1 －1 0 1 0T ；
又令x4 0, x5 1，得解X 2 20 5 2 0 1T 。
即1, 2 ,
,
(
m
I
)
是
齐
次
线
性
方
程组
的
A
X
=
0
的解向量。
上页
下页
返回
若rA n，则AX = 0只有零解，B 0, rB 0 n rA; 若rA r n, X1 , X 2 , , X nr (II )是AX = 0 的一个基础解系，则(I)可由(II)线性
表出，秩(I) 秩(II)(第3节推论2)。
含n - r个解向量。
上页
下页
返回
定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任意n - r +1个解向量线性相关； (3)(4.2)的任意n - r个线性无关的解都是它的 一个基础解系。
线性表示。
则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0
的一个基础解系。
若X1 , X 2 , , X t是(4.2)的一个基础解系， 则(4.2)的任意解是基础解系的一个线 性组合，又基础解系的任意线性组合是 (4.2)的解，所以(4.2)的解集合(解空 间)就是
S k1 X1 k2 X 2 kt X t k1 , k2 , , kt P
(4) 秩 A<n.
证明 由矩阵、向量的运算、线性相关定义,得(1)推(2),
(2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r A n
2. 齐次线性方程组解的性质 (解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X1, X 2是AX 0 (4.2)的 解, 则 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 (4.2)的 解.
0 b22
0
0
b1r d1 0
b2r brr
d2 dr
00，
系数行列式不为零，d1 , d 2 , , d r 全为零。于是
X k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0或
X k1 X1 k2 X 2 knr X nr
综上，X1 , X 2 , , X nr是AX = 0的一个基础解系，
同理，分别将xr1 ,
xr2 ,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 , , cr 2 ,0,1, ,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr , , cr ,nr ,0,0, ,1)T ;
上页
下页
返回
(1) X1, X 2 , , X nr是AX = 0的解； (2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
1 0 0 1 20
0
0
1
0
0
1
1
0
5
2
又
取x取4 ,xx45的, x一5的组一值组(0,值 1),(1解,0出),x解3
出 x3 2,
0, x2
x2 5,
1, x1
x1 20.
1;
1
20
则X1
1
0
1
, X2
25
0
是原方程组的一个基础解系, k1 X1 k2 X 2 (k1 , k2为 任 意 常 数)是 通 解.□
6 1(2 )(1)
0
6
3 12 18
1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
上页
下页
返回
rA rB 2，基础解系含5- 2 = 3个向量。 分别将x3 , x4 , x5的3组值(2,0,0),(0,1,0), (0,0,1)代入BX = 0，的基础解系：
b1n b2n
AB 0
0
0 0
brr 0
br ,r 1 0
brn 0
0
0
0
0
0
上页
下页
返回
将未知量xr1 , xr2 , , xn(称为自由未知量)的 一组值(1,0, ,0)代入BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
b12 b22
(l1 , l2 , , lr , k1 , k2 , , knr )T (0,0, ,0,0, ,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2, , n r;i 1,2, , r) j 1
有k1 0, k2 0, , knr 0， 故X1, X 2 , , X nr线性无关。
0
0
b1r b2r
brr
x1 x2
xr
b1,r 1 b2,r 1 br ,r 1
............(4.6)
系数行列式D b11b22 brr 0，
上页
下页
返回
由Gramer法则，(4.6)有唯一解，得(4.2)
的一个解X1 (c11, c21, , cr1 ,1,0, ,0)T 。
向量的(I)线性表出，故线性相关。
(3) 若1 ,2 , ,nr (III )是AX = 0的线性无关 的解，是AX = 0的任一解，1 ,2 , ,nr ,线性 相关。因而可由(III)线性表出，(III)是
AX = 0的基础解系。
上页
下页
返回
例2 求齐次线性方程组
2x1x122xx2 2x33
2x4 x3 2
x5
4x5 0
0
4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0
的通解。
上页
下页
返回
解：写出系数矩阵A，并作初等变换化简
1 2 1 2 A 2 2 3 0
4 2(1)(2)
2 4(1)(3)
4 2 7 4 2
1 2 1 2 0 2 1 4
4 3(2)(3)
称k1 X1 k2 X 2 kt X t为(4.2)的通解。 其中k1 , k2 , , kt是任意常数。
上页
下页
返回
例1 求齐次线性方程组
x1 3x2 2 x3 2 x4 x5 0
x
2
x3
x4
3x5
0
的一个基础解系。
2 x2 x3 2 x4 8x5 0
解：
(1)对
上页
下页
返回
(3)设X (c1 , c2 , , cr , k1 , k2 , , knr )T 是方程组 的任意解，则X k1 X1 k2 X 2 knr X nr (d1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得
b11 b12
上页
下页
返回
(
2
)
1 0
,
0 1
线
性
无
关
，X
1
,
X
是
2
分
别
在
1 0
,
0 1
的
前面位置添加3个分量所得的向量，故X1 , X 2线 性无关。
(3)设X c1 c2 c3 k1 k2 是BX = 0的任意解，
则X k1 X1 k2 X 2 d1 d 2 d3 0 0是BX = 0
的解，得d1 d 2 d3 0, X k1 X1 k2 X 2 0，
(4.2)
系数矩阵 A [aij ]sn ,(4.2)又可表示为 ABiblioteka Baidu 0,
或向量形式
x11 x22 xnn 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件): (1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1,2, ,n线性相关; (3) 秩{1,2, ,n} n;
系数
矩阵A
1 0
3 1
2 1
2 1
31施行
0
2
1
2
8
1 0 5 1 10
2( 2 ) ( 3)
初等行变换化简：A 3(2)(1) 0 1 1 1 3
0
0
1
0
2
1 0
0 1
0 0
1 1
20 5
B，
0 0 1 0 2
得到问题的同解方程组BX= 0。
上页
下页
返回
阶梯形矩阵B有三行不为零，rB 3。B的1、2、3
即X
k1 X1
k
2
X
。
2
上页
下页
返回
定理9 假设A是一个 s n矩阵如 , 果r rankA n,
则齐次线性方程组AX=0 存在基础解系, 且基础解系
证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵;
2. 以某种方法找 n r 个解; 3. 证明这 n r 个解线性无关; 4. 证明任一解都可由这n r个解线性表示.
注：(1) 基础解系不是唯一的。
(2) 当 r( A) n 时，解集合(解空间)是 {0}.
证明:设A经过一系列初等行变换化为阶梯形
矩阵B，则rB r，B的前r行不为零。不失一般性， 设B的第i行的非零首元为bij (i 1,2, , r )，
b11 0
b12 b22
b1r b2r
b1,r 1 b2,r 1
X1 (4,1,2,0,0, )T , X 2 (2,2,0,1,0, )T ,
X 3 (2,3,0,0,1)T
原方程组的通解为k1 X1
k2
X2
k
3
X
，
3
其
中k1
,
k
2
,
k
为
3
任
意
常
数
。
上页
下页
返回
例3 设A为s n矩阵，B为n m矩阵，AB= 0。 试证：rB n rA (或rA rB n)。 分析：是齐次线性方程组AX= 0的基础解系 所含向量的个数，故可将问题转化为齐次 线性方程组的解的问题。
的解。
齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方 程组的解空间(space of solution)。
上页
下页
返回
3. 基础解系 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果:
(1) 向量组 X1 , X 2 , , X t (I )线性无关 ;
(2)
X1, X2,
,
X
中
t
的
每
个
向
量都是AX=0的解；
(3) AX=0 的任一解都可以由 X1, X 2 , , X t (I )
上页
下页
返回
证明：设矩阵B与AB= 0右端的零矩阵的列分
块矩阵分别为B (1 , 2 , , m ),0 (0,0, ,0)，
由分块矩阵乘法，
A(1 , 2 , , m ) (0,0, ,0),
( A1 , A 2 , , A m ) (0,0, ,0)
或A j 0( j 1,2, , m)。
而秩(I)= B的列秩= rB，秩(II)= n rA。 综上，rB n rA。
上页
下页
返回
1 3 2 2 1
例 设A= 0 1 1 1
3
0 2 1 2 8
试求齐次线性方程组
AX=0的一个基础解系 与通解.
1 3 2 2 1
解
A 0 1 1 1
3
0 0 1 0 2
秩A=3 ,基础解系含 5－3=2个向量,
（可推广至有限多个解）
证明
由题设知 AX1 0, AX 2 0,
则 Ax A(k1 X1 k2 X2 ) k1 AX1 k2 AX 20,
故 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 的 解.
推论 齐次线性方程组(4.2)的解
X1,
X 2 ,
,
X
的
t
任
意
线
性
组
合
k1 X1 k2 X 2 kt X t也是(4.2)
上页
下页
返回
证明：X1 , X 2 , , X nr (I )是(4.2)的一个基础 解系。
(1) 设1 , 2 , , t (II )是(4.2)的任意一个
基础解系，则(I)与(II)等价，(I)与(II)都
线性无关，所含向量个数相同，故t= n - r;
(2) AX = 0的任意n- r + 1个解可由含n- r个